Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương

Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. GII HN DY S
A. KIN THC CN NH
I GII HN HU HN CA DY S
1. nh ngha
nh ngha 1
Ta núi dóy s

cú gii hn l

dn ti dng vụ cc, nu

khi

cú th nh hn mt s dng bộ tu

ý, k t mt s hng no ú tr i.
Kớ hiu:

hay

khi

nh ngha 2
Ta núi dóy s

cú gii hn l

Kớ hiu:

hay

(hay

dn ti

) khi

nu

khi

2. Mt vi gii hn c bit
a)

vi

b)
c) Nu

nguyờn dng;

nu
(

l hng s) thỡ

Chỳ ý: T nay v sau thay cho

ta vit tt l

.

II NH Lí V GII HN HU HN
nh lớ 1
a) Nu

v

thỡ

(nu

b) Nu

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

).

thỡ

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 11

năm học 2018

III TNG CA CP S NHN LI Vễ HN

Cp s nhõn vụ hn

cú cụng bi

c gi l cp s nhõn lựi vụ hn.

, vi

Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn:

IV GII HN Vễ CC

1. nh ngha
Ta núi dóy s

cú gii hn l

khi

, nu

cú th ln hn mt s dng bt kỡ, k t

mt s hng no ú tr i.
Kớ hiu:
Dóy s

hay

khi

cú gii hn l

Kớ hiu:

khi

hay

, nu

.

khi

Nhn xột:

2. Mt vi gii hn c bit
Ta tha nhn cỏc kt qu sau
nguyờn dng;

a)

vi

b)

nu

.

3. nh lớ 2
a) Nu

v

b) Nu

,

c) Nu

v

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

thỡ

.

v

- 0946798489

thỡ

thỡ

Page | 2


Tµi liƯu to¸n 11

n¨m häc 2018

B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
Để chứng minh

ta chứng minh với mọi số

nhỏ tùy ý ln tồn tại một số

sao cho

.
Để chứng minh

ta chứng minh

Để chứng minh

.

ta chứng minh với mọi số

lớn tùy ý, ln tồn tại số tự nhiên

sao cho

.
Để chứng minh

ta chứng minh

.

Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n+2
=1
n+1

2. lim

n2 − 1
2

2n + 1

1

2

=

3. lim

1 − 2n
2

n +1

= −2

n

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u n ) : u n = ( −1) khơng có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. lim

n2 + 1
= +∞
n

2. lim

2−n
n

= −∞

1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1 Chứng minh rằng:
1. lim

1
=0
n+1

1

2. lim

4. lim(2n + 1) = +∞

nk

5. lim

= 0 (k ∈  *)

3. lim

sin 2 n
=0
n+2

1 − n2
= −∞
n

Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau
1. lim
4. lim

2
=0
n+1
3n 3 + n
n

2

2. lim

= +∞

cos n + sin n

5. lim

2

n +1

2−n
n+1

=0

3. lim

n+1
=0
n+2

= −∞ .

Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

2n + 1
n−2
Bài 4 Tìm các giới hạn sau

1. A = lim

1. A = lim
3. C = lim

n−2 n
2n
1
2

n +2 n +7

2. B = lim

2. B = lim
4. D = lim

2n + 3

3. C = lim

n2 + 1

n2 + 1
.
n+1

n sin n − 3n 2
n2
4n + 1
n 2 + 3n + 2

.

Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u n ) : u n = ( −1)n n khơng có giới hạn.
Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:
1. lim

an
=0
n!

2. lim n a = 1 với a > 0

Bài 7
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 3


Tµi liƯu to¸n 11

n¨m häc 2018

 x + x 2 + ... + x n 
1. Nếu dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình  1
 cũng có giới hạn là a .
n


1
2. Dãy số (x n ) thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < 2 và x n +1 = 1 + x n − x n2 , ∀n ∈  * . Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ.
2
x n đề
. 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Tìm lim
Vấn
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
ta thường chia cả tử và mẫu cho

Khi tìm

, trong đó

trong đó

Khi tìm

là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân

lượng liên hơn.

1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim

n 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)

2. B = lim

2

2n + 1
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :

1 
1  
1
1. C = lim  1 −   1 −  ...  1 −
2
2
2 
3  

n2


1 + 2 + ... + n − n
3 2

1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n





 1
1
1
1 
=
+
+
+ ... +
2. D lim 

1.2
2.3
3.4
n(n
+ 1) 

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim

4 n +1 − 5 n +1

2. B = lim

4 n + 5n

4.3n + 2 − 2.7 n −1

4 n + 7 n +1

1 
1  
1 
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C = lim  1 −   1 −  ...  1 −

22  
32  
n2 


1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim

2n 2 + 3n + 1
3n 2 − n + 2

( 2n + 1)
3. C = lim

2

4

( n + 2 )9

n17 + 1
Bài 2 Tìm các giới hạn sau :
A lim  n 2 + 6n − n 
=
1.



3. C = lim

2. B = lim

3.2 n − 3n
n +1

n +1

2
+3
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:

Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

4. D = lim

n 2 + 2n
n − 3n 2 + 1
3

n 2 + 1 − 3n 3 + 2
4

2n 4 + n + 2 − n

3
B lim  n 3 + 9n 2 − n 
2.=


3
=
D lim  n 2 + 2n − n 3 + 2n 2
4.


- 0946798489

.



Page | 4

Tài liệu toán 11

năm học 2018

=
1. A lim n 2 + 2n + 2 + n


4

3. C = lim

=
2. B lim 2n 2 + 1 n



3n 3 + 1 n

a k n k + ... + a1n + a 0

4. D = lim

2n 4 + 3n + 1 + n

bp n p + ... + b1n + b0

(Trong ú k,p l cỏc s nguyờn dng; a k bp 0 ) .

(

5. =
A lim n 3 2n + 1

)

(

7. C lim a k n k + a k 1n k 1 + ... + a 0
=

)

=
6. B lim n 2 + n 1 + n


vi a k 0

3
= lim 2n n 3 + 1
8. D



9. E = lim

3n 3 + n 1

10. F = lim

(2n 1)(n + 3)2

(n 2)7 (2n + 1)3
(n 2 + 2)5

3
=
M lim 1 n 2 8n 3 + 2n
11. H lim n 2 + n + 1 n
12. =




3
=
13. N lim 4n 2 + 1 8n 3 + n


3
=
14. K lim n 3 + n 2 1 3 4n 2 + n + 1 + 5n .


Bi 4. Tỡm cỏc gii hn sau

2n + 1
1 3n

1. A = lim
3. C = lim

2. B = lim

n3 + 1

4. D = lim

n(2n + 1)2

5. E = lim

n 3 + 2n + 1
n+2

6. F = lim

=
M lim n 2 + 6n n
7.



2n 3 + sin 2n 1
n +1

3.3n + 4 n
3

n +1

+4

4. D = lim

n +1

=
5. E lim( n 2 + n + 1 2n)
k

n 3 3n 2 + 2
n 4 + 4n 3 + 1
4

n 4 2n + 1 + 2n
3

10. K = lim

2. B = lim

3

3. C = lim

(3n 1)2

3n 3 + n n

3
=
8. N lim n 3 + 3n 2 + 1 n



3
=
9. H lim n 8n 3 + n 4n 2 + 3


Bi 5 Tỡm cỏc gii hn sau

1. A = lim

4n 2 + 3n + 1

=
6. F lim

p

(

3.2 n 3n
2 n +1 + 3 n +1
n

.

n!

n 3 + 2n
n+1
n 2 ( 3n 2 + 2 3n 2 1)

n+1+n

)

=
8. K lim n n 2 + 1 n .



7. H lim( n 2 + 1 n 2 1)
=

Bi 6. Tỡm gii hn ca cỏc dóy s sau
1
1
1
=
+
+ ... +
1. u n
2 1+ 2 3 2+2 3
(n + 1) n + n n + 1
2. u n =

(n + 1) 13 + 2 3 + ... + n 3
3n 3 + n + 2

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tài liệu toán 11

(1
3. u n =
4. u n =

năm học 2018

n(n + 1)
1
1
1
)(1 )...(1 ) trong ú Tn =
.
2
T1
T2
Tn

2 3 1 33 1 n 3 1
.
....
2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1

5. u n =

6. u n = q + 2q 2 + ... + nq n vi q < 1

7. u n =

n



2k 1

k =1
n



k =1 n

2k
n
2

+k

Bi 7 Tỡm cỏc gii hn sau:
1. A = lim

2. B = lim

a k .n k + a k 1n k 1 + ... + a1n + a 0

bp .n p + bp1n p1 + ... + b1n + b0
3

vi a k bp 0

n 6 + n + 1 4 n 4 + 2n 1
(2n + 3)2

=
3. C lim 4n 2 + n + 1 2n


3
=
4. D lim n 2 + n + 1 2 n 3 + n 2 1 + n


Bi 8
1. Cho cỏc s thc a,b tha a < 1; b < 1 . Tỡm gii hn I = lim

1 + b + b2 + ... + bn

.

1
,x = x n2 + xn ,n 1
2 n +1

2. Cho dóy s (x n ) xỏc nh bi x1 =
t S=
n

1 + a + a 2 + ... + a n

1
1
1
+
+ +
. Tớnh lim S n .
x1 + 1 x 2 + 1
xn + 1

3. Cho dóy (x k ) c xỏc nh nh sau: x k =
Tỡm lim u n vi u n=

n

1 2
k
+ + ... +
2! 3!
(k + 1)!

x1n + x n2 + ... + x n2011 .

u0 = 2011
u3

1 . Tỡm lim n .
4. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
u = un +
n
n +1
u n2

5. Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi : u n =

n + 2 2 n + 1 + n .t S n = u1 + u 2 + + u n . Tỡm lim S n .

u1 =
1;

un

6. Cho dóy (u n ) xỏc nh nh sau:
.
u 2n . Tỡm lim u
n +1

u n +=
1 un +
2010

7. Cho dóy s (u n ) vi u n =

4n + 1
2n

n

. Dóy (s n ) c cho bi s n = ui . Tỡm lim s n .
i =1

u1 =
3

8. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
.Xột s hi t v tớnh gii hn sau nu tn
u n (u n + 1)2 8
=
u
, (n 1, n N)
n +1
5

n u 2
ti: lim i
.
n i =1 u 2 + 1
i
Bi 9 Cho dóy s ( u n ) xỏc nh nh sau: u1 = 2 v u=
n +1

1. Chng minh ( u n ) l dóy s tng v khụng b chn trờn.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

u 2n
2010
u vi n = 1, 2, 3,...
+
2011 2011 n

Page | 6


Tài liệu toán 11

2. Tớnh

năm học 2018

n

u
n +
lim

i =1

ui
i +1

1

.

Bi 10.
1. Cho dóy s (x n ) c xỏc nh nh sau: x=
1 1,x=
2 2,x n +=
2

x n +1 + x n , n 1 .

Chng minh rng dóy s ó cho cú gii hn v tỡm gii hn ú.
n

1

2. Cho dóy s (u n ) : u n= 1 + . Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn.
n


2
u1 =

3. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
u 2n u n + 3
=
=
u

, n 1, 2,....
n +1
u 2n + u n + 1

Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú.
4. Cho dóy s (u n ) tha: u n + u n +1 2u n + 2 v dóy (u n ) b chn. Chng minh rng dóy (u n ) tn ti gii hn hu v tỡm
gii hn ú.

=
u0 1,=
u1 5

5. Cho dóy (u n ) c xỏc nh bi:
+ u n2 + 6 . Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii
u
u n + 2 = n +1
3

hn ú.
1
u1 =

6. Cho dóy s (u n ) tha món:
. Chng minh dóy s (u n ) cú gii hn hu hn. Tỡm gii
u 2n + 4u n + 1
u
,n 1
=
n +1
2

un + un + 1


hn ú.

=
=
x1 1;x
2 2
. Chng minh dóy s trờn cú gii hn v tỡm gii hn trờn.
x n +1
4x n + 3x n 1
=

7. Cho dóy s (xn ) sao cho

Bi 11. Cho dóy s (x n ) xỏc nh nh sau:=
x0

2011, x=
n +1

2
1 + x 2n

=
; n 0,1, 2,...

= 1,2,3,... Chng minh dóy (u n ) cú gii hn hu hn.
1. t u n= x 2n , n

2. Chng minh rng dóy (x n ) cng cú gii hn hu hn.
Bi 12. Tỡm lim u n bit:
1. u n =

=
3. u n

n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1)
2

2n + 1

1
2 1+ 2

(1
4. u n =
5. u n =

+

1
3 2+2 3

+ ... +

2. u n = lim

1 + 2 + ... + n n
3 2

1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n

1
(n + 1) n + n n + 1

n(n + 1)
1
1
1
)(1 )...(1 ) trong ú Tn =
.
2
T1
T2
Tn

2 3 1 33 1 n 3 1
.
....
2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1

6. u n =

7. u n = q + 2q 2 + ... + nq n vi q < 1
9. u n =

n

1

k =1

2



8. u n =

n



2k 1

k =1
n



k =1 n

2k
n
2

+k

2
2... 2 .

10. u n =

n +k

n dau can

3

3

Bi 13. Cho dóy s (x n ) tha món x n= 2n + a 8n + 1n N , a l s thc cho trc.

1. Tỡm iu kin ca a dóy s trờn cú gii hn hu hn.
2. Tỡm iu kin ca a sao cho dóy s trờn l dóy s tng.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 7


Tài liệu toán 11

năm học 2018


x1 =
Bi 14. Cho s thc v xột dóy s (x n ) vi
2
x n +1 = x n 2x n + 2

( n * ).

1. Vi (1;2) . Chng minh 1 < x n < 2 vi mi n * v (x n ) l dóy s gim.
2. Vi [1; + ). Tựy vo giỏ tr ca , tỡm gii hn ca (x n ) .
Bi 15.

4
4 8
+
3u n . Tỡm lim u n .
1. Gi (u n ) l dóy s xỏc nh bi u1 = ; u n +1 =
9
9 9

2. Gi s f(x) l hm s c xỏc nh trờn tp s thc R v tha món bt phng trỡnh: 9f ( 4x ) 4 + 4 12f ( 3x ) 9f ( 4x ) .

4
.
3
=
x1 a;y
=
=
1 b;z
1 c

3. Cho cỏc dóy s (x n ),(y n ),(z n ) c xỏc nh nh sau:
+ y n 1
y n 1 + z n 1

z n 1 + x n 1
x
=
, yn
, z n = n 1
xn =

2
2
2
a+b+c
.
Chng minh rng cỏc dóy trờn cựng hi t v giỏ tr
3
x1 = a

5. Cho a > 2 v dóy s ( x n ) vi
n+3 .
=
3x n2 +
2x
n +1
n

Chng minh: f ( x ) u n n ;x . T ú hóy suy ra f ( x )

a) Chng minh : x n > 1 , vi n *

b)Chng minh dóy s ( x n ) cú gii hn v tỡm gii hn ú.

Bi 16.

3
a=
1 a=
2
2
. Chng minh rng dóy s (a n ) hi t v tỡm gii hn
1. Dóy s (a n ) c xỏc nh bi :
2
a n +1
=
=
, n 2, 3, 4..
a n + a n 1

ca dóy s ú.
n
u1 = 1
1
2. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh nh sau
.t v n =
. Tỡm
u
u
u
(u
1)(u
2)(u
3)

1;
n
1,
2,..
=
+
+
+
+
=
n +1
i =1 i + 2
n n
n
n
lim v n .


x1 =
3. Cho dóy (x n ) :
x
=
n
hn v tỡm gii hn ú.

1
n
1
2
. Chng minh rng dóy (y n ) xỏc nh bi y n =

cú gii
2
1 2
, n 2
i =1 xi
x
4x
x
+
+

n 1
n 1
2 n 1


n au + bv . Chng
4. Cho a, b ,(a, b) = 1; n {ab + 1,ab + 2,...} . Kớ hiu rn l s cp s (u,v) ì sao cho =
rn
1
.
=
n n
ab

minh rng lim
Bi 17.

x n +1
1. Cho dóy (x=

n ) : x1 1;=

(2 + cos 2)x n + cos 2
trong ú l s thc.=
t y n
(2 2 cos 2)x n + 2 cos 2

dóy s (y n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú.

n

2x
i =1

1
n 1 . Tỡm
i +1

2. Cho c l mt s thc dng. Dóy (x n ) c xõy dng nh sau: x n +1 = c c + x n , n = 0,1,2.. nu cỏc biu thc

di du cn khụng õm. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca c , vi mi giỏ tr ban u x0 ( 0; c ) , dóy (x n ) xỏc nh vi mi n
v tn ti gii hn hu hn.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn
Vn 1. DY S DNG PHN THC
A. 2.

sin 5n

2 bng:
Cõu 1. Kt qu ca gii hn lim
3n

A. 2.

Cõu

2.

B. 3.

C. 0.

bao nhiờu
1
n 2 n k cos
1
n
.
lim

2n
2
A. 0.

Cú

s

nhiờn

C. 4.

B. 1.

B. 0.

Cõu 10. Giỏ tr ca gii hn lim
5
.
3

chn

A. .

k

B.

A.

D. Vụ s.

3sin n 4 cos n
bng:
n 1

C. 2.

1
.
4

C. 5.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

vn

B. 3.

C.

C. 4.

B. 2.

2
.
7

D.

3
.
4

n n 1
bng:
n 2

C. 1.

D. 0.

un v vn cú un

B. 2.

C. 0.

Cõu 13. Cho dóy s un vi un

D. 4.

D. 0.

1
v
n 1

v
2
. Khi ú lim n cú giỏ tr bng:
n2
un

A. 1.

D. 3.

an 4
trong ú a l tham
5n 3

s thc. dóy s un cú gii hn bng 2 , giỏ tr ca a l:
A. a 10.

D. .

B. a 8.

C. a 6.

Cõu 14. Cho dóy s un vi un

n

1

Cõu 6. Giỏ tr ca gii hn lim 4
bng:

n 1

A. 1.

3
.
2

Cõu 12. Cho hai dóy s



n
2n 3 l:
Cõu 5. Kt qu ca gii hn lim n 2 sin


5
A. .

B. 0.

2

.
3

3n 3 2n 1
l:
4 n 4 2n 1




n cos 2n
Cõu 4. Kt qu ca gii hn lim 5 2
bng:

n 1
A. 4.

C.

Cõu 11. Giỏ tr ca gii hn lim

Cõu 3. Kt qu ca gii hn lim
A. 1.

t

D.

B. 1.

D. a 4.

2n b
trong ú b l tham
5n 3

s thc. dóy s un cú gii hn hu hn, giỏ tr ca b l:

D. 2.

A. b l mt s thc tựy ý.

B. b 2.

C. khụng tn ti b.

D. b 5.

n

Cõu 7. Cho hai dóy s
vn

un v vn cú un

1

n2 1

1

. Khi ú lim un vn cú giỏ tr bng:
n2 2

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

B. .

Cõu 9. Giỏ tr ca gii hn lim

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. 0.

3
A. L .
2

1
B. L .
2

n2 n 5
.
2n 2 1

C. L 2.

D. L 1.

Cõu 16. Cho dóy s un vi un

D. 1.

n 2n 2
bng:
n 3 3n 1

- 0946798489

Cõu 15. Tớnh gii hn L lim

4n 2 n 2
. dóy s ó
an 2 5
cho cú gii hn bng 2 , giỏ tr ca a l:

3
l:
Cõu 8. Giỏ tr ca gii hn lim 2
4 n 2n 1

3
A. .
4

v

A. a 4.

B. a 4.

Cõu 17. Tớnh gii hn L lim

C. a 3.

D. a 2.

n 2 3n 3
.
2n 3 5n 2

Page | 9


Tài liệu toán 11

năm học 2018

3
1
A. L . B. L .
5
2

1

C. L .
2

D. L 0.

Cõu 18. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s
2

L lim

5n 3an

1 a n 4 2n 1

0.

A. a 0; a 1.

B. 0 a 1.

C. a 0; a 1.

Cõu 19. Tớnh gii hn

D. 0 a 1.

2n n3 3n 2 1
L lim
.
2n 1n 4 7

3
A. L . B. L 1.
2

Cõu 20. Tớnh gii hn

A. L 0.

C. L 3.

8
C. L .
3

B. L 1.

B. L 1.

3
3

n 1
n 8

D. L .

D. L .

B. .

C. .

Cõu 23. Kt qu ca gii hn lim

3
A. .
4

B. .

Cõu 24. Kt qu ca gii hn lim

A. 0.

B. .

2
D. .
3

5
D. .
7

3
D. .
4

Cõu 25. Trong cỏc gii hn sau õy, gii hn no bng 0?

3 2n 3
.
A. lim 2
2n 1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

2n 2 3
.
B. lim
2 n 3 4

- 0946798489

B. un

n 4 2n 3 1
.
3n 3 2n 2 1

C. un

n 2 3n 3
.
9n 3 n 2 1

D. un

n 2 2n 5

.
3n 3 4 n 2

Cõu 27. Dóy s no sau õy cú gii hn l ?
A. un

1 n2
.
5n 5

B. un

C. un

n 2 2n
.
5n 5n 2

D.

n2 2
.
5n 5n 3

1 2n
.
5n 5n 2

Cõu 28. Dóy s no sau õy cú gii hn l ?
A.

1 2n
.
5n 5n 2

B. un

n 3 2n 1
.
n 2n 3

2n 2 3n 4
n 2 2n
. D. un
.
2
3
5n 1
n 2n

Cõu 29. Tớnh gii hn L lim 3n 2 5n 3.
B. L .

C. L 5.

D. L .



thuc

khong 10;10 L lim 5n 3 a 2 n .
A. 19.

B. 3.

2

3

C. 5.

D. 10.

Cõu 31. Tớnh gii hn lim 3n 4 4 n 2 n 1.
A. L 7.

B. L .

C. L 3.

Cõu 32. Cho dóy s un vi un 2

D. L .

2

2

...

2 .
n

Mnh no sau õy ỳng ?

3n n 4
l:
4n 5

C. .

n 2 2n
.
3n 2 5

Cõu 30. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s a

2n 3n 3
l:
4 n 2 2n 1

C. 0

2n 2 3n 4
.
2 n 4 n 2

A. un

A. L 3.

n 3 2n
l:
Cõu 22. Kt qu ca gii hn lim
1 3n 2
1
A. .
3

D. lim

1
Cõu 26. Dóy s no sau õy cú gii hn bng ?
3

C. un

.

1
C. L .
8



2n 3n 3
.

2 n 2 1

D. L .

n 2 2n2n 3 14n 5
.
L lim
n 4 3n 13n 2 7

Cõu 21. Tớnh gii hn L lim

1
A. L .
2

a

4

C. lim

2

A. lim un .

B. lim un

C. lim un .

D. Khụng tn ti lim un .

1 2

.

1
3
n
1 ...
2
2 bng:
Cõu 33. Giỏ tr ca gii hn lim 2
n2 1

Page | 10


Tài liệu toán 11

A.

1
.
8

năm học 2018

B. 1.

C.

1
.
2

D.

1
C. lim un .
2

1
.
4

1
2
n 1
Cõu 34. Giỏ tr ca gii hn lim 2 2 ... 2 bng:
n
n
n
A. 0.

B.

1
.
3

C.

1
.
2

D. 1.

1 3 5 2n 1

Cõu 35. Giỏ tr ca gii hn lim


3n 2 4
bng:
A. 0.

B.

1
.
3

C.

2
.
3

D. 1.

D. lim un 1.

Cõu 41. Cho dóy s cú gii hn

un xỏc nh bi


u1 2



. Tớnh lim un .

u 1

, n 1
un 1 n


2


A. lim un 1.

9n 2 n 1
bng:
4n 2

Cõu 42. Kt qu ca gii hn lim

A.

2
.
3

C. lim un 2.

B. lim un 0.

B.

3
.
4

C. 0.

D. 3.

1
1
1
n 2 2n 1

...
Cõu 36. Giỏ tr ca gii hn lim
bng:
l: Cõu 43. Kt qu ca gii hn lim

1.2 2.3
n n 1
3n 4 2
A.

1
.
2

B. 1.

C. 0.

Cõu
37.
Giỏ
tr
ca
1

1
1
...
lim
bng:
2n 12n 1
1.3 3.5

1
A. .

2

1
B. .
4

2
A. .
3

D. .
gii

1
.
2

C.

hn

D. 2.

5
.
2

B.

5

.
7

1
D. .
2

3
.
3

2n 3

Cõu 44. Kt qu ca gii hn lim

A.
C. 1.

B.

l:

2n 5

C. .

D. 1.

n 1 4
bng:

Cõu 45. Kt qu ca gii hn lim
1

1
1
n 1 n



......
Cõu 38. Giỏ tr ca gii hn lim
n n 3
1.4 2.5
1
bng:
D. .
A. 1.
B. 0.
C. 1.
2

A.

11
.
18

B. 2.

Cõu 39. Giỏ tr ca gii hn lim

A. 4.

B. 1.

C. 1.

D.

12 2 2 ... n 2
n n 1
2

C.

1
.
2

Cõu 40. Cho dóy s cú gii hn

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

bng:

1
.
3

un xỏc nh bi

B. lim un 0.

- 0946798489

Cõu

46.

Bit

rng

lim

n n2 1

a sin

2

n n 2


b.
4

Tớnh

S a3 b3.

A. S 1.
D.


un 1

2
. Tớnh lim un .

1

,
1
u
n


n 1
2 un

A. lim un 1.

3
.
2

B. S 8.

C. S 0.

Cõu 47. Kt qu ca gii hn lim
A. .

B. 10.

10
4

n n2 1

C. 0.

Cõu 48. Kt qu ca gii hn lim n 1
A. .

B. 1.

C. 0.

D. S 1.
l:
D. .

2n 2
l:
n 4 n 2 1
D. .

Page | 11

D


Tài liệu toán 11

năm học 2018
3

Cõu 49. Bit rng lim

an 3 5n 2 7
3n 2 n 2

b 3 c vi a, b, c l

1
B. P .
3

A. 1.

1
D. P .
2

C. P 2.

B. 1.

A. 3.

A. 0.

B. 1.

B. 0.

B. 0.

Cõu

lim



B. 2.

55.

Cú



D. .



D. .

tr

ca

Giỏ

tr

2
.
2

A. 1.

B. 1 2.

C. .



gii

A. 1.





Giảng dạy: nguyễn bảo vương

A.

7 1.

B.

1
.
2

B. 2.

B. 3.

a

Cõu 68. Giỏ tr ca gii hn lim
tha
A. 1.

- 0946798489

B. .

B. 0.

D. 3.

n 3 1 3 n 3 2 bng:

3

C. 0.



D. 1.



3

n 2 n 3 n l:

C. 0.



D. 1.



3

n 3 2n 2 n bng:

C. 0.

D. 1.



n 1 n 1 l:


C. 0.



D. 1.



n 1 n bng:


1
.
3

C.



D.

1
.
4




n 2 1 n 2 3 bng:


D. .

C. 4.






n2 n 1 n2 n 6


7
.
2

C.

D. .

Cõu 58. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca

n 2 8n n a 2 0 .

2
B. .
3



Cõu 67. Giỏ tr ca gii hn lim n

l:

D. .

n 2 2n 1 2n 2 n l:

C. .

B. .

C. 2.

Cõu 66. Giỏ tr ca gii hn lim n

hn

B.

D. .

C. 1.

Cõu 65. Giỏ tr ca gii hn lim n

A. 0.

2n 2 n 1 2n 2 3n 2 l:

Cõu 57. Giỏ tr ca gii hn lim





a

D. 3.
ca

1
.
3

A. 1.

D. .

giỏ



n 2 2n 3 n l:

Cõu 64. Giỏ tr ca gii hn lim n




C. 1.

B. 2.
56.

A. 0.

lim

A.

n 2 2n n 2 2n l:

nhiờu

1
.
3

Cõu 63. Giỏ tr ca gii hn lim

n 2 1 3n 2 2 l:

C. 4.

bao

A.



Cõu





n 2 a 2 n n 2 a 2 n 1 0.

A. 0.

lim



B. 2.

Cõu 62. Giỏ tr ca gii hn lim

n 2 n 1 n l:

C. .

Cõu 54. Giỏ tr ca gii hn lim
A. 1.



A. 3.

D. 5.

C. 1.

Cõu 53. Giỏ tr ca gii hn lim
A. 2.



n 5 n 1 bng:

C. 3.

Cõu 52. Giỏ tr ca gii hn lim

1
A. .
2

B. 2.

Cõu 61. Giỏ tr ca gii hn lim

Vn 2. DY S CHA CN THC
Cõu 51. Giỏ tr ca gii hn lim



D. Vụ s.

trong ú a l tham s thc. Tỡm a lim un 1.

D. .

C. 0.

B. 0.

C. 1.

Cõu 60. Cho dóy s un vi un n 2 an 5 n 2 1 ,

Cõu 50. Kt qu ca gii hn lim 5 200 3n 5 2n 2 l:
A. .

B. 2.

Cõu 59. Giỏ tr ca gii hn lim

a c
cỏc tham s. Tớnh giỏ tr ca biu thc P 3 .
b

A. P 3.

A. 0.

D. .

1


n 2 n2 4
C. .

l:

D. .

Page | 12


Tài liệu toán 11

năm học 2018

9n 2 n n 2
l:
3n 2

Cõu 69. Giỏ tr ca gii hn lim
A. 1.

B. 0.

Cõu 70. Giỏ tr ca gii hn lim
A. 2.

B. 0.

D. .

C. 3.

1
3

3

n 1 n

l:

Vn 3. DY S CHA HM LY THA

Cõu 71. Kt qu ca gii hn lim

A.

25
.
2

B.

5
.
2

Cõu 72. Kt qu ca gii hn lim
A. 15.

B. 10.

B. 1.

Cõu 74. Kt qu ca gii hn lim

1
B. .
2

A. 1.

5
D. .

2

D. 15.

3n 4.2 n 1 3
l:
3.2 n 4 n

C. .

D. .

3n 1
bng:
2 n 2.3n 1

C.

1
.
2

2
.
3

D.

A. 0.

3
.
2

Cõu 75. Bit rng
n



5 2 n 1 1
2n 2 3 a 5


2
c vi a, b, c .
lim
n 1
n
b
n 1
3

5.2 5





B. S 30. C. S 21.

D. S 31.

n 3n 2 2 n
Cõu 76. Kt qu ca gii hn lim n
l:
3 3n 2 2 n 2
A. 1.

B.

1
.
3

C. .

D.

1
.
4

n
Cõu 77. Kt qu ca gii hn lim 3n 5 l:



A. 3.

B. 5.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. .

D. .

- 0946798489

C. .

B. 1.

B.

2
.
3

D.

1
.
3

3n 4.2 n 1 3
l:
3.2n 4 n

C. .

D. .

2 n 1 3n 10
l:
3n 2 n 2

C.

3
.
2

D. .

Cõu 81. Tỡm tt c giỏ tr nguyờn ca a thuc 0;2018
lim 4

4 n 2 n 1
1

.
3n 4 n a 1024

A. 2007.

B. 2008.

C. 2017.

D. 2016.

n 2 2n 1n

n bng:
Cõu 82. Kt qu ca gii hn lim
3n 1
3

A.

2
.
3

B. 1.

C.

1
.
3

1
D. .
3

3n 1n cos 3n

Cõu 83. Kt qu ca gii hn lim

bng:


n 1

A.

3
.
2

B.

3.

C.

5.

D. 1.

Cõu 84. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca a thuc 0;20 sao
cho lim 3

Tớnh giỏ tr ca biu thc S a 2 b 2 c 2 .
A. S 26.

B. 1.

Cõu 80. Kt qu ca gii hn lim

A. .

3n 2.5n 1
bng:
2 n 1 5n

C. 10.

Cõu 73. Kt qu ca gii hn lim
A. 0.

2 5n 2
bng:
3n 2.5n

C. 1.

A.

Cõu 79. Kt qu ca gii hn lim
D. .

C. .

Cõu 78. Kt qu ca gii hn lim 34.2 n 1 5.3n l:

A. 1.

an 2 1 1

l mt s nguyờn.

3 n 2 2n

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Cõu 85. Kt qu ca gii hn lim 2.3n n 2 l:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. .

Vn 4. TNG CA CP S NHN LI Vễ
HN
Cõu 86. Tng ca mt cp s nhõn lựi vụ hn bng 2 , tng ca
9
ba s hng u tiờn ca cp s nhõn bng . S hng u u1
4
ca cp s nhõn ú l:
Page | 13


Tài liệu toán 11

A. u1 3.

năm học 2018

B. u1 4.

9
C. u1 .
2

D. u1 5.

C. S

1 1
1
Cõu 87. Tớnh tng S 9 3 1 n3 .
3 9
3

A. S

27
.
2

B. S 14.

C. S 16.

0 .
4

D. S 15.

1
A. S 2 1. B. S 2. C. S 2 2. D. S .
2

A. S

1
.
1 tan

B. S

C. S

tan
.
1 tan

D. S tan 2 .

M 1 m m 2 m3

D. S 6.

C. S 5.

N 1 n n 2 n3
n 1

Cõu 90. Tng ca cp s nhõn vụ hn

1
1 1 1
, , ,...,
,...
2 6 18
2.3n1

bng:
A.

3
.
4

B.

8
.
3

C.

2
.
3

D.

3
.
8

1 1 1 1
1
1
Cõu 91. Tớnh tng S ... n n ... .
2 3 4 9
2
3
A. 1.

B.

2
.
3

C.

3
.
4

D.

cos
.



2 sin

4

Cõu 96. Cho m, n l cỏc s thc thuc 1;1 v cỏc biu thc:

2 4
2n
Cõu 89. Tớnh tng S 1 n .
3 9
3
B. S 4.

D. S tan 2 x .

Cõu 95. Thu gn S 1 tan tan 2 tan 3 vi

1 1 1

1
Cõu 88. Tớnh tng S 2 1 n .
2 4 8

2

A. S 3.

1
.
1 sin 2 x

1
.
2

A 1 mn m 2 n 2 m3 n3

Khng nh no di õy ỳng?
A. A

MN
.
M N 1

B. A

MN
.
M N 1

C. A

1
1
1

.
M N MN

D. A

1
1
1

.
M N MN

Cõu 97. S thp phõn vụ hn tun hon 0,5111 c biu
din bi phõn s ti gin

a
. Tớnh tng T a b.
b

Cõu 92. Giỏ tr ca gii hn

lim

A. 17.

1 a a 2 ... a n

a 1, b 1 bng:
1 b b 2 ... b n
A. 0.

B.

1 b
.
1 a

C.

1 a
.
1 b

D. Khụng tn ti. biu din bi phõn s ti gin

2

B. S cos x .

A. S sin x .
C. S

1
.
sin 2 x

Cõu

D. S
94.

1
.
cos 2 x

Rỳt
n

S 1 sin 2 x sin 4 x sin 6 x 1 .sin 2 n x

sin x 1.
2

A. S sin x .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. 133.

D. 137.

Cõu 98. S thp phõn vụ hn tun hon A 0,353535... c

Cõu 93. Rỳt gn
S 1 cos 2 x cos 4 x cos 6 x cos 2 n x vi
cos x 1.
2

B. 68.

2

B. S cos x .
- 0946798489

A. 3456.

B. 3465.

a
. Tớnh T ab.
b

C. 3645.

D. 3546.

Cõu 99. S thp phõn vụ hn tun hon B 5,231231... c
biu din bi phõn s ti gin
A. 1409.

B. 1490.

a
. Tớnh T a b.
b

C. 1049.

D. 1940.

Cõu 100. S thp phõn vụ hn tun hon 0,17232323 c
gn biu din bi phõn s ti gin a . Khng nh no di õy
b
vi
ỳng?
A. a b 215.

B. a b 214.
Page | 14


Tài liệu toán 11

C. a b 213.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

năm học 2018

D. a b 212.

- 0946798489

Page | 15


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. GII HN DY S
Vn 1. Tỡm gii hn bng nh ngha
Cỏc vớ d
Vớ d 1. Chng minh rng:
1. lim

n+2
=1
n+1

2. lim

n2 1
2

2n + 1

=

1
2

3. lim

1 2n
n2 + 1

= 2

Li gii.
1. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na >

1
1 , ta cú:
a

n+2
1
1
1
=
<
< a vi n > na
n+1
n + 1 na + 1
Suy ra lim

n+2
n+2
1 = 0 lim
=1 .
n+1
n+1

2. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na >

3

1 , ta cú:
a

n2 1

1
3
3
=
<
< a vi n > na
2
2
2
2n + 1
n + 1 na + 1
2

Suy ra lim

n2 1
2n 2 + 1



1
n2 1 1
=0 lim
= .
2

2n 2 + 1 2

3. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na >

9
a2

1 , ta cú:

1 2n
1 2n + 2 n 2 + 1 1 2n + 2(n + 1)
=
+2
< =
n2 + 1
n2 + 1
n2 + 1
Suy ra lim

1 2n
2

n +1

0 lim
+ 2 =

1 2n
2

n +1

3
2

n +1

3

<

na2

+1

< a vi n > na .

=
2 .

Vớ d 2. Chng minh rng dóy s (u n ) : u n = ( 1)n khụng cú gii hn.
Li gii.
Ta cú: u 2n =1 lim u 2n =1; u 2n +1 =1 lim u 2n +1 =1
Vỡ gii hn ca dóy s nu cú l duy nht nờn ta suy ra dóy (u n ) khụng cú gii hn.
Vớ d 3. Chng minh cỏc gii hn sau:
1. lim

n2 + 1
= +
n

2. lim

2n
n

=

Li gii.
1. Vi mi s thc dng M ln tựy ý, ta cú:
n2 + 1
M + M2 4
> M n 2 Mn + 1 > 0 n >
n
2
M + M2 4
2
thỡ ta cú: n + 1 > M, n > n 0
Ta chn n 0 =
2
n




n2 + 1
= + .
n
2. Vi mi M > 0 ln tựy ý, ta cú:

Do ú: lim

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 11

năm học 2018

2

M + M2 + 8

>M nM n 2>0 n >


2
n


2


2
n2
M + M + 8

> M, n > n 0
thỡ ta cú:
Ta chn n 0 =



2
n





2n
= .
Do ú: lim
n
CC BI TON LUYN TP
Bi 1 Chng minh rng:
n2

1. lim

1
=0
n+1

2. lim

4. lim(2n + 1) = +

5. lim

1
nk

= 0 (k *)

3. lim

sin 2 n
=0
n+2

1 n2
=
n

Bi 2 Chng minh cỏc gii hn sau
1. lim
4. lim

2
=0
n+1
3

3n + n
n2

2. lim

= +

cos n + sin n

5. lim

2

n +1
2n
n+1

=0

3. lim

n+1
=0
n+2

= .

Bi 3 Dựng nh ngha tỡm cỏc gii hn sau :
2n + 1
n2
Bi 4 Tỡm cỏc gii hn sau

1. A = lim

1. A = lim
3. C = lim

n2 n
2n
1
2

n +2 n +7

2. B = lim

2. B = lim
4. D = lim

2n + 3

3. C = lim

n2 + 1

n2 + 1
.
n+1

n sin n 3n 2
n2
4n + 1
n 2 + 3n + 2

.

Bi 5 Chng minh rng dóy s (u n ) : u n = ( 1)n n khụng cú gii hn.
Bi 6 Chng minh cỏc gii hn sau:
1. lim

an
=0
n!

2. lim n a = 1 vi a > 0

Bi 7

x + x 2 + ... + x n
1. Nu dóy s (x n ) cú gii hn hu hn l a thỡ dóy s cỏc trung bỡnh 1
cng cú gii hn l a .
n


2. Dóy s (x n ) tha món iu kin 1 < x1 < 2 v
1
x n +1 = 1 + x n x n2 , n * . Chng minh rng dóy s ó cho hi t. Tỡm lim x n .
2
P N
Bi 1 :
1
1
1

1
1. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na > 1 ta cú
=0.
<
< a n > na nờn cú lim
a
n+1
n + 1 na + 1

2. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na > k
3. Vi a > 0 nh tựy ý, ta chn na >
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

1
1
1
1
<
< a n > na nờn cú lim
=0.
ta cú
k
k
a
n
na
nk

sin 2 n
sin 2 n

1
1
1
=0.
2 ta cú
<
<
< a n > na nờn cú lim
a
n+2
n + 2 n + 2 na + 2

- 0946798489

Page | 2


Tài liệu toán 11

năm học 2018

M 1
2
lim(2n + 1) =+ .

4. Vi mi s dng M ln tựy ý ta chn n M >
Ta cú: 2n + 1 > 2n M + 1 > M n > n M

5. Vi mi s dng M ln tựy ý ta chn n M tha

nM >
Ta cú:

2
nM
1

nM

>M

M + M2 + 4
.
2

n2 1
n2 1
> M n > n M lim
= +
n
n

Vy lim

1 n2
= .
n

Bi 2
2

1. Vi mi a > 0 nh tựy ý, ta chn na = 1 + 1
a
2
2
Suy ra
< a n > na lim
=
0.
n+1
n+1
cos n + sin n
1
cos n + sin n
2
0 lim
0
=
=
<
m lim
2. Ta cú
2
2
2
n
n2 + 1
n
n
1

3. Vi mi s thc a > 0 nh tựy ý, ta chn na = 1 + 1
2
a

n+1
1
n+1
<
< a n > na lim
=
0.
n+2
n+2
n+1
M
nM + 1
4. Vi mi M > 0 ln tựy ý, ta chn =
3
Ta cú:

Ta cú:

3n 3 + n
n

Vy lim

2

= 3n +

3n 3 + n
n2

1
> M n > n M
n

= + .

5. Vi mi M > 0 ln tựy ý , ta chn n M
Ta cú:

n2

=

n+1

1+ n
2n
= .
Suy ra lim
n+1

3
n+1

2

1

> + 3 1
a


> 1 + n 3 > M n > n M

Bi 3
1. Vi s thc a > 0 nh tựy ý, ta chn na >
Ta cú:

2n + 1

=
2
n2

5
+2>2
a

5
5
<
< a n > na
n 2 na 2

Vy A = 2 .
2. Vi s thc a > 0 nh tựy ý, ta chn na tha

na >

2na + 3
na2 + 1


1 + a 2 4a + 13
a

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 11

Ta cú:

2n + 3
n2 + 1

năm học 2018

< a n > na B =
0.

3. Vi s thc a > 0 nh tựy ý, ta chn na >
Ta cú:

1
1
a

n2 + 1
n+2
1
1 <
1 <
< a n > na
n+1
n+1
na + 1

Vy C = 1 .
Bi 4
1
1. A =
2. B = 3
3. C = 0
4. D = 4 .
2
Bi 5 Ta cú: u 2n = 2n +; u 2n +1 = (2n + 1)
Do ú dóy s ó cho khụng cú gii hn.
Bi 6
1. Gi m l s t nhiờn tha: m + 1 > a . Khi ú vi mi n > m + 1
an

Ta cú: 0 <
=
n!

m

a a
a a a
a
a
. ... .
... <
.

1 2 m m +1 n
m! m + 1

n m

n m

a
an
M lim
=0.
= 0 . T ú suy ra: lim

m + 1
n!

2. Nu a = 1 thỡ ta cú pcm

(

)

n

1 + n a 1 > n
Gi s a > 1 . Khi ú: a =


a
Suy ra: 0 < n a 1 < 0 nờn lim n a = 1
n

Vi 0 < a < 1 thỡ

(

n

a 1

)

1
1
> 1 lim n = 1 lim n a = 1 .

a
a

Túm li ta luụn cú: lim n a = 1 vi a > 0 .
Bi 7
1. Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s a = 0 .
Vi mi > 0 tn ti n 0 * sao cho vi mi n n 0 thỡ u n <
T ú ta cú :

u1 + u 2 + ... + u n


0
v
< .
n
2
2

u1 + u 2 + ... + u n
u n +1 + ... + u n
u1 + u 2 + ... + u n
0
0

+
n
n
n
<

( n n0 )
+
< n N .
2
n
2

u1 + ... + u n
= 0.
n
2. Ta s chng minh bng quy np bt ng thc sau:

Suy ra: lim

xn 2 <
Tht vy ta kim tra c ngay bt ng thc ỳng vi n = 3 .
1
Gi s bt ng thc ỳng vi n 3 , tc l x n 2 <
.
2n
1
Khi ú ta cú: x n +1 2 =
x 2 2 2 xn
2 n

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

1
2n

, n 3 .

Page | 4


Tài liệu toán 11

năm học 2018

)

(

1
x 2
2 xn + 2 2 2
2 n
1
1 1
1
< xn 2 <
= .
n
n
2
22
2 +1

Do ú bt ng thc ỳng n n + 1.
1
= 0 nờn t bt ng thc trờn v nguyờn lý kp ta cú lim x n 2 =
Mt khỏc do lim
0 lim x n =
2.
2n
Chỳ ý: Ta cú kt qu sau:
Cho hm s f : tha: f(x) f(y) q. x y vi mi x, y v q ( 0;1) . Khi ú dóy s (u n ) c xỏc nh bi


(

)

=
=
=
u0 c; u
f(u n 1 ),
n 2, 3,... cú gii hn hu hn l nghim ca phng trỡnh f(x) = x .
n

S dng kt qu trờn ta cú nghim ca phng trỡnh f(x) = x cú nghim l

2 nờn ta mi i chng minh lim x n = 2 .

Vn 2. Tỡm gii hn ca dóy s da vo cỏc nh lý v cỏc gii hn c bn
Cỏc vớ d
Vớ d 1. Tỡm cỏc gii hn sau :

1. A = lim

n 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1)

2. B = lim

2

2n + 1

1 + 2 + ... + n n
3 2

1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n

Li gii.
1. Ta cú: 1 + 3 + 5 + ... + 2n 1 =
n2
n2
1
1
.
Suy ra A lim
=
= lim
=
2
1
2
2n + 1

2+
n2
n(n + 1)
;
2. Ta cú: 1 + 2 + ... + n =
2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 2 2 + ... + n 2 =
6
1

n2 1 +
n
n(n + 1)

n
n
2
2
= lim =
Suy ra : B lim
n(n + 1)(2n + 1)
1
1

3
+ 2n
n 3 1 + 2 +
3
6

n
n

+ 2n
6
Vớ d 2. Tỡm cỏc gii hn sau :

1
1
1
1. C = lim 1 1 ... 1
2
2
2
3
n2


3

1
1
2
.
1
+2
3

1
1
1
1
2. D lim
=
+
+
+ ... +

n(n + 1)
1.2 2.3 3.4
Li gii.
1 (k 1)(k + 1)
=
nờn suy ra
1. Ta cú: 1
k2
k2

1
1
1 1.3 2.4 (n 1)(n + 1) n + 1
... 1
. =
...
1 2 1=

2
2n
2
3
n 2 2 2 32
n2

n+1 1
.
Do
vy C lim
=
=
2n
2
1
1
1
=

2. Ta cú
nờn suy ra
k(k + 1) k k + 1
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5

Tài liệu toán 11

năm học 2018

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=1
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n+1
1

Vy D = lim 1
=1 .
n + 1

Vớ d 3. Tỡm cỏc gii hn sau :
1. A = lim

4 n +1 5 n +1

2. B = lim

4 n + 5n

4.3n + 2 2.7 n 1
4 n + 7 n +1

Li gii.
n

4
4 5
n
5
4
= 5 ( do lim = 0 ).
1. Chia c t v mu cho 5n ta cú: A = lim
n
5
4
5 +1

n

2
4
36
7
7
2
2. Ta cú: B = lim
= .
n

49
4
7 +7


1
1
Vớ d 4. Tỡm gii hn sau : C = lim 1 1
2
2
32



1
... 1 2
n






Li gii.

(k 1)(k + 1)
=
nờn suy ra
k
k2

1
1
1 1.3 2.4 (n 1)(n + 1) n + 1
... 1
. =
...
1 2 1=

2
2n

2
3
n 2 2 2 32
n2
n+1 1
.
Do
vy C lim
=
=
2n
2
CC BI TON LUYN TP
Bi 1 Tỡm cỏc gii hn sau :
Ta cú: 1

1. A = lim

1

2

2n 2 + 3n + 1

2. B = lim

3n 2 n + 2

( 2n + 1)
3. C = lim
2

4

( n + 2 )9

n17 + 1
Bi 2 Tỡm cỏc gii hn sau :
1.
=
A lim n 2 + 6n n


3. C = lim

3.2 n 3n
n +1

n +1

2
+3
Bi 3 Tỡm cỏc gii hn sau:
1. A lim n 2 + 2n + 2 + n
=


4

3. C = lim

3n 3 + 1 n

2n 4 + 3n + 1 + n

4. D = lim

n 2 + 2n
n 3n 2 + 1
3

n 2 + 1 3n 3 + 2
4

2n 4 + n + 2 n

3
2.=

B lim n 3 + 9n 2 n


3
4.
=
D lim n 2 + 2n n 3 + 2n 2 .



2. B lim 2n 2 + 1 n
=


4. D = lim

a k n k + ... + a1n + a 0

bp n p + ... + b1n + b0

(Trong ú k, p l cỏc s nguyờn dng; a k bp 0 ) .

(

A lim n 3 2n + 1
5. =

)

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

6. B lim n 2 + n 1 + n
=


- 0946798489

Page | 6


Tài liệu toán 11

năm học 2018

(

=
7. C lim a k n k + a k 1n k 1 + ... + a 0

)

vi a k 0

3
8. D
= lim 2n n 3 + 1



9. E = lim

3n 3 + n 1

10. F = lim

(2n 1)(n + 3)2

(n 2)7 (2n + 1)3
(n 2 + 2)5

3
11. H lim n 2 + n + 1 n
12. =
=
M lim 1 n 2 8n 3 + 2n




3
13. N lim 4n 2 + 1 8n 3 + n
=


3
14. K lim n 3 + n 2 1 3 4n 2 + n + 1 + 5n .
=


Bi 4. Tỡm cỏc gii hn sau

2n + 1
1 3n

1. A = lim
3. C = lim

2. B = lim

n3 + 1

4. D = lim

n(2n + 1)2

5. E = lim

n 3 + 2n + 1
n+2

6. F = lim

7.
=
M lim n 2 + 6n n



2n 3 + sin 2n 1
n +1

3.3 + 4

3. C = lim

3

n +1

+4

n

4. D = lim

n +1

=
5. E lim( n 2 + n + 1 2n)
k

n 3 3n 2 + 2
n 4 + 4n 3 + 1
4

n 4 2n + 1 + 2n
3

10. K = lim

2. B = lim

3

n

(3n 1)2

3n 3 + n n

3
8. N lim n 3 + 3n 2 + 1 n
=



3
9. H lim n 8n 3 + n 4n 2 + 3
=


Bi 5 Tỡm cỏc gii hn sau

1. A = lim

4n 2 + 3n + 1

6. F lim
=

p

(

3.2 n 3n
2 n +1 + 3 n +1
n

.

n!

3

n + 2n
n+1
2

2

n ( 3n + 2 3n 2 1)
n+1+n

)

8. K lim n n 2 + 1 n .
=



=

7. H lim( n 2 + 1 n 2 1)

Bi 6. Tỡm gii hn ca cỏc dóy s sau
1
1
1
1. u n
=
+
+ ... +
2 1+ 2 3 2+2 3
(n + 1) n + n n + 1
2. u n =

(n + 1) 13 + 2 3 + ... + n 3

3n 3 + n + 2
n(n + 1)
1
1
1
3. u n =
.
(1 )(1 )...(1 ) trong ú Tn =
2
T1
T2
Tn
4. u n =

2 3 1 33 1 n 3 1
.
....
2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1

5. u n =

6. u n = q + 2q 2 + ... + nq n vi q < 1

7. u n =

n



2k 1

k =1
n



k =1 n

2k
n
2

+k

Bi 7 Tỡm cỏc gii hn sau:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 7


Tài liệu toán 11

1. A = lim

2. B = lim

năm học 2018

a k .n k + a k 1n k 1 + ... + a1n + a 0

bp .n p + bp1n p1 + ... + b1n + b0
3

vi a k bp 0

n 6 + n + 1 4 n 4 + 2n 1
(2n + 3)2

3. C lim 4n 2 + n + 1 2n
=

3
4. D lim n 2 + n + 1 2 n 3 + n 2 1 + n
=


Bi 8
1. Cho cỏc s thc a,b tha a < 1; b < 1 . Tỡm gii hn

I = lim

1 + b + b2 + ... + bn

.

1
, x = x n2 + x n ,n 1
2 n +1

2. Cho dóy s (x n ) xỏc nh bi x1 =
t S=
n

1 + a + a 2 + ... + a n

1
1
1
. Tớnh lim S n .
+

+ +
x1 + 1 x 2 + 1
xn + 1

3. Cho dóy (x k ) c xỏc nh nh sau: x k =
n

Tỡm lim u n vi u n=

1 2
k
+ + ... +
2! 3!
(k + 1)!

x1n + x n2 + ... + x n2011 .

u0 = 2011
u3

1 . Tỡm lim n .
4. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
u = un +
n
n +1
u 2n

5. Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi : u n =

n+2 2 n+1+ n .

t S n = u1 + u 2 + + u n . Tỡm lim S n .
u1 =
1;

un

6. Cho dóy (u n ) xỏc nh nh sau:
.
u 2n . Tỡm lim u

n +1
u n +=
1 un +
2010


7. Cho dóy s (u n ) vi u n =

4n + 1
2n

n

. Dóy (s n ) c cho bi s n = ui . Tỡm lim s n .
i =1

u1 =
3

8. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
.
u n (u n + 1)2 8
=
u
, (n 1, n N)
n +1
5

n u 2
Xột s hi t v tớnh gii hn sau nu tn ti: lim i
.
n i =1 u 2 + 1
i

Bi 9 Cho dóy s ( u n ) xỏc nh nh sau: u1 = 2 v

u 2n
2010
+
u vi n = 1, 2, 3,...
2011 2011 n
l dóy s tng v khụng b chn trờn.
u=
n +1

1. Chng minh ( u n )
2. Tớnh

n

u
n +
lim

i =1

ui
i +1

1

.

Bi 10.
1. Cho dóy s (x n ) c xỏc nh nh sau:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8


Tài liệu toán 11

năm học 2018

x=
1 1, x=
2 2, x n +=

2

x n +1 + x n , n 1 .

Chng minh rng dóy s ó cho cú gii hn v tỡm gii hn ú.
n

1

2. Cho dóy s (u n ) : u n= 1 + . Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn.
n


2
u1 =

3. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi:
u 2n u n + 3
u
, n 1, 2,....
=
=
n +1
2
u
u
1
+
+
n

n

Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú.
4. Cho dóy s (u n ) tha: u n + u n +1 2u n + 2 v dóy (u n ) b chn. Chng minh rng dóy (u n ) tn ti gii hn hu v tỡm
gii hn ú.
=
u0 1,=
u1 5

5. Cho dóy (u n ) c xỏc nh bi:
u
+ u n2 + 6 . Chng minh rng dóy (u n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii
u n + 2 = n +1
3

hn ú.
u1 =
1

6. Cho dóy s (u n ) tha món:
. Chng minh dóy s (u n ) cú gii hn hu hn. Tỡm gii
u 2n + 4u n + 1
=
u
,n 1
+
n
1

2

un + un + 1


hn ú.

=
=
x1 1;x
2
2
. Chng minh dóy s trờn cú gii hn v tỡm gii hn trờn.
x n +1
4x n + 3x n 1
=

7. Cho dóy s (xn ) sao cho

Bi 11. Cho dóy s (x n ) xỏc nh nh sau:

=
x0

2

2011, x=
n +1

1 + x 2n

=

; n 0,1, 2,...

1. t u n= x 2n , n
= 1, 2, 3,... Chng minh dóy (u n ) cú gii hn hu hn.
2. Chng minh rng dóy (x n ) cng cú gii hn hu hn.
Bi 12. Tỡm lim u n bit:
1. u n =
3. u n
=

n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1)
2

2n + 1
1
2 1+ 2

4. u n =
(1
5. u n =

+

1
3 2 +2 3

+ ... +

2. u n = lim

(n + 1) n + n n + 1

n(n + 1)
1
1
1
.
)(1 )...(1 ) trong ú Tn =
2
T1
T2
Tn

6. u n =

7. u n = q + 2q 2 + ... + nq n vi q < 1
9. u n =



k =1

1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n

1

2 3 1 33 1 n 3 1
.
....
2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1

n

1 + 2 + ... + n n
3 2

8. u n =

1

n



2k 1

k =1
n



k =1 n

2k
n
2

+k

10. u n =

2
2... 2 .

n2 + k

n dau can

3

Bi 13. Cho dóy s (x n ) tha món x n= 2n + a 8n 3 + 1n N , a l s thc cho trc.
1. Tỡm iu kin ca a dóy s trờn cú gii hn hu hn.
2. Tỡm iu kin ca a sao cho dóy s trờn l dóy s tng.
Bi 14. Cho s thc v xột dóy s (x n ) vi
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 9


Tài liệu toán 11

năm học 2018


x1 =

2
x n +1 = x n 2x n + 2

( n * ).

1. Vi (1;2) . Chng minh 1 < x n < 2 vi mi n * v (x n ) l dóy s gim.
2. Vi [1; + ). Tựy vo giỏ tr ca , tỡm gii hn ca (x n ) .
Bi 15.
4
4 8
1. Gi (u n ) l dóy s xỏc nh bi u1 = ; u n +1 =
3u n . Tỡm lim u n .
+
9
9 9

2. Gi s f(x) l hm s c xỏc nh trờn tp s thc R v tha món bt phng trỡnh: 9f ( 4x ) 4 + 4 12f ( 3x ) 9f ( 4x ) .
Chng minh: f ( x ) u n n ;x . T ú hóy suy ra f ( x )
3. Cho cỏc dóy s (x n ),(y n ),(z n ) c xỏc nh nh sau:

4
.
3

=
x1 a;y
=
=
1 b;z
1 c


+ y n 1

y n 1 + z n 1
z n 1 + x n 1
x
=
, yn
, z n = n 1
xn =

2
2
2
a+b+c
Chng minh rng cỏc dóy trờn cựng hi t v giỏ tr
.
3
x1 = a

5. Cho a > 2 v dóy s ( x n ) vi
n+3 .
=
3x n2 +
2x
n +1
n


a) Chng minh : x n > 1 , vi n *

b)Chng minh dóy s ( x n ) cú gii hn v tỡm gii hn ú.
Bi 16.

3
a=
1 a=
2
2
1. Dóy s (a n ) c xỏc nh bi :
. Chng minh rng dóy s (a n ) hi t v tỡm gii hn
2

=
=
a
, n 2, 3, 4..
n +1 a n + a n 1
ca dóy s ú.
2. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh nh sau
u1 = 1

u=
n +1

u n (u n + 1)(u n + 2)(u n + 3) + =
1; n 1, 2,..

.

n

1
. Tỡm lim v n .
i =1 u i + 2

t v n =


x1 =
3. Cho dóy (x n ) :
x
=
n
hn v tỡm gii hn ú.

1
n
1
2
. Chng minh rng dóy (y n ) xỏc nh bi y n =
cú gii
2
1 2
, n 2
i =1 xi
+
+
x
4x
x

n 1
n 1
2 n 1


n au + bv . Chng
4. Cho a, b ,(a, b) = 1; n {ab + 1,ab + 2,...} . Kớ hiu rn l s cp s (u, v) ì sao cho =
minh rng lim

n

rn
1
.
=
n ab

Bi 17.
1. Cho dóy (x=
x n +1
n ) : x1 1;=

(2 + cos 2)x n + cos 2
trong ú l s thc.=
t y n
(2 2 cos 2)x n + 2 cos 2

dóy s (y n ) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

n

2x
i =1

1
n 1 . Tỡm
i +1

Page | 10