Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯU ĐÌNH ANH

CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC,
HÀM HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2010


MC LC
Trang
M U........................................................................................................3
CHNG 1. HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC...................5
1.1............................................................................................Hà
m chỉnh hình....................................................................................5
1.1.1.........................................................................................Đị
nh nghĩa hàm chỉnh hình.......................................................5
1.1.2.........................................................................................Tí
ch phân Cauchy.............................................................................11
1.1.3................................................................................... án
h xạ bảo giác..................................................................................16
1.1.4.........................................................................................Th
ặng d..................................................................................................18
1.2. Hàm lợng giác và hàm hypebolic.................................................21
1.2.1.........................................................................................Đị
nh nghĩa hàm lợng giác................................................................21

1.2.2.........................................................................................Đị
nh nghĩa hàm hypebolic.............................................................26
1.2.3.........................................................................................Hà
m lợng giác và hyperbolic ngợc....................................................26
1.2.4.........................................................................................Kh
ai triển các hàm lợng giác và hypebolic thành chuỗi..........27
Chơng 2. ứng dụng
........................................................................................
31
2.1............................................................................................ứn
g dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết...........31
2.1.1.........................................................................................án
h xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành
hình tròn..........................................................................................31


2.1.2.........................................................................................án
h xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải................33
2.1.3.........................................................................................án
h xạ dải bị khía một đoạn thành dải.....................................34
2.1.4.........................................................................................án
h xạ miền ngoài của cung thành miền ngoài của cung. .37
2.1.5.........................................................................................án
h xạ nửa mặt phẳng bỏ đi một vòm cung thành nửa
mặt phẳng......................................................................................40


2.1.6............ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn
43
2.2.............ứng dụng để giải quyết một số vấn đề thực tiễn

45
2.2.1.............................Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi
45
2.2.2...........................................ứng dụng giải một số bài toán
51
Kt lun..........................................................................................................69
Danh mc cỏc ti liu tham kho.................................................................70

M U


1. Lý do chọn đề tài
Những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong
việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn. Từ
những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công
trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về
khí động lực học và thuỷ động lực học. Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn
đó lý thuyết hàm phức đã thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà
Toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có các hàm lượng giác, hàm hypebolic
với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải
quyết một số vấn đề lý thuyết, trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn.
Việc nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp chúng ta tìm
hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó để
giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy
ở trường phổ thông, việc tìm hiểu về các hàm lượng giác, hàm hypebolic có
thể giúp em nhìn nhận kiến thức Toán Giải tích được áp dụng rất rộng rãi
trong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹ
thuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay.
Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic và
ứng dụng” nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng của các

hàm lượng giác, hàm hypebolic trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý,
kỹ thuật và thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách hệ
thống các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic.


Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng đối với một
số vấn đề về lý thuyết, thực tiễn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.
Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng
của nó.
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu về hàm lượng giác, hàm hypebolic và tổng hợp, hệ thống các
ứng dụng của nó.

CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC
1.1. Hµm chØnh h×nh


1.1.1.

Định nghĩa hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm)

Cho hàm f (z) xác định trên miền D . Xét giới hạn
số
f z z f z
lim
, ( z, z z D) .
z0
z
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo
hàm phức của
f (z) tại z, ký
hiệu là

f z
hay

Nh
vậy

f

df (z)

'

'

dz

z lim

z0

.
f z

f z z
z

.

(1.1)

Hà

f (z) có đạo hàm phức tại z cũng đợc gọi là khả vi
phức hay
m khả vi
tại z.
Cũng nh đối với hàm biến thực, theo quy nạp ta viết:
f

k

(z)

f (z) .
k 1

'

Nếu vế phải tồn tại thì gọi là đạo hàm phức
cấp k của hàm
Định lí 1.1.
Nếu f z
và

z0 thì

g z khả vi
phức tại

f z g z ,

f z . g z

f z /g z

và
cũng khả vi
phức tại

, . Khi đó:

z0 với
mọi

a) f g ' z
b) fg ' z
0

0

g z 0

f ' z g ' z .
0

0

f ' z g z f z g ' z .
0

0

0

0

(1.2)
f (z) trên D.


z g z f z

c) f / g ' z
f

gz

'

.

'
0

0

0

d) Nế w f z khả vi phức
u
tại

z0
còn

0

w0 f z thì hàm hợp
0
gf



02

g

z0

khả vi phức
tại

khả vi phức z0 và
tại

'
g f

g w

z0 g

'


'

f z0

f z0 .

Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann)
Giả
sử
D.

f z u x, y iv x, y ,

zx
iy

xác định trong
miền

Hàm f (z) đợc gọi là khả vi tại z x
u x, y và
nếu các
iy
hàm
v x, y khả vi tại x, y .(theo nghĩa đã biết trong giải tích
thực)
Để
hàm

f (z) khả vi phức tại z x iy
D

điều kiện cần và
đủ là

hà
m

f (z) khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann
sau đợc thoả
v
u
mãn tại z

x, y x, y ,
là:

y
x

u x, y v x, y .
y
x

(1.3)

ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo
hàm.
Giả sử f (z) xác định trên miền D và khả vi tại
mọi điểm

z0 D ,


víi f '  z   0 .
0

XÐt ®êng cong tr¬n tuú ý z vµ gäi L lµ ¶nh cña
f (z) ,
0
l qua
l qua
z  z0  z ch¹y trªn l vµ xÐt  f  z0  z   f  z0  .
L  f  l  . Cho

f
®iÓm
Gi¶ sö  lµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn z0 víi trôc hoµnh, cßn  lµ gãc
cña l t¹i
gi÷a
tiÕp tuyÕn cña L t¹i f  z  víi trôc hoµnh. Khi ®ã:
0
0 


lim arg z z0

lim arg z

zo
z0 zl

zz0 zl

và
lim arg f z

f z0

lim arg z .

(1.4)

zo
z0 zl

zz0
zl

Về mặt ý nghĩa hình học,
hiệu

là góc giữa tiếp tuyến
của l tại

z0 và góc giữa tiếp tuyến của L f z . Một cách hình thức
0
tại 0
đó là góc
mà
hàm

f (z) đã quay đờng cong z0 với
l tại

lim

arg f

arg z

zo
z0 zl

lim arg

zo
z0 zl

f .

(1.5)

z

'
Từ đó, nếu f ' z kei
th arg f (z 0) .
0
viết
ì

Nh vậy,
nếu

f

'

z 0
0

l
tại

z0

qua

th arg f
ì

'

z
0

là góc quay của tiếp
tuyến của

f (z) .

Giả sử và
l1
l2
đờng cong tùy ý
qua

là hai đờng cong trơn tùy z0 L1 và
ý qua
, L2

là
hai

f (z0 và các góc 1,2 ,1,2 tơng ứng đối với l .
Theo

)

nghĩa hình học thì
góc giữa l1

và
l2

tạ z0
i là

1 2 , góc
giữa

L1 và
L2

tại


f  z0  lµ 1  2 .
NÕu

f

'

 z   kei  0

th×:

0

1  1  2   2   ,


do
đó

1 2 1 2 .
Tức là góc giữa hai đờng cong trơn tuỳ ý qua

hớng và độ lớn) qua ánh xạ f . Hàm số có tính chất nh vậy sau
này sẽ gọi là
hàm bảo toàn
góc tại

z0 .

Bây giờ xét ý nghĩa hình học của
môđun của đạo hàm
Xét đờng cong trơn tuỳ
ý l qua
f

'

z
0

f

'

z.
0

z0 . Ta có:

lim
zo
z0 zl

f .

(1.6)

z

Nếu giới hạn này khác 0 thì theo ý nghĩa hình học nó
là hệ số co dãn
củ f (z) dọc theo l z .
0
a tại
Nếu f

'

z0 kei 0

f
th
lim k
ì zo
z
z zl
0

với mọi đờng cong trơn l
qua

z0 .
Nh vậy, trong trờng hợp này hệ số co
dãn của

f (z) tạ z0 dọc
i theo
'

mọi đờng cong
trơn qua

z0 đều bằng nhau
và bằng

f z0 . Một
hàm

có tính chất trên đợc gọi là hàm có hệ số co z .
0

dãn đều tại

f (z)


§Þnh nghÜa 1.2.(§Þnh nghÜa hµm chØnh h×nh)


1
0

Hàm f (z) xác định trên miền D gọi là
chỉnh hình tại
tồn tại r 0 f ( z) khả vi tại
z D z0 , r D .
để
mọi
Nếu f (z) chỉnh hình tại mọi zD
thì ta nói
Tính chỉnh hình
của hàm
hình của hàm

f

z

1

z

z0 D nế
u

f (z) chỉnh hình trên
D.

f (z) tại điểm vô cùng đợc hiểu là
tính chỉnh
tại z 0 .

Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình
trên các tập hợp của mặt phẳng phức đóng .
Định lí 1.3.
Nếu trong hình tròn {|z - z0 | < f (z) đợc biểu diễn nh
là
R } hàm tổng của chuỗi luỹ thừa


f (z)

C

n

n

n1

(z z0 ) ,

(1.7)

thì hệ số của chuỗi này đợc xác định đơn trị theo công
thức:
C

f

(n
)

n

với

f

(n )

(z )
0

(z0 )

(n 0,1, 2,..) ,

n!
n!

(n 1, 2,...) .

f ( )d

(1.8)

2 i ( z )

n1

r

0

Định lí 1.4.
Nếu một
hàm

f z của biến số phức z có đạo hàm bậc nhất
tại mọi

nơi trong miền G, thì nó có tất cả các đạo hàm cấp cao trong
miền đó.
Chứng minh.


Giả sử z là một điểm bất kỳ thuộc miền G và C là một
chu vi kín trơn từng khúc bao quanh điểm z nằm trong
miền G cùng với mọi điểm trong của nó.
Dùng công thức Cauchy ta có:

f z 1



2 i L
mặt khác,
hàm
điểm z. Do
đó, hàm

,

f d

(1.9)

z

f z biểu thị tích phân Cauchy khả vi một số
lần tuỳ ý tại
f z có đạo hàm cấp tuỳ ý trong toàn miền G
vì z là

điểm chọn bất kỳ trong miền G.
Theo công thức cơ bản Cauchy, trong trờng hợp ứng dụng
công thức này ta có đẳng thức:
n!
(n)
f z
f d

2 i

z

n 1, 2,3... .

(1.10)

n1

Định lí 1.5.
Ba điều kiện khẳng định sau đây là tơng đơng:
a) (Riamann) Trong lân cận U nào đấy của
điểm a, hàm
hà
m

'

f
(z)

f (z) có
đạo

theo nghĩa hàm chỉnh hình.

b) (Cauchy) Trong lân cận U nào đấy của
điểm a, hàm
tích phân của nó theo biên của tam giác

bất kỳ U

f (z) liên tục
và

là bằng không.


c) (Vâyestrat)
Hàm

f (z) đợc khai triển thành chuỗi luỹ thừa
hội tụ

trong lân cận U nào đấy của điểm a.


1.1.2.

Tích phân Cauchy

Định nghĩa 1.3.
Tích phân Cauchy của f (z) xác định, liên tục trên đờng
hàm số
cong
khả trờng L với các mút a, b và hớng từ a đến b kí hiệu là

f

(z)dz , là giới

L

hạn của tổng tích phân
n1



f (tk )zk , khi max zk 0 ,
k

k 0

trong
đó

z0 0, z1, z2 ...., zn
b

ý thuộc
cung

z
z

1

là các điểm chia L thành n là điểm
tuỳ
phần, tk

(k 0,1, 2,...., n 1) .

k k

Cách tính.
Giả
sử

z x iy . Với giả thiết đã cho về

f (z) u(x, y) iv(x,
y),

hàm số

f (z) và về đờng cong L, ta luôn có:
n1

f (z)dz li f (t )z udx vdy i
m
k

k

vdx udy ,

(1.11)

L

max zk 0 k 0
k

L

L

trong đó, phần thực và phần ảo của vế phải (1.11) là các
tích phân đờng loại 2 lấy trên L theo hớng từ a đến b.
Khi L là đờng cong khả trờng và đóng, tích phân
(1.11) có nghĩa là tích phân Cauchy đợc lấy theo hớng dơng
(hớng mà khi chuyển động trên L, miền hữu hạn giới hạn bởi L
luôn nằm bên trái).
Nh vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng
công thức (1.11) và khi tính các tích phân đờng loại 2 tơng
ứng ta sử dụng các phơng pháp đã biết.
Nếu L là đờng cong trơn, có phơng trình dạng tham số:
z = z(t) thì ta


có công thức
dạng:

là tích phân xác định
L
trên ,
của hàm số biến số thực, nhận giá trị phức.

f z dz f (z(t))z (t)dt
,

Công thức tích phân Cauchy.
Nếu D là miền hữu hạn với biên L của nó gồm một số
hữu hạn đờng
cong Jordan đóng, trơn từng
f (z) chỉnh
D D L , zo
khúc, hàm số
hình trên
là điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc L. Khi đó,
1



f (z)

f (z0
), dz

2 i L z z0

z0 D,

(1.12)

z0 D \ D.

0
,

Tích phân loại Cauchy.
Gọi L là một đờng cong trơn từng khúc bất kỳ (kín hay
hở) và (z) là một hàm liên tục, xác định dọc theo L. Biểu
thức:
1



( )d

2 i L z

,

(1.13)

có một giá trị xác định tại mỗi điểm z không nằm trên L và
do đó xác định
một hàm
đơn trị

F
(z)

tại mọi điểm z không thuộc L.

Nếu L là một đờng kín và
hàm (z)

chỉnh hình tại mọi nơi
trong L và

trên L, thì nh ta đã biết biểu thức (1.13)
nếu điểm z nằm
bằng (z)
trong L,
và bằng không nếu điểm z nằm ngoài L.
Trong trờng hợp này, chúng ta đã gọi biểu thức (1.13)
là tích phân Cauchy. Tất nhiên, ta sẽ gọi biểu thức (1.13) với
các giả thiết tổng quát trên
đây về hàm (z) là tích phân loại Cauchy.


Do đó, khi thiết lập tích phân loại Cauchy, chỉ cần cho
trớc hàm (z) trên chu vi lấy tích phân L. Ta chỉ đòi hỏi hàm

( ) liên tục, để cho tích phân (1.13) thật sự có nghĩa.
Định lý 1.6.


Hàm F
(z)

xác định tích phân loại Cauchy (1.3) là hàm
chỉnh hình trên

toàn bộ miền đơn liên G, không chứa các điểm của đờng
cong L và đối với
đạo hàm của nó, ta có công thức:

1
F (z)
( )d

.

(1.14)

2 i
( z)2
L
Chứng minh.
Giả sử z là một điểm nào đó trong miền G. Định lý coi
nh đợc chứng
minh, nếu ta chứng tỏ là tại
điểm đó, hàm thức (1.14).

F
(z)

có đạo hàm xác định
bởi công

Thật vậy, ký hiệu z + h là một điểm tuỳ ý của miền G,
và xét tỉ số:
(1.15)

F (z h) F
(z) h

giữ z không đổi, cho h tiến tới không, chúng ta chứng
minh là tỉ số (1.15) tiến tới một giới hạn hữu hạn, xác định
bởi công thức (1.14).
Muốn vậy, ta biến đổi tỉ số (1.15) nh sau:
F (z h) F (z) 1 1
d
1
( )d





2 i
h
h 2 i L z
z
L
h
1

2 i L

d
z
h

z

.

(1.16)


cho h tiÕn tíi kh«ng, vµ chuyÓn qua giíi h¹n díi dÊu tÝch
ph©n, tõ ®¼ng thøc (1.16) ta ®îc:


F ' z

1

d
2 iL z 2

.

Chỉ cần chứng minh là việc qua giới hạn nh trên là có
thể làm đợc. Muốn chứng minh ta lập hiệu giữa các
biểu thức:
1

d



z

2 i L z
h

và giới
hạn

, rồi chứng minh là hiệu này tiến tới
không cùng

d

2 i L
1

z

với h.
Thật vậy, hiệu đó có dạng:
1

d

2 i z
h



z

L

1

d

1

2 i

z 2

L

.

h d

2 i L z
h

(1.17)

z 2

Ta hãy ớc lợng hiệu (1.17). Tất nhiên ta có:
h d
1

2 i z
h
L

trong đó, ta
giả sử

z

2

h
2

M d

z h z2 ,

(1.18)

L

M . Vì theo điều kiện đặt ra là
một hàm liên


tục dọc theo L. Gọi 2d d 0 là khoảng cách từ đờng L đến
điểm x, nghĩa là cực tiểu của các khoảng cách giữa các
điểm mà cứ một điểm thì nằm trên


đờng L, còn điểm kia là z.
z

Ta có: với điểm bất kỳ

d
,

zh
d

nếu h khá
bé

trên L.
Chú ý tới điểm đó, ta thấy là vế phải của bất đẳng thức
(1.18) bé hơn L

là:

h M1
3
2 d

(1.19)

trong đó, ta ký hiệu độ dài của đờng cong L là 1.Biểu thức
(1.19) tiến tới không cùng với h, do đó cả hiệu (1.17) cũng
tiến tới không cùng với h.
Nh vậy, hiệu giữa tỉ số (1.15) và tích phân (1.14) tiến
tới không cùng với h, và điều đó chứng minh định lý nói
trên.
Công thức (1.14) chứng tỏ rằng, muốn có đạo

hàm của hàm

F z , chỉ

cần lấy đạo hàm hình thức hàm ở trong tích phân dạng
Cauchy (1.13) theo
biến số z, nhờ tích phân (1.13) này mà ta F z .

xác định hàm
Tơng tự nh vậy, ta có thể lấy đạo hàm lần thứ hai và
tổng quát hơn một số lần bất kỳ.
Định lý 1.7.
Tại mỗi điểm z nằm ngoài F z
xác định bởi tích phân
L, hàm
Cauchy
(1.13) có đạo hàm mọi bậc, ta có các công thức:
2!
,
F '' z
d
(1.20)
2 i L z 3