ĐỀ KHẢO sát đội TUYỂN TỈNH môn TOÁN 9 HUYỆN KC năm học 2017 2018 có đáp án

Hướng dẫn


Câu 1.

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (m) là:
3  x  mx  (m  1)x  3
Với m = -1 PT vô nghiệm
Với m ≠ -1; ta có: x 

3
3m
y
m 1
m 1

Nên để x là những số nguyên khi m là số nguyên thì
m + 1  Ư(3) = 1; 1;3; 3
m+1
-1
1
m
-2
0

3
2

-3
-4

Thử lại thấy khi đó x, y đều là các số nguyên. Vậy tập các giá trị m tìm được như bảng trên.
Câu 2. Giả sử : n2 + 2018 là số chính phương (n  N )  n2 + 2018 = m2 (với m  N )
 (m – n)(m + n) = 2018
 ít nhất có m – n hoặc m + n chẵn (1)
Do m – n + m + n = 2m là số chẵn
 (m – n) và ( m + n ) có cùng tính chẵn, lẻ (2)
Từ (1) và (2)  (m – n) và ( m + n ) cùng chẵn  (m – n)(m + n)  4
mà 2018 không chia hết cho 4  Giả sử sai
Vậy không có số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương.
Câu 3.
1) Đặt t  x 2 x 2  4  t 2  2  x 4  2 x 2  ta được phương trình
 t  4
t2
 4  t  t 2  2t  8  0  
2
t  2
 x  0
x  0
 4
4
2
2
x  2x  8  0
2 x  2 x  16

* Với t = -4 ta có x 2 x 2  4  4  





x  0
 2
 x 2
x  2
x  0
 x  0
 4
4
2
2
x  2x  2  0
2 x  2 x  4

* Với t =2 ta có x 2 x 2  4  2  






 x  0
 2
x
 x  3  1

3 1 .

Vậy PT có nghiệm x   2 và x  3  1
2) Điều kiện: x  y  0, y  0, 2x 2  3x  1  0

PT (1)  x  x  y   x  y  2 y 2  2 y  x 2  xy  2 y 2  x  y  2 y  0 (*)

Nếu

x  y  2 y  0  x  y  0 không thỏa mãn hệ

Nếu

x  y  2y  0

x y

x y
1
(*)   x  y  x  2 y  
 0  
x  2y 
 0 **
x  y  2y

x  y  2y
1
 0 nên (**) vô
Mặt khác với điều kiện x  y  0, y  0 thì x  y  y 
x  y  2y
nghiệm.Với x  y  0 thì PT(2) trở thành
8x 2  8x  3  8x 2x 2  3x  1  4( x  2x 2  3x  1) 2  (2x  1) 2

3 3
x 

 2 2 x 2  3x  1  1
4


2

 2 2 x  3 x  1  4 x  1
7 1
x 
4

 3  3 3  3   3  3 3  3   7 1 7 1 
Vậy hệ có nghiệm là 
;
;
;
;
;

4   4
4   4
4 
 4

Câu 4.
K

N

O'

B'

H
M
A'

I
A

O

B

1) Vẽ AA’, BB’ lần lượt vuông góc MN. Gọi H là trung điểm MN
 OH  MN
Xét hình thang AA’B’B, có:
R 3
1
(AA’ + BB’) =
2
2
R
 MH =  MN  R
2

OH =


1

2) Chứng minh được M, N, I, K nằm trên cùng 1 đường tròn đường kính IK và 
AKN  (sđ
2

 ) = 600

AB -sđ MN


  1200  MN  MO ' 3
' N  2 MKN
Gọi O’ là trung điểm IK  MO

 MO’ =

R 3
3

3) Chỉ ra điểm K nằm trên cung chứa góc 600 dựng trên đoạn AB = 2R
SABK lớn nhất  đường cao KP lớn nhất  KAB đều.
Khi đó SABK =

AB 2 3
 R2 3
4

Câu 5.
* CM được (a2 + b2)(m2 + n2) ≥ (am + bn)2.
* Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :
2

 1
2  1 2
(1  2 )  2  2      
y  x y
x
2

2

2x2  y 2

xy

2
1
1 1 2
 2 
  
2
y
x
3x y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y
2 y2  z2
1  1 2
2 z 2  x2
1 1 2



(2)
v
à



  
yz
zx
3 y z
3 z x
1  3 3 3
     3.
Từ (1), (2), (3)  P 
3  x y z 

Tương tự:

Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z =

3.

(3)

(1)