Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình Hessian trong các lớp cegrell (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––

PHÙNG THỊ KIM OANH

CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM
m - ĐIỀU HOÀ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH
HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i
LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
cơng trình nào.
Tác giả

Phùng Thị Kim Oanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 1
3. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ...................................................................................... 2
Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m

-

ĐIỀU HỊA DƢỚI............. 3

1.1. Hàm điều hịa dưới..................................................................................... 3
1.2. Hàm đối xứng sơ cấp ................................................................................. 4
1.3. Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian ................................................. 5
1.4. m - dung lượng tương đối. ....................................................................... 8
1.5. Hàm m - cực trị tương đối ..................................................................... 10
Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL ..... 13
2.1. Các định nghĩa và tính chất ...................................................................... 13
2.2. Tốn tử Hessian phức .............................................................................. 21
2.3. Tích phân từng phần ................................................................................ 25
2.4. Nguyên lý so sánh .................................................................................... 26
Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL.... 32
3.1. Các hàm năng lượng ................................................................................ 32
3.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell .......... 37
KẾT LUẬN ................................................................................................... 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho WÌ Ā n là một miền bị chặn và m là số nguyên sao cho

1 Ā m Ā n . Xét phương trình m - Hesian phức có dạng
(dd cj )m Ù b m - n = m

trong đó b = dd c z

2

(1.1)

l dng Kăahler chun trong C n v à l độ đo Radon

dương.
Phương trình m - Hessian phức được nghiên cứu lần đầu tiên bởi
S.Y. Li năm 2004. Ông đã sử dụng phương pháp liên tục để giải bài
toán Dirichlet khơng suy biến cho phương trình (1.1) trong các miền
m - giả lồi mạnh. Một trong những vấn đề suy biến tương tự được

nghiên cứu bởi Blocki năm 2005. Ông đã giải phương trình thuần nhất

với điều kiện biên liên tục và trình bày những bước đầu tiên của lý
thuyết thế vị đối với phương trình này. Gần đây, Abdullaev và
Sadullaev đã quan tâm đến các tập m - cực và m - dung lượng của các
hàm m - điều hòa dưới. Khi m trù mật trong Lp (w)( p > n / m ) , Dinew
và Kolodziej đã chứng minh rằng với điều kiện biên liên tục đã cho,
bài tốn Dirichlet của phương trình (1.1) có một nghiệm liên tục duy
nhất. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell
của hàm m - điều hồ dưới và Phương trình Hessian trong các lớp Cegrell“.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lớp năng lượng hữu hạn của
hàm m - điều hòa dưới là tổng quát hóa các lớp Cegrell đối với hàm đa điều
hòa dưới. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy
biến (dd cj )m Ù b n - m = m, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều
hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị
tương đối.
+ Nghiên cứu và trình bày các kết quả gần đây của L.H. Chinh về một số
tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và sự
tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp kiểu Cegrell.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.

4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 49 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung
lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối.
Chương 2: Trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell của hàm m điều hồ dưới.
Chương 3: Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của
phương trình Hessian trong các lớp Cegrell.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3
Chƣơng 1
HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m

-

ĐIỀU HÒA DƢỚI

1.1. Hàm điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử W là tập m trong . Hm u : Wđ ộờở- Ơ , + ¥

) gọi

là điều hịa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng

thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Ỵ W tồn tại d > 0 sao cho với
mọi 0 Ā r Ā d ta có

u( w) Ā

1
2p

ị

2p

u( w + re it )dt .

0

Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) .
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử W là tập mở trong Ā , u, v Ỵ SH (W) . Khi đó:
(i ) m ax(u , v ) là hàm điều hòa dưới trên W.
(ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón lồi, nghĩa là nếu

u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) .

Định lý 1.1.3 Giả sử W là miền bị chặn trong Ā , u Ỵ SH (W) . Khi đó:
(i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên W thì u là hằng số trên W.
(ii ) Nếu lim sup u (z ) Ā 0 " V ẻ ả W thỡ u 0 trờn W.
zđ V

nh lý 1.1.4. Giả sử W là tập mở trong Ā và u là hàm nửa liên tục trên trên

W. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
(i ) u là hàm điều hòa dưới trên W.

(ii ) Với mọi w Ỵ W, tồn tại d > 0 sao cho D(w, d > 0) Ì W và với mọi

0 Ā r < d, 0 Ā t < 2p ta có

1
u ( w + re ) Ā
2p
it

{

ò

2p

0

d2 - r 2
u ( w + de i q )d q.
2
2
d - 2drcos(q - t ) + r

}

ở đó D(w, d > 0) = z Ỵ W: z - w Ā d là đĩa đóng tâm w bán kính d.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4
(iii ) Với mọi miền D compact tương đối trong

W và h là hàm điều hòa trên trên

D, liên tục trên D thỏa mãn

lim sup(u - h )(z ) Ā 0 (V ẻ ả D )
zđ V

ta cú u h trên D.
Định lý 1.1.5. Giả sử { u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W
trên Ā và u = lim un . Khi đó u là hàm điều hịa dưới trên W.
n® ¥

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi

a Ỵ R, tập

{z Ỵ

W: u (z ) < a } =

Ơ

U{z ẻ

W: u n (z ) < e}.

n

Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn bất đẳng
thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều hịa dưới trên W.

W

Hệ quả 1.1.6. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền WÌ Ā sao cho u
khơng đồng nhất - ¥ trên W. Khi đó tập

{

E = z Ỵ W; u (z ) = - ¥

}

có độ đo Lebesgue bằng 0.
Tập E Ì Ā mà trên đó có hàm điều hịa dưới, khơng đồng nhất - ¥ ,
nhận giá trị bằng - ¥

trên đó gọi là các tập cực. Sau này trong trường hợp

Ā n , tập như vậy gọi là tập đa cực. Đó là các tập kỳ dị đối với lớp hàm điều hòa
dưới( tương ứng đa điều hòa dưới).
1.2. Hàm đối xứng sơ cấp
Cho Sk , k = 1, ..., n

l = (l 1 ,..., l n ) Î R n ,

là một hàm k - đối xứng sơ cấp với

S k (l ) =

å

1Ā i1 < i2 < ...< ik Ā n

l i l i ...l i . Đặt S 0(l ) = 1 và
1

2

k

S k (l ) = 0 nếu k > n hoặc k < 0. Ta có đồng nhất thức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5
n

å

(l 1 + t )...(l n + t ) =

S k (l ) t n - k , t Ỵ ¡ .

k= 0

Kí hiệu Gk là bao đóng của các thành phần liên thông của tập hợp

{S

k

(l ) > 0} chứa (1,...,1) . Ta có

{

Gk = l Ỵ R n / S k (l 1 + t ,..., l n + t ) ³ 0, " t > 0}.
Từ S m (l 1 + t ,..., l n + t ) =

m

å ( ) S (l )t
n- k
m- k

k

m- k

,t Î ¡

suy ra

k= 0

Gk := {l Î R n / S j (l ) ³ 0, " 1 Ā j Ā k}.
Ký hiệu H là không gian vectơ trên ¡ gồm các ma trận Hermitian
k

phức cấp n ´ n . Với A Ỵ H , ký hiệu l (A ) = (l 1 , ..., l n ) là các giá
trị riêng của A . Đặt S%k (A ) = S k (l (A )) . Từ đẳngthức
n

det (A + tI ) =

å

S%k (A )t n - k , t Î ¡

k= 0

suy ra hàm S%k là tổng của tất cả các định thức con chính bậc k ,
S%k (A ) =

å

AI I . Do đó, S%k là một đa thức thuần nhất bậc k trên H

I =k

mà nó là hyperbolic đối với ma trận đồng nhất I . Như trong [3],

% = {A Ỵ H / S%(A + tI ) ³ 0, " t ³ 0 . Ta có
ta địnhnghĩa G
k
k
1/ k
% = {A Ỵ H / l (A ) ẻ G } l nún li v hm Sỵk
G
k
k

%.
lừm trên G
k

1.3. Hàm m-điều hịa dƣới và tốn tử Hessian
Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong C n và W là một miền
m - siêu lồi bị chặn trong Ā n , tức là tồn tại một hàm m - điều hịa dưới liên

tục f : W® ¡

-

sao cho {f < c} Ð W, với mỗi c < 0 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

6
Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a trong C n với các ma trận Hermitian [a jk ]
bởi a =

i
p

å

a jk dz j Ù dz k . Khi đó dng Kăahler chớnh tc b c kt

j ,k

hp vi ma trận đồng nhất I . Ta có

( )a
n
k

k

Ù b n - k = S±k (A )b n .

Định nghĩa 1.3.1. C ho a là (1,1) - dạng thực trên W . Ta nói rằng a là m dương tại một điểm cho trước P Ỵ W nếu tại điểm này ta có:

a j Ùb n - j ³ 0, " j = 1,..., k.
a gọi là k - dương nếu nó là k - dương tại mọi điểm thuộc W.

Cho T là một dòng song bậc (n - k , n - k )(k Ā m ) . Khi đó T
được gọi là m - dương nếu a 1 Ù .... Ù a k ÙT ³ 0 , với mọi (1,1) - dạng

m - dương a 1 , ..., a k .

Định nghĩa 1.3.2. Hàm u : W® ¡ È {- ¥

}

được gọi là m - điều hịa

dưới nếu nó là hà m điều hòa dưới và ddcu Ù a 1.... Ù a m - 1 Ù b n - m ³ 0,
với mỗi (1,1) - dạng m - dương a 1,..., a m - 1 .
Lớp tất cả hàm m - điều hòa dưới trên W được ký hiệu là SH m (W) .
Mệnh đề 1.3.3 [3] i ) Nếu u là C 2 tr ơ n thì u là m - điều hòa dưới khi
và chỉ khi dd cu là m - dương tại mọi điểm thuộc W.
ii ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) thì l u + mv Ỵ SH m (W), " l , m > 0
iii )

Nếu u là m - điều hòa dưới trong W thì u å c 0 cũng là m - điều hịa

dưới trong We = {x Ỵ W/ d(x , ¶ W) > e}.
iv ) Nếu (ul ) Ì SH m (W) bị chặn đều địa phương thì (sup u l )* Ỵ SH m (W)

t r o n g đ ó v å là chính qui nửa liên tục trên của v .
v ) PSH = Pn Ì ... Ì P1 = SH .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full