giáo án một số phương trình lượng giác thường gặp

BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

§1.CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
0
π
 180 
10 =
rad
1rad= 
÷
180
 π 
Bài 1.Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ
a)

3π
8π
7π
π
; b) −
; c) ; d ) ; e)0,1; f )3
2
3
4
12

Bài 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian ( viết dưới dạng chứa π)
a) 150; b) 2400; c) 3000; d) 2250. e)-60015/.

Bài 3.Đổi các số đo sau sang radian ( dưới dạng số gần đúng, 10 ≈ 0,0175 rad)
a)250, b)-1400, c)1050, d)1900, e)-2430.
Dạng 2.TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN CÓ SỐ ĐO ĐÃ CHO
Độ dài l của cung tròn có số đo α rad, bán kính R: l=R.α
Bài 1. Một đường tròn có bán kính 25cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo

a/

3π
;
7

4
b/ ;
3

2π
;
7

b/2,5;

c/49 0

Bài 2. Trên đường có bán kính 30cm. Tìm tọa độ của các cung trên đường tròn đó có số đo

a/

c/33 0

Bài 3.Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là 1,65cm và 2,25 cm. Hỏi
trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn
có độ dài bao nhiêu mét ?
Dạng 3. BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo
2π
5π
a/
;
b/- ; c/-2100 ;
d/4250
3
6
Bài 2. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo
5π
13π
a/ ;
b/; c/1050 ;
d/-3
8
3

1


BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

§ 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Dạng 1.TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α
Định nghĩa

sin α = OK
sin α
tan α =
cos α

cos α = OH
cos α
cot α =
sin α

Bài 1.Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị lượng giác sin, cosin, tan của các số đo sau: 120 0,
11π
Bài 2.Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị lượng giác sin, cosin, tan của các số đo sau:
3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐÓ
1)Công thức lượng giác cơ bản
• cos 2 α + sin 2 α = 1

1
π
,
α
≠

+ kπ, k ∈ Z
2
cos 2 α
1
2
, α ≠ kπ, k ∈ Z
•1 + cot α =
sin 2 α
kπ
,k∈Z
• tan α. cot α = 1, α ≠
2
2
•1 + tan α =

2)Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

α

0

Sin α

0

Cos α

1

Tan α

0

Cot α

KXĐ

π
6
1
2
3
2
1
3

π
4
2
2
2
2

π
3
3
2
1
2

π
2

1

KXĐ

3

1

3
1
3

2

1
0

0


BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

3) DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
cosα
sinα

tanα
cotα

I
+
+
+
+

II
+
-

III
+
+

IV
+
-

Bài 1.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu
1
π
1 π
a )sin α = ,0 < α < ;
b) cos α = − , < α < π
3
2
4 2

3π
1 3π
c) tan α = 3, π < α <
d )cot α = − ,
< α < 2π
;
2
6 2
Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

2 π
1
3π
a ) sin α = , < α < π ;
b) cos α = − , π < α <
3 2
4
2
7
π
14 3π
c) tan α = ,0 < α < ;
d) cot α = − , < α < 2π
3
2
9 2
3 π
Bài 3.Biết sin α = , < α < π .Tính giá trị các biểu thức :
4 2
2 tan α − 3 cot α

cos 2 α + cot 2 α
a )A =
; b)B =
cos α + tan α
tan α − cot α

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 3. XÉT DẤU BIỂU THỨC
Bài 1. Xác định dấu các số sau
a) sin 1770 ; b) cos( 2600) ; c) tan 6350 ; c) tan (12730)

π
< α < π . Xác định dấu của giá trị lượng giác
2
π
π

 3π


a ) cos α + ; b)sin − α ; c)tan( π + α ) ; d)cot  α − 
2
2

 2



Bài 2.Cho

Dạng 4. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1.Chứng minh các công thức sau
a)

1 − tan 2 α
1 + tan 2 α

= cos 4 α − sin 4 α; b)

sin 3 α + cos 3 α
= 1 − sin α cos α; c) tan 2 α − sin 2 α = tan 2 α. sin 2 α
sin α + cos α

Bài 2.Chứng minh các công thức sau

3


BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

sin α
1 + cos α
2
tan α − sin α
+
=
,

b)
= tan 6 α
2
2
1 + cos α
sin α
sin α
cot α − cos α
1
c)
= sin α .cos α ,
d ) sin 2 α tan 2 α + 4sin 2 α − tan 2 α + 3cos 2 α = 3
tan α + cot α
Bài 3.Chứng minh các công thức sau
sin 2 α
sin α + cos α
a)
−
= sin α + cos α
sin α − cos α
tan 2 α − 1
2

2

a)

1 − cos α
1 + cos α
2

+
=
1 + cos α
1 − cos α sin α
Bài 4.Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) A=2cos4x-sin4x +sin2xcos2x +3sin2x
b) B= (cotx+tanx)2 – (cotx-tanx)2.
c) D= sin2xtan2x +2sin2x-tan2x +cos2x
Bài 5. Rút gọn các biểu thức
b)

sin 2 α + 2 cos 2 α − 1
b) B =
cot 2 α
( sin α + cos α ) 2 − 1
d)D =
cot α − sin α cos α

a )A = (1 + cot α ) sin α + (1 + tan α ) cos α
3

3

sin 2 α − tan 2 α
c) C =
cos 2 α − cot 2 α

Dạng 5. CUNG LIÊN KẾT
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a/ Cung đối nhau : α và –α

cos(-α)= cosα
sin(-α)= - sinα
tan(-α)= - tanα
cot(-α)= - cotα
α
π
−
α
b)Cung bù nhau: và
sin( π − α )= sinα
cos( π − α ) = -cosα
tan( π − α ) = - tanα
cot( π − α ) = -cotα
α
c/ Cung hơn kém :
và π + α
π
+
α
sin(
)= - sinα
cos( π + α ) = -cosα
tan( π + α ) = tanα
cot( π + α ) = cotα
d/ Cung phụ nhau: α và

π

sin  − α  = cos α
2


π

tan − α  = cot α
2


π
−α
2

π

cos − α  = sin α
2

π

cot  − α  = tan α
2


Bài 1. Không dùng máy tính hãy tính :
a) sin 3150 , cos 9300 , tan 4050 , cos7500 , sin 11400.
b) cos 6300 –sin 14700 –cot 11250.
c) cos 44550 –cos 9450 +tan 10350 – cot (- 15000)
4


BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

Bài 2.Rút gọn các biểu thức
π
π
π
π
a )A = cos − α  + sin  − α  − cos + α  − sin  + α 
2

2

2

2

7π 
7π 
 3π

 3π



b) B = cos − α  − sin  − α  + cos α −  − sin α − 
2 
2 
 2


 2




Bài 3.Tính giá trị các biểu thức ( không sử dụng máy tính )
a)A =cos400 +cos500 +cos600 –sin 400 – sin 500 –sin 600.
b)B = cos2200 +cos2300 +cos2400+cos2500 + cos2600+cos2700.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Dạng 1.TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của số đo : 150 ; 750 , 1050.
Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của số đo :

7π π
;
12 12

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng
• cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b

• cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b
• sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b

• sin ( a + b ) = sin a.cos b + cos a.sin b
tan a − tan b

1 − tan a tan b
tan a + tan b
• tan ( a + b ) =
1 + tan a tan b
• tan ( a − b ) =

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức
a/ A = cos320cos280 –sin 320sin 280
c/ C= sin 230cos70 + sin70cos230
e/ E= cos2200cos1700-sin2200sin1700.

b/ B = cos 740cos 290 + sin 740sin 290
d/ D= sin590cos140-sin140cos590.

5π
7π
5π
7π
13π
4π
4π
13π
cos
+ sin sin
cos
+ sin cos
h/ H = sin
9
18
9

18
4
7
7
4
π
2π 
1


Bài 2. Cho cos α = . Tính sin  α +  − cos α −

6
3 
3


4 π
3
3π
Bài 3.Cho sin α = , < α < π; sinβ = - , π < β <
5 2
5
2
g/ G = cos

Tính cos(α+β), cos(α-β), sin(α+β), sin(α-β)

5

BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

Bài 4. Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi, không phụ
thuộc vào α

2π 
2π 


a ) cos α + cos α +
 + cos α − 
3 
3 


π
π


b) sin 2 α + sin 2  α −  − sin α sin  α − 
3
3



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 3. CÔNG THỨC NHÂN
Công thức nhân đôi

• cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
• sin 2α = 2 sin α cos α
• tan 2α =

2 tan α
1 − tan 2 α

Công thức hạ bậc

1 + cos 2α
2
1 − cos 2α
• sin 2 α =
2
• cos 2 α =

Bài 1.Tính các giá trị lượng giác của cung 2α trong các trường hợp sau

1
π
a ) cos α = ,0 < α < ,
4
2

Bài 2. Chứng minh rằng
a/ sin3α= 3sinα-4sin3α;

c / tan x + cot x =

2
sin 2 x

3 π
b) sin α = , < α < π ,
5 2

1
3π
c) tan α = , π < α <
2
2

b/ cos3α=4cos3α- 3cosα

d / sin 4 x + cos 4 x =

Bài 3.Chứng minh rằng :

3 1
+ cos 4x
4 4

2 tan α
1 − tan 2 α
tan 2α
a)sin 2α =
; b) cos 2α =

, c)
= cos 4α
2
2
1 + tan α
1 + tan α
tan 4α − tan 2α

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6


BTĐS 10CB

Trần Văn Thanh

Dạng 4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
• cos a cos b =  cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2
1
• sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2
1
• sin a sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) 
2

Công thức biến đổi tổng thành tích

u+v
u −v
• cos u + cos v = 2 cos
cos
2
2
u+v
u −v
• cos u − cos v = −2sin
sin
2
2
u+v
u−v
• sin u + sin v = 2sin
cos
2
2
u+v
u −v
• sin u − sin v = 2 cos
sin
2
2

Bài 1. Biến đổi thành tổng
a)cos2x.cosx;
b)cos3x.sin2x
c)sin4x.cosx;
d)sin3x.sin5x

Bài 2.Biến đổi các biểu thức sau thành tích các nhân tử
a/ A= cosx+cos3x;
b/ B= co4x-cos3x
c/ C= sin2x+sinx;
d/ D=sin5x-sin3x
Bài 3.Rút gọn
π

π

π

π

a )sin  + α ÷− sin  − α ÷
b) cos 2  + α ÷− cos 2  − α ÷
3

3

4

4

Bài 4..Chứng minh rằng

π

π
 1

a)sin α .sin  − α ÷.sin  + α ÷ = sin 3α , b)sin 5α − 2sin α ( cos 4α + cos 2α ) = sin α
3

3
 4
Bài 5.Tính giá trị các biểu thức sau
a) A= sin 100. sin 300 . sin 500. sin 700..
b) B= cos 250 –cos 350 +cos 450 – cos850.
c) C= cos 300 +cos 500 + cos 700 + cos 900 +cos 1100 + cos 1300.
Bài 6. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
A
B
C
a ) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2
2
2
A B C
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2
2
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7