Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Biết cách giải phương trình bậc nhất đối với một số hàm số lượng giác.
-Biết biến đổi một số phương trình lương giác về phương trình bậc nhất đối với một
hàm số lượng giác nhờ sử dụng các công thức lượng giác.
2.Kỷ năng:
-Vận dụng thành thạo các công thức l ượng giác vào việc giải các phương trình lượng
giác.
-Giải thành thạo các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác..
3.Thái độ:
-Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp:
-Gợi mở, vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án, sgk,sách tham khảo.
2.Học sinh: Ôn lại bài học. Đọc trước bài học.
D.Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ: Giải các phương trình: 1) 2tan2x – 3 = 0; 2) cos(2 - 3x) =

1
2


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11
3.Nội dung bài mới:
a. Đặt vấn đề: Các em đã được học công thức tìm nghiệm của phương trình lượng giác
cơ bản. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về cách giải một vài dạng pt lượng giác thường

gặp.
b.Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

-Học sinh lấy một vài ví dụ về phương trình I.Phương trình bậc nhất đối với một hàm số
bậc nhất đối với một hàm số lượng giác sau

lượng giác.

đó nhận xét dạng của phương trình này và

1. Định nghĩa.

tìm hiểu cách giải phương trình này.
-GV phát biểu định nghĩa và nêu cách giải
của nó

-Dạng: at + b = 0.

(1)

Trong đó: a �0 , t là một trong các hàm số
lượng giác.
2.Cách giải:

Học sinh biến đổi các phương trình ở ví dụ
1 về dạng phương trình cơ bán sau đó giải
tìm nghiệm của nó.

(1)  at = -b  t = -b/a
-Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) 2sinx – 3 = 0

; b) 3 tanx + 1 = 0

c)3cosx + 5 = 0

; d) 3 cotx – 3 = 0

3.Phương trình đưa về phương trình bậc
nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Ví dụ 2: Giải các phương trình:
-Chia học sinh thành từng nhóm thảo luận

a) 5cosx - 2sin2x = 0

(1)

các bài toán ở ví dụ 2.

b)8sinxcosxcos2x = -1

(2)

-Đại diện các nhóm lần lượt trình bày kết


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

quả.

c)sin3x + sinx + sin5x = 0.

-Đại diện nhóm khác nhận xét bổ sung (nếu

d)cos5x.sin4x = cos3x.cos2x (4)

cần).

Giải:

-Giáo viên nhận xét, hoàn chỉnh các bài

a. (1) � 5cosx - 4sinxcosx = 0

toán và giải thích cho học sinh cả lớp được
rõ.

(3)

cosx=0
�
�
� cosx(5 - 4sinx) = 0 �
5
�
sinx=
�

4
* cosx=0 � x=

* cosx=


 k
2

5
(loại)
4

b. (2) � 4sin2x.cos2x=-1
-Vận dụng công thức nhân đôi:
Sin2a=2sinacosa biến đổi phương trình
(2) về dạng cơ bản sòi giải tìm nghiệm của
nó.

� 2sin4x=-1

� sin 4 x  

1

� sin 4 x  sin(  )
6
2





�
�
4 x    k 2
x k
�
�
6
24
2
��
��
7
�
�x  7  k 
4x 
 k 2
�
� 24
6
2
�

c. (3) � 2sin3x.cosx+sin3x=0
� sin3x(2cosx+1)=0

-Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
biến đổi sin5x + sinx sau đó nhóm các biểu


�
sin 3 x  0
�
� xk 3
��
1 ��
�
2
cosx=�
x  �  k 2
�
2
�
3
�


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

thức ở phương trình (3) về dạng phương

d. (4) � sin9x-sinx=sin5x-sinx

trình tích rồi giải tìm nghiệm của nó.

� sin9x =sin5x


�

xk
�
� 9 x  5 x  k 2
2
-Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
��
��
9 x    5 x  k 2


�
�
biến đổi các biểu thức ở hai vế của phương
x
k
� 14
7
trình (4) đưa về dạng phương trình cơ bản
theo sin rồi giải tìm nghiệm.
4.Củng cố:
-Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Cách giải dạng phương trình này.
5.Dặn dò:
-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ.
-Làm các bài tập 1,2 trang 36 sgk.
-Đọc trước phần tiếp theo của bài học.


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG
GẶP.(tt)
A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Biết cách giải phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác.
-Biết biến đổi một số phương trình lương giác về phương trình bậc hai đối với một
hàm số lượng giác nhờ sử dụng các công thức lượng giác.
2.Kỷ năng:
-Vận dụng thành thạo các công thức lượng giác vào việc giải các phương trình lượng
giác.
-Giải thành thạo các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
3.Thái độ:
-Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp:
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án, sgk, sách tham khảo.
2.Học sinh: Ôn lại bài học.
Đọc trước bài học.
D.Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ:


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11
Giải các phương trình:

sin 2 x  cosx=0

3.Nội dung bài mới:

a. Đặt vấn đề:Các em đã được học phương pháp giải tìm công thức nghiệm của
phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu
về cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
b.Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
1. Định nghĩa.

-Học sinh lấy một vài ví dụ về
phương trình bậc hai đối với một
hàm số lượng giác sau đó nhận xét
dạng của phương trình này và tìm
hiểu cách giải phương trình này.
-GV phát biểu định nghĩa và nêu
cách giải của nó

-Dạng: at 2  bt  c  0 .

(2)

Trong đó: a �0 , t là một trong các hàm số
lượng giác.
2.Cách giải:
-Đặt ẩn phụ,tìm điều kiện (nếu có).
-Giải tìm ẩn phụ.
-Thay ẩn phụ vào tìm nghiệm của phương trình.

-Học sinh giải các bài toán ở ví dụ 1

-Ví dụ 1: Giải các phương trình:

nhằm làm rõ hơn cách giải phương

a)2sin2x+3sinx-2=0

trình này.

b)3cos2x-5cosx+2=0
c)3tan2x-2 3 tanx+ 2 3  3=0
3.Phương trình đưa về phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác.
-Ví dụ 2: Giải các phương trình:


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

a. 3 tanx-6cotx+2 3 -3=0 (1)
b.3cos26x+8sin3xcos3x-4=0 (2)
-Chia học sinh thành từng nhóm thảo

c.2sin2x-5sinxcosx-cos2x=-2 (3)

luận các bài toán ở ví dụ 2.
-Đại diện các nhóm lần lượt trình bày

5
2

d.2sin2x- sin2x+3cos2x=0 (4)

kết quả.

e.3sin2x+4sinxcosx-cos2x=3 (5)

-Đại diện nhóm khác nhận xét bổ

Giải:

sung (nếu cần).
-Giáo viên nhận xét, hoàn chỉnh các
bài toán và giải thích cho học sinh cả
lớp được rõ.

�
t anx= 3
�tanx=-2

a. (1) � �


�
x

 k
��
3
�
x  arctan(-2)+k
�

b. (2) � 3(1-sin2 6x)+4sin6x-4=0
� 3 sin26x-4sin6x+1=0

-Học sinh áp dụng công thức nhân
đôi biến đổi phương trình (2) về dạng
phương trình bậc hai theo sin rồi giải
tìm nghiệm.

�sin 6 x  1
��
1
�
sin 6 x 
3
�
�
�
�
� �x
�
�
�
x 
�



k
12
3

1
1

arcsin( )  k
6
3
3
1
1

 arcsin( )  k
6
3
3
x

c. (3) � 4sin2x-5sinxcosx+cos2x=0


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

� 4tan2x-5tanx+1=0


�
t anx=1
�
x

 k

�
rồi chia hai vế của phương trình (3)
4
��
1 ��
2
�
1
tanx=
cho cos x đưa về phương trình bậc
�
x

arctan(
)  k
�
4
�
4
hai theo tang từ đó suy ra nghiệm của
-Hướng dẫn học sinh tìm điều kiện

phương trình.

d. (4) � 2sin2x-5sinxcosx+3cos2x=0
� 2tan2x-5tanx+3=0

-Học sinh giải các phương trình (4),
(5) tương tự như phương trình (3)


�
�t anx=1
� x  4  k
��
3 ��
�
3
tanx=
�
x  arctan( )  k
�
2
�
2
e. (5) � 4sinxcosx-4cos2x=0
� 4cosx(sinx-cosx)=0

� 
x   k
t anx=1 � 4
�
��
��
cosx=0

�
�
x   k
� 2

*Chú ý:
-Phương trình:
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
+a=0:pt trở thành

-Qua các bài toán trên giáo viên phát
biểu dạng phương trình thuần nhất

cosx(bsinx+ccosx)=0

�cosx=0
��
btanx=-c
�
+a �0:chia hai vế của pt cho cos2x ta được pt:


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

bậc hai đối với sinx và cosx đồng

atan2x+btanx+c=0

thời nêu cách giải của nó.

Phương trình :
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
� (a-d)sin2x + bsinxcosx + (c-d)cos2x = 0

4.Củng cố:

-Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
-Cách giải dạng phương trình này.
5.Dặn dò:
-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ.
-Làm các bài tập 3, 4 trang 37 sgk.
-Đọc trước phần tiếp theo của bài học.
**************************************************


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP (tt)
A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Biết cách giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
-Biết biến đổi một số phương trình lương giác về phương trình bậc nhất đối với sin và
cos nhờ sử dụng các công thức lượng giác.
2.Kỷ năng:
-Vận dụng thành thạo các công thức lượng giác vào việc giải các phương trình bậc
nhất đối với sin và cos.
-Giải thành thạo các phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
. 3.Thái độ:
-Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp:
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án, sgk,sách tham khảo.
2.Học sinh: Ôn lại bài học.
Đọc trước bài học.

D.Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11
2.Kiểm tra bài cũ:
Giải các phương trình:
sin 2 x  cosx+1=0

3.Nội dung bài mới:
a. Đặt vấn đề:Các em đã được học phương pháp giải tìm công thức nghiệm của
phương trình bậc nhất,bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Hôm nay chúng ta sẽ
tìm hiểu về cách giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
b.Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
III-Phương trình bậc nhất đối với sin và
cos
1.Công thức biến đổi biểu thức
a.sinx+b.cosx

-Hướng dẫn học sinh áp dụng các công
thức lượng chứng minh các bài toán ở ví
dụ 1.


 x  +cosx
2


.sinx+cosx=cos 

=2cos






cos   x  = 2 cos x  
4
4
4



sinx-cosx=




 x  = 2 sin  x  
4
2



sinx-sin 

Ví dụ 1: Chứng minh các công thức:

s inx+cosx= 2 sin( x  )
4

 2cos( x  )
4

s inx-cosx= 2 sin( x  )
4


cosx-sinx  2cos( x  )
4


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

*Ta có: a.sinx+b.cosx= a 2  b2 s in(x+ ) với
-Trên cơ sở ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn
học sinh biến đổi biểu thức a.sinx+b.cosx.

a
a 2  b2

b

 cos ,

a 2  b2

 sin 

-Chú ý:  a 2  b2 �asinx+bcosx � a 2  b 2
-Ví dụ 2:Tìm gtln,gtnn của các hàm số sau:
a.y=3sinx+4cosx
b.y=2cos2x-4sin2x
-Học sinh giải ví dụ 2 nhằm làm rõ hơn
công thức vừa tìm được.

-Học sinh nhận xét pt (1) khi
2.Phương trình dạng sinx+bcosx=c.(1)

+a=0, b �0

+a=0, b �0 :pt trở thành

+b=0, a �0

bcosx=c

+b=0, a �0 : pt trở thành asinx=c
+a2+b2 0:chia hai vế của pt
cho
+a2+b2 0,hướng dẫn học sinh tìm cách

a 2  b 2 ta được pt;

sin(x+  )=

giải trên cơ sở học sinh đã biết công thức
biến đổi biểu thức:

asinx+bcosx

a
a 2  b2

c
a2  b2

 cos ,

,với

b
a 2  b2

 sin 

Ví dụ 3.Giải các phương trình sau:
a.3sinx-4cosx=5.


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11

b.2cos2x-3sin2x=2.
c.4sinx+2cosx=-4.
-Chia học sinh thành từng nhóm thảo luận
các bài toán ở ví dụ 3.

-Đại diện các nhóm lần lượt trình bày kết
quả.

d.6sinx+3cosx=5.
e.sin3x- 3 cos3x=1.
f.2cosx+3sinx=4.

-Đại diện nhóm khác nhận xét,bổ sung
(nếu cần).
-Giáo viên nhận xét bổ sung hoàn chỉnh
các bài toán và giải thích các trường hợp
có thể xảy ra của dạng phương trình này.

Chú ý:
-Qua ví dụ 3f giáo viên phát biểu chú ý về
trường hơp có nghiệm của phương trình
(1)

-Phương trình (1) có nghiệm khi
a 2  b 2 �c 2

4.Củng cố:
-Nhắc lại công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx.
-Phương pháp giải phương trình asinx+bcosx=c,và trường hợp để phương trình này có
nghiệm
-Giá trị lớn nhấy, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=asinx+bcosx.
5.Dặn dò:
-Học sinh về nhà làm các bài tập 5,6 trang 37 sgk.

GIÁO ÁN ĐẠI SỐ 11
-Học thuộc các phương pháp giải các phương trình lượng giác đã được học và các công
thức lượng giác có liên quan