Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2,
dưói sn hưóng dan cna TS. Khuat Văn Ninh. Tác giá xin đưoc bày tó
lòng biet ơn sâu sac tói TS. Khuat Văn Ninh, ngưòi thay đã luôn t¾n
tình chí báo, đ®ng viên và khuyen khích tác giá trong nhung ngày đau
làm quen vói nghiên cúu khoa hoc và trong quá trình thnc hi¾n bán lu¾n
văn. Đong thòi, tác giá cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các
thay cô giáo trong Khoa Toán, Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cùng các thay
cô tham gia giáng day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã giúp đõ
tác giá trong suot thòi gian hoc t¾p tù nhung năm còn là sinh viên cho
đen ngày hôm nay. Thêm nua, tác giá cũng xin chân thành cám ơn các
đong nghi¾p trong Khoa tn nhiên, Trưòng Cao đang sư pham Vĩnh Phúc
(nơi tác giá mói nh¾n công tác) đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác
giá trong nhung khoáng thòi gian cuoi cùng hoàn thành bán lu¾n văn
này.

Hà N®i, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giá


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna T.S Khuat Văn Ninh.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc
cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng
đưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác.

Hà N®i, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giá


Mnc lnc

Lài má đau
1

1

M®t so kien thNc liên quan

4

1.1. Các khái ni¾m cơ bán cna giái tích hàm . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2.

Không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Khái ni¾m ve phương trình tích phân.......................................10
1.2.1. Phương trình toán tú..............................................10
1.2.2. Phương trình tích phân................................................10
1.2.3. M®t so điem chú ý........................................................ 12
2

M®t so phương pháp giái gan đúng phương trình tích
phân

14

2.1. Phương pháp nhân suy bien.......................................................14
2.1.1. Phương pháp.................................................................. 14
2.1.2. Các ví du........................................................................17

iii


2.2. Phương pháp Fredholm thay phiên.........................................20
2.2.1. Phương pháp.................................................................. 20
2.2.2. Ví du...............................................................................21
2.3. Phương pháp xap xí nhân.......................................................... 23
2.3.1. Phương pháp.................................................................. 24
2.3.2. Các ví du........................................................................27
2.4. Phương pháp xap xí liên tiep..................................................... 31
2.4.1. Lưoc đo l¾p........................................................................31
2.4.2. Phương trình tích phân Volterra.................................36
2.4.3. Ví du...............................................................................37

2.5. Phương pháp Galerkin............................................................... 39
2.5.1. Phương pháp.................................................................. 39
2.5.2. Moi liên h¾ giua phương pháp Galerkin vói phương
pháp nhân suy bien........................................................41
2.5.3. Ví du...............................................................................44
2.6. Phương pháp cau phương.......................................................... 56
2.6.1. Phương pháp.................................................................. 56
2.6.2. Ví du...............................................................................57
3

Úng dnng

58

3.1. Úng dung vào phương trình vi phân thưòng.............................58
3.1.1. Bài toán giá tr% ban đau................................................58
3.1.2. Bài toán giá tr% biên..........................................................61
3.1.3. Ví du...............................................................................63


3.2. Úng dung giái so bang l¾p trình Maple 12..............................64
3.2.1. Phương pháp nhân suy bien.......................................... 65
3.2.2. Phương pháp xap xí nhân.............................................. 70
3.2.3. Phương pháp xap xí liên tiep.........................................75
3.2.4. Phương pháp Galerkin................................................... 77
3.2.5. Phương pháp cau phương.............................................. 86
Ket lu¾n

88

Tài li¾u tham kháo

89


BÁNG KÝ HIfiU
N

T¾p so tn nhiên

N∗

T¾p so tn nhiên khác không

Q

T¾p so huu tý

R

T¾p so thnc

Z

T¾p so nguyên

C

T¾p so phúc

Rk

Không gian thnc k chieu

C[a;b] T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]
C[a;b] T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc và khá tích trên [a, b]
L

D[a;b] T¾p tat cá các hàm so xác đ%nh và có đao hàm liên tuc đen
k
cap k trên [a, b]
"."

Chuan

∅

T¾p hop rong


7

LèI Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Rat nhieu bài toán v¾t lý thưòng đưoc giái bang phương pháp phương
trình vi phân đeu có the giái m®t cách hi¾u quá hơn bang cách sú dung
phương trình tích phân. Th¾t v¾y, phương pháp sú dung phương trình
tích phân đưoc xuat hi¾n trong nhieu tài li¾u vói m®t tan suat tăng dan
và đã cung cap nhung lòi giái cho các bài toán mà se g¾p khó khăn neu
giái bang nhung phương pháp cơ bán cna phương trình vi phân. Nhung

bài toán như v¾y xuat hi¾n rat nhieu trong nhung lĩnh vnc úng dung
và nhung phương pháp đưoc kháo sát trong lu¾n văn này se rat huu ích
trong toán hoc úng dung, v¾t lý toán và cơ lý thuyet.
Phương trình tích phân đem đen m®t kĩ thu¾t hi¾u quá cho vi¾c giái
quyet rat nhieu nhung bài toán thnc te khác nhau. M®t trong nhung lí
do cna ích loi này là tat cá nhung đieu ki¾n ban đau và đieu ki¾n biên
cna m®t bài toán phương trình vi phân đeu có the gói gon lai trong m®t
phương trình tích phân đơn.
Sn thay the m®t mô hình toán hoc phúc tap cna m®t tình huong v¾t
lí thành m®t phương trình tích phân đơn đã là m®t bưóc tien đáng ke
nhưng còn rat nhieu nhung loi ích cna vi¾c thay the phép tính vi phân
bói phép tính tích phân. M®t trong nhung loi the này náy sinh bói phép
tính tích phân là m®t quá trình “uyen chuyen” đưoc the hi¾n trong quá
trình tìm nghi¾m xap xí. Neu ta can tìm m®t lòi giái chính xác hay gan
đúng cna bài toán cho trưóc thì phương trình tích phân chính là m®t
phương pháp huu ích đưoc trông đoi. Cũng bói lí do này mà phương


trình tích phân đã thu hút đưoc sn chú ý cna các nhà toán hoc trong
phan lón thòi gian cna the kí trưóc và đau the kí này, và lí thuyet cna
nó đang phát trien rat manh me.
Cùng vói mong muon hieu biet sâu hơn ve van đe này, dưói sn hưóng
dan cna TS. Khuat Văn Ninh, tôi manh dan chon đe tài nghiên cúu:
M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIÁI GAN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DUNG
Bo cuc cna lu¾n văn bao gom 3 chương:
Chương 1 cna lu¾n văn trình bày m®t so khái ni¾m cna giái tích hàm
và khái ni¾m ve phương trình tích phân. Cuoi chương trình bày m®t so
điem chú ý.
Chương 2 cna lu¾n văn t¾p trung trình bày m®t so phương pháp giái

phương trình tích phân tuyen tính.
Chương 3 cna lu¾n văn trình bày úng dung cna phương trình tích
phân vào giái phương trình vi phân và úng dung giái so bang l¾p trình
Maple 12.
2. Mnc đích nghiên cNu
Xây dnng các phương pháp giái gan đúng phương trình tích phân và
úng dung cna nhung phương pháp này trong thnc te.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Làm rõ nhung n®i dung can the hi¾n. Qua đó, thay đưoc loi ích và
tính huu dung cna các phương pháp này.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu


Nghiên cúu phương trình tích phân ó phương di¾n giái xap xí nghi¾m
và úng dung cna nó vào thnc te.
5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u, suy lu¾n logic, phân tích tong hop.
6. DN kien đóng góp mái
L¾p trình trên máy tính đi¾n tú giái m®t so phương trình tích phân.
Hà N®i, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giá lu¾n văn

Nguyen Th% Hoài


Chương 1
M®t so kien thNc liên quan
1.1.

Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm

1.1.1.

Không gian metric

Cho X là m®t t¾p tùy ý.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. M®t metric trong X là m®t ánh xa
d:X×X→R
cúa tích X × X vào đưòng thang thnc R, thóa mãn các đieu ki¾n
sau đây:
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
M®t không gian metric là m®t t¾p hop cùng vói m®t metric trong
4


11

t¾p hop ay. Các phan tú cna m®t không gian metric đưoc goi điem cna
không gian ay; so d(x, y) đưoc goi là khoáng cách giua các điem x và y.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. M®t dãy điem (xn), n = 1, 2, ... trong không
gian metric X goi là h®i tn đen điem a ∈ X neu
lim d(a, xn) = 0.

n→∞

Khi đó, ta kí
hi¾u

lim
n→∞

xn = a ho¾c xn → a, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Dãy điem (xn) đưoc goi là dãy cơ bán trong không
gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc , đeu ton tai m®t so n0
sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có
d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác, ta
có

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

De thay moi dãy điem h®i tu trong không gian metric đeu là dãy cơ
bán.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. M®t không gian metric X đưoc goi là đay đú neu
moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xa
f : X → Y đưoc goi là m®t ánh xa co neu ton tai m®t so α vói 0 ≤ α <
1 sao cho vói moi x, xr ∈ X ta đeu có
d(f (x), f (xr )) ≤ α d(x, xr ).


Hien nhiên m®t ánh xa co là liên tuc đeu.
Đ%nh lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xa co) Giá sú X là m®t không gian
metric đay đú, và f : X → X là m®t ánh xa co cúa X vào chính nó.
Khi đó ton tai m®t và chs m®t điem x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗.

1.1.2.

Không gian đ%nh chuan

Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng P (P = R ho¾c C).
Đ%nh nghĩa 1.1.6. M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi
tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:
1) ||x|| ≥ 0 vói moi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ P và moi x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X.
So ||x|| đưoc goi là chuan ( hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t không
gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian ay, đưoc
goi là m®t không gian đ%nh chuan (thnc ho¾c phúc, tùy theo P thnc hay
phúc).
Đ%nh lý 1.1.2. Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan. Vói moi x, y
∈
X, đ¾t
d(x, y) = ||x − y||
Khi đó, d là m®t metric trên X.


Đ%nh nghĩa 1.1.7. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi
là h®i tn đen x0 ∈ X neu limn→∞ ||xn − x0|| = 0.
Khi đó, ta kí hi¾u
lim
n→∞

xn = x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi
là m®t dãy cơ bán neu
lim
m,n→∞

||xm − xn|| = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.9. Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không
gian metric đay đú (vói khoáng cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X đưoc
goi là m®t không gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là không gian
Banach.
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
P. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là tuyen tính
neu A thóa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay, vói moi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx, vói moi x ∈ X, α ∈ P.
A cũng đưoc goi là toán tú tuyen tính. Khi đó, neu A chí thoá mãn 1)
thì A đưoc goi là toán tú c®ng tính; neu A chí thóa mãn 2) thì A đưoc
goi là toán tú thuan nhat. Khi Y = P thì toán tú tuyen tính A đưoc goi
là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho không gian đ%nh chuan X và Y . Toán tú
tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu ton
tai hang
so c ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ c||x||, vói moi x ∈ X.


Đ%nh nghĩa 1.1.12. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí
hi¾u L(X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không
gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

• Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A + B,
xác đ%nh bói bieu thúc
(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;
• Tích vô hưóng cúa α ∈ P (P = R ho¾c P = C) vói toán tú A ∈
L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc
(αA)(x) = α(Ax).
De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính. Khi đó, t¾p L(X, Y ) tró
thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng P .
Đ%nh lý 1.1.3. Neu Y là m®t không gian Banach thì L(X, Y ) là
không gian Banach.

1.1.3.

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.1.13. Cho không gian tuyen tính X trên trưòng P (P =
R ho¾c P = C). Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh
xa tù tích Descartes X × X vào trưòng P, kí hi¾u (·, ·), thóa mãn các
tiên đe:
1) (y, x) = (x, y) vói moi x, y ∈ X ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ X;


3) (αx, y) = α(x, y) vói moi so α ∈ P và moi x, y ∈ X;
4) (x, x) > 0 , neu x ƒ= θ

(θ là kí hi¾u phan tú không) , vói moi

x ∈ X;

5) (x, x) = 0, neu x = θ, vói moi x ∈ X.
Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cna tích vô hưóng. So (x,
y) goi là các tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2),
3), 4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.
Đ%nh nghĩa 1.1.14. Không gian tuyen tính X trên trưòng P cùng vói
m®t tích vô hưóng trên X goi là không gian tien Hilbert.
Đ%nh lý 1.1.4. Cho X là m®t không gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ X,
,
ta đ¾t ||x|| = (x, x). Khi đó, ta có bat đang thúc sau (goi là bat
đang thúc Schwarz)
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.
Tù bat đang thúc trên có the chúng minh đưoc rang moi không gian
tien Hilbert đeu là không gian đ%nh chuan, vói chuan ||x|| = ,(x, x).
Đ%nh nghĩa 1.1.15. Ta goi không gian tuyen tính H ƒ= ∅ trên
trưòng
P là không gian Hilbert H thóa mãn các đieu ki¾n:
1) H là không gian tien Hilbert;
,

2) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x) vói x ∈ X.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con cna không gian H.


1.2.
1.2.1.

Khái ni¾m ve phương trình tích phân
Phương trình toán tN

Cho A là toán tú tuyen tính liên tuc tù không gian đ%nh chuan X vào
chính nó.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Phương trình dang
Ag = f,

(1.1)

trong đó f ∈ X cho trưóc, đưoc goi là phương trình loai I.
Phương trình dang
g = λAg + f,

(1.2)

trong đó f ∈ X cho trưóc, tham so λ ∈ P, đưoc goi là phương trình
loai II.

1.2.2.

Phương trình tích phân Đ
%nh nghĩa 1.2.2. Phương
trình dang
¸

b

K(t, s)g(s)ds = f (t),

(1.3)

a

vói K(t, s) là hàm so 2 bien (t, s) ∈ [a; b] × [a; b] cho trưóc, g là hàm
so
liên tnc trên đoan [a; b], đưoc goi là phương trình tích phân tuyen
tính loai I.
Phương trình dang
¸
g(t) = λ

b
a

K(t, s)g(s)ds + f (t),

(1.4)


vói K(t, s) là hàm so hai bien (t, s) ∈ [a; b] × [a; b]; g(s) là hàm so
liên
tnc trên đoan [a; b]; tham so λ ∈ P (P = R ho¾c P = C ), đưoc goi
là phương trình tích phân tuyen tính loai II.
Đ%nh lý 1.2.1. Cho K(t, s) là hàm so hai bien (t, s) ∈ [a; b] × [a; b],
g
là hàm so liên tnc trên đoan [a; b] hay g ∈ C[a;b]. Đ¾t
¸ b
(Ag)(t) =
K(t, s)g(s)ds
a

Khi đó A là toán tú tuyen tính tù C[a;b] vào C[a;b]

Chúng minh. Do K liên tuc trên [a; b] × [a; b], g là hàm liên tuc trên [a;
b]
nên bieu thúc dưói dau tích phân K(t, s)g(s) là hàm liên tuc theo hai
¸b
bien (t, s) ∈ [a; b] × [a; b]. Suy ra,a
K(t, s)g(s)ds [a; hay A là toán
b]

∈C
tú tác đ®ng tù C[a;b] vào C[a;b].
Vói moi α, β ∈ R, vói moi g1, g2 ∈ C[a;b], ta có
¸ b
K(t, s)[αg1(s) + βg2(s)]ds
A(αg1 + βg2)(t))
a
=
¸ b
¸ b
=α
K(t, s)g1(s)ds +
K(t, s)g2(s)ds
a
β
a

= (αAg1)(t) + (βAg2)(t)
V¾y A = (αg1 + βg 2) = αAg1 + βAg2. Hay A tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho toán tú tuyen tính liên tnc A.
• A đưoc goi là toán tú tích phân Fredholm neu
¸ b

(Ag)(t) =
K(t, s)g(s)ds
a


trong đó, hàm K(t, s) goi là nhân cúa các toán tú tích phân


• A là toán tú tích phân Volterra neu
¸ t
(Ag)(t) =
K(t, s)g(s)ds
a

trong đó, hàm K(t, s) goi là nhân cúa các toán tú tích phân.
Neu A là toán tú tích phân Fredholm thì tương úng vói (1.1) và (1.2)
ta có phương trình tích phân Fredholm loai I và loai II. Neu A là
toán tú tích phân Volterra thì tương úng vói (1.1) và (1.2) ta có
phương trình tích phân Volterra loai I và loai II.

1.2.3.

M®t so điem chú ý

1) Phương trình tích phân Volterra là trưòng hop riêng cna phương
trình tích phân Fredholm.
Th¾t v¾y, đ¾t




K(t, s), a ≤ s ≤ t

K˜ (t, s) :=
thì ta có

¸

t

¸

K(t, s)g(s)ds =

a



0, t ≤ s ≤ b
K˜ (t, s)g(s)ds.

b

a

2) Neu K(t, t), f khá vi liên tuc theo bien t , K(t, t) ƒ= 0 vói moi
t ∈ [a; b] thì phương trình Volterra loai I đưa đưoc ve phương trình
Volterra loai II. Th¾t v¾y đao hàm hai ve đang thúc
¸ t
K(t, s)ds = f (t)
a

¸

ta đưoc
K(t, t)g(t) +

t

a

Tù đây ta suy ra

¸
g(t) = −
a

b

∂K
∂t

(t, s)g(s)ds = f r (t).

∂K
∂t

K(t, t)

g(s)ds
+

f r (t)
K(t, t)


3) Phương trình tích phân Fredholm đ¾t không chính theo nghĩa: chí
m®t kích đ®ng nhó cna ve trái dan đen sn thay đoi lón cna
nghi¾m, th¾m chí làm cho phương trình vô nghi¾m. Bói v¾y,
trong giói han cna đe tài, giói han hieu biet cna riêng tác giá, và
nham đat đưoc muc đích nghiên cúu, lu¾n văn này chí xét tói
phương trình tích phân Fredholm loai II.


Chương 2
M®t so phương pháp giái gan đúng
phương trình tích phân
2.1.
2.1.1.

Phương pháp nhân suy bien
Phương pháp

Kí hi¾u X là không gian Banach. Trong X ta xét phương trình tích
phân Fredholm loai II
¸
b

g(t) = f (t) + λ

K(t, s)g(s)ds

(2.1)

a

trong đó, f là phan tú cho trưóc thu®c X.
Đ%nh nghĩa 2.1.1. Nhân K(t, s) cúa phương trình tích phân đưoc goi
là nhân suy bien neu nó đưoc bieu dien dưói dang
n

K(t, s) = Kn(t, s) =

.

αi(t)βi(s)

(2.2)

i=1

vói a ≤ t, s ≤ b. Trong đó {αi(t)}, {βi(s)} , i = 1, 2, ... là nhung h¾
đ®c l¾p tuyen tính.
14


22

Nhân suy bien gom các đa thúc và nhieu hàm siêu vi¾t như: (t +
s), ts, cos(s − t), e(s−t), ...
Vói moi nhân có dang (2.2) phương trình (2.1) tró thành
n . ¸ b β (s)g (s)ds.

i
n

(2.3)

gn(t) = f (t) + λ
αi(t)

a

i=1

Tù đó, nó dan đen phương pháp giái phương trình này ve cơ bán phu
thu®c vào vi¾c lna chon tham so phúc λ và
¸
ci =

b
a

βi(s)gn(s)ds,

(2.4)

ó đây, ci là hang so chưa biet. Thay (2.4) vào (2.3) ta đưoc
n

gn(t) = f (t) + λ

.

ciαi(t),

(2.5)

i=1

và bài toán tró thành đi tìm ci. Cuoi cùng, chúng ta thay (2.5) vào
(2.3)
ta đưoc
¸

n

.

n

b

αi(t)

βi(s)[f (s) + λ

{ci −

ckαk(s)]ds} = 0.
(2.6)

a

i=
1

.

k=1

Do các hàm αi(t) là đ®c l¾p tuyen tính nên
ci − ¸
vói i = 1, 2, .... Đ¾t
¸ b

b
a

βi(s)[f (s) + λ

a

ckαk(s)]ds = 0,

(2.7)

k=1

¸
βi(s)f (s)ds =
fi ,

n.

b
a

βi(s)αk(s)ds = aik

(2.8)

ó đây, fi và aik là nhung hang so đã biet, phương trình (2.7) tró thành


23
n

ci − λ

.

k=1

aikck = fi

(2.9)


(i = 1, 2, ...). Đó là m®t h¾ phương trình đai so n an ci, (i = 1, 2,
...). Đ%nh thúc cna h¾ là
.
.

.. 1 − λa11 −λa12 · · · −λa1n .
..
.
.
.
.D(λ) = −λa21 1 − λa22 · · · −λa2n .
..
.
.
..
.
.
.
.
..
..
..
.
.
.
.
.
.
. −λan1
−λan2 · · · 1 − λann .

(2.10)

Đ%nh thúc là m®t đa thúc cna λ, có b¾c cao nhat n. Hơn nua, đ%nh thúc
này không đong nhat không, vì ngay cá khi λ = 0 thì D(λ) = 1.

Vói moi giá tr% cna λ sao cho D(λ) ƒ= 0, h¾ phương trình đai so
(2.9),
và do đó phương trình tích phân (2.1), có nghi¾m duy nhat. M¾t khác,
vói moi giá tr% cna λ sao cho D(λ) = 0, h¾ phương trình đai so
(2.9) và do đó phương trình tích phân (2.1) ho¾c vô nghi¾m ho¾c có
vô so nghi¾m.
Như v¾y, vi¾c giái phương trình (2.1) vói nhân suy bien gom các
bưóc:
1) Tính các tích phân:
¸

βi(s)f (s)ds = fi
b
a

¸

b
a

βi(s)αk(s)ds = aik

2) Giái h¾ đai so tuyen tính:
n

ci − λ

.

k=1

aikck = fi, i = 1, 2, ...


Neu đ%nh thúc cna h¾ khác không thì ton tai nghi¾m duy nhat ci, i =
1, 2, ....