sáng kiến kinh nghiệm chuyên đề khảo sát hàm số phân thức

MỤC LỤC

Trang

Phần 1. MỞ ĐẦU.................................................................................

02

1.Lý do chọn sáng kiến……………………………………………....

02

2.Mục đích của sáng kiến……………………………………………

03

3. Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến………………………

03

4.Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến...................................

03

Phần 2. NỘI DUNG………………………………………………

03

I. Cơ sở lý luận của sáng kiến……………………………………

03

II. Thực trạng của sáng kiến……………………………………

04

III. Các biện pháp giải quyết vấn đề……………………………

05

IV. Hiệu quả của sáng kiến……………………………………...

23

Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………

25

TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

26

1 .THPT (Trung học phổ thông)
2. PTTT (Phương trình tiếp tuyến)

1


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:

Bài toán khảo sát hàm số và các bài toán liên quan, luôn thể hiện tính đặc
trưng , toàn diện về HÀM SỐ một khái niệm bao trùm phân môn đại số và giải tích.
Đối với học sinh trường THPT khi nhắc tới bài toán về hàm số phân thức,
trong tiềm thức học sinh suy nghĩ tới vấn đề khảo sát, tiếp tuyến, giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất, bài toán biện luận...
(Vấn đề mà học sinh đang cảm thấy khó khăn khi làm được các dạng toán này)
Bên cạnh đó thực trạng về đầu vào với nhiều học sinh yếu kém đang là một
vấn đề khó khăn trở ngại rất lớn đối với giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp lớp 12.
+ Trong học sinh luôn tồn tại một tiềm thức hàm số phân thức là hàm số khó.
+ Rất nhiều học sinh có đầu vào rất thấp, kiến thức của các em bị rỗng nhiều dẫn
tới dù là phép biến đổi đơn giản nhưng lại khó khăn với các em. Hoặc các em rất dễ
tính nhầm.
+ Thực trạng cấu trúc một đề thi tốt nghiệp THPT gồm 20-30% số điểm là khảo sát
và các bài toán có liên quan.
Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp, trực tiếp ôn thi tốt nghiệp cho các em
nhiều năm. Tôi luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn
Toán nhằm giúp các em đỗ tốt nghiệp THPT, vấn đề cốt lõi của 12 năm đèn sách.
Làm thế nào để học sinh của tôi không còn cảm thấy băn khoăn, trở ngại khi gặp
các bài toán này nữa.
Trước sự thay đổi của bộ GDĐT về kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học
2015-2016 nhằm trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản, quan trọng để các
em có kiến thức tốt nhất khi đi thi. Trên cơ sở 20-30% số điểm của bài toán khảo
sát hàm số và bài toán liên quan trong một đề thi tốt nghiệp THPT, bài toán hàm số
phân thức là các bài toán đã có các bước tổng quát, cốt lõi của vấn đề là tư tưởng
ngại tiếp cận với hàm số phân thức của một lượng lớn học sinh.
Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu
kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã
lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về hàm số phân thức từ đơn giản đến phức
tạp, để giúp cho mọi đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài
toán, là liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học

tập và khảo thí. Từ đó, tôi đã lựa chọn đề tài ": Chuyên đề khảo sát hàm số ''các bài
toán liên quan tới hàm số phân thức'' mong muốn giúp học sinh yêu thích môn
Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp lồng ghép ĐH-CĐ trong một kỳ
thi quốc gia năm học 2015-2016, làm tài liệu tham khảo để ôn luyện kiểm tra kiến
thức của mình, vững vàng, tự tin, làm tốt các dạng bài tập liên quan tới hàm số
phân thức

2


2. Mục đích của sáng kiến
- Nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số phân thức, học sinh biết
quy từ bài toán lạ về các bài toán quen thuộc, từ đó có hướng giải cụ thể và đạt
được kết quả cao trong học tập, nhất là trong kì thi tốt nghiệp THPT sắp tới.
- Tổng hợp một số dạng bài tập cơ bản về các bài toán liên qua tới hàm số
phân thức
- Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức về dạng toán này .
- Tuyển chọn và sắp xếp bài toán theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ
dàng tiếp cận kiến thức.
3. Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến
- Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh trường THPT Nguyễn Lương Bằng chủ
yếu là học sinh khối 12.
- Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống một số dạng toán về hàm số phân thức trong
chương trình THPT .
4. Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến
- Thời gian thực hiện sáng kiến năm học 2014-2015 và năm học 2015-2016
- Thời gian triển khai sáng kiến, học kỳ 1 năm học 2015-2016
PHẦN 2. NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận của sáng kiến
1. Cơ sở lí thuyết

Các bài toán đều được giải quyết đơn giản hơn nhờ cách quy lạ về quen ,
nhận biết từ trực quan rồi qua quá trình biến đổi để đưa về dạng tổng quát.
+) Lý thuyết:
ax  b
(c �0, ad  bc �0) ta có:
cx  d
�d �
Tập xác định D  R \ � �
�c
ad  bc
f '( x ) 
(dấu của đạo hàm phụ thuộc vào tử số )
(cx  d ) 2

Cho hàm số f ( x) 

Như vậy từ bài toán hàm số phân thức ta quy về xét dấu của tử số ad  bc là
một biểu thức có giá trị luôn dương hoặc luôn âm ( biểu thức quen thuộc với học
sinh )
TH1:
ad  bc  0 Ta có: f '( x) 

ad  bc
d
 0 (x � )
2
(cx  d )
c

*Có kết luận phù hợp

+) Hàm số không có cực trị
+) Hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định

3


ad  bc

d

TH2: ad  bc  0 Ta có: f '( x)  (cx  d )2  0 (x � c )
*Có kết luận phù hợp
+) Hàm số không có cực trị
+) Hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định
+) Ghi nhớ:
Hàm số f ( x ) 

ax  b
(c �0, ad  bc �0) luôn luôn không có cực trị
cx  d

Định hướng và kiểm tra bài toán về hàm số phân thức dựa vào dấu của số ad-bc
( điều này xác định được ngay khi chép xong đề bài)
2. Cơ sở lý luận.
Trong chuyên đề chủ yếu tổng hợp các dạng toán cơ bản về hàm số phân
thức để trong chương trình sách giáo khoa, thi tốt nghiệp THPT và Đại học,cao
đẳng, trung học chuyên nghiệp
Trước thực tế học sinh không phân loại được các kiến thức liên quan tới các
bài tập về hàm số phân thức tại trường THPT Nguyễn Lương Bằng, thì tổng hợp
cho học sinh các dạng toán này tạo cơ sở cho học sinh tích lũy và phát huy khả

năng vận dụng của mình khi làm toán
Sáng kiến kinh nghiệm cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương
pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh
có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên
Sau khi khảo sát việc làm các là các bài toán trong phần khảo sát hàm số về
hàm số phân thức để áp dụng sáng kiến dạy cho học sinh đầu năm học 2015-2016
cho học sinh các lớp 12A2,12A4,12A6 trường THPT Nguyễn Lương Bằng nhận
thấy tỷ lệ như sau:
Không
Nhận biết,
Nhận biết và
Nhận biết và biết
nhận
nhưng không
biết vận dụng, vận dụng, giải
biết
biết vận dụng chưa giải được được bài hoàn
được
hoàn chỉnh
chỉnh
Số lượng
15
13
28
27
Tỉ lệ ( %)
18%
26%
34%
33%

II. Thực trạng của sáng kiến
1. Thuận lợi.
- Học sinh chủ động trong hoạt động tự học của mình trong các tiết học trên lớp
cũng như ở nhà
- Sau khi áp dụng sáng kiến học sinh hoạt động làm bài tâp hứng thú hơn, áp dụng
tốt vào làm các dạng bài toán liên hàm số bậc nhất
2 Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.
4


- Đa số học sinh kiến thức cơ bản còn chưa nắm vững, áp dụng vào tính toán với
kỹ năng còn chưa được tốt
3 Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất trong
khảo sát hàm số số lượng học sinh các lớp 12A1,12A3,12A4 năm học 2014-2015
trường THPT Nguyễn Lương Bằng biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Không
Nhận biết,
Nhận biết và
Nhận biết và biết
nhận
nhưng không
biết vận
vận dụng , giải
biết
biết vận dụng dụng ,chưa giải được bài hoàn
được
được hoàn
chỉnh

chỉnh
Số lượng 30
30
20
13
Tỉ lệ ( %) 32%
32%
22%
14%
III Các biện pháp giải quyết vấn đề
1- Biện pháp chung
Giáo viên cần nghiên cứu sách giáo khoa môn toán THPT; đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông và bổ túc trung học phổ thông, đại học, cao đẳng qua các năm;
các tài liệu về đề thi tuyển sinh môn toán, khai thác tài liệu trên mạng.... Từ đó tìm
ra phương pháp dạy tối ưu trong chuyên đê khảo sát hàm số phân thức, phân loại
thành các dạng khác nhau từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng học sinh.
Trong mỗi dạng có phương pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống
bài tập hợp lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tập
hứng thú cho học sinh.
2- Nội dung trọng tâm của sáng kiến
- Phân loại rõ ràng các bài tập khảo sát hàm số liên quan tới hàm bậc nhất trong
chương trình THPT
- Tổng hợp các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao áp dụng cho thi tốt nghiệp
THPT, Đại học, cao đẳng
3. Các bài toán khảo sát hàm số, hàm số phân thức
3.1 Vận dụng sáng kiến vào phần ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số’
Dạng bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số
f ( x) 

ax  b
(c �0, ad  bc �0) trên  a; b 
cx  d

Cụ thể hóa từng bước:

�d �
+ TXĐ D  R \ � �

�c
ad  bc
+ Tính f '( x)  (cx  d ) 2 ( đạo hàm luôn dương hoặc luôn âm)

5


+ Tính f (a)  ?; f (b)  ?
Như vậy với bài toán trên đòi hỏi học sinh cần làm chính xác ba bước cụ thể
đã nêu ở trên. Học sinh chỉ cần sai một trong ba bước coi như bài toán sai hoàn
toàn, để hướng dẫn cụ thể cho học sinh làm bài toán trên tôi đã vận dụng một số
điều sau vào quá trình giảng dạy.
- Một là nhắc học sinh phải đưa hàm số về dạng tổng quát trước khi thực hiện
từng bước của bài toán, nếu không học sinh tính đạo hàm rất dẽ nhầm.
- Hai là cần hướng dẫn học sinh tính chính xác đạo hàm của hàm số bằng cách
viết thẳng hàng các hệ số trong hàm số và lập một định thức ra nháp

ab
từ đó xác
cd

định được dấu của đạo hàm.
- Ba là khi tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút f (a); f (b) so sánh và suy ra
kết luận, học sinh tính bình thường lưu ý ‘ chỗ nào có x trong hàm số thay bằng a
hoặc b’
- Bốn là nếu gặp bài toán cho dưới dạng f ( x)  mx  n 

ax  b
cx  d

ax  b
ta tìm TXĐ rồi tính đạo hàm bình thường với lưu ý:
cx  d
ax  b
ad  bc
f '( x )  (m 
)' 
cx  d
(cx  d ) 2

hoặc f ( x)  m 

như vậy dấu đạo hàm của hai dạng hàm số trên vẫn phụ thuộc vào dấu của biểu
thức ad  bc
Ví dụ (Bài tập 1 SGK giải tích 12 trang 23)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) 
5
trên  2;0
x 1
2
c) f ( x)  x  1 

trên  0; 2
x2

2 x
trên  2; 4
1 x

b) f ( x)  2 

Giải:

a) f ( x) 

2  x x  2

trên  2; 4
1 x x 1

TXĐ: R \  1
Ta có: f '( x) 

1.1  (1).2
1
 0x �1 Lại có:
2
( x  1) (  x  1) 2

2
Kết luận Maxf ( x)  f (4)  ; Minf ( x)  f (2)  0
3

 2;4
 2;4 

b) f ( x)  2 

5
trên  0; 2
x 1
6

f (2)  0
2
f (4) 
3


TXĐ: R \  1
5

Ta có: f '( x )  ( x  1)2  0x �1 Lại có:
Kết luận

f (0)  3
f (2)  7

Maxf ( x)  f(2)  7; Minf ( x)  f(0)  3
�
�
�
0;2 �

�
�
0;2
�
�
�
�
�
�

c) f ( x)  x  1 
TXĐ: R \  2

2
trên  0; 2
x2

2
Ta có: f '( x)  1  ( x  2)2  0x �2 Lại có:

�f (0)  0
�
�
5
f (2) 
�
�
2

5

Maxf ( x)  f  ; Minf ( x)  f  0
Kết luận � �
(2) 2 �0;2 �
(0)
0;2
�
�
�
�
�
�
�
�
* Nhận xét : Khi học sinh làm các bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của
hàm số phân thức thường không tính đúng đạo hàm dẫn tới không xét dấu đúng đạo
hàm các dạng bài toán nêu ra. Khi giáo viên đưa ra dạng bài toán thứ nhất sẽ khắc
phục được lỗi trên và học sinh sẽ làm tốt các dạng bài này.
Dạng bài tập 2:

ax  b
(c �0, ad  bc �0) có đồ thị (C ) .Viết phương trình tiếp
cx  d
tuyến với đồ thị (C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C )
Về cơ bản học sinh cần nắm được phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) thuộc
(C ) có dạng: f ( x)  k ( x  x0 )  y0 . Nhưng khi giải quyết vấn đề học sinh thường mắc

Cho hàm số

f ( x) 

ở một số điều sau
+ Đề bài chỉ cho 1 trong 3 dữ kiện x0 ; y0 ; k
+ Bài toán viết phương trình tiếp tuyến này được học ở cuối kì II lớp 11, vì
thế đa số học sinh khối bổ túc đã quên, hoặc nhớ một cách không có hệ thống.
Để hướng dẫn học sinh làm bài toán này tôi có áp dụng một số sáng kiến sau
- Một là học sinh cần nắm được vai trò của ba dữ kiện x0 ; y0 ; k là như nhau,
nhưng bên cạnh đó có dữ kiện x0 là quan trọng nhất vì: Nếu cho x0 ta hoàn toàn có
thể tìm được hai dữ kiện còn lại nhờ vào mối quan hệ toán học sau:
y y
;k  y '
0
(x )
(x )
0
0
- Hai là học sinh cần đánh số các dữ kiện x0 ; y0 ; k lần lượt là 1,2,3 ( từ giờ trở
đi ta tạm gọi là 1,2,3) khi đó học sinh sẽ xác định rõ đề bài cho khuyết dữ kiện nào?
Khuyết như vậy thì tìm ra sao? Và phải tìm đầy đủ cả ba dữ kiện mới có thể viết
được phương trình tiếp tuyến.
7


- Ba là khi phân tích đề bài học sinh gạch chân các từ ngữ quan trọng trong đề
bài, giúp học sinh xác định yếu tố đã biết, yếu tố cần tìm.
- Bốn là bài toán này hoàn toàn độc lập với bài toán khảo sát, vì vậy trước khi
giải bài toán này học sinh cần: Viết lại biểu thức hàm số đề bài, viết lại biểu thức
đạo hàm, có như vậy học sinh tính toán các giá trị mới hạn chế sai sót một cách tối
đa.
Ví dụ: Cho hàm số y 

x3
có đồ thị (C )
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại M (1; 1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm có tung độ bằng 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y  4 x  3
Giải: + Gạch chân các từ cần thiết trong đề bài
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại M (1; 1) ( như vậy là đã biết yếu tố
1,2 cần phải tìm yếu tố 3)
Ta có: y 

x3
x 1
1.1  (3).1

4

4

TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1) 2  0x �1 ; k  y '(1)  (1  1) 2  1
Phương trình tiếp tuyến tại M (1; 1) có dạng y  k ( x  x0 )  y0
� y  1( x  1)  1 � y  x  2

b)Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm có tung độ bằng 2 ( như
vậy đã biết yếu tố 2, dựa vào các mối quan hệ toán học để tìm ra các yếu tố 1 và 3)
y

x3

x 1
1.1  (3).1

4

TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1) 2  0x �1
x 3

0
Ta có: y0  2 � 2  x  1 � 2( x0  1)  x0  3 � x0  5
0

k  y '( x0 ) 

4
1

2
(5  1)
9

Phương trình tiếp tuyến tại y0  2 có dạng y  k ( x  x0 )  y0
1
1
13
� y  .( x  5)  2 � y  x 
9
9
9

8


c)Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y  4 x  3 ( tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4 x  3 như vậy đã gián
tiếp cho ta hệ số góc k  4 , đây là yếu tố 3. Ta cần xác định yếu tố 1 và 2)
y

x3
x 1
1.1  (3).1

4

TXĐ R \  1 ; y '  ( x  1)2  ( x  1) 2  0x �1
Ta có: k  y '( x ) � 4 
0

x0  1  1 �
x0  2
�
4
2
�
(
x

1)

1

�
�
0
�
�
x0  1  1
x0  0
( x0  1) 2
�
�

+) x0  2 � y0  y( 2)  5
Phương trình tiếp tuyến tại x0  2 có dạng y  k ( x  x0 )  y0
� y  4.( x  2)  5 � y  4 x  13

+) x0  0 � y0  y(0)  3
Phương trình tiếp tuyến tại x0  0 có dạng y  k ( x  x0 )  y0
� y  4.( x  0)  3 � y  4 x  3

Dạng bài tập 3:
Cho hàm số f ( x) 
hàm số.

ax  b
(c �0, ad  bc �0) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
cx  d

Về cơ bản khi khảo sát hàm số phân thức này học sinh đã nắm được các
bước trong sơ đồ khảo sát. Nhưng học sinh thường mắc một số sai lầm sau.
+ Sai khi xác định khoảng đồng biến và nghịch biến, học sinh thường lấy

ngay giá trị tử số của đạo hàm vừa tính được để áp vào khoảng đồng biến và nghịch
biến
( dẫn tới kết luận hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng
(�; ad  bc);(ad  bc; �) ).

+ Học sinh không kết luận về cực trị (vì cho rằng hàm số không có cực trị thì
không cần kết luận).
+ Học sinh không biết xác định giới hạn để suy ra tiệm cận đứng, hoặc tìm
giới hạn nhưng nhầm dấu.
+ Học sinh vẽ bảng biến thiên sai.
+ Lúng túng khi vẽ đồ thị.
Để hạn chế các sai lầm này của học sinh khi làm bài toán này tôi có áp dụng một số
sáng kiến sau
9


- Một là ghi TXĐ ra nháp và ghi nhớ giá trị

d
, giá trị này sẽ xuất hiện ở
c

TXĐ, dấu của đạo hàm, khoảng đồng biến và nghịch biến, tiệm cận đứng, bảng
biến thiên.
- Hai là hướng dẫn học sinh kiểm tra nhanh kết quả phần giới hạn suy ra tiệm
cận đứng bằng việc ngầm quy ước: Khi tính đạo hàm nếu
f '( x) 

thì

ad  bc
d
 0; x �
2
(cx  d )
c

lim f ( x)  �; lim f ( x)  � hay là có sự trái dấu.

x �(

d 
)
c

x �(

d 
)
c

ad  bc

d

Nếu f '( x)  (cx  d )2  0; x � c thì

lim f ( x)  �; lim f ( x)  � hay là có sự cùng

x �(

d 
)
c

x �(

d 
)
c

dấu.
- Ba là chính việc quy ước trên cũng giúp học sinh kiểm tra tính đúng sai của
bảng biến thiên.
- Bốn là khi vẽ đồ thị học sinh cần vẽ theo thứ tự từng bước:
B1. Xác định giao điểm của đồ thị với trục tung bằng cách cho x  0 tìm y  ? mà
tôi vẫn thường hướng dẫn học sinh là che phần chứa x trong hàm số đi còn lại sẽ là
b
d

y: Ta được giao điểm A(0; )
B2 .Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành bằng cách cho y  0 tìm x  ? mà
tôi vẫn thường hướng dẫn học sinh là che phần mẫu số đi, giải phương trình tử số
b
a

bằng 0: Ta được giao điểm B( ;0)
d a
c c

B3. Đồ thị hàm số nhận giao của hai tiệm cận I ( ; ) làm tâm đối xứng, tôi vẫn
thường nhắc học sinh lấy giá trị trong phần tiệm cận, x và y đúng thứ tự tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang.
Ví dụ : Khi hướng dẫn học sinh làm bài toán khảo sát sau
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 

2x  3
x 1 (*)

+ Tôi yêu cầu học sinh giải phương trình mẫu số bằng 0 để suy ra TXĐ
+ Lập và tính định thức

ab
để suy ra đạo hàm của hàm số (nếu định thức tính
cd

được là số dương thì đạo hàm dương và ngược lại)

10


+ Từ dấu của đạo hàm học sinh có kết luận về khoảng đồng biến nghịch biến, cực
trị và các giới hạn phù hợp.
+ Khi vẽ đồ thị theo kinh nghiệm tôi cho học sinh thực hiện đúng ba bước như trình
bày ở bài tập dưới đây.

2x  3
x 1 (*)

y

1 .TXĐ: D = R\   1
2. Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên

y�
=

1

( x  1 )2

< 0 ; (  x � 1 )

� Hàm số nghịch biến trên các khoảng (  �; - 1)

và (- 1 ;  �)

b) Cực trị:Hàm số không có cực trị
c) Giới hạn, tiệm cận

lim  y =  � ; lim y =  �
x �( 1 ) 

x � ( 1 )

� Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng

x=-1

lim y  2

x� ��

� Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng

y=2

d) Bảng biến thiên
x

�

y�
y

�

-1
-

-

�

2

�

2

3. Đồ thị :
- Giao với 0y : A( 0 ; 3 )
- Giao với 0x : B( 

3 ;0)
2

11


y=0

�

2x + 3 = 0

� x=  3
2

Đồ thị hàm số nhận giao của hai tiệm cận I ( -1 ; 2 ) làm tâm đối xứng

y

f(x)=(2x +3 ) /( x + 1 )
f(x)=2

5

x=-1

4

3

2

1

x
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

Một số lưu ý để không bị mất điểm câu khảo sát hàm hữu tỉ:
- Hệ trục tọa độ, tiệm cận và nhánh đồ thị phải được vẽ trọn vẹn và bằng nhau.

- Nhánh đồ thị phải đối xứng qua tiệm cận (thể hiện tính đối xứng qua giao điểm 2
đường tiệm cận)
- 2 Mút của một nhánh đồ thị phải có xu hướng chạm vào đường tiệm cận không
được lồi lõm, 2 đầu mút không được cong rời ra khỏi đường tiệm cận.
3.2 Tổng hợp bài tập theo các dạng toán
a) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Cho hàm số y 

mx  4
x m

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(�;1) .

 Tập xác định: D = R \ {–m}.

m2  4
�
y
.
(x  m)2

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y �
 0 � 2  m 2
(1)
12


m 1
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (�;1) thì ta phải có �
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: 2  m�1.

m

1

b): CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 2. Cho hàm số y 

2x  1
có đồ thị là (C).
x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y   x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

2x  1
  x m
x 2

�x �2
2

�f (x)  x  (4  m)x  1 2m 0 (1)

�

Do (1) có   m2  1 0 và f (2)  (2)2  (4 m).(2)  1 2m 3 �0, m
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có: yA  m xA; yB  m xB nên AB2  (xB  xA )2  (yB  yA )2  2(m2  12)
Suy ra AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m 0 . Khi đó: AB  24 .
Câu 3. Cho hàm số y 

x3
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai
điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
 Phương trình đường thẳng d : y  k  x  1  1
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N �

x 3
 kx  k  1 có 2 nghiệm phân biệt
x 1

khác 1 .
 f ( x)  kx 2  2kx  k  4  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1



�k �0

�
�  4k  0 � k  0
�f (1)  4 �0
�

Mặt khác: xM  xN  2  2 xI � I là trung điểm MN với k  0 .
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y  kx  k  1 với k  0 .
Câu 4. Cho hàm số y 

2x  2
(C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d): y  2x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
13


cho AB  5 .

 PT hoành độ giao điểm:

2x  2
 2x  m
x 1

 2x2  mx  �
m 2  0 (x �1)

(1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác –1
 m2  8m 16  0�
(2)
m
�
x  x2  
�
�1
2
Khi đó ta có: �
. Gọi A x1;2x1  m , B  x2;2x2  m .
m

2
�x1 x2 
�
2
2
2
AB = 5  ( x1  x2 )  4( x1  x2 )2  5  ( x1  x2 ) 2  4x1 x2  1  m2  8m 20  0
�
m 10

 �m 2
�

(thoả (2))

Vậy: m 10; m 2 .
Câu 5. Cho hàm số y 

x1
(1).
x m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1.
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y  x  2 cắt đồ thị
hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB  2 2 .

 PT hoành độ giao điểm:

�x �m
x1
 x 2 � �2
x m
�x  (m 1)x  2m 1 0

(*)

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt  (*) có hai nghiệm phân
biệt khác m
�
  0 � �m2  6m 3  0 � �m 3 2 3 �m 3 2 3
��
�
�
m�1
m�1
�x �m �
�

(**)

�x  x  (m 1)

Khi đó gọi x1, x2 là các nghiệm của (*), ta có �x1.x 2 2m 1
�1 2

Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A(x1; x1  2), B(x2; x2  2) .
2
2
(x  x )2  4x1x2 � 2(m2  6m 3)
Suy ra AB  2(x1  x2)  2�
�1 2
�

�
m 1
2
2
Theo giả thiết ta được 2(m  6m 3)  8 � m  6m 7  0 � �
m 7

Kết hợp với điều kiện (**) ta được m 7 là giá trị cần tìm.
Câu 6. Cho hàm số y 

2x  1
x 1

�

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho OAB vuông tại O.
14


 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x2  (m 3)x  1 m 0, x �1
(*)
(*) có   m2  2m 5  0, m�R và (*) không có nghiệm x = 1.
�x  x  3 m

 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là xA , xB . Theo định lí Viét: �xA.x B 1 m
�A B

Khi đó: A xA; xA  m , B  xB; xB  m

uur uur
OAB vuông tại O thì OAOB
.  0 � xAxB   xA  m  xB  m  0
 2 x A x B  m x A  x B   m 2 0  m  2

Vậy: m = –2.
C): TIẾP TUYẾN
Câu 7. Cho hàm số y 

2x
(C).

x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối
xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
 Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a �2 thuộc (C) có
phương trình:
y

4
(a  2)2

(x  a) 

2a
� 4x  (a  2)2 y  2a2  0
a 2

Tâm đối xứng của (C) là I  2;2 . Ta có:
d(I , d) 

8 a 2
4

16  (a  2)

�

8 a 2
2

2.4.(a  2)



8 a 2
2 2 a 2

2 2

�
a 0
d(I , d) lớn nhất khi (a  2)2  4 � �
.
a  4
�
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y  x và y  x  8 .

Câu 8. Cho hàm số y 

x 2
2x  3

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O.
(x0) 

 Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm  y �

1
(2x0  3)2

0

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp

15


�
x  1� y0  1
 1  �0
(2x0  3)2
x0  2 � y0  0
�
�
+ Với x0  1; y0  1  : y  1 (x  1) � y   x (loại)
+ Với x0  2; y0  0  : y  0  (x  2) � y   x  2 (nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2 .
1

(x0) 
tuyến có hệ số góc âm). Nghĩa là: y �

Câu 9. Cho hàm số y 

2x  3

có đồ thị (C).
x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận
của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
�
1 �
(m)  
 Lấy điểm M �m; 2 
�� C  . Ta có: y�
m 2

1

(m 2)2
1
1
y 
(x  m)  2 
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:
m 2
(m 2)2
�
2 �
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A�2;2 
�
m 2 �
�
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m�2;2)

�

�

�

�
��8. Dấu “=” xảy ra 
(m 2)2 �
�
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1)
1

2
(m 2)2 
Ta có: AB  4�

Câu 10.

Cho hàm số y 

�
m 3
�
m 1
�

2 x 1
có đồ thị (C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị
nhỏ nhất.


 Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1;2) . Gọi M  x0 ;2 


+ PTTT tại M có dạng: y 

3
2

(x0  1)

(x  x0)  2 

3 
  (C).
x0  1 

3
x0  1


+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A 1;2  x


6 
 ,
0  1

B

(2x0  1;2)

1

1

6

2 x0  1  2.3  6 (đvdt)
+ Ta có: SIAB  2 IA.IB  2 �x  1 �
0

+ IAB vuông có diện tích không đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
16


IA= IB



6
2 x 0  1 
x0  1

 x0 1  3

 x0 1  3

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1  1 3;2 3 , M2  1 3;2  3
Khi đó chu vi AIB = 4 3  2 6 .
Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P =
a  b  a2  b2 nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
Thật vậy: P = a  b  a2  b2  2 ab  2ab  (2 2) ab  (2 2) S .
Dấu "=" xảy ra  a = b.
Câu 11.

Cho hàm số y 

2x  1
.
x1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến
tiếp tuyến bằng 2 .
 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0; f (x0)) �(C) có phương trình:
y  f '(x0)(x  x0)  f (x0)

 x  (x0  1)2 y  2x02  2x0  1 0 (*)

Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng

2�

2  2x0
4

1 (x0  1)

 2

�
x0  0
�
x0  2
�

Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0
Câu 12.

Cho hàm số y 

x 1
(C).
x1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
 Gọi M (0; yo) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y  kx  yo (d)
�x  1
�
 kx  yo
(yo  1)x2  2(yo  1)x  yo  1 0 (1)
�

�x  1
�
��
2
(d) là tiếp tuyến của (C) � � 2
k
k
�
�x �1;
2
2
(
x

1
)
�
�(x  1)

(*)
YCBT  hệ (*) có 1nghiệm � (1) có 1 nghiệm khác 1

17


�yo  1 �y �1
� 1
�
�o
x  ; y  1� k  8

� � 1 ��
�� 2 o
2
x
 '  (yo  1)  (yo  1)(yo  1)  0 �
�
�
x  0; yo  1� k  2
� 2
�

Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
Câu 13.

Cho hàm số y 

2x  1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai
điểm
A(2; 4), B(4; 2).
 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 �1).
PTTT (d) là y 

1
(x0  1)2

(x  x0) 

2x0  1
x0  1

 x  (x0  1)2 y  2x02  2x0  1 0

Ta có: d(A, d)  d(B, d)  2 4(x0  1)2  2x02  2x0  1  4 2(x0  1)2  2x02  2x0  1

 x0  1 �x0  0 �x0  2
1
4

5
4

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  1; y  x  5
d): BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 14.

Cho hàm số y 

3x  4
x 2

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
� 2 �
�:

� 3�

0;
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn �
sin6 x  cos6 x  m (sin4 x  cos4 x)

 Xét phương trình: sin6 x  cos6 x  m (sin4 x  cos4 x) (*)
� 1 2 �
3
� 1 sin2 2x  m�
1 sin 2x� 4  3sin2 2x  2m(2  sin2 2x)
4
� 2
�
� 2 �

0; �thì t � 0;1 . Khi đó (1) trở thành:
Đặt t  sin2 2x . Với x��
� 3�
2m

3t  4
0;1�
với t ��
�
�
t 2

�
sin2x   t

0;1�
� sin2x  t
Nhận xét : với mỗi t ��
�
�ta có : �
sin2x  t
�
� 2 �
�thì
� 3�

0;
Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn �

18

�3 �
�
3 �
t �� ;1�� t �� ;1�
4 �
�
�2 �
�

(1)


�3 �
�4 �

7
5

Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1)  2m�y� �� 1 2m� 
Câu 15.

Cho hàm số y 

1
7
 m� .
2
10

x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x 1

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x  1  m.
x 1

x 1

 Số nghiệm của x  1  m bằng số giao điểm của đồ thị (C): y  x  1 và y  m.
Dựa vào đồ thị ta suy ra được:
m  1; m  1

2 nghiệm

m  1

1  m �1

1 nghiệm

vô nghiệm

e): ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
Câu 16.

Cho hàm số y 

2x  1
(C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi
qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
 Giao điểm 2 tiệm cận là I (1;2) .
�

y y

3 �

3

M
I
Gọi M �x0;2 x  1��(C ) � kIM  x  x 
(x0  1)2
�
0
�
M
I

�
+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM  y (x0) 

3

 x0  1

2

�
x 0

+ YCBT � kM .kIM   9  �x0  2 . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và
�0
M(–2; 5)

Câu 17.

Cho hàm số y 

2x 1
x 1

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ
nhất.

 Gọi M (x0; y0)  (C), ( x0 �1) thì y0 

2x0  1
1
 2
x0  1
x0  1

Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:
19


1
x0  1

MA  x0  1, MB  y0  2 

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA  MB �2 MA.MB  2 x0  1.
� MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0  1 

1
2
x0  1

�
x 0
1
� �0
x0  2 .
x0  1
�

Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
Câu hỏi tương tự:
a) y 
Câu 18.

2x 1
x 1

ĐS: x0  1 � 3

Cho hàm số y 

2x  4
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và
N(–1; –1).
uuur
 MN  (2; 1)  Phương trình MN: x  2y  3  0 .
Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y  2x  m.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
2x  4
 2x  m  2x2  mx  m 4  0 (x �1)
x 1

(1)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B    m2 �8m�32  0 (2)
Khi đó A(x1;2x1  m), B(x2;2x2  m) với x1, x2 là các nghiệm của (1)
�x  x2
� � m m�
; x1  x2  m� I �
 ; �(theo định lý Vi-et)
� 2
� � 4 2�

Trung điểm của AB là I �1

A, B đối xứng nhau qua MN  I � MN  m 4
�
x 0
2
Suy ra (1)  2x  4x  0 � �x  2  A(0; –4), B(2; 0).
�

Câu 19.

Cho hàm số

y

2x
x 1

.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC
vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0).

 Ta có

(C ) : y  2 

2
x1

�
�

. Gọi B �b;2 

2 � �
2 �
, C�

c;2 
�
� với b  1 c .
b  1� �
c  1�

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox.
�
�
�
�
�
�
Ta có: AB  AC; �
BAC  900 � CAK  BAH  900  CAK  ACK � BAH  ACK
20


và:

�

�



AH  CK
BHA  CKA  90 �  ABH  CAK �
HB  AK
0

2
�
2 b  2
�
�
c  1 � b  1
Hay: � 2
.
c 3
�2 
 c 2
� b 1
Vậy B(1;1), C(3;3)

B



Câu 20.

Cho hàm số y 

C

H

A

x 2

.
2x  1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).
 PT đường trung trực đọan AB: y  x.
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:
� 1 5
x
�
x 2
2
2
�
 x  x  x1  0 �
2x  1
� 1 5
x
�
�
2
�
1 5 1 5 � �
1 5 1 5 �
,
,
�; �
�
Hai điểm cần tìm là: �
� 2

�� 2
�
2
2
�
��
�

III. Một số bài tập đề nghị
1 .Bài tập
Bài 1 (Tốt nghiệp phổ thông 2009).
Cho hàm số y 

2x 1
.
x2

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến
bằng – 5.
Bài 2 ( Đại học khối D – 2002).
Cho hàm số: y 

(2m  1) x  m 2
(1)
x 1

(m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.

b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
Bài 3: (Đại học khối D – 2007)
Cho hàm số y 

2x
.
x 1

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
21

K


b, Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy
tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

1
.
4

Bài 4: (Cao đẳng – 2008)
Cho hàm số y 

x
.
x 1

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b, Tìm m đẻ đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 5: (Đại học khối A – 2009)
Cho hàm số y 

x2
2x  3

(1).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc
tọa độ O.
Bài 6: ( Đại học khối B – 2010)
Cho hàm số y 

2x 1
.
x 1

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b, Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).
Bài 7: ĐH Khối A-2011
Cho hàm số: y 

x 1
2x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại 2

điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với
(C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8: D- 2011
Cho hàm số: y 

2x 1
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A,
B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Bài 9. CĐ- 2012

22


Cho hàm số y 

2x  3
(1)
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc
với đường thẳng y = x + 2.
Bài 10. ĐH 2013 (A, A1)
Cho hàm số y 

2x 1
(1)

x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ).
b) Điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) và có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm
số(1) tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 11. ĐH 2014 (A, A1)
Cho hàm số y 

x2
(1)
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng d: y = -x bằng 2
IV. Hiệu quả của sáng kiến
1). Sáng kiến đã làm được:
a) Những điểm khác biệt, tính mới của sáng kiến so với các biện pháp, giải pháp
đang được áp dụng.
- Sáng kiến là một loạt các hướng dẫn rất cụ thể và tỉ mỉ từng dạng bài tập Sáng kiến giúp học sinh mường tượng rõ công việc cần làm là gì, làm như thế nào,
trình bày bài toán ra sao.
- Sáng kiến đưa học sinh từ bài toán tổng quát tới việc chia nhỏ từng công đoạn,
từng yếu tố 1,2,3 mối quan hệ giữa các yếu tố đó nhằm thực hiện bài toán một cách
từng khâu, đoạn ứng với các thang điểm khác nhau trong đề thi tốt nghiệp.
- Sáng kiến cũng phần nào giúp đơn giản hóa vấn đề hết sức có thể nhằm giúp
học sinh hạn chế tối đa các sai sót khi làm bài thi.
- Sáng kiến giúp cho học sinh trình bày lời giải một cách thành thục hơn, vấn đề
trình bày đang là điểm yếu của học sinh thời nay nhất là đối với các môn tự luận như
môn toán.
b). Khả năng áp dụng của sáng kiến

- Sáng kiến được áp dụng trong học sinh lớp 12 khi học chương I ‘’Ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số’’
- Sáng kiến cũng được áp dụng khi thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi
tuyển sinh đại học cao đẳng (Được gộp lại thành một kỳ thi TN THPT quốc gia)
23


c) Phạm vi áp dụng của sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng trong quá trình giảng dạy chương I phân môn đại số và
giải tích lớp 12 .Vận dụng vào quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2015-2016
2. Trình bày hiệu quả, lợi ích khi áp dụng sáng kiến mang lại
Nghiên cứu phân tích các dạng bài tập về hàm số phân thức giúp học sinh
giải quyết bài toán 1 trong đề thi tốt nghiệp THPT được tốt hơn. Nó có ý nghĩa rất
lớn ảnh hưởng tới kết quả thi tốt nghiệp của các em. Giúp học sinh nhìn thấy hướng
giải quyết bài toán mà SGK chỉ đề cập trong 2 ví dụ nhỏ, phát huy tư duy độc lập
làm chủ được kiến thức. Để các em đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp sắp tới .
Sáng kiến nhằm phát triển tư duy khái quát tổng hợp của học sinh, giúp học
sinh phân tích đề bài tốt hơn, định dạng bài toán tốt hơn
Qua thực tế giảng dạy ở hai lớp 12A2,12A4,12A6 bước đầu đã thực sự tạo
được hứng thú cho học sinh
Thời gian nghiên cứu đề tài của tôi còn hạn chế, vì vậy tôi chưa thật sự khai
thác hết các dạng bài tập có liên quan, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ
các thầy cô giáo và các em học sinh
Hiệu quả thực nghiệm
Bài kiểm tra trên đối tượng học sinh lớp 12A2;12A4;12A6 năm học 2015-2016 áp
dụng sáng kiến như sau
Không
Nhận biết,
Nhận biết và
Nhận biết và

nhận
nhưng không
biết vận
biết vận dụng
biết
biết vận dụng dụng ,chưa giải , giải được
được
được hoàn
bài hoàn
chỉnh
chỉnh
Số lượng
0
10
28
44
Tỉ lệ ( %)
0%
12%
34%
54%
Sau khi thực nghiệm sáng kiến học sinh học tập rất tích cực, hứng thú. Đặc biệt là
các em thận trọng phân tích đề bài, hiểu bản chất bài toán, chủ động sáng tạo trong
quá trình làm bài

PHẦN 3
KẾT LUẬN, KIỂN NGHỊ
1. Kết luận:
Trên đây là một số Các bài toán liên quan tới hàm số phân thức mà bản thân
tôi đã đúc rút được qua quá trình giảng dạy môn Toán và tìm tòi các tài liệu tham

khảo. Tôi nhận thấy khi các em học sinh lớp 12 được trang bị và hệ thống các kiến
thức từ dễ đến khó như trình bày ở trên thì hầu hết các em tự tin, không lung túng
nữa khi các em gặp các dạng toán này và có thể nói đa số các em giải tốt hơn.
24


Tuy rằng, ngoài các phương pháp và các ví dụ tôi đã nêu trong bài viết này
còn có các phương pháp và các ví dụ hay hơn mà bản thân tôi chưa được tìm hiểu
đến. Rất mong sự đóng góp ý kiến của tất cả các đồng nghiệp để kinh nghiệm này
ngày càng hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán nói
chung và các bài toán về hàm số phân thức nói riêng.
2. Kiến nghị
Hiện nay trong nhà trường phổ thông đã có một số sách tham khảo về vấn đề
các bài toán liên quan tới khảo sát , xong trên thực tế việc nghiên cứu đề tài để áp
dụng vào học tập của các em chưa thật sự đạt kết quả cao. Chủ yếu vẫn là hoạt
động ở trên lớp. Tôi mạnh dạn đề xuất ý kiến , có nên tập hợp toàn bộ các đề tài
nghiên cứu từ các năm cho học sinh tham khảo, nghiên cứu và áp dụng
Việc tổ chức thực hiện các chuyên đề trong học sinh là rất hiệu quả , học sinh cùng
đóng góp ý kiến. Tôi rất mong các nhà trường tạo điều kiện tốt hơn để các chuyên
đề đi vào thực tiễn.

PHẦN IV:TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Phương (NXB Hà
Nội).
Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán.
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007).
Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng.

25