Xây dựng công thức tính đường đồng quy và các công thức khác trong tam giác

Xây dựng công thức tính đờng đồng quy, công thức hê
rông, định lý hàm số sin, hàm số cosin... trong tam giác
ở chơng trình THCS việc áp dụng công thức các đờng đồng quy,
công thức Hêrông, định lý Hàm số lợng giác ... trong tam giác cũng khá
phổ biến, các công thức đó đợc chứng minh và sử dụng nhiều ở chơng trình THPT. Sau đây tôi xin giới thiệu cách chứng minh các công
thức đó bằng kiến thức THCS.
Cho tam giác ABC. Biết các cạnh AB = c, AC = b, BC = a, đờng cao AH
= h , đờng phân giác AD = la , đờng trung tuyến AM = ma , p là nửa
chu vi tam giác
A

b
c

h
a -x

x
B

H

C

1) Công thức tính đờng cao:
TH: Góc A nhọn:
Đặt BH = x, khi đó CH = a - x
Theo định lý Pitago ta có:
c 2 x 2 b 2 (a x ) 2 ( h 2 )
c 2 x 2 b 2 a 2 x 2 2ax
c2 a2 b2

x
2a
Khi đó:
h2 c 2 x 2
c 2 a 2 b2 2
h c (
) (*)
2a
2

2

c2 a 2 b2 2
)
2a
Nh vậy ta có công thức tính đờng cao ứng với đỉnh A của tam giác
theo 3 cạnh của nó:
h c2 (

c 2 a 2 b2 2
ha c (
) (1). Tơng tự ta cũng có công thức tính đờng cao
2a
tơng ứng với đỉnh B và đỉnh C .
TH: Góc A tù ta cũng có kết quả tơng tự.
2

2) Công thức tính đờng trung tuyến:
TH: H nằm giữa B và M.

A

c

b

h

a/2-x
B

a/2+x

x
H

M

C

Đặt: HM = x, khi đó: BH = a/2 x, HC = a/2 + x.
Theo định lí Pitago ta có:
a
a
c 2 ( x ) 2 b 2 ( x ) 2 ( h 2 )
2
2
2
2

b c
a b2 c 2 2
x
h2 c2 (
)
2a
2
2a
a b 2 c 2 2 b2 c 2 2 b 2 c 2 a 2
Ta có: m 2 a h 2 x 2 c 2 (
) (
)

2
2a
2a
2
4
Nh vậy ta có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A của tam
giác theo 3 cạnh của nó:
b2 c 2 a 2
(2). Tơng tự ta cũng có công thức tính đờng phân

2
4
giác tơng ứng với đỉnh B và đỉnh C .
Các trờng hợp còn lại chứng minh tơng tự.
3) Công thức tính đờng phân giáctrong tam giác:
ma

A

B

D

C

E

Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia BE (E thuộc tia
AD) sao cho CBE BAD CAD .
Ta có:
ADC : BDE BD.DC AD.DE
ABE : ADC AB. AC AD.AE
Suy ra:


AD 2 AB. AC BD.DC . Mặt khác:

BD AB
AB.BC
AC.BC

BD
; CD
CD AC
AB AC
AB AC

a2
a2
)

l

b
.
c
(1

)
a
(b c)2
(b c ) 2
Nh vậy ta cũng có công thức tính đờng phân giác ứng với đỉnh A
Do đó: AD 2 b.c (1

của tam giác theo 3 cạnh của nó: la b.c(1

a2
) (3). Tơng tự ta
(b c )2

cũng tìm đợc các trờng hợp còn lại.
Đặc biệt với tam giác ABC vuông tại A :
E

A

B

D

C

Kẻ BE //AD ta có : tam giác ABE vuông cân nên AE = AB, EB =
Theo định lý TaLét ta có:
AD CA
AD
CA
CA




EB CE
2 AB AE AC AB AC
AD

Vậy: la

2 AB.CA
AB AC
2.bc
(4)
bc

4) Xây dựng công thức Hêrông tính diện tích tam giác:
c2 a 2 b2 2

Từ (*) ta có: h 2 c 2 (
)
2a
2ac a 2 b 2 c 2 2ac a 2 b 2 c 2
=
.
2a
2a
2
2
2
2
(a b c)(a c b)( a b c)(b c a )
(a c ) b b ( a c)
=
.
=
4a 2
2a
2a
4 p ( p a )( p b)( p c)
2
h = . p ( p a )( p b)( p c)
=
2
a
a

2 .AB

1
h.a =
2

S =


p ( p a )( p b)( p c)
p ( p a )( p b)( p c) đây chính là công thức Hêrông.

5) Công thức định lý Hàm số sin:
Trờng hợp tam giác nhọn (hình bên): Với AB = c; AC = b; BC = a
A

B

H

C

AH
AH
; SinC
AB
AC
SinB AC
SinB b

SinC AB
SinC c
b
c


(1)
SinB SinC
b
a

(2)
Tơng tự, ta có:
SinB SinA
a
b
c


Từ (1) và (2) ta có:
đây là định lý Hàm số sin.
SinA SinB SinC
SinB

6) Công thức định lý Hàm số cosin
Từ công thức tính đờng cao ta có:
2ax c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 a 2 2ax c 2 a 2 2ac.cos B
b 2 c 2 a 2 2ac.cos B

Vậy: b 2 c 2 a 2 2ac.cos B
Tơng tự:
a 2 c 2 b 2 2bc.cos A
c 2 a 2 b 2 2ba.cos C

Đó chính là cônbg thức Định lý hàm số côsin
Nh vậy chỉ cần biết 3 cạnh ta sẻ tính đợc độ dài các đờng đồng quy,
diện tích, số đo các góc của tam giác.

tác giả: phan đình ánh
trờng thcs thạch kim lộc hà - hà tĩnh
điện thoại: 0986381089


Email: