Mô hình xích Markov và ứng dụng trong marketing

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

MAI TRONG HIEU

MÔ HÌNH XÍCH MARKOV
VÀ ÚNG DUNG TRONG
MARKETING

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

HÀ N®I, 2016


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

MAI TRONG HIEU

MÔ HÌNH XÍCH MARKOV
VÀ ÚNG DUNG TRONG
MARKETING

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: Toán Nng
dnng Mã so : 60 46 01
12

Ngưèi hưéng dan khoa

hoc

TS. Hà Bình Minh

HÀ N®I, 2016


LèI CÃM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cúa lu¾n văn, tác giá xin gúi lòi tri
ân sâu sac đen các thay cô, các ban đong nghi¾p và gia đình.
Đau tiên, tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen TS. Hà Bình
Minh, thay đã t¾n tình chí báo đe tác giá có the hoàn thành lu¾n văn này.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn các thay cô giáo và t¾p the cán b®
công nhân viên Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã trau doi kien thúc và
tao đieu ki¾n cho tác giá trong quá trình hoc t¾p và rèn luy¾n tai đây.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn vô han đen gia đình và nhung ngưòi ban
đã luôn đ®ng viên, sé chia, khích l¾ đe tác giá có the hoàn thành công vi¾c.
Tác giá xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2016
Tác giá lu¾n văn

Mai Trong Hieu


LèI CAM ĐOAN
Tác giá xin cam đoan lu¾n văn này là ket quá nghiên cúu, tìm tòi cúa
riêng tác giá dưói sn hưóng dan cúa TS. Hà Bình Minh.
Trong quá trình nghiên cúu, tác giá đã ke thùa thành quá khoa hoc cúa
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn. Các ket quá trích dan trong
lu¾n văn này đã đưoc chí rõ nguon goc.

M¾c dù đã rat co gang song do buoi đau làm nghiên cúu khoa hoc nên
không tránh khói thieu sót, tác giá rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp chân
thành cúa thay cô và các ban đong nghi¾p.
Tác giá xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2016
Tác giá lu¾n văn

Mai Trong Hieu


Mnc lnc
Mé đau

5

1 Mô hình xích Markov rèi rac

7

1.1. Khái ni¾m xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. M®t so ví dn ve xích Markov.............................................................12
1.3. Trang thái dùng...................................................................................18
1.4. Công thúc ma tr¾n cho trang thái dùng...........................................21
2 Giá tr% tiem năng cúa khách hàng trong lĩnh vNc
marketing

23

2.1. Giá tr% tiem năng cúa khách hàng là gì?...........................................23
2.2. M®t ví dn ve giá tr% tiem năng cúa khách hàng..............................24
2.3. Xây dnng công thúc tính toán giá tr% tiem năng khách hàng dna
vào mô hình xích Markov...................................................................27
2.3.1.

Mô tá moi quan h¾ giua công ty và khách hàng.................27

2.3.2.

Xây dnng công thúc tính toán giá tr% tiem năng cúa khách
hàng........................................................................................30

2.3.3.

Ví dn áp dnng.........................................................................32

5


3 Áp dnng véi ví dn thNc te

36

3.1. Chính sách "khách hàng thân thiet" cúa Canifa năm 2016..............36
3.2. Mô tá mô hình xích Markov cho các nhóm khách hàng...................39
3.2.1.

Xác đ%nh các trang thái.......................................................39

3.2.2.

Xây dnng sơ đo chuyen trang thái........................................40

3.2.3.

Xác đ%nh ma tr¾n chuyen trang thái.................................43

3.3. Tính toán trang thái dùng cúa xích Markov......................................46
3.4. Tính toán vectơ giá tr% tiem năng cúa khách hàng..........................47
3.5. Giá tr% tiem năng trung bình cúa moi khách hàng..........................49
Ket lu¾n

51

Tài li¾u tham kháo

51

Phn lnc

53

6


Mé đau
1. Lý do chon đe tài
Giá tr% tiem năng cúa khách hàng là m®t khái ni¾m rat quan trong và

huu ích trong lĩnh vnc marketing. Nó đưoc sú dnng đe các công ty đánh giá
và phân loai các khách hàng cúa ho. Vói moi nhóm khách hàng công ty có the
đưa ra các chien lưoc marketing khác nhau, như gúi thông tin quáng cáo
(qua thư, tò rơi), xây dnng các chương trình giám giá, t¾ng quà, khuyen
mai,...
Nh¾n thay tam quan trong và ý nghĩa thnc tien cúa khái ni¾m này, tác
giá đã nghiêm túc tìm tòi và nghiên cúu van đe. Dưói sn hưóng dan cúa
TS. Hà Bình Minh và theo các ý tưóng trong bài báo [3], tác giá đã
nh¾n thay sn tương đong cúa moi quan h¾ qua lai giua các nhóm khách
hàng vói sn chuyen trang thái cúa m®t xích Markov theo thòi gian. Vói mnc
đích làm rõ cách thúc thiet l¾p
và tính toán giá tr% tiem năng cúa khách hàng dna vào mô hình xích Markov,
tác giá đã chon đe tài: "Mô hình xích Markov và Nng dnng trong
marketing".

2. Mnc đích nghiên cNu


Sú dnng mô hình xích Markov đe tính toán giá tr% tiem năng cúa
khách hàng trong lĩnh vnc marketing.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Sú dnng mô hình xích Markov đe tính toán giá tr% tiem năng cúa
khách hàng trong lĩnh vnc marketing.

4. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
Mô hình xích Markov, phương pháp Monte Carlo, giá tr% tiem năng
cúa khách hàng,...

5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dnng các mô hình xác suat ròi rac, phan mem Maple,...

6. Đóng góp cúa lu¾n văn
Lu¾n văn trình bày cách thúc xây dnng moi quan h¾ tiem năng cúa
khách hàng vói công ty dna trên mô hình xích Markov và áp dnng vào các
chính sách marketing cúa công ty.
Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2016
Tác giá lu¾n văn

Mai Trong Hieu.


Chương 1
Mô hình xích Markov rèi rac
1.1. Khái ni¾m xích Markov
Trưóc tiên, ta se xem xét m®t ví dn đơn gián sau: M®t nhà phân tích
th% trưòng cho m®t nhãn hàng xà phòng gi¾t quan tâm đen vi¾c li¾u m®t
ngưòi tiêu dùng thích dùng xà phòng gi¾t dang b®t hay dang lóng. Kháo sát
th% trưòng ve xu hưóng cúa ngưòi dùng cho ket quá như sau: có 20% so
ngưòi đang sú dnng xà phòng dang b®t đã chuyen sang dang lóng sau m®t
năm, trong khi 80% so ngưòi còn lai van sú dnng xà phòng dang b®t. 6
chieu ngưoc lai, chí có 10% so ngưòi đang sú dnng xà phòng dang lóng
chuyen sang dang b®t sau m®t năm, và 90% so ngưòi còn lai van sú dnng
xà phòng gi¾t dang lóng.
Chúng ta phân tích ví dn này như sau: M®t ngưòi tiêu dùng nào đó có
the ó m®t trong hai trang thái: sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t ho¾c xà phòng
gi¾t dang lóng. Ta đánh so các trang thái như sau: trang thái 1 neu ngưòi
tiêu dùng đó sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t và trang thái 2 neu ngưòi đó
sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng. Ta giá sú bưóc thòi gian quan sát là 1 năm.

• Xét ngưèi tiêu dùng é trang thái 1: Ta goi p11 là tý l¾ so ngưòi
dùng


ó trang thái 1 mà van giu nguyên trang thái đó sau 1 năm. Do có 80% so
ngưòi ó trang thái 1 (túc là sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t) van tiep tnc sú
dnng xà phòng gi¾t dang b®t trong năm tiep theo nên
p11 = 0, 8.
Tương tn, ta goi p12 là tý l¾ so ngưòi dùng ó trang thái 1 chuyen sang trang
thái 2 sau 1 năm. Do có 20% so ngưòi ó trang thái 1 (túc là sú dnng xà phòng
gi¾t dang b®t) se chuyen sang sú dnng xà phòng gi¾t lóng trong năm tiep
theo nên
p12 = 0, 2.
• Xét ngưèi tiêu dùng é trang thái 2: Ta goi p21 là tý l¾ so ngưòi
dùng ó trang thái 2 chuyen sang trang thái 1 sau 1 năm. Do có 10% so ngưòi
ó trang thái 2 (túc là sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng) se chuyen sang sú
dnng xà phòng gi¾t dang b®t trong năm tiep theo nên
p21 = 0, 1.
Tương tn, ta goi p22 là tý l¾ so ngưòi dùng ó trang thái 2 mà van giu nguyên
trang thái đó sau 1 năm. Theo du li¾u kháo sát, có 90% so ngưòi ó trang
thái 2 (túc là sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng) van tiep tnc sú dnng xà
phòng gi¾t lóng trong năm tiep theo nên
p22 = 0, 9.
Ta tóm tat các tý l¾ p11, p12, p21, p22 dưói dang đo th% mô tá quá trình
chuyen đoi sú dnng xà phòng gi¾t cúa ngưòi tiêu dùng trong đo th% Hình
1.1.

Vi¾c mô tá quá trình chuyen đoi sú dnng xà phòng gi¾t cúa ngưòi tiêu
dùng như ó phan trên là m®t ví dn cn the cúa m®t khái ni¾m tong quát
hơn goi là xích Markov, đưoc đưa ra trong đ%nh nghĩa dưói đây.


Hình 1.1: Đo th% mô tá quá trình chuyen đoi sú dnng xà phòng gi¾t cúa ngưòi tiêu dùng.

Đ%nh nghĩa 1.1 (Xích Markov). M®t xích Markov là m®t chuoi các
phép thú mà ket quá cúa moi phép thú là m®t trang thái cn the nam
trong m®t t¾p hop các trang thái cho trưóc. Ket quá cúa moi phép thú
thay đoi ngau nhiên sau moi bưóc thòi gian, nó có the thay đoi tù trang
thái này sang các trang thái khác ho¾c ó lai trang thái đó. Xác suat
chuyen tù trang thái i sang trang thái j là m®t so co đ%nh pij , và đưoc
goi là xác suat chuyen trang thái.
Ví dn 1.1. Xích Markov đưoc the hi¾n trong đo th% Hình 1.1 có hai trang
thái: trang thái 1 (sú dnng xà phòng dang b®t) và trang thái 2 (sú dnng xà
phòng gi¾t dang lóng). Các xác suat chuyen trang thái đưoc cho như sau:
p11 = 0, 8 là xác suat chuyen tù trang thái 1 sang trang
thái 1. p12 = 0, 2 là xác suât chuyen tù trang thái 1 sang
trang thái 2. p21 = 0, 1 là xác suat chuyen tù trang thái 2
sang trang thái 1. p22 = 0, 9 là xác suat chuyen tù trang
thái 2 sang trang thái 2.
Ta nh¾n thay rang, tong các xác suat chuyen tù trang thái 1 đen chính
nó và các trang thái khác có tong bang 1, cn the:


p11 + p12 = 0, 8 + 0, 2 = 1.


Tương tn như v¾y, tong các xác suat chuyen tù trang thái 2 đen chính nó và

các trang thái khác cũng bang 1, hay
p21 + p22 = 0, 1 + 0, 9 = 1.
Ta đi đen đ%nh nghĩa sau.

Đ%nh nghĩa 1.2 (Ma tr¾n chuyen). Ma tr¾n chuyen cúa m®t xích
Markov là ma tr¾n P vói phan tú pij (là xác suat chuyen tù trang thái i
sang trang thái j). Cn the,
P := [pij ]i,j=1,...,n

Ví dn 1.2. Đoi vói xích Markov đưoc mô tá bói Hình 1.1, ta có ma tr¾n
chuyen:

 

p11 p12
0, 8 0, 2
.
P=
= 
0, 1 0, 9 
p21
p22
Chú ý 1.1. Tong cúa các phan tú trong m®t hàng cúa ma tr¾n chuyen
luôn bang 1.


Đ%nh nghĩa 1.3 (Phân phoi xác suat). Phân phoi xác suat là m®t
vectơ mà các phan tú cúa nó là tan suat xuat hi¾n cúa các trang thái tai
m®t thòi điem nào đó. Cn the,
• Phân phoi ban đau: ký hi¾u là v0, là vectơ the hi¾n tan suat

xuat hi¾n cúa các trang thái tai thòi điem ban đau.


• Phân phoi xác suat sau 1 bưéc: ký hi¾u là v1, đưoc xác đ
%nh bói công thúc
v1 = v0P
• Phân phoi xác suat sau m bưéc: ký hi¾u là vm, đưoc xác đ
%nh bói
vm = v0. P.P...P =
v0 P m .
s ¸¸ x
m lan

Nh¾n xét 1.1. Do phân phoi xác suat là tan suat xuat hi¾n cúa các trang
thái tai m®t thòi điem nào đó, nên tong các phan tú trong m®t phân phoi xác
suat bat kỳ
luôn bang 1.





0
1
Ví dn 1.3. Giá sú ma tr¾n chuyen cúa xích Markov đưoc cho bói
0, 5 0, 5 
P=
và phân phoi ban đau là v0 = . 0, 2 0, 8 .. Khi đó, ta có the xác đ%nh đưoc:
• Phân phoi xác suat sau 1 bưóc:





1
v1 = v0 P = . 0, 2 0, 8 .  0
 = . 0, 4 0, 6 . .
0, 5 0,
5
• Phân phoi xác suat sau 2 bưóc:


0
1
v2 = v0P 2 = (v0P )P = . 0, 4 0, 6 .
 = . 0, 3 0, 7 . .
0, 5 0,

5
• Phân phoi xác suat sau 3 bưóc:





v3 = v 0 P


3

= (v0P 2)P = . 0, 3 0, 7

.

0

1

0, 5 0,
5

 = . 0, 35 0, 65 . .


Đ%nh nghĩa 1.4 (Ma tr¾n chuyen sau m bưóc). Cho xích Markov vói
ma tr¾n chuyen P . Khi đó, ma tr¾n P m đưoc goi là ma tr¾n chuyen sau
m bưóc.

Ví dn 1.4. Giá sú xích Markov đưoc cho bói ma tr¾n chuyen
P=

0



1

0, 5 0, 5 

Khi đó ma tr¾n chuyen sau các bưóc là:

• Ma tr¾n chuyen sau 2 bưóc:


0
1
0
P 2 = P.P =


0, 5 0, 5  


1



0, 5

0, 5



.
0, 5 0,  = 
0, 25 0, 75 
5

Xác suat chuyen tù trang thái 1 sang trang thái 2 sau 2 bưóc là phan tú
(1, 2)
cúa ma tr¾n P 2, và bang 0, 5.

• Ma tr¾n chuyen sau 3  
0, 5
bưóc:

0
1
P 3 = P.P


2

=

0, 5 0, 5  

0, 5

0, 25 0,
75





= 

0, 25

0, 75



0, 375 0, 625 

.

Xác suat chuyen tù trang thái 1 sang trang thái 2 sau 3 bưóc là phan tú
(1, 2)
cúa ma tr¾n P 3, và bang 0, 75.

.


1.2. M®t so ví dn ve xích Markov
Ví dn 1.5. Tró lai ví dn kháo sát ngưòi tiêu dùng sú dnng xà phòng gi¾t.
Giá sú tai thòi điem hi¾n tai có 70% ngưòi tiêu dùng đang sú dnng xà phòng
gi¾t dang b®t và 30% ngưòi tiêu dùng đang sú dnng xà phòng gi¾t lóng.


(a) Th% phan cúa hai dang xà phòng (b®t và lóng) sau m®t năm ke tù bây
giò se như the nào? (Túc là, có bao nhiêu phan trăm ngưòi tiêu dùng se
sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t và bao nhiêu phan trăm ngưòi tiêu
dùng sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng?).
(b) Th% phan sau hai năm se ra sao? sau ba năm se ra sao?.
Lèi giái.
(a) Đau tiên, báo cáo chí ra rang 70% ngưòi tiêu dùng đang sú dnng xà
phòng gi¾t dang b®t và 30% ngưòi tiêu dùng khác đang sú dnng xà
phòng gi¾t lóng. Đieu đó cung cap cho chúng ta thông tin ve phân phoi
ban đau như sau:
v0 = [0, 7 0, 3]

Mô tá quá trình chuyen đoi sú dnng xà phòng gi¾t cúa ngưòi tiêu dùng
qua sơ đo cây trong Hình 1.2.
Trong Hình 1.2, nhánh đau tiên cho ta biet xác suat mà m®t ngưòi tiêu
dùng sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng hay dang b®t ó thòi điem hi¾n
tai, trong khi nhánh thú hai cho ta biet sau 1 năm thì tí l¾ khách hàng
trung thành vói nưóc tay rúa cúa mình và tí l¾ khách hàng chuyen sang
dùng xà phòng gi¾t dang khác. Cn the:
• Xác suat ngưòi tiêu dùng sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t sau m®t
năm là:
0, 7.0, 8 + 0, 3.0, 1 = 0, 59.
• Xác suat ngưòi tiêu dùng sú dnng chat rúa dang lóng sau 1 năm là:
0, 7.0, 2 + 0, 3.0, 9 = 0, 41.


Hình 1.2: Đo th% mô tá tí l¾ ngưòi sú dnng xà phòng gi¾t sau 1 năm.

Tuy nhiên, ta có the thu đưoc ket quá trên theo m®t cách khác, bang
công thúc nhân ma tr¾n đe tìm phân phoi xác suat v1:


0, 8 0,
v1 = v0P = . 0, 7 0, 3 . 
 = . 0, 59 0, 41 . .
2
0, 1 0,
9
(b) Bây giò chúng ta tìm tí l¾ ngưòi sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t hay
dang lóng sau hai năm?
Neu chúng ta giá đ%nh rang tí l¾ ngưòi tiêu dùng chuyen đoi xà phòng
gi¾t

trong năm thú hai giong như trong năm đau tiên, chúng ta chí l¾p lai
vi¾c tính toán như đã làm ó trên, và sú dnng phân phoi xác suat v1
thay cho v0:



0, 8 0,
v2 = v1P = . 0, 59 0, 41 . 
2

0, 1 0, 9



 = . 0, 513 0, 487 . .
Như v¾y, sau hai năm, chúng ta có the tin tưóng rang có khoáng
51,3% ngưòi tiêu dùng se sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t và 48,7% sú
dnng xà


phòng gi¾t dang lóng. Tương tn như v¾y, sau ba năm chúng ta có:


0, 8 0,
v3 = v2P = . 0, 513 0, 487 . 
 = . 0, 4591 0, 5409 . .
2
0, 1 0,
9
Như v¾y, sau ba năm se có 45,91% ngưòi tiêu dùng sú dnng xà phòng

gi¾t dang b®t và 54,09% se sú dnng xà phòng gi¾t dang lóng. Có vé
như xà phòng gi¾t dang lóng dưòng như đã chien thang trong cu®c
chay đua này.
Trong thnc te, phân phoi ban đau có the đưoc xác đ%nh bang cách tìm
kiem và thăm dò ngau nhiên m®t so lưong lón ngưòi tiêu dùng xem ho
lna chon sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t hay dang lóng ó ó hi¾n tai.
M®t phân phoi xác suat luôn có các phan tú nam trong đoan [0, 1] và
tong các phan tú trong phân phoi luôn bang 1.
Ví dn 1.6. Ta tiep tnc ví dn cúa vi¾c chuyen đoi xà phòng gi¾t. Giá sú
m®t ngưòi tiêu dùng hi¾n đang sú dnng xà phòng gi¾t b®t. (i) Xác suat mà
ngưòi tiêu dùng đó se tiep tnc sú dnng xà phòng gi¾t dang b®t sau hai năm
là bao nhiêu? Xác suat mà ngưòi đó chuyen sang dùng xà phòng gi¾t dang
lóng sau hai năm là bao nhiêu? (ii) Đieu gì xáy ra neu ngưòi tiêu dùng đang
sú dnng xà phòng gi¾t lóng. Lèi giái.
(i) Theo
giá ta
thuyet,
ngưphoi
òi tiêu
dùng
dnng
phòng
b®t
nên
có phân
ban
đaukháo
là v0 sát
= .đang
tínhxàxem

xác gi¾t
suat
1 0 ..súĐe
ngưòi
tiêu dùng kháo sát sau hai năm ke tù bây giò van tiep tnc sú dnng xà
phòng gi¾t dang b®t hay chuyen sang sú dnng xà phòng gi¾t dang
lóng, ta thnc hi¾n tính phân phoi xác suat sau 2 năm là v2 = v0P 2.
