Một số lớp toán tử Schrodinger với phổ hoàn toàn rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ HẠNH

MỘT LỚP TOÁN TỬ SCHRÖDINGER
VỚI PHỔ HOÀN TOÀN RỜI RẠC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2016


LèI CÁM ƠN

Tôi xin gúi lòi cám ơn chân thành và sâu sac tói TS. Ta Ngoc Trí,
ngưòi đã t¾n tình hưóng dan chí báo cho tôi trong quá trình làm lu¾n
văn.
Thông qua lu¾n văn này, tôi muon gúi lòi cám ơn đen các thay cô
giáo trong to Giái tích, khoa Toán, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
cùng gia đình, ban bè và các thành viên trong lóp Toán Giái Tích Khóa
18 đã đ®ng viên, giúp đõ tôi hoàn thành lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Ngô Th% Hanh


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn này là do tôi tn làm dưói sn hưóng dan
cna TS. Ta Ngoc Trí. Tôi cam đoan rang so li¾u và ket quá nghiên cúu
trong lu¾n văn này là trung thnc. Các thông tin trích dan, các tài li¾u
tham kháo trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc. Trong quá trình
hoàn thành lu¾n văn tác giá đã ke thùa nhung ket quá cna các nhà khoa
hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Ngô Th% Hanh


4

MUC LUC

M

á đau

3

1 Kien thNc chuan b%
1.1

1.2

2

Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Toán tú tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Toán tú liên hop, toán tú tn liên hop . . . . . . .

7

Pho cna toán tú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Pho cna toán tú b% ch¾n . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Pho cna toán tú không b% ch¾n

. . . . . . . . . .

10

1.2.3

M®t so ket quá liên quan đen pho . . . . . . . . .

12

Toán tN Schr¨odinger
2.1

2.2

6

18

M®t so đ%nh nghĩa và tính chat...............................................19
2.1.1

Phép bien đoi Fourier.....................................................19

2.1.2

Toán tú Schr¨odinger tn do............................................22

Pho cna toán tú Schrodinger......................................................24
Toán tú Schr¨odinger dang H0 + V............................24
γ
2.2.2 Toán tú Schr¨odinger dang
|x |
. . . . . . . 25
−
.N
2.2.3 Toán tú Schrodinger dang − 1 +
j.
2.2.1

N

xk)................................................................................26


3

M®t láp toán tN Schr¨odinger vái pho hoàn toàn rài rac 34
3.1

Đ¾t van đe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2

Schro

37

dinger vói pho hoàn toàn ròi rac

.

Ket lu¾n

46

Tài li¾u tham kháo

47


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet pho là m®t nhánh cna giái tích hàm nghiên cúu ve pho cna
toán tú. Trong đó trên thnc te nhung ket quá ve pho cna các toán tú
thưòng đưoc “cám húng” tù các van đe trong V¾t lý. M®t lóp toán tú rat
quen thu®c trong V¾t lý đó là toán tú Schrodinger, mang tên nhà V¾t
lý lý thuyet ngưòi Áo đoat giái Nobel V¾t lý năm 1933. Vi¾c nghiên cúu
pho cna các lóp toán tú Schrodinger cũng là m®t van đe rat đưoc quan
tâm cna toán hoc.
Trong cơ hoc lưong tú rat nhieu các hi¾n tưong đưoc mô tá bang các
toán tú tn liên hop. Ví du như -∆ là m®t toán tú tn liên hop khi xác đ%nh

trên m®t mien thích hop (không gian Sobolev H2 ) neu xét trong không
gian L2 .Rd.. Toán tú này mô tá tương úng hi¾n tưong m®t chat điem
tn do di chuyen trong không gian. Dùng hàm sóng Φ (x, t) ∈ L2 .Rd.
ta có the mô tá đưoc v% trí cna chat điem và xác suat đe tìm nó trong
¸
2
mien tai thòi điem t =
|Φ (x, t)| dx. Phép bien đoi Fourier đóng vai
Ω

trò quan trong trong vi¾c nghiên cúu dang "đau tiên" này cna toán tú
Schrodinger.
Van đe đưoc quan tâm là khi ta thêm vào trưòng the m®t so loai
tương tác có ích đoi vói các chat điem khác nhau. Khi đó toán tú mô
tá h¾ này có dang Hν = −∆ + V (x) và trong nhieu trưòng hop thì đây
là m®t toán tú tn liên hop. Đây chính là dang tong quát hơn cna các
toán tú Schrodinger. V¾y các đieu ki¾n nào đe toán tú tn liên hop này
có pho hoàn toàn ròi rac là gì? Đe làm rõ van đe này lu¾n văn se đi tìm
hieu m®t đieu ki¾n đoi vói V (x) đe đieu đó xáy ra. N®i dung chính cna


lu¾n văn là m®t lóp toán tú như v¾y trong bài báo "Hamiltonians with
Purely Discrete Spectrum" cna tác giá Vladimir Georgescu.
Vói muc đích đưoc t¾p dưoc nghiên cúu khoa hoc thnc hi¾n đe tài tot
nghi¾p cao hoc, tôi mong muon tìm hieu ve toán tú Schr¨odinger vói
pho hoàn toàn ròi rac. Vì v¾y dưói sn giúp đõ và hưóng dan t¾n tình
cna TS.Ta Ngoc Trí tôi chon đe tài “M®t lóp toán tú Schr¨odinger
vói pho hoàn toàn ròi rac” làm đe tài cho lu¾n văn tot nghi¾p cna
mình vói hy vong là giúp tôi có thêm nhung hieu biet ve m®t van đe
đó.

2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve toán tú Schr¨odinger, pho cna toán tú Schr¨odinger
trong m®t so trưòng hop, đ¾c bi¾t là m®t lóp toán tú Schr¨odinger vói
pho hoàn toàn ròi rac.
M®t so đ%nh lý, ví du và ket quá liên quan ve pho cna toán tú
Schrodinger.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày các đ%nh nghĩa, đ%nh lý và các ví du cu the ve toán tú
Schrodinger.
Nghiên cúu môt lóp toán tú Schrodinger đ¾c bi¾t vói pho hoàn toàn
ròi rac.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu: Toán tú Schrodinger, pho cna toán tú Schrodinger,
đ¾c bi¾t là đieu ki¾n cna V(x) đe pho cna toán tú Schrodinger là hoàn
toàn ròi rac (tài li¾u [6]).
Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, bài báo có liên quan tói toán tú
Schrodinger và pho cna toán tú Schrodinger.
5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các phương pháp giái tích hàm đe tiep c¾n van đe.
Sú dung các kien thúc trong lý thuyet pho, lý thuyet toán tú, toán tú
tn liên hop, toán tú trong không gian Hilbert.
6. Đóng góp cúa lu¾n văn
H¾ thong m®t so dang toán tú Schr¨odinger và m®t so ket quá ve pho


cna chúng đ¾c bi¾t là khi pho hoàn toàn ròi rac.
Hy vong lu¾n văn se nêu đưoc vai trò và áp dung cna toán tú
Schrodinger trong V¾t lý.
7. N®i dung
Lu¾n văn gom có 3 chương:

Chương 1: Kien thúc chuan b%
Chương 2: Toán tú Schrodinger
Chương 3: M®t lóp toán tú Schrodinger vói pho hoàn toàn ròi rac


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±

Trong chương này chúng tôi trình bày sơ lưoc tong quát ve lý thuyet
pho, là cơ só cho các van đe tìm hieu ó chương sau. Nhung n®i dung
trình bày dưói đây đưoc tham kháo chn yeu trong các tài li¾u [10], [9],
[2], [1].

1.1
1.1.1

Toán tN liên hap, toán tN tN liên hap
Toán tN tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho hai không gian đ%nh chuan X, Y trên trưòng
K (R ho¾c C). Ánh xa A đi tù không gian đ%nh chuan X vào không
gian đ%nh chuan Y đưoc goi là toán tú tuyen tính neu:
1) (∀x, y ∈ X), A(x + y) = Ax + Ay
2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K), A(αx) = αAx
Hay đieu ki¾n 1) và 2) tương đương vói
(∀x, y ∈ X)(∀α, β ∈ K), A(αx + βy) = αAx + βAy.
Trong lu¾n văn này chúng ta chí xem xét toán tú tuyen tính và
chúng ta se goi là toán tú.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Toán tú A đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai hang so
C > 0 sao cho

(∀x ∈ X), "Ax"Y ≤ C"x"X.


Hang so C nhó nhat thóa mãn h¾ thúc "Ax"Y ≤ C"x"X , vói moi
x ∈ X goi là chuan cna toán tú A, ký hi¾u là "A" hay
"Ax"Y
"A" = sup
, x ∈ X.
xƒ= "x"X
Do đó ta có nh¾n xét sau

0

Nh¾n xét 1.1.1.
1) (∀x ∈ X), "Ax" ≤ "A"."x";
2) (∀ε > 0)(∃xε ∈ X), ("A" − ε)"xε" < "Axε".
Đ%nh lý 1.1.1. (Chuan cúa toán tú) Cho toán tú A tù không gian đ
%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Neu toán tú A b% ch¾n
thì
"A" = sup "Ax" = sup "Ax" .
"x"X ≤1

"x"X
=1

Đ%nh lý 1.1.2. (F.Riesz) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc trong không
gian Hilbert H đeu có the bieu dien duy nhat dưói dang
f (x) = (x, a), vói moi x ∈ H,
trong đó phan tú a ∈ H đưoc xác đ%nh duy nhat bói phiem hàm f và
"f" = "a".

M¾nh đe 1.1.1. Cho A là toán tú đi tù không gian đ%nh chuan X vào
không gian đ%nh chuan Y. Khi đó ta có các m¾nh đe sau là tương
đương
1) A b% ch¾n;
2) A liên tnc;
3) A liên tnc tai điem 0.
1.1.2

Toán tN liên hap, toán tN tN liên hap

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho X, Y là các không gian Hilbert trên K, ký hi¾u
B(X, Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú b% ch¾n tù
X vào Y , toán
tú A ∈ B(X, Y ). Khi đó ton tai duy nhat toán tú A∗ ∈ B(X, Y ) sao
cho
(∀x ∈ X)(∀y ∈ Y ), (Ax, y)Y = (x, A∗ y)X.


Toán tú A∗ đưoc goi là toán tú liên hop cna toán tú A.
Đ¾c bi¾t, neu X = Y và A = A∗ ta nói A là toán tú tn liên hop, khi đó
B(X, Y ) đưoc ký hi¾u gon lai là B(X).
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho X và Y là hai không gian Banach, A là toán
tú b% ch¾n tù X vào Y . Toán tú liên hop (trong không gian Banach) cna
A, ký hi¾u là A∗, là toán tú b% ch¾n tù Y ∗ tói X∗ đưoc cho bói công
thúc
(∀y ∈ Y ∗)(∀x ∈ X∗), (Ary)(x) = y(Ax).
Vói X∗ , Y ∗ là không gian liên hop cna không gian X, Y .
Đ%nh lý 1.1.3. Ký hi¾u B(H) là t¾p các toán tú b% ch¾n trên không
gian Hilbert H. Cho An là m®t dãy các toán tú b% ch¾n và giá sú (Anx,
y) h®i

w
tn khi n −→ ∞ vói moi H. Khi đó ton tai A ∈ B(H) sao cho An → A
(h®i tn yeu).
Neu dãy các toán tú An trên không gian Hilbert có tính chat Anx h®i
tn vói moi x ∈ H, khi đó ton tai A ∈ B(H) sao cho An −→ A (h®i tn
manh).
Cho A ∈ B(X, Y ). T¾p các vectơ x ∈ X sao cho Ax = 0 đưoc goi là
nhân cna A, ký hi¾u là ker(A) = {x ∈ X|Ax = 0}.
T¾p các vectơ y ∈ Y sao cho y = Ax, x ∈ X đưoc goi là mien giá tr% cna
A, ký hi¾u là Ran(A) = {y = T x|x ∈ X}.
Chú ý rang ker(A) và Ran(A) là các không gian con cna X và Y
tương úng.

1.2

Pho cúa toán tN

1.2.1 Pho cúa toán tN b% ch¾n
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian Banach trên trưòng so C,
B(X) là t¾p các toán tú b% ch¾n trên X, toán tú A ∈ B(X). Pho cna
toán tú A ký hi¾u là σ(A) là t¾p tat cá các so phúc λ sao cho A − λ1
không khá
ngh%ch, túc là


σ(A) = {λ ∈ C : A − λ1 là không khá ngh%ch trong B(X)}.
Chú ý 1.2.1. A ∈ B(X) đưoc goi là khá ngh%ch neu ton tai toán tú
B ∈ B(X) sao cho AB = BA = 1. Khi đó B đưoc goi là toán tú ngưoc
cna A và ký hi¾u
B = A−1.

Đ%nh nghĩa 1.2.2. Cho A ∈ B(X)
1) Neu x ƒ= 0, x ∈ X thóa mãn Ax = λx vói A ∈ B(X), λ ∈ C thì x
đưoc goi là vectơ riêng cna A, λ tương úng đưoc goi là m®t giá tr% riêng.
Neu λ là m®t giá tr% riêng thì A−λ1 không là khá ngh%ch, do đó λ thu®c
pho cna A.
T¾p tat cá các giá tr% riêng cna A là t¾p con cna σ(A) và đưoc goi là
pho điem cna A, ký hi¾u σp(A);
2) Neu ker(A − λ1) = {0} và Ran(A − λ1) là không gian các giá tr%
riêng và Ran(A − λ1) không trù m¾t thì λ đưoc goi là pho dư;
3) Pho ròi rac, ký hi¾u σd(A) là t¾p các giá tr% riêng cô l¾p vói so b®i so
huu han. Khi A là toán tú liên hop thì
σd(A) = {λ ∈ σp(A)|rank(PA(λ − ε, λ + ε)) < ∞ vói moi ε > 0};
4) Pho thiet yeu σess(A) = σ(A)\σd(A), khi A là toán tú tn liên hop
thì σess(A) = {λ ∈ C|rank(PA(λ − ε, λ + ε)) = ∞ vói moi ε > 0}.
PA là phép chieu pho (spectral prjection) cna toán tú A.
Chú ý 1.2.2. Pho cna toán tú b% ch¾n cũng là b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho A ⊂ B(H). T¾p giái đưoc cna A xác đ%nh bói
.
.
−1
ρ(A) = λ ∈ C|(A − λ) ∈ B(H) .
Nói cách khác, so phúc λ ∈ ρ(A) khi và chí khi A − λ là song ánh
vói toán tú ngưoc b% ch¾n. Phan bù cna t¾p giái đưoc đưoc goi là pho
cna
A, do đó
ρ(A) = C\σ(A).


Đ¾c bi¾t, λ ∈ σ(A) neu A − λ có m®t hat nhân không tam thưòng.
M®t vectơ khác không ψ ∈ ker(A − λ) đưoc goi là vectơ riêng và λ

đưoc
goi là giá tr% riêng tương úng trong trưòng hop đó.
Bo đe 1.2.1. Ta có λ ∈ σ(A) neu dãy ψ ∈ D(T ) thóa mãn "A −
λψn" −→ 0.
Neu λ là điem biên cúa ρ(A) thì đieu ngưoc lai van đúng.
Dãy có tính chat như trên goi là dãy Weyl.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Hàm
RA : ρ(A) −→ B(H), λ −→ (A − λ)−1
đưoc goi là giái thúc cna toán tú A tai λ. Ta có công thúc sau:
RA(λ)∗ = ((A − λ)−1)∗ = ((A − λ)∗)−1 = (A∗ − λ∗)−1 = RA∗ (λ∗).
Đ¾c bi¾t,
ρ(A∗) = ρ(A)∗.
Ví dn 1.2.1. Cho H = Cd và A ∈ B(H). Khi đó σ (A) chí gom các
giá tr% riêng λ1, ..., λm cna A, ó đây m ≤ d.
Đ%nh lý 1.2.1. T¾p giái đưoc ρ(A) là t¾p mó và RA : ρ(A) −→ B(H)
là hàm giái tích, nghĩa là có khai trien chuoi lũy thùa h®i tn tuy¾t đoi
quanh moi điem λ0 ∈ ρ(A). Thêm vào đó
"RA(λ)" ≥ dist(λ, σ(A))−1.
Neu A b% ch¾n thì ta có:
{λ ∈ C | |λ| > "A"} ⊆ ρ(A).
1.2.2 Pho cúa toán tN không b% ch¾n
Cho H là không gian Hilbert, DomT là mien xác đ%nh cna toán tú T ,
DomT ⊆ H.


Đ%nh nghĩa 1.2.4. Toán tú T : DomT −→ H goi là không b% ch¾n
neu như ton tai dãy so {xn}, xn ∈ DomT, "xn" = 1; n = 1, 2, ... và
"T xn " −→ ∞ khi n −→ ∞.
Thông thưòng ta xét trưòng hop DomT là không gian tuyen tính trù
m¾t trong không gian Hilbert H.

Neu toán T : H −→ H b% ch¾n thì ton tai hang so C > 0 sao cho
"T x" ≤ C"x", vói moi x ∈ H.
Xét toán tú không b% ch¾n T trên m®t t¾p con trù m¾t trong không gian
Hilbert H. M®t toán tú trên không gian Hilbert H là ánh xa tuyen tính
tù m®t không gian con cna H vào H. Không gian con đó goi là mien cna
toán tú T và đưoc ký hi¾u là D(T ).
Toán tú không b% ch¾n T là m®t ánh xa tuyen tính xác đ%nh trên mien
D(T ) ⊆ H sao cho ton tai m®t dãy so {xj}, xj ∈ D(T ), "xj" = 1, j =
1, 2, ... và "T xj " −→ ∞.
Ta thưòng xét D(A) là t¾p con tuyen tính trù m¾t trong H : D(T ) = H.
Đ%nh lý 1.2.2. (Hellinger-Toeplitz) Cho T là toán tú xác đ%nh khap nơi
trên không gian Hilbert H thóa mãn (ϕ, T ψ) = (T ϕ, ψ) vói ϕ, ψ ∈
H.
Khi đó T b% ch¾n.
Do đó ta thay, toán tú không b% ch¾n T chí xác đ%nh trên m®t t¾p
con tuyen tính trù m¾t cna không gian Hilbert H.
M®t toán tú trên không gian Hilbert H là ánh xa tuyen tính tù m®t
không gian tuyen tính con cna H vào H.
Ta luôn giá thiet không gian con đó là trù m¾t và ký hi¾u là D(T ), đưoc
goi là mien con cna toán tú T .
Đ%nh nghĩa 1.2.5. Cho T là toán tú không b% ch¾n xác đ%nh trên mien
D(T ) cna không gian Hilbert.
Ta nói T đóng neu vói moi xj ∈ D(T ), xj −→ x và T xj −→ y thì
x ∈ D(T ) và Tx = y.
Toán tú T r là m®t mó r®ng cna T (túc là T ⊂ T r) neu D(T ) ⊆ D(T r )
và Tx = T rx, vói moi x ∈ D(T ). Hơn nua, ta nói T là đóng đưoc neu T


có m®t mó r®ng đóng.
Khi đó moi toán tú đóng đưoc có m®t mó r®ng đóng nhó nhat đưoc goi

là bao đóng cna nó, ký hi¾u là T .
Đ%nh nghĩa 1.2.6. Cho T là toán tú không b% ch¾n trong không gian
Hilbert H. Ta nói m®t so phúc ρ là m®t phan tú cna t¾p hop giái đưoc
cna T neu T − ρ1 là song ánh tù D(T ) lên H vói phép bien đoi
ngưoc
b% ch¾n, 1 là toán tú đơn v%.
Đ%nh nghĩa 1.2.7. Pho cna toán tú T , ký hi¾u σ(T ) là t¾p các so
phúc không thu®c vào t¾p giái đưoc cna T . Moi giá tr% riêng cna T đeu
thu®c vào σ(T ).
Pho ròi rac cna T , ký hi¾u bói σd(T ) là t¾p các giá tr% riêng b% cô
l¾p vói so b®i huu han.
Pho thiet yeu cna T , ký hi¾u σess(T ) là t¾p σ(T ) \ σd(T ).
Chú ý 1.2.3. Pho cna toán tú không b% ch¾n chưa chac đã là không b%
ch¾n (xem chi tiet [3]).
1.2.3 M®t so ket quá liên quan đen pho Bo đe
1.2.2. Giá sú A là đơn ánh. Khi đó,
σ(A−1) \ {0} = (σ(A) \ {0})−1.
Ngoài ra ta có Aψ = λψ khi và chs khi A−1ψ = λ−1ψ, λ ƒ= 0.
Đ%nh nghĩa 1.2.8. Cho T là toán tú không∗b% ch¾n xác đ%nh trên D(T
) cna không gian Hilbert H. Ký hi¾u D(T ) là t¾p các phan tú y ∈ H
mà ton tai phan tú z ∈ H sao cho vói moi x ∈ D(T ) ta có:
(T x, y) = (x, z)
vói moi y ∈ D(T ∗ )), ta d¾t T ∗ y = z. T ∗ đưoc goi là toán tú liên hop
cna toán tú T .


Chú ý 1.2.4. Không phái tat cá các toán tú không b% ch¾n đeu có toán
tú liên hop (như m®t toán tú b% ch¾n). Tuy nhiên neu T có the đóng
đưoc thì luôn ton tai T ∗ .
Đ%nh lý 1.2.3. Cho T là toán tú không b% ch¾n xác đ%nh trên D(T )

cúa không gian Hilber H. Khi đó
1) T ∗ là đóng;
2) T đóng đưoc
neu và chs neu D(T ∗ ) trù m¾t trong H, trưòng hop
∗∗
này T = T ;
3) Neu T đóng đưoc thì (T )∗ = T ∗ .
Đ%nh
nghĩa 1.2.9. Toán tú không b% ch¾n T đưoc goi là đoi xúng neu
T ∗ là m®t mó r®ng cna T , nghĩa là neu D(T ) ⊂ D(T ∗ ) và Tϕ = T ∗ ϕ
vói moi ϕ ∈ D(T ).
Đ%nh nghĩa 1.2.10.
Toán tú T đưoc goi là tn liên hop neu T đoi xúng
và D(T ) = D(T ∗ ).
Chú ý 1.2.5. 1) Giá
sú T là toán tú đoi xúng thì T luôn đóng đưoc.
Th¾t v¾y vì D(T ∗ ) ⊃ D(T ) là trù m¾t trong H.
2) T là toán tú đoi xúng ta có T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ vói T ∗ là mó r®ng
đóng
cna T ; T ∗∗ là toán tú nhó nhat mó r®ng đóng cna T .
Vói toán tú đóng đoi xúng T = T ∗∗ ⊂ T ∗ và vói toán tú tn liên hop
T = T ∗∗ = T ∗ .
Do đó m®t toán tú đoi xúng đóng T là tn liên hop khi và chí khi T ∗ đoi
xúng.
Đ%nh nghĩa 1.2.11. M®t toán tú đoi xúng T đưoc goi là tn liên hop
thiet yeu neu bao đóng T là tn liên hop.
Đ%nh lý 1.2.4. Cho T là toán tú đoi xúng trên không gian Hilbert H.
Khi đó các m¾nh đe sau là tương đương
1) Toán tú T tn liên hop;
2) Toán tú T đóng và ker(T ∗ ± i) = {0};

3) Ran(T ± i) = H.


H¾ quá 1.2.1. Cho T là toán tú đoi xúng trên không gian Hilbert H.
Khi đó các đieu sau là tương đương
1) Toán tú T là tn liên hop thiet yeu;
2) ker(T ± i) = {0};
3) Ran(T ± i) trù m¾t trong H.
Đ%nh lý 1.2.5. (Kato-Rellich) Giá sú các toán tú T1 tn liên hop, T2 đoi
xúng vói D(T1) ⊂ D(T2). Giá sú ton tai a, b (a < 1) thóa mãn:
"T2x" ≤ a"T1x" + b"x" vói moi x ∈ D(T1).
Khi đó, toán tú T1 + T2 tn liên hop trên D(T1) và tn liên hop thiet
yeu trên mien lõi bat kì cúa T1).
Toán tú T2 trong đ%nh lý này có the đưoc coi như toán tú nhieu cúa
T1 .
Đ%nh nghĩa 1.2.12. Dang toàn phương là m®t ánh xa q : Q(q) ×
Q(q) −→ C, trong đó Q(q) là t¾p con tuyen tính trù m¾t cna H, đưoc
goi là mien thúc (form domain) sao cho q(x, ·) tuyen tính và q(·, y) liên
hop tuyen tính vói moi x, y ∈ Q(q).
Đe liên ket m®t dang toàn phương và m®t toán tú không b% ch¾n
trưóc het ta chú ý tói đ%nh nghĩa toán tú không b% ch¾n. Ta nói toán
tú T dương, ký hi¾u T ≥ 0, neu T đoi xúng và (T x, x) ≥ 0 vói moi
x ∈ D(T ). Vói moi toán tú dương T ta có the xác đ%nh m®t tích
vô hưóng (x, y)T trên D(T ) bói
(x, y)T = (T x, y) + (x, y).
Ký hi¾u Q(T ) là m®t mó r®ng cna D(T ) úng vói chuan " · "T cám
sinh bói tích vô hưóng trên thì D(T ) ⊆ Q(T ) ⊂ H.
Th¾t v¾y, ta thay neu {xj} là dãy Cauchy trong D(T ) thì nó cũng
là dãy Cauchy trong H do "x" ≤ "x"T . Tù đó ta đong nhat giói han
trong Q(T ) vói giói han trong H. Do đó ta có the đ¾t dang toàn

phương qT liên hop vói T mó r®ng vói moi x ∈ Q(T ) là
qT (x) = "x, x"T − "x" 2.


Goi Q(T ) là mien cna T , ta có the nói vi¾c xét dang toàn phương dan
đen cách huu ích đe xác đ%nh toán tú tn liên hop neu ta bat đau vói toán
tú đoi xúng núa b% ch¾n đưoc cho bói ket quá sau:
Đ%nh lý 1.2.6. (Mó r®ng Fredrichs) Cho T là toán tú đoi xúng núa b
% ch¾n, túc là giá sú ton tai γ ∈ R sao cho
qt(x) = (T x, x) ≥
γ"x"

2

vói moi x ∈ D(T ).

Khi đó ton tai m®t mó r®ng tn liên hop T r cúa T b% ch¾n dưói bói γ và
thóa mãn D(T r ) ⊆ Q(T ). Hơn nua, T r là mó r®ng tn liên hop duy nhat
cúa T vói mien chúa trong Q(T ).
Ngưoc lai, cho dang toàn phương q, có m®t toán tú tương úng T sao
cho q = qT (chi tiet xem ó [9]).
Xét m®t dang toàn phương cna đ%nh lý Kato-Rellich đưoc goi là đ%nh
lý KLMN (đưoc đưa ra bói Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson). Đ%nh
lý này cho phép ta xét dang tong cna các toán tú.
Đ%nh lý 1.2.7. Cho T1 là toán tú tn liên hop dương và qT2 là dang
toàn phương liên hop vói toán tú đoi xúng T2, đưoc xác đ%nh trên
Q(T1). Neu có các so thnc a < 1 và b thóa mãn
|qT2 (x)| ≤ aqT1 (x) + b(x) vói moi x ∈ Q(T1).
Khi đó ton tai duy nhat toán tú tn liên hop T vói Q(T ) = Q(T1) sao cho
T liên hop vói hình thúc qT1 + qT2 .

Trong trưòng hop này T2 là toán tú nhieu cna T1.
Bo đe 1.2.3. Neu T1 tn liên hop và T2 compact tương đoi úng vói T1 thì
toán tú tong T1 + T2 xác đ%nh trên D(T1) đóng. Hơn nua toán tú tong
có
pho thiet yeu vói T1. Neu ta can T2 đoi xúng thì toán tú tong tn liên
hop. Bo đe 1.2.4. Neu T1 tn liên hop và D(T1) ⊆ D(T2) và toán tú
T2(T1+i)−1 compact thì ta nói T2 compact tương úng (corresponding
compact) vói T1.
Thnc te ta có the thay đoi i bói m®t so bat kì nam trong t¾p giái
đưoc cúa T1.


Th¾t v¾y, vói moi dãy {xj} ⊂ D(T1) ⊆ D(T2) thóa mãn "T1xj"
+
"xj" ≤ c vói c ≥ 0 thì ta có the chon dãy con {xjk } sao cho {T2xjk } h®i
tu. Tù đó ta suy ra đưoc T2 compact tương úng vói T1.
Đ%nh lý 1.2.8. Giá sú A là toán tú liên hop và ψ j, 1 ≤ j ≤ k, là
các phan tú đ®c l¾p tuyen tính cúa H. Cho λ ∈ R, ψj ∈ D(A). Neu
(ψ, Aψ) < λ"ψ"2
.k cjψj thì
vói moi to hop tuyen tính khác không ψ = j=
1

dim RanPA(−∞, λ) ≥
k.

Bo đe 1.2.5. Giá sú A là toán tú tn liên hop, B toán tú đoi xúng và
A b% ch¾n vói c¾n nhó hơn m®t. Neu K compact tương đoi vói A thì nó
cũng compact tương đoi vói A + B.
Bo đe 1.2.6. Cho X là không gian metric compact đ%a phương. Giá sú

K là m®t t¾p compact và {Oj}n

là m®t phú mó. Khi đó ton tai m®t

j=1

phân hoach đơn v% cúa K phn thu®c vào phú mó này, nghĩa là có các
hàm so liên tnc hj : X −→ [0, 1] sao cho hj có giá compact chúa
trong
Oj và
n
.
hj (x) ≤ 1
j=1

dau đang thúc xáy ra khi x ∈ K.
Chúng minh. Vói moi x ∈ K ton tai ε và j sao cho Bε(x) ⊆ Oj. Theo
tính compact cna K, có huu han nhung quá cau như v¾y phn K. Goi
Kj là quá cau đơn v% cna nhung quá cau như v¾y phn K. Goi Kj là quá
cau đơn v% cna nhung quá cau nam trong Oj . Theo bo đe Uryohn ton
tai các hàm so gj : X −→ [0, 1] sao cho gj = 1 trong K và gj = 0 trong
X \ Oj . Ta đ¾t
j−1
Y
hj = gj (1 − gk)
k=1


Khi đó hj : X −→ [0, 1] có giá compact chúa trong Oj và
n

.
j=1

n

hj (x) = 1 −

Y

(1 − gj (x))

j=1

chúng tó tong là m®t trong x ∈ K, do x ∈ Kj vói moi j dan đen gj (x) = 1
và làm cho tích bang 0.


Chương 2
TOÁN TÚ SCHRO¨ DINGER

Trong chương này, chúng tôi xem xét m®t so đ%nh nghĩa và m®t so
tính chat cna toán tú Schr¨odinger tn do thông qua toán tú Laplace
n

2

∂ .

∆=.
j=1

∂x2j

Trong đó thông qua m®t so ket quá đe đưa ra m®t so tính chat liên quan
tói pho cna toán tú Schrodinger tn do. Đ¾c bi¾t là pho cna m®t so lóp
toán tú thu®c ba dang sau:
H = H0 +
VH =−
6−
N

H=−

.

j=1

γ
|x|

, D(H1) = H2 (R3 )
N

6j +

.

Vj,k(xj − xk)

j

Nhung n®i dung trình bày trong chương này chn yeu đưoc tham kháo
trong [10].


2.1
2.1.1

M®t so đ%nh nghĩa và tính chat
Phép bien đoi Fourier

Cho C∞(Rn) là t¾p hop tat cá các hàm so giá tr% phúc có đao hàm
riêng b¾c bat kì. Vói f ∈ C∞(Rn) và α ∈ 0 ta đ¾t:
Nn
∂ f

∂αf = ∂x

α1
1

M®t phan tú α ∈

0

α1

α

|α|

αn ,

x
...∂xn

αn

= x1 ...xn , |α| = α1 + ... + αn.

đưoc goi là m®t đa chí so và |α| là b¾c cna nó.

Nn
Nhac lai, không gian Schwartz
.
.
∞
n
n
α
S(R )
f ∈ C (R )| sup |x (∂βf )(x)| < ∞, α, β ∈ Nn
=

0

x

trù m¾t trong L2(Rn) (do C∞
(Rn) ⊂ S(Rn)).

c
Neu f ∈ S(Rn) thì cũng đúng vói xαf (x) và (∂αf )(x) vói moi đa chí
so
α.
Vói moi f ∈ S(Rn) ta đ%nh nghĩa
F (f )(p) ≡
fˆ(p) =

1

¸
f (x)dnx

(2π)n/2
e−ipx
Rn

là phép bien đoi Fourier cna hàm f .
Đ%nh lý 2.1.1. Phép bien đoi Fourier
F : S(Rn ) −→ S(Rn )


là m®t song ánh.
Phép bien đoi
ngưoc
F

−1

¸

(g)(x)

1
gˇ(x) =
(2π)n/2

eipxg(p)dnp.
Rn

Tù tính chat F 2(f )(x) = f (−x) ta có đưoc F
đơn
v%).

4

= 1 (1 là toán tú


Bo đe 2.1.1. Phép bien đoi Fourier ánh xa tù không gian Schwartz vào
chính nó, F : S(Rn) −→ S(Rn). Hơn nua, vói moi đa chs so α ∈ Nn0 và
moi f ∈ S(Rn) ta
(∂α f )∧ (p) = (ip)α fˆ(p),
(2.1)
có
(xα f (x))∧ (p) = i|α| ∂ fˆ(p).
(2.2)
α

Chúng minh. Theo công thúc tích phân tùng phan ta có:
¸

.∧ (p)
.
1 n/2
∂
∂ f (x) =
f (x)dnx
e−ipx
(2π)
∂x
Rn
∂xj
j
.
1 n/2 ¸ .
=
− ∂ −ipx f (x)dnx
∂x e
(2π)
Rn
1 n/2 ¸
=

j

ipje−ipxf (x)dnx

(2π)

Rn

= ipj fˆ(p).
Công thúc (2.1) suy ra bang quy nap.
Tương tn ta suy ra công thúc (2.2) bang quy nap, sú dung
∧

(xjf (x)) (p)
=

1

¸
xje−ipxf (x)dnx

(2π)n/2
1
¸
=
(2π)n/2
∂
=i
Ta
thay
(2π)

−n/2

∂pj

Rn

fˆ(p).

.

.
i∂

Rn

∂xj

fˆ ∈ S(Rn) neu f ∈ S(Rn), do
đó
"f"1.

n
e−ipx f (x)d x

fˆ b% ch¾n và "fˆ
"∞

Neu f ∈ S(Rn ) thì ∂ α xβ f (x) ∈ S(Rn ) pα (∂β fˆ(p) = i−|α|−|β| (∂ α xβ f
(x))∧ (p)
b% ch¾n.
Bo đe 2.1.2. Cho f ∈ S(Rn) khi đó:

≤


(f (x + a))∧ (p) = eiap fˆ(p),

p
(f (λx))∧ (p) = 1 fˆ( ),
λn

λ

a ∈ Rn ,
λ > 0.