Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giáo án đại số 11 cơ bản

Giáo viên: Dương Minh Tiến

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Tiết 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
A . Mục tiêu:
1. Kiến thức: Hs cần nắm vững
- Dạng của phương trình ( pt ) bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác ( HSLG ), pt bậc
nhất đối với sin x và cos x.
- Biết cách biến đổi biểu thức asin x  bcos x .
- Cách giải pt bậc nhất, bậc hai đối với một hslg, pt bậc nhất đối với sin và cos.
- Biết đưa một pt lượng giác về pt bậc nhất hoặc bậc hai đối với một hslg.
2. Kỹ năng:
- Biết nhận dạng và giải thành thạo pt bậc nhất, bậc hai đối với một hslg và pt bậc nhất đối với
sin x và cos x.
- Bước đầu biết giải một số pt lượng giác bằng cách chuyển vể dạng pt bậc nhất hoặc bậc hai
của hslg.
3. Tư duy và thái độ:
- Biết quy lạ về quen, tích cực sáng tạo trong việc hình thành kiến thức.
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, và tư duy các vấn đề toán học một cách độc lập và logic.
Qua bài học thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và đời sống.
B. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, chương trình giả lập máy tính casio fx500MS và
570MS.
2. Học sinh: Xem bài trước ở nhà theo sự hướng dẫn của giáo viên, và mang theo máy Casio
fx500MS, 570MS hoặc các máy tính có chức năng tương tự.
C. Tiến trình bài dạy:
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh

cosx

a
sinx

a
?1: Công thức nghiệm của pt
,
Phát biểu như bài giảng
, tanx  a , cot x  a .
�
?2: Giải các pt 2sin x  2  0 và cot x  3  0 .
x  450  k3600
2sin
x

2

0
�
, k ��
�
Ta có:
+ Biến đổi về đúng dạng ptlgcb.
0
0
x

135


k
360
�
�
+ Sử dụng công thức nghiệm tìm x.
Tương tự: cot x  3  0 � x  300  k1800, k ��
2. Bài mới:
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa v cch giải pt bậc nhất đối với một hslg.
Hoạt động của giáo viên
?1: Nếu đặt các hslg là ẩn t thì các pt trên có
dạng gì.
?2: Cho một số ví dụ về pt có dạng at  b  0
trong đó a, b là các hằng số (a �0) và t là một
trong các hslg.
Giới thiệu ptlg bậc nhất đối với một hslg.
?3: Cho pr 2cos x  2  0. Hãy tìm nghiệm của
pt trên.
?4: Nêu cách giải pt bậc nhất đối với một hslg.
Nhận xét và đánh giá

Hoạt động của học sinh
Thảo luận nhóm
Có dạng at  b  0
Ví dụ:
2sin x  3  0
tan x 

3
0

2

Hoạt động nhóm
Ta có: 2cos x  2  0 � cos x  2

2

 cos

Nghiệm của pt là x  � 4  k2 , k��

4

B1: Chuyển b qua vế phải ( Lưu ý đổi dấu ).
B2 : Chia hai vế cho a ( Lưu ý không đổi dấu ).
Hoạt động 2: Củng cố kiến thức về ptlg bậc nhất đối với một hslg.

Trường THPT Đức Trí

19

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
Cho các phương trình lượng giác sau
(a). 3cot x  3  0
(b). tan x  3  0
(d). tan x.cot2x  1 0
(e). sin x  cos x  0

Hoạt động của giáo viên

Giáo viên: Dương Minh Tiến
(c). 3cos x  3
(f). sin x  1 0

Hoạt động của học sinh
Trao đổi thảo luận
Hs trả lời.

?1: Pt bậc nhất đối với một hslg có đặc điểm gì.
Pt nào trong các pt trên là ptb1.
a) 3cot x  3  0 � cot x  3  cot có nghiệm
?2: Giải các phương trình trên.
3
3
là x   3  k , k ��
Hướng dẫn hs giải các bài tập.
+ Xác định các hệ số a, b.
b) tan x  3  0 � tan x   3   tan 3  tan   3
+ Thực hiện qui trình giải.
có nghiệm là x    3  k , k ��
Chẳng hạn:
f) sin x  1 0 � sinx  1� x   2  k2 , k ��
c) 3cos x  3 � cos x  3
có nghiệm là
3

Vậy pt có nghiệm là x  2  k2 , k ��
x  �arccos 3  k2 , k ��





3

*. Củng cố và dặn dò:
?1: Pt bậc nhất đối với một hslg có dạng như thế nào, cho ví dụ và nêu cách dạy.
- Hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau
a) 2sin

3x
 3 0
2

b) 3tan 1 2x  3  0

- Xem tiếp mục 3 trong SGK trang 30 và giải các phương trình sau
(a). cos x  sin2x  0 .
(b). 4sin xcos xcos2x   12 .
Tiết 12

Hoạt động 3: Phương trình đưa về pt bậc nhất đối với một hslg.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh
Trao đổi thảo luận
Khơng phải.
Cĩ hai cung x và 2x

Bài 1: Giải pt 4sin xcos xcos2x   12  *
?1: Đây cĩ phải là ptb1 đối với một hslg.
?2: Nhận xét trong pt trên cĩ bao nhiêu cung.
?3: Hãy biến đổi vế trái pt trên về cung một cung
sử dụng cơng thức nhân đơi.
?4: Tìm nghiệm của pt trên.
Bài 2: Giải pt cos2x  sin x  1 0  2 .
?1: Sử dụng cơng thức nhân đơi của cos 2x đối
với sin x biến đổi pt trên.
?2: Đưa pt vừa thu được về dạng pt tích.
?3: Cách giải pt A. B = 0.
?4: Xác định nghiệm của pt trên.

Trường THPT Đức Trí

Ta cĩ: 4sin xcos xcos2x  2sin2x cos2x  sin4x
Khi đĩ: ( * )  sin4x   1  sin  
2

x  7



6



Vậy pt cĩ nghiệm là x    24  k 2 và
24

 k

2

, k ��

Bài 2:





2
Ta cĩ: cos2x  sin x  1 1 2sin x  sin x  1

 -sin x 2sin x  1
�
sin x  0
2sin x  1 0
�

Khi đĩ:  2 � �
Vậy

pt trên cĩ nghiệm là
x    6 k2 và x  7 6  k2 , k ��.
Bài 3:
20

x  k ;

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản

Giáo viên: Dương Minh Tiến

Bài 3: Giải pt cos xcos2x  1 sin xsin2x  3 .
Ta cĩ:  3 � cos xcos2x  sin xsin2x  1
?1: Chuyển các hslg về cùng một vế.
� cos x  2x  cos3x  1
?2: Sử dụng cơng thức cộng rút gọn vế trái của
Vậy: Pt cĩ nghiệm là x  k
pt
Bài 4:
?3 Xác định nghiệm của pt.
�x �k
(k ��)
Bài 4: Giải pt tan x  3cot x  4
Điều kiện: �
�x � 2  k
Khi đĩ:  4 � tan x  3. 1tan x

?1: Điều kiện để pt trên cĩ nghĩa

� tan2 x  3 � tan x  � 3
Vậy nghiệm của pt là x  � 3 k , k ��

?2: Đưa về cùng một hslg.
?3: Rút gọn pt trên và xác định nghiệm của nĩ.

3. Củng cố và dặn dò:
?1: Trong các pt sau, pt nào là pt bậc nhất đối với một hslg và cách giải nó ?
(a). 3cos x 3  0.
(b). tan x  3  0 .
(c). cot x  3 .
(b). 2tan x.cot2x 1 0 .
(d). tan x  cos x  0 .
(b). sin2 x 1 0.
- Làm các bài tập 1, 2b tr 36
+ Đưa về đúng dạng phương trình lgcb.
+ Áp dụng công thức nghiệm ptlgcb tìm nghiệm x.
- Xem tiếp mục II trong SGK trang 31 và trả lời các câu hỏi sau
?1: Dạng của phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
?2: Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Tiết 13, 14
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên
?1: Dạng của phương trình bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác. Cách giải ?
2
?2: Giải phương trình cos x  2cos x  0  *

Hoạt động của học sinh
Có dạng at = b.
Chuyển về pt lgcb và tìm nghiệm
cos x  0
�


� x   k
Ta có:  * � �
cos x  2  0 (VN )
2
�

2. Bài mới:
Hoạt động 4: Phương trình bậc hai đối với một hslg và cách giải
Hoạt động của giáo viên
?1: Nếu đặt t là các hslg trong các pt dưới đây
thì các pt đó có dạng nào.
a) 3cos2 x  5cos x  2  0 ; b) 3sin2 x  5sin x  0
c)3tan2 x  5tan x  2  0 ;

Hoạt động của học sinh
Trao đổi thảo luận
Các pt trên có dạng at2  bt  c  0  a �0
Là một pt bậc 2 đối với một hslg.

d)3cot2 x  2  0

Giới thiệu khái niệm ptb2
Đặt ẩn phụ đưa về dạng at2  bt  c  0  a �0
?2: Cách giải một pt bậc 2 đối với một hslg.
?3: Khi đặt t bằng cos hoặc sin có khác gì với khi
Nếu t = sin hoặc t = cos thì 1�t �1
ta đặt t bằng tan hoặc cot.
Hoạt động 5: Củng cố cách giải
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh
2
Thảo luận nhóm
Giải pt 3cos x  5cos x  2  0  1 .
Đặt t  sin x , t �1
?1: Đặt t bằng giá trị nào.
Khi đó (1) trở thành 3t2  5t  2  0 có nghiệm
Trường THPT Đức Trí

21

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
?2: Tìm nghiệm pt vừa tìm được.

Giáo viên: Dương Minh Tiến
là t  1, t  23

?3: Xác định các nghiệm t thỏa điều kiện và giải
pt t  sin x t  sin x .

Ta có: t  1� sinx  1� x   2  k2 , k ��
�x  arcsin 2  k2
�
3
2
t
��

, k ��
3
�x    arcsin 2  k2
3
�

?4: Kết luận nghiệm của pt ban đầu.
Hs kết luận
Hoạt động 6: Phương trình đưa về pt bậc hai đối với một hslg.
Hoạt động của giáo viên
Bài 1: Giải pt 3cos2 6x  8sin3x cos3x  4  0  1
?1: Sử dụng công thức nhân đôi đưa pt về cung
một cung.
?2: Dùng các công thức lượng giác cơ bản đưa
về cung một hslg.

Hoạt động của học sinh
Thảo luận nhóm
2
Ta có:  1 � 3cos 6x  4sin6x  4  0 .
Mà cos2 6x  sin2 6x  1





2
Nên  1 � 3 1 sin 6x  4sin6x  4  0

� 3sin2 6x  4sin6x  1 0

�
sin6x  1
��
sin6x  1
�
3
�

?3: Tìm nghiệm pt bậc hai trên.
?4: Xác định nghiệm của pt ban đầu.
?5: Kết luận nghiệm của pt
Bài 2: Giải pt 3tan x  6cot x  2 3  3  0  2
?1: Xác định điều kiện để pt trên có nghĩa.

Hs trình bày bài giải xác định nghiệm
Vậy pt trên có nghiệm là x   12 k 3 ;
1
1 
 1
1 
x  arcsin  k và x   arcsin  k , k ��
6

Bài 2:

3

3

6 6

3

3

Điều kiện: cos x �0, sin x �0

Khi đó:  2 � 3tan x  6. 1tan x  2 3  3  0

?2: Biến đổi về cung một hslg.
?3: Xác nghiệm nghiệm của pt bậc hai trên.
?4: Tìm nghiệm của pt ban đầu.





� 3tan2 x  2 3  3 tan x  6  0

Pt có nghiệm tan x  3 hoặc tan x  2
Ta có: tan x  3 � x    k , k ��

3
tan x  2 � x  arctan 2  k , k ��

3. Củng cố và dặn dò:
?1: Trong các pt sau, pt nào là pt bậc hai đối với một hslg và giải các pt bậc 2 đó.
(a). 3cos2 x 3  0
(b). 2tan x 3  0
(c).  cot2 x  cot x  3  0

(d). 2tan x.cot2 2x 1 0
(e). cos3 x  cos x  0
(f). sin2 x 1 0
+ Xác định dạng của phương trình bậc 2 theo sin (cos) hay theo tan (cot).
+ Tiến hành giải theo phương pháp xác định nghiệm.
?2: Cách giải pt bậc hai đối với một hslg.
- Xem tiếp mục III trong SGK trang 35 và trả lời các câu hỏi sau
2

2

� a
� � b
�
�
1
(i). Chứng minh �
�
� 2 2� � 2 2�
�
� a b � � a b �

(ii). Ghi lại công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng.
Tiết 15
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên
Trường THPT Đức Trí

22

Hoạt động của học sinh
Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
?1: Dạng ptb2 đối với một hslg. Cách giải ?
?2: Sử dụng công thức tổng chứng minh các
biểu thức sau
a) 2 cos x    sin x  cos x
b)

Giáo viên: Dương Minh Tiến
Có dạng at2 + bt + c = 0.
Đặt ẩn phụ và giải ptb2 theo pp lớp 10.

 4
2 sin  x     sin x  cos x
4



2 cos x  

Ta có:


4

�
2

2�
2�
cos
x
.

sin
x
.
�
�
2
2 �
�
�
 sin x  cos x

Tương tự chứng minh đẳng thức b.

2. Bài mới:
Hoạt động 7: Công thức biến đổi asin x  bcos x
Hoạt động của giáo viên
?1: Hày giải thích vì sao

asin x  bcos x 
� a
�
b
 a2  b2 �
sin x 

cos x� *
� 2 2
�
a2  b2
� a b
�
2

2

� a
� � b
�
?2: Hãy chứng tỏ �
� �
� 1
� 2 2� � 2 2�
a

b
a

b
�
� �
�

?3: Nếu đặt

a

a2  b2

 cos thì (*) tương đương

Hoạt động của học sinh
Trao đổi thảo luận
2
2
Vì a  b �0 nên ta có thể đặt a2  b2 làm nhân
tử chung.
Hs trình bày
Ta có:  * � a2  b2  cos sin x  sin cosx
� a2  b2 sin x   

Vì cos2  sin2   1 nên tồn tại cung  sao cho
b

sin 

a

và

với biểu thức nào. Vì sao ?
a2  b2
a2  b2
Hoạt động 8: Phương trình dạng asin x  bcos x  c

 cos

Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Giới thiệu cách giải
Thảo luận nhóm
?1: Sử dụng công thức vừa biến đổi ở trên cho vế
2
Ta có: a  b2 sin x     c
trái của pt.
?2: Nhận xét dạng của pt vừa tìm được và nêu
Đây là ptlg bậc nhất chuyển vế sau đó giải ptlgcb.
cách giải.
Củng cố cách giải
Bài 1:
Bài 1: Giải pt 3sin3x  cos3x  2  *  .
Đây là pt bậc nhất đối với sinx, cosx
?1: Hãy chỉ ra dạng của pt trên
Ta có: a  3 , b  1, c  2
?2: Xác định các hệ số a, b, c trong pt trên.
Khi đó: a2  b2  2
?3: Tính a2  b2 và biến đổi 3sin3x  cos3x
Nên 3sin3x  cos3x  2sin 3x   6
?4: Giải pt trên



Do đó:  * � sin 3x  
x  11

36

 k 2

3

2

2

 sin

4

, k ��

Bài 2: Ta có:

 * � sin x  cosx 



� cos x  

?2: Giải ptlg cb trên.
Trường THPT Đức Trí



Vậy pt có nghiệm là x  5 36 k 2 3 và

?5: Kết luận nghiệm

Bài 2: Giải pt 2sin x  2cos x  2  0  *
?1: Biến đổi vế trái đưa về ptb1.

6





23

4



2

2
 cos



� 2cos x  



 2
4
2
� x    �  k2

3
4
3

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
?3: Xác định nghiệm của pt ban đầu.
x  

Giáo viên: Dương Minh Tiến
Vậy pt có nghiệm là x  7 12 k2 và

 k2 , k ��
12
Hoạt động 9: Giải pt 5sin2 x  3cos x  3  0

Tiết 16

Hoạt động của giáo viên
?1: Nhận dạng phương trình.
?2: Đưa pt về dạng bậc hai đối với một hslg.
?3: Xác định nghiệm của pt bậc hai theo cos x
?4: Xác định nghiệm của pt ban đầu.

Hoạt động của học sinh
Phương trình bậc hai đối với một hslg
Ta có: 5sin2 x  3cos x  3  0
� 5cos2 x  3cos x  8  0.

�
cos x  1
��
cos x  8 3 ( loaïi )
�
Khi đó cos x  1� x    k2 , k ��

Hs trả lời
?4: Kết luận nghiệm của pt.
6
6
Hoạt động 10: Giải pt sin x  cos x  4cos2 2x  *
Hoạt động của giáo viên
?1: Biến đổi sin6 x  cos6 x về dạng A3 + B3.
?2: Khai triển hằng đẳng thức trên.
?3: sin 2 x  cos 2 x  ?
?4: Biến đổi sin4 x  cos4 x về dạng  A  B .
2

?5: Áp dụng công thức nhân đôi sin x.cosx  ?
?6: Xác định nghiệm của pt.

Hoạt động của học sinh



 
3



3

Ta có: sin6 x  cos6 x  sin2 x  cos2 x 
2
2
  sin 2 x  cos 2 x  �
�sin 2 x   sin 2 x.cos2 x   cos2 x  �
�
4
2
2
4
 sin x  sin x.cos x  cos x

  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x.cos 2 x  1  3sin 2 x.cos 2 x
2

Khi đó:

 * � 1 34 sin2 2x  4cos2 2x � 13cos2 2x  1 0





Vậy pt có nghiệm x  �12 arccos  113  k
c x  �1 arccos 1  k , k ��.
và hoaë
2

13

2
4
Hoạt động 11: Giải pt  14  sin x  cos x  * .
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
4
2 1 2cos2x  cos2 2x
?1: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi cos x .
Ta có: cos4 x  cos2x 



2

?2: Hạ bậc sin x
?3: Biến đổi và thu gọn pt trên.
?4: Xác định nghiệm của pt
?5: Kết luận



4

1 cos2x
.
2
Khi đó:  * � cos2 2x  4cos2x  0

Mà sin2 x 

�
cos2x  0
��
� x    k , k ��
4
2
cos2
x

-4
loaï
i


�

Hs trả lời.

3. Củng cố và dặn dò:
?: Công thức biến đổi asin x  bcos x và cách giải pt asin x  bcos x  c
- Làm các bài tập 2b, 3 SGK tr 36 – 37
+ Xác định dạng của phương trình.
+ Biến đổi về các dạng quen thuộc sau đó dùng phương pháp phù hợp giải tìm nghiệm.
- Ôn lại các kiến thức đã học trong chương I chuẩn bị kiến thức để làm kiểm tra 1 tiết.
+ Cách tìm tập xác định của một hàm số.
+ Phương pháp giải và công thức nghiệm phương trình lgcb.
Trường THPT Đức Trí
24

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
+ Cách giải các ptlg thường gặp.
Tiết 17
1. Kiểm tra bài cũ:

Giáo viên: Dương Minh Tiến

Hoạt động của giáo viên
?1: Dạng của phương trình bậc nhất đối với sin
u và cos u. Cách giải ?

Hoạt động của học sinh
Có dạng asinx + bcosx = c.
c

Biến đổi sin  x    

a  b2
Ta có:  * � sin x  450  2

?2: Giải pt 2sin x  2cos x  1  0  * .



+ Xác định a 2  b 2 .
+ Giải pt tìm nghiệm.

2

.



 sin 450
2
�
x  900  k 3600
��
, k ��
x  1800  k 3600
�

2. Baøi môùi:
Hoạt động 1: Giải pt 2cos2 x  3cos x  1 0
Hoạt động của giáo viên
?1: Nhận dạng phương trình.
?2: Giải pt 2cos2 x  3cos x  1 0 .
?3: Kết luận nghiệm của pt.

Hoạt động của học sinh
Đây là pt bậc hai đối với hàm số cos x.
�
cos x  1
cos x  1 2
�

Ta có: 2cos2 x  3cos x  1 0 � �

Vậy: pt có nghiệm là x  � 3  k2 và
x  k2 , k ��.

2
2
Hoạt động 2: Giải pt 25sin x  15sin2x  9cos x  25  * .

Hoạt động của giáo viên
?1: Kiểm tra cos x  0 � x   2  k có là
nghiệm của pt (*).

?2: Xét x �  k , khi đó cos x  ? .
2

?3: Chia hai vế phương trình (*) cho cos2 x .

Hoạt động của học sinh

2
nnhieâ
n
Ta có:  * � 25sin x  25  Hieå

Vậy x   2  k laứ nghieọm cuỷa pt.
Khi đó: cos x �0

 * � 25sin2 x  30sin xcosx  9cos2 x  25

?4: Giải pt 30tan x 16  0 .

�8 �
� 30tan x  16  0 � x  arctan� � k (k ��)
15�
�
?5: Kết luận nghiệm của pt ban đầu.
Vậy pt có nghiệm là x   2  k vaứ
x  arctan 8  k (k ��) .
15
Hoạt động 3: Giải pt 2tan x  2cot x  3  0  *

 

Hoạt động của giáo viên
?1: Điều kiện của phương trình.
?2: Áp dụng công thức lượng giác cơ bản biến
đổi pt trên về một hslg và thu gọn.
?3: Xác định nghiệm của pt.

Trường THPT Đức Trí

Hoạt động của học sinh
�
sin x �0
۹ x k
2
cos x �0
�

Điều kiện �

Ta có: 2tan x  2. 1tan x  3  0
� 2tan2 x  3tan x  2  0 .





Vậy pt có nghiệm là x  arctan  12  k và
x  arctan2  k , k ��
25

Chương I: HSLG & PTLG


Giáo án đại số 11 cơ bản
Giáo viên: Dương Minh Tiến
3. Củng cố và dặn dò:
?1: Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
?2: Cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
- Giải phương trình sau (i). 3cos2 x  2sin x  2  0 .
(ii). 2tan x  3cot x  2  0 .
+ Đưa về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác sử dụng công thức
2
2
sin x  cos x  1 ; tan x.cot x  1 .
+ Giải phương trình bậc hai theo phương pháp và tìm nghiệm.
- Ôn lại các kiến thức đã học về pt lượng giác chuẩn bị ôn chương và kiểm tra 1 tiết.
+ Cách tìm tập xác định của một hàm số.
+ Phương pháp giải và công thức nghiệm phương trình lgcb.

+ Cách giải các ptlg thường gặp.
Tân châu, ngày …… tháng ……. năm 2011
TM. Tổ trưởng

Nguyễn Phương Nam

Trường THPT Đức Trí

26

Chương I: HSLG & PTLG