Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®


PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
a.  (2x + 3) 2 = ( − x + 1)(x + 9).
b.  (5 − 3√2)x 2 + (√2 − 2)x + 2√2 − 3 = 0.
c.  (2 − √5)x 2 + x + √5 − 1 = 0.
d. 

√

3x 2

+ (2 + √3)x +

√3
4

+ 1 = 0.

Xem lời giải tại:
/>2. Cho phương trình ẩn x: (m 2 − 4)x 2 + 2(m + 2)x + 1 = 0 (*) 
a.  Tìm m để phương trình có nghiệm.
b.  Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Xem lời giải tại:
/>3. Cho phương trình: mx 2 − (2m + 1)x + (m + 1) = 0. (*)
a.  Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b.  Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 2.
Xem lời giải tại:
/>4. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b.
(a + 1)x 2 − 2(a + b)x + (b − 1) = 0.
 

Xem lời giải tại:
/>5. Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 


2b
a

≥

c
a

+ 4.

 
Xem lời giải tại:
/>6. Giải và biện luận phương trình ẩn x: (m − 3)x 2 − 2mx + m − 6 = 0. (*)
 
Xem lời giải tại:
/>7. Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x 2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0
 
Xem lời giải tại:
/>8. Cho hai phương trình:
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

(1)

mx 2 + nx + p = 0 (m ≠ 0)

(2)
Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì
phương trình sau luôn có nghiệm:
(an − bm)x 2 + 2(ap − mc)x + bp − nc = 0. (3)
 
Xem lời giải tại:
/>9. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b, c là các ng mặt phẳng Oxy cho parabol (P) : y =

1
4

x 2. Giả sử đường thẳng đi qua

I(0 ; 1) cắt (P) tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng: 
 
Xem lời giải tại:
/>
1
IA

+

1
IB

= 1.


24. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y = kx +
y=

1
2

1
2

 và parabol (P) : 

x 2. Chứng minh rằng:

a.  Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, và nó cũng luôn cắt (P) tại hai
điểm A, B phân biệt.
1
b.  Có đúng một điểm M thuộc đường thẳng (d') : y = −  để MA  ⊥  MB.
2
Xem lời giải tại:
/>25. Cho phương trình x 2 + (2m − 1)x − m = 0
a.  Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x 2 thỏa mãn x 1 − x 2 = 1
c.  Tính A = x 21 + x 22 − 6x 1x 2 theo m.
d.  Tìm giá trị của m để A có giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
/>26. Cho phương trình: x 2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0
a.  Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b.  Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức sau

(

)

(

không phụ thuộc vào m : A = x 1 1 − x 2 + x 2 1 − x 1

)

Xem lời giải tại:
/>27. Cho phương trình (m − 1)x 2 − 2mx + m + 1 = 0
a.  Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt, khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa
2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức
x1 x2
+
= −6
x2 x1


Xem lời giải tại:
/>28. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0 (1)
a.  Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
b.  Xác định m để phương trình (1) có 1 nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại.
c.  Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x 1, x 2 không phụ thuộc vào m
d.  Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x 21 + x 22 = 8
Xem lời giải tại:
/>29. Cho phương trình 2x 2 + (2m − 1)x + m − 1 = 0
a.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1; x 2 thỏa mãn điều kiện 
3x 1 − 4x 2 = 11
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm
c.  Tìm một hệ thức giữa x 1; x 2 không phụ thuộc vào m.

Xem lời giải tại:
/>30. Cho phương trình x 2 − (m + 2)x + 2m = 0
a.  Giải phương trình với m= ‐1
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn

(x1 + x2 )2 − x1x2 ≤ 5
Xem lời giải tại:
/>31. Cho phương trình x 2 − 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0
a.  Giải phương trình với m= ‐3
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

(

c.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x 2 thỏa mãn  x 1 − x 2
Xem lời giải tại:

)2 = 4


/>
32. Cho phương trình x 2 + (4m + 1)x + 2(m − 4) = 0
a.  Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn điều kiện x 2 − x 1 = 17

(

b.  Tìm m để biểu thức A = x 1 − x 2

)2 đạt giá trị nhỏ nhất

c.  Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Xem lời giải tại:
/>33. Cho phương trình (m + 1)x 2 − 2(m + 2)x + m − 3 = 0

(1)

a.  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b.  Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

(4x1 + 1 )(4x2 + 1 ) = 18
Xem lời giải tại:
/>34. Cho phương trình 2x 2 − 3mx − 2 = 0
a.  Chứng minh rằng với mọi giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
b.  Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để S = x 21 + x 22
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
1
1
c.  Tính  3 + 3  theo m
x1 x2
Xem lời giải tại:
/>35. Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0. Gọi x 1, x 2 là nghiệm của phương
trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
2x 1x 2 + 3
B=
x 21 + x 22 + 2 x 1x 2 + 1

(

)

 
Xem lời giải tại:
/>36. Cho phương trình bậc hai dạng x 2 + px + q = 0. Biết rằng phương trình có
nghiệm nguyên, các hệ số p và q đều là những số nguyên và p + q + 1 = 2003.
Tìm giá trị của p và q.
 
Xem lời giải tại:
/>37. Cho x 1; x 2là hai nghiệm của phương trình x 2 − 7x + 3 = 0
a.  Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x 1 − x 2 và 2x 2 − x 1

|

| |

b.  Tính giá trị biểu thức B = 2x 1 − x 2 + 2x 2 − x 1

|

Xem lời giải tại:
/>38. Cho x 1; x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
x 51 + x 52 là một số nguyên.
 
Xem lời giải tại:
/>39. Cho phương trình 2x 2 + mx + 2n + 8 = 0 ( ∗ ) (ẩn x; m, n là các tham số
nguyên). Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng
m 2 + n 2 là hợp số 
 
Xem lời giải tại:
/>40. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 

b > a > 0 và phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm 
a+b+c
Chứng minh rằng: 
>3
b−a


 
Xem lời giải tại:
/>41. Cho phương trình x 2 − 4x + m 2 − 3m = 0 (1)
a.  Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
b.  Giả sử x 1; x 2 là nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao
cho x 1 = x 22 − 4x 2
Xem lời giải tại:
/>42. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; c ≠ 0) có nghiệm x 1 > 0. Chứng
minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 có nghiệm x 2 > 0 và x 1 + x 2 + x 1x 2 ≥ 3
 
Xem lời giải tại:
/>43. Cho phương trình 2x 2 + bx + c = 0 (1)
Tìm điều kiện của b và c để phương trình (1) có hai nghiệm x 1; x 2 cùng dấu
thỏa mãn

|x1 + x2 + √x1x2 | + |x1 + x2 − √x1x2 | = 2010
 
Xem lời giải tại:
/>