Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

TOÁN ĐẠI SỐ 11
BÀI 3:
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức :
Biết được dạng và cách giải pt : bậc nhất , bậc hai đối với một hàm lượng giác, bậc nhất đối với sinx
và cosx, pt đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx.
2. Về kĩ năng : GIải được các pt thuộc các dạng nêu trên.
II. Chuẩn bị :
1. Giáo viên : thước thẳng, compa
2. Học sinh :xem bài mới, biết giải thành thạo pt lượng giác cơ bản.
III. Kiểm tra bài cũ : Giải các pt :
π − 3

a) sin  2 x + ÷ =
b) cos( x + 450 ) = −1 .
3
2

IV. Tiến trình giảng bài mới :
Giáo viên
Học sinh
Nội dung
I. Phương trình bậc nhất đối với
một hàm số lượng giác:
Pt bậc nhất một ẩn x đã học có dạng -> có dạng : ax + b = 0 1. Định nghĩa : là pt có dạng :
gì?
(a khác 0 ).
asinu + b = 0; acosu + b = 0 ;
Trong pt đó, thay x bởi 1 hàm số
atanu + b = 0; acotu + b = 0.

lượng giác ta được 1 pt bậc nhất đối
(a khác 0).
với một hàm số lượng giác.
2. Cách giải : Chuyển vế đưa về pt
Việc giải các ptlg thường biến đổi
lượng giác cơ bản.
dẫn đến việc giải các pt lg cơ bản
Ví dụ : Giải pt :
.Vậy đối với pt này ta biến đổi thế -> Chuyển hằng số về 1 a) 2cosx + 1 = 0
nào để đưa về các pt lg cơ bản?
vế ta được ptlg cơ bản. b) 3 tan x − 3 = 0
π

c) 1 – 2 sin  x − ÷ = 0.
6

d) 3 cot 3x – 6 = 0
Giải :
Giáo viên trình bày mẫu ví dụ a. Gọi - Trả lời theo yêu cầu a) 2cosx + 1 = 0
1
học sinh đứng tại chỗ trả lời , Giáo của giáo viên.
 cos x = viên ghi lời giải lên bảng.
2
2π
+ k 2π .
x = ±
- Cho học sinh thảo luận nhóm 5 phút - Thảo luận nhóm.
3
.
b) 3 tan x − 3 = 0

- gọi 3 nhóm trình bày lời giải .
- trình bày lời giải.
 tanx = 3
- Gọi các nhóm khác nhận xét bổ - Nhận xét.
π
sung .
 x = + kπ .
- Giáo viên nhận xét đánh giá.
6
π

c) 1 – 2 sin  x − ÷ = 0.
6

π 1

⇔ sin  x − ÷ =
6 2

π

x = + k 2π

⇔
3

 x = π + k 2π
d) 3 cot 3x – 6 = 0
 cot 3x = 2
1

π
 x = arc c ot 2 + k .
Pt bậc nhất 1 ẩn x có
3
3
Pt bậc hai một ẩn x có dạng gì?
dạng : ax 2 + bx + c = 0 II. pt bậc hai đối với một hàm
Trong pt này thay x bởi 1 HSLG ta


được pt bậc hai đối với một hàm số (a ≠ 0 )
lượng giác.
-> Định nghĩa .
Cách giải : xem hàm số lượng giác là
một ẩn, giải pt bậc hai theo ẩn là
HSLG có trong pt.
Cách 2: Đặt ẩn phụ ( hướng dẫn học
sinh xem sgk.
- Giáo viên trình bày mẫu ví dụ câu
a.
Gọi học sinh nhận dạng đây là pt gì?
- Pt này có nghiệm là bao nghiêu?

lượng giác.
1. Định nghĩa : là pt có dạng :
a sin 2 u + b sin u + c = 0
a cos 2 u + b cos u + c = 0
a tan 2 u + b tan u + c = 0 (a ≠ 0)
a cot 2 u + b cot u + c = 0
2. Cách giải : Giải trực tiếp : pt

bậc hai theo hàm số lượng giác
nào thì nghiệm là của hàm số
lượng giác đó.

* Ví dụ : giải các pt:
a) 3cos2x -5cosx + 2= 0.
b) 3tan2x - 2 3 tanx - 3 = 0.
Giải :
a) 3cos2x -5cosx + 2= 0.
 cos x = 1
- Gọi học sinh nêu công thức nghiệm

của pt sin u = a.
a) pt bậc hai theo cosx.  cos x = −2
3

Pt có 2 nghiệm : 1 và
x = k 2π

2

⇔
−
 x = ± arccos − 2 + k 2π
3
3

- Thực hiện theo yuê
2
- Cho học sinh tự làm bài tập b) trong cầu của giáo viên.

b) 3tan x - 2 3 tanx - 3 = 0.
3 phút
 tan x = 3
- Gọi 1 học sinh lên bảng trình bày

⇔
lời giải.
3
tan
x
=
−

- Gọi học sinh nhận xét bổ sung.
3

- Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa
- thực hiện theo yêu
π

cuầ của giáo viên.
 x = 3 + kπ
⇔
 x = − π + kπ

6
IV. Phương trình bậc nhất đối với
sinu và cosu.
- Giáo viên giới thiệu định nghĩa và
1. Định nghĩa: là pt có dạng :

cách giải pt bậc nhất đối với sinu và
asinu ± b cosu = c (*)
cosu.
2. Cách giải :
- Chia 2 vế pt cho a 2 + b 2
- Số đi với sinu đặt là cos α , số đi với
-Đặt
:
cosu đặt là sin α . Ta được pt :
a
b
c
= cos α ;
= sin α
α
α
2
2
2
2
±
Sinu cos
cosusin =
a
+
b
a
+
b
a 2 + b2

Ta được pt :
ÁP dụng công thức cộng ta được pt:
c
c
Sin( u ± α ) =
2
Sin( u ± α ) =
a + b2
a 2 + b2
Giải pt lg cơ bản này tìm nghiệm.
* Chú ý :
Để pt có nghiệm thì c2 ≤ a2 + b2
Pt (*) có nghiệm khi và chỉ khi :
c2 ≤ a2 + b2
* Ví dụ : Giải pt :
a) 3 sin 3 x − cos 3x = 2
- Giáo viên hướng dẫn học sinh trình
b) 2cosx + sin x = 2
bày lời giải ví dụ a)


- Thực hiện theo cách giải : Trước hết
ta chia 2 vế pt cho bao nhiêu?
Chia 2 vế pt cho
a 2 + b 2 = 2.
- Hệ số đứng trước sin3x ta đặt là cos
α , nhưng nếu đó là các giá trị đặc
biệt thì ta phải chỉ rõ cung α đó là
cung đặc biệt nào.

Giải :
a) 3 sin 3 x − cos 3x = 2

3
1
2
sin 3 x − cos 3 x =
2
2
2
π
π
2
 sin sin 3 x − cos cos 3 x =
3
3
2
π
2

 sin  3x − ÷ =
- Gọi học sinh nêu công thức nghiệm
3 2

của pt sinu = a.
sin u = a
7π
2π

 sin u = sin α

 x = 36 + k 3
 u = α + k 2π
 
⇔
 x = 13π + k 2π
u = π − α + k 2π

36
3
b) 2cosx + sin x = 2
- Cho học sinh thảo luận nhóm 5 phút
2
1
2
làm câu b).
- Thảo luận nhóm.
cosx +
sin x =
⇔
5
5
5
- Gọi 1 nhóm trình bày lời giải.
- Thưc hiện theo yêu
α
α
- Gọi nhóm khác nhận xét bổ sung.
 sin ( + x) = sin
cầu của giáo viên.
- Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa.

x = k 2π

 
 x = π − 2α + k 2π


V. Củng cố toàn bài :
- Học sinh cần nhớ được các dạng và cách giải các pt lg thường gặp đã học.
- Bài tập về nhà : 1,2a,3c,5SGK trang 37.
- Hướng dẫn học ở nhà : cùng học sinh thảo luận cách giải các bài tập về nhà .
Bài 1 : Đặt thừa số chung đưa về pt tích .
Bài 2 : a) pt bậc hai đối với cosx.
Bài 3 : Pt quy về pt bậc hai : tương tự ví dụ đã học.
Bài 5 : Pt bậc nhất đối với sin u và cosu.