Các hàm Wigner của electron đi qua hàng rào thế bán dẫn

1

LỜI CẢM ƠN
Dưới sự hướng dẫn của TS Trần Thái Hoa, khoa Vật Lý - Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin
chân thành cám ơn những định hướng, quan tâm, hướng dẫn đúng đắn của
thầy đã và đang giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý,
phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy,
tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi học tập cũng như làm luận văn này.
Đồng thời tôi muốn cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học vật
lý K13, các bạn trong nhóm vật lý chất rắn trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Người viết

Nguyễn Ánh Sáng

Nguyễn Ánh Sáng

Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy
trách nhiệm của TS Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác
và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Học viên

Nguyễn Ánh Sáng


MỤC LỤC
Tran
g Trang phụ bìa............................................................................................1
Lời cảm ơn...................................................................................................2
Lời cam đoan...............................................................................................3
Mục lục ...................................................................................................

4

Mở đầu ....................................................................................................

5

Nội dung .................................................................................................

8

Chương 1. Các biểu diễn trong cơ học lượng tử ....................................

8

1.1. Các biểu diễn truyền thống....................................................................8
1.2. Biểu diễn trong không gian pha. Hàm Wigner.....................................13
Chương 2: Hàng rào thế bán dẫn.................................................................18
2.1. Phương trình sóng của hạt trong hàng rào thế......................................18

2.2. Sự hình thành hàng rào bán dẫn...........................................................20
2.3. Hàm sóng của electron trong hàng rào thế bán dẫn.............................21
Chương 3. Tương tác giữa hệ hai mức với sóng điện từ cộng
hưởng ......................................................................................................

24

Chương 4. Các hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế bán dẫn................36
4.1. Hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế...............................................36
4.2. Hàm Wigner của hạt trong trong giếng lượng tử bán dẫn hai
mức tương tác với sóng điện từ cộng hưởng...............................................42
Kết luận.......................................................................................................43
Tài liệu tham khảo.......................................................................................44


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học
nhưng là một học thuyết khó. Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học
lượng tử: cơ học ma trận Heisenberg, cơ học sóng (Schodinger), lý thuyết
biến đổi Pauli Đirac (nhằm thống nhất và khái quát hoá hai phương pháp
trên)…. Theo các phương pháp trên: Trạng thái lượng tử của một hệ lượng tử
sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất hay còn gọi là các đại lượng
quan sát như năng lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), momen động
lượng,… các quan sát trên có thể là liên tục (vị trí các hạt) hay rời rạc (năng
lượng của điện tử nguyên tử hiđro). Các phương pháp trên không cho ra các
quan sát có giá trị xác định mà nó tiên đoán một phân bố xác suất. Vì vậy khi
chúng ta quan tâm đến các trạng thái của hệ như thế nào, biến đổi từ trạng thái
này sang trạng thái khác ra sao thì chúng ta thường sử dụng không gian pha
(ví dụ hạt trong hàng rào thế hình chữ nhật thông thường khi chưa có sóng

điện từ tác dụng và khi chịu tác dụng của sóng điện tử tác dụng,…)
Không gian thường là không gian mà hệ di chuyển trong đó. Không
gian pha (không gian các trạng thái) là không gian mà trong đó mỗi điểm quy
định một trạng thái của hệ. Mô tả cơ học lượng tử trong không gian pha dựa
trên khái niệm hàm Wigner (được Wigner đưa ra năm 1932) để tính chất của
các trạng thái lượng tử được bộc lộ một cách trực tiếp và rõ ràng hơn so với
cơ học lượng tử truyền thống (mô tả hệ vi mô bằng vectơ trạng thái hoặc toán
tử mật độ) vào năm 2003. Trong một công trình công bố ở tạp chí
Phys.Rev.Let, W.shluch và các đồng tác giả đã đưa ra một cách biểu diễn mới
của hàm Wigner - biểu diễn Fresnel. Nhờ đó có thể mô tả tường mình các tính
chất của hàm Wigner từ những số liệu thực nghiệm khi đo các đại lượng đặc
trưng của hệ hai mức với sóng điện tử cộng hưởng.


Ngày nay chuyển động của hạt qua hàng rào thế (hiệu ứng đường
ngầm) được ứng dụng rất nhiều. Ví dụ như điôt tunnel (điôt hầm), trong đó
dòng các electron nhờ hiệu ứng đường ngầm đi qua một dụng cụ có thể bị tắt
hoặc mở rất nhanh bằng cách điều chỉnh độ cao của bờ thế. Điều này được
làm cực nhanh (trong vòng 5ps). Vì vậy dụng cụ rất thích hợp cho những ứng
dụng đòi hỏi phải có sự đáp ứng cực kỳ nhanh. Hoặc ta phải sử dụng hiệu ứng
đường ngầm để giải thích một số loại phân rã phóng xạ, sự phân hạch và tổng
hợp hạt nhân. Rất nhiều nhà bác học đã nghiên cứu về hiệu ứng đường ngầm
và giành giải thưởng cao. Giải thưởng Nobel năm 1973 đã được chìa sẻ bởi ba
nhà “đào đường ngầm”, đó là Leo Esaki (xuyên đường ngầm qua chất bán
dẫn), Ivar Giaever (xuyên đường ngầm qua chất siêu dẫn). Brian Josephon
(tiếp xúc Josephson, một dụng cụ chuyển mạch lượng tử dựa trên hiệu ứng
đường ngầm). Năm 1986 giải thưởng Nobel lại được trao cho Gerd Binnig và
Heinrich đó là kính hiểu vi quét xuyên đường ngầm.
Bằng cách thay đổi các thông số vật liệu và kích thước có thể tạo ra hệ
hai mức trong hàng rào thể bán dẫn để cho các đặc trưng của hàm Wiger của

electron tương tác với sóng điện từ cộng hưởng bộc lộ một cách dễ quan sát
nhất.
Để chuẩn bị cho các thí nghiệm đó trong luận văn này chúng tôi đã tính
các biểu thức của hàm Wigner trong hàng rào thể bán dẫn.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng biểu thức hàm Wigner cho chuyển động của electron trong
hàng rào thế bán dẫn hai mức cả trong trường hợp tương tác và không tương
tác với sóng điện từ cộng hưởng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Dựa vào luận văn [17] để xây dựng các hàm Wigner của electron
trong hàng rào thế bán dẫn.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các biểu diễn trong cơ học lượng tử: biểu diễn Schrodinger, biểu diễn
Heisenberg, biểu diễn tương tác.
- Bài toán hàm riêng của hạt trong hàng rào thế.
- Bài toán tương tác của hệ hai mức không suy biến với sóng điện từ
cộng hưởng.
- Hàm Wigner.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu lí luận về các phương pháp biểu diễn trong cơ học lượng tử.
- Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong vật lí bán dẫn.
- Phương pháp hàm Wigner trong cơ học lượng tử.
6. Giả thuyết khoa học
- Luận văn sử dụng đơn vị

h = 1.

- Độ lệch cộng hưởng phải nhỏ hơn rất nhiều khoảng cách giữa hai mức năng

lượng.
- Sử dụng gần đúng cộng hưởng, tức bỏ qua những số hạng tần số cao
chỉ giữ lại những số hạng tần số thấp.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CÁC BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
1.1. Các biểu diễn truyền thống
Trạng thái của một hệ lượng tử được mô tả bởi vectơ két ψ .
Nếu

ψ
1

ψ là các trạng thái có thể thì trạng thái chồng chập

và

2

ψ = a ψ+ ψ
a
1

1

2

(1.1.1)

2

a1 và
cũng là trạng thái có thể của hệ, ở đây biên độ a
2

là các số phức.

Nguyên lý chồng chập trạng thái là cơ bản nhất trong lượng tử. Bra ψ
là
biểu diễn tương đương của trạng thái trên được viết:

ψ =a* ψ
ψ
+
a
*
1

ở đây

a

a*

*

,1

1

2

(1.1.2)

2

là kí hiệu liên hợp phức của a và a2 . Sự phủ nhau (hay tích
1

2

trong) của hai trạng thái ψ
và
1

của nó ψ
ψ
hướng
2
1 của

ψ là số

ψ ψ hoặc liên hợp

phức

phức

2

1

2

tương đương một đại lượng vô hướng hay tích vô

hai vectơ. Nếu sự phủ này bằng không thì những trạng thái đó gọi là trực
giao với nhau. Tích trong của một trạng thái ψ với chính nó là thực
và luôn dương do đó


ψ ψ >0

(1.1.3)

Nếu tích trong đó là đơn vị, tức là ψ ψ = 1 thì trạng thái
này được gọi
là chuẩn hoá. Nếu trạng thái ψ
và1

ψ của (1.1.1) là trực chuẩn (gồm
cả
2

trực giao và chuẩn hoá) thì biên độ a1 và

được cho bởi:

a2

ψ ψ = a = ψ *ψ

(1.1.4)

ψ ψ = a = ψ *ψ

(1.1.5)

1

2

1

2

1

2


Nếu chính ψ
hoá thì a

đã chuẩn

+a

2

1

= 1và ta đoán
nhận
2

2

a 2 2 tương ứng là các xác xuất mà hệ sẽ ở trạng thái

ψ
1
và

a

2

và

1

ψ
. Khái
2
quát

hoá của (1.1.1) cho trạng thái chồng chập của nhiều trạng thái có thể ψ là:
n

ψ =
Nếu ψ
trạng thái

∑a ψ
n

ψ
là trực chuẩn thì
n

đã chuẩn hoá và các

∑ a

(1.1.6)

n

2
n

(1.1.7)

=1

Xác suất chuyển mức từ trạng thái ψ đến trạng

thái
1

ψ
1
2

2
ψ

là

(1.1.8)

2

Việc mô tả một hệ đủ được thực hiện bởi các toán tử. Khi toán tử Â tác
dụng lên trạng thái bất kỳ nào của hệ thì biến nó thành một trạng thái khác.
Trạng thái này thông thường sẽ không được chuẩn hoá liên hợp Hermite Aˆ
+

của toán tử Aˆ được định nghĩa bởi các yêu cầu sau:

( Aˆ )
+

=

(1.1.9)

Aˆ

+

( Aˆ + B )
+
ˆ =
Aˆ

+

+B

(1.1.10)

ˆ+

( Aˆ Bˆ )+ = Bˆ
+
+
Aˆ
+
( λAˆ ) = λ*
+
Aˆ

(1.1.11)

(1.1.12)

Bˆ là một toán tử bất kỳ và λ là một số phức, khi toán tử Â thoả
mãn

Aˆ
= Aˆ

+

thì nó được gọi là toán tử Hermite Aˆ . Các giá trị
riêng

λ của
Anˆ

thoả mãn phương trình trị riêng:

Aˆ n λ

n

=n λ

λ

(1.1.13)
Phương trình liên hợp của (1.1.12) khi λn được thay
bởi λm

là:

11

λ Aˆ + =
λ
m

m

Aˆ
=λ

*
m

Thực hiện sử phủ của (1.1.13) với

m

(1.1.14)

m

được

λn

λ Aˆ

λ

λ
=λ λ λ
*
n

m

m

n

(1.1.15)
được

Tương tự thực hiện sự phủ của (1.1.12) với

λm
λ Aˆ
m

λ =λ λ λ
n

n

m

(1.1.16)

n

Trừ (1.1.15) cho (1.1.16) ta được

(λ

*

− λ
m

Khi

m

) λλ
n

m

(1.1.17)

=0
n

= n thì theo (1.1.14) suy ra giá trị riêng
λn

Khi λm ≠ λn thì theo các t.thái

λ

phải là thực.

λ
trực giao và có thể biến đổi
n

m

và thành trực chuẩn với

λm λn = δ
mn

(1.1.18)

Như vậy các toán tử Hermite có các giá trị riêng thực, ứng với các trạng
thái riêng trực chuẩn. Phép đo đại lượng A cho một trong các giá trị thực của

 . Nếu trạng thái
ψ = ∑a n λ
n

(1.1.19)

n

chuẩn hoá thì xác suất để phép đo đại lượng A cho kết quả λn
là

2

. Nếu


12

an

tất cả các trạng thái có thể biểu diễn dưới dạng (1.1.18) thì tập hợp

{

λ
n }

được gọi là đủ. Nếu hai trạng thái trực chuẩn λ và λ có cùng giá trị
m
n
riêng λ thì các trạng thái đó gọi là suy biến và xác suất thu được kết
quả λ là

a

2
m

+a

2
n

. Giá trị trung bình A của đại lượng A thu được từ phép đo trên

một tập hợp của các hệ đồng nhất là giá trị kỳ vọng của  được cho bởi

A = Aˆ = ∑a 2
= ψ
λn
n
n
Aˆ ψ

(1.1.20)


Phương sai được định nghĩa

∆A2 =
ψ

(

Aˆ

−
Aˆ

)

2

ψ =

ψ Aˆ

2

−

(

ψ
Aˆ

ψ

)

(1.1.21)

2

Độ bất định là ∆A =
∆A2 . Độ bất định này bằng không khi
và chỉ khi

ψ

là trạng thái riêng của  .
Giao hoán tử của hai toán tử Â và Bˆ được định nghĩa là:

 Aˆ ,Bˆ
−

 = A Bˆ

Aˆ
ˆ Bˆ

(1.1.22)

Nếu Aˆ và Bˆ là Hermite và giao hoán tử trên bằng không, thì các
toán tử Aˆ và Bˆ có chung một tập hợp đầy đủ các trạng thái riêng. Giao
hoán tử (1.1.21) của hai toán tử Hermite cũng là một toán tử Hermite,
trong đó

 ,Bˆ  + ,Bˆ  . Giao hoán tử của toán tử Aˆ với tích hai toán tử


 = −  A Bˆ Cˆ là
A ˆ
ˆ

hoặc

 ,Bˆ Cˆ
 =
 

ˆ
A B
ˆ
 Bˆ Cˆ ,Aˆ


 ,Cˆ
 +
 
ˆ
A  A
ˆ

,Bˆ  Cˆ

 = Bˆ



 Cˆ ,Aˆ


Bˆ 

Cˆ


+  ,Aˆ


(1.1.23)

Phản giao hoán tử được định nghĩa là

{

{
Aˆ

,Bˆ

} là Hermite nếu Aˆ

ˆ
Aˆ ,B

+B
ˆ
= Aˆ
A
Bˆ
ˆ

(1.1.24)

}

và Bˆ là Hermite. Độ bất định của các đại

lượng

quan sát được A và B cho tại trạng thái bất kỳ liên hệ với nhau bởi nguyên lý
bất định:

∆A.∆B ≥

1

2

 , ˆ
A B
ˆ 



(1.1.25)


Như vậy ta không thể đo được một cách chính xác đồng thời cả hai đại
lượng A và B. Sai số mà ta mắc phải khi đo tuân theo hệ thức bất định
(1.1.25). Đo một đại lượng càng chính xác thì đo đại lượng kia càng kém
chính xác.
Các trạng thái ψ có thể biểu diễn theo phương trình Schrodinger

(t)

ih

∂

(1.1.26)

ψ( t ) = ψ
∂t
Hˆ ( t )

với Hˆ là toán tử Hamintơn. Toán tử Hamintơn này phụ thuộc vào hệ và
mẫu được sử dụng để nghiên cứu nó, phụ thuộc vào thời gian. Giá trị trung
bình của một toán tử không phụ thuộc thời gian, Aˆ

thay đổi theo thời

gian do sự
biến đổi của ψ

(t)

d
Aˆ

=
−
i

dt

ψ , 
(t) A H ψ(
ˆ ˆ t)



h

(1.1.27)



Thay cho việc sử dụng phương trình Schrodinger bằng việc sử dụng
bức tranh tương tác Heisenberg, trong đó

ψ =
giữ nguyên không
(t) ψ (0

)

đổi trong khi toán tử thay đổi do đó

Aˆ
d

Aˆ (=t )
dt

i

( t)

thoả mãn phương trình Heisenberg

 Hˆ ( t )  ∂
+
,Aˆ
A

 ˆ
h
∂t

( t)

(1.1.28)


Ở biểu thức này số hạng đạo hàm riêng giải thích cho sự phụ thuộc
tường mình vào thời gian. Nếu Aˆ không phụ thuộc tường minh vào thời
gian và luôn giao hoán với Hˆ thì Aˆ và đại lượng quan sát tương ứng A
là tích phân chuyển động.


Quy tắc lượng tử hoá là: trong x- biểu diễn thì toạ độ là c-số, còn toán

d

tử xung lượng là −i . Các toán tử khác thu được từ biểu thức cổ điển
bằng

dx

cách áp dụng quy tắc lượng tử hoá trên.
1.2. Biểu diễn trong không gian pha. Hàm Wigner
Ngoài các biểu diễn khác nhau trong cơ học lượng tử như biểu diễn
Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác, cơ học lượng tử
còn có thể biểu diễn trong không gian pha, trong đó cả biến số toạ độ và biến
số xung lượng đều là c-số. Điểm xuất phát là hàm chuẩn phân bố do Wigner
đưa ra năm 1932 và từ đó được gọi là hàm Wigner hàm của cả hai biến toạ độ
và xung lượng
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm chuẩn phân bố Wigner
Nếu hàm sóng phụ thuộc vào x1 ,x 2 ,...,xn và t , khi đó ma trận mật độ

; x ,...,x ; t ) =
ρ ,...,x ∑ ω ψ
(x
'

là:

1

với

n

1

∑ω
k

k

;t)ψ
'
( x ,...,x ; t )

'

n

k

k

k

1

n

k

*

(x

'

,...,x
(1.2.1)

1

n

=1

Khi đó hàm chuẩn Wigner được định nghĩa (Wigner 1932 và 1987) như
sau:

 1 n

W( x1 ,...,xn ;p1 ,...,pn ;t ) = 

π



÷

∫ exp{2i ( p1 y1 + ...+ pn yn

(1.2.2)

)} ×

× ρ( x1 − y1 ,...,xn − yn ;x 1 + y1 ,...,xn + yn ,t )dy1dy2

...dy n
ở đây

xi và p là c-số và hàm Wigner được xác định trên không gian pha 2n
i


chiều. Nếu hệ ở trạng thái sạch với hàm sóng ψ(

x1 ,...,xn ;t ) thì


1
n exp 2i p
,...,x ;p ,...,p ;t ) =
y

W(
x
1

nn

*

1

{ (

π
÷

+ ...+ p y ×

1

)}
n

1

n

(1.2.3)

∫

 

×ψ ( x1 + y1 ,...,xn + yn ;t )ψ( x1 − y1 ,...,xn − yn ;t )
dy1 dy2 ...dy n
Hàm Wigner của trạng thái sạch này là đơn giản nhất khi hệ chỉ phụ
thuộc vào một cặp các biến x và p . Như vậy con đường dễ nhất để nghiên
cứu các tính chất của hàm Wigner là xuất phát từ hàm Wigner đơn giản nhất.
Đối với trường hợp đơn giản này hàm Wigner có dạng.

1
W( x,p,t ) = exp ( 2ipy )ψ* ( x + y,t )ψ(
∫
π
x − y,t )dy

(1.2.4)

+∞

Từ đây về sau kí hiệu tích phân

∫ f ( x )dx
∫ f ( x )dx −∞
=

Đối với hàm sóng không phụ thuộc thời gian ψ( thì hàm Wigner

x)

không phụ thuộc vào thời gian

1
W( x,p ) =
*
exp
(
2ipy
)ψ
(x+y)
∫
π
ψ( x − y )dy

(1.2.5)

Tại các trạng thái với năng lượng xác định hàm Wigner không phụ
thuộc thời gian

Trước hết ta nghiên cứu dạng đơn giản nhất này và sau đó mở rộng các
tính chất của nó cho dạng phức tạp hơn.
Tính chất 1:
Nếu tích phân theo p, W( x,p ) cho xác suất lượng tử ở x :
2


Chứng minh:

ψ( = ∫ w( x,p )
(1.2.6)
x)
dp
*
ψ
(
x
+ y )ψ( x − y )dy exp( 2iyp )
dp

w(1x,p )dp
=

∫

π

∫

∫

1
exp( iky )dk ta có
Từ định nghĩa hàm delta δ( y
2
)=
π

∫

I=∫

W( x,p )dp ψ* ( x + y )ψ( x − y )dy.2π.δ(
1
= 2y )
∫
π
I= 2

z
z
1
* 
ψ
x
+
ψ
x
−

δz.
dz
Đặt
z
=
2y
;dz
=
2dy
:

∫




* 

= ψ

∫




2

÷

÷

2

 
z




x+

2 ÷ 

ψ
2 ÷

2
x−

z

δzdz

2

= ψ( x )
Tương tự nếu W( x,p ) được lấy tích phân theo x , nó cho xác
suất
xung lượng có các giá trị p :

χ( p,t ) 2

= ∫ W( x,p )

(1.2.7)

dx
Với

χ( p )là hàm sóng biểu diễn xung lượng


1/ 2
1
χ( p ) =

÷
 π  ∫ exp( −ipx )

(1.2.8)

ψ( x )dx

Trong các định nghĩa của hàm Wigner từ (1.2.1) đến (1.2.5), p được
đưa vào như tham số biến đổi Furiê, từ các tính chất (1.2.6) đến (1.2.7) ta có
thể coi nó như biến số xung lượng. Trong không gian pha cả x và p là c-số


khác với trong biểu diễn Schrodinger, Heisenberg và tương tác của cơ học
lượng tử khi mà một trong hai biến số đó là q-số.

Tính chất 2: Định nghĩa hàm Wigner từ hàm sóng trong biểu diễn xung
lượng:
Do ψ( x ) =

Wigner như sau:



1
 ÷ ∫ exp( ipx )χ(
π

p )dp
1/ 2

nên cũng có thể viết hàm


1
W( x,p ) =
exp( −2ixz )χ* ( p + z )χ(
∫
π
p − z )dx

(1.2.9)

Ta có thể tìm lại các phân bố xác suất của (1.2.6) và (1.2.7) từ các biểu
thức trên
Tính chất 3:

Nếu hệ ở trạng thái

thành

φ(
x)

ψ( và sau khi quan sát trạng thái của hệ trở
x)
2

thì xác suất để quan sát có kết quả ấy là ψ,φ - là bình
phương

giá trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vectơ trạng thái.
Trong ngôn ngữ của các hàm Winger, xác suất chuyển mức có thể viết

( ψ,φ ) 2

= 2π∫ Wψ ( x,p )Wφ ( x,p

(1.2.10)

)dx dp
Biểu thức cho thấy hàm Wigner không thể là dương mọi nơi
trong không gian pha. Nếu ψ và φ là trực giao, biểu thức trên
phải bằng không.
Điều này không thể xảy ra nếu cả hai hàm Wigner ở vế phải là dương mọi nơi
trong không gian pha.
Tính chất 4:

Nếu Aˆ ( x ) và Bˆ ( p ) là các toán tử động lực chỉ phụ thuộc vào x
và p
một cách tương ứng, các giá trị kỳ vọng của chúng là:

ψ( x ),Aˆ ( x
),ψ( x )

ψ(
p ),
Bˆ (
x ),

χ(
p)


= ∫ Aˆ ( x )W( x,p )dx dp

= ∫ Bˆ ( p )W( x,p )dx
dp

(1.2.11)
(1.2.12)

Trong bức tranh Schrodinger Aˆ ( x ) và Bˆ ( p ) luôn không giao
hoán với nhau. Vì vậy các giá trị trung bình của tích Aˆ ( x ) . Bˆ ( p )
không có dạng đơn giản.
Tính chất 5:

Do cả x và p là c-số trong bức tranh không gian pha, có thể thực hiện
các biến đổi chính tắc trong không gian pha. Tuy nhiên không giống như hàm
phân bố Liouville trong cơ học cổ điển, hàm Wigner không phải phân bố xác
suất. Như đã nhận xét ở tính chất 3 hàm Wigner có thể trở thành âm trong
không gian pha.
Các tính chất 1 và 5 đã nêu ở trên cho một cặp đơn biến chính tắc có
thể được mở rộng tới hàm Wigner có nhiều cặp biến số.
1.2.2. Hàm Wigner phụ thuộc thời gian
Hàm Wigner phụ thuộc thời gian được định nghĩa qua hàm sóng như
trong (1.2.5)

1
W( x,p,t ) = exp( 2ipy )ψ* ( x + y,t )ψ(
∫
π
x − y,t )dy

(1.2.13)

Tổng quát:

∂

−
∂t

W( x,p,t ) = ∂ W ( x,p,t ) +
p
m ∂t

2 n+1



+

−





i

1

.



n=0

2

Trong đó

÷

∂x










  

( 2n +1)!

÷

W( x,p,t )

V( x
)



(1.2.14)

2n+1



 ∂

2

∑


∂

∂p

÷

V( x ) là trường thế. Phương trình trên thay thế phương trình

Schrodinger cho hàm sóng.
Hàm Wigner của hạt tự do trong trạng thái với năng lượng không xác