Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾n
tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho
tác giá nhung kinh nghi¾m quí báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa
hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p
và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn. Tác
giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat
đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích cùng
vói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc
tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên
và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giá

Đo Đúc Anh


2

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna Tien sĩ Hà ĐúcVưong.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùa
nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và
biet ơn.

Hà N®i, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giá

Đo Đúc Anh


Mnc lnc

Má đau

1

Chương 1. Kien thNc chuan b%

4

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4

1.1.2. Không gian đ%nh chuan.....................................................14
1.1.3. Không gian Banach........................................................ 19
1.2. Không gian Hilbert.................................................................... 23
1.2.1. Không gian tích vô hưóng.............................................23
1.2.2. Không gian Hilbert........................................................ 26

Chương 2. Không gian Banach loi đeu

30

2.1. Tính loi cna hình cau đơn v%
trong không gian Banach...........................................................30
2.2. Modul loi và đ¾c trưng loi cna không gian Banach.................34
Chương 3. Modul loi và cau trúc chuan tac cúa không gian
Banach

42

3.1. Cau trúc chuan tac..................................................................42
3.2. Modul loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach .

46

Ket lu¾n

51

Tài li¾u tham kháo

52


BÁNG KÍ HIfiU
N
N∗

T¾p so tn nhiên
T¾p so tn nhiên khác không

Q

T¾p so huu tý

R

T¾p so thnc

Z

T¾p so nguyên

C

T¾p so phúc

Rk

Không gian thnc k chieu

C[a;b] T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]
"."

Chuan

∅
Q

T¾p hop rong
Ket thúc chúng minh


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Năm 1936 Clarkson đã đ¾t nen móng cho m®t hưóng nghiên cúu rat
quan trong trong Giái tích toán hoc đó là "Hình hoc các không gian
Banach". Đây là công cu quan trong đe giái quyet nhieu van đe trong
khoa hoc ky thu¾t. Đ¾c bi¾t là công cu không the thieu trong lĩnh vnc
nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna lóp ánh xa không giãn.
Năm 1948, Brodskii và Milman đã đưa ra các khái ni¾m điem đưòng
kính (diametral point) và xây dnng khái ni¾m t¾p hop có cau trúc chuan
tac (normal structure). Các khái ni¾m modul loi (modulus of convexity),
đ¾c trưng loi (Characteristic of convexity) đưoc xuat hi¾n, đã thu hút
nhieu nhà toán hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi
và cau trúc chuan tac cna không gian Banach như: Bynum, Day, James,
Goebel, Kirk . . .
Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve moi quan h¾ giua modul
loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach, đưoc sn
giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong tôi manh dan
chon đe tài nghiên cúu :
“Modul loi và cau trúc chuan tac cúa không gian Banach” .

2. Mnc đích nghiên cNu

Muc đích nghiên cúu cna đe tài là xây dnng m®t bài tong quan ve
modul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach.
Công trình nghiên cúu dna trên ket quá cna 2 chương:

2

Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball";
Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" trong
cuon sách “Topics in metric fixed point theory” cna tác giá K. Goebel và
W. A. Kirk xuat bán tai My năm 1990.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu

Vói muc đích ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu là:
- Nghiên cúu tính loi cna hình cau đơn v% trong không gian Banach.
- Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi và đ¾c trưng loi cna không
gian Banach.
- Nghiên cúu cau trúc chuan tac cna không gian Banach.
- Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi và cau trúc chuan tac cna
không gian Banach.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu là modul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan
tac cna không gian Banach.

5. Phương pháp nghiên cNu
- D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u.
- Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.


6. Đóng góp mái

Đây là bài tong quan ve modul loi, đ¾c trưng loi và cau trúc chuan
tac cna không gian Banach. Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi quan h¾ giua
modul loi và đ¾c trưng loi cna không gian Banach, moi quan h¾ giua
modul loi và cau trúc chuan tac cna không gian Banach.


Chương 1
Kien thNc chuan b%

Không gian metric, không gian Banach và không gian Hilbert là các
không gian quan trong trong Giái tích hàm. Trong chương này chúng
tôi se trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve không gian metric, không
gian Banach, không gian Hilbert, m®t so tính chat quan trong và các
ví du minh hoa ve các không gian này.

1.1.

Không gian Banach

1.1.1.

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [4] Không gian metric là m®t t¾p hop X ƒ= ∅
cùng vói m®t ánh xa d tù X vào t¾p so thnc R, thóa mãn các đieu
ki¾n sau đây:
1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, vói ∀x, y ∈ X;
2) d(x, y) = d(y, x), vói ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), vói ∀x, y, z

∈ X. Ánh xa d đưoc goi là metric trên X.
Không gian metric đưoc ký hi¾u là (X, d).
Ví dn 1.1.1. Vói hai véctơ bat kỳ x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2,
..., yk)
thu®c không gian véctơ thnc k chieu Rk (k là so nguyên dương nào đó)


5

đ¾t:

‚
. .k.
, (xj − .
d(x, y) =

(1.1)

yj )2
j=1

Ta có (Rk, d) là m®t không gian
metric. Th¾t v¾y:
Ta có
. k
.
(xj − yj )2 ≥ 0, vói moi x, y ∈ R.
j=1

Suy ra d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R.

M¾t khác ta có:
‚
. .k.
d(x, y) = 0 ,
⇔
(xj

= 0.

− yj )2
Ta có

j=1

(xj − yj )2 = 0, ∀j = 1, 2, ..., k.
Hay
xj = yj , ∀j = 1, 2,
Suy ra
..., k. x = y.
V¾y d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Đe kiem tra h¾ thúc (1.1) thóa mãn đieu ki¾n 3 cna Đ%nh nghĩa 1.1.1,
trưóc het ta chúng minh bat đang thúc Cauchy – Bunhiacopski:
Vói 2k so thnc aj , bj , (j = 1, 2, ..., k) ta có:
‚
.
. ‚
k
k
k
.

..
. .
2
.
.. 2
..
. .
a
j bj . ≤
aj . j= bj .
,
.
j=
,
i
i
.
j=1
Th¾t
v¾y
k .
.
. .k
0≤
(aibj − aj bi)2
i=1

j=1

(1.2)

j i

=

k
.

k

j=
i=1 1

k
.
2 2
a
i bj − i=
1
2

k
j=
1

k
.

a ib i a j bj

+

i=
1

. . k .
. k
.
.
= 2 . 2a j
b −2
.

2

j=
1

.

.

.

a2b2

.2

k

j=1

k

a j bj .

j=1

j

j=1

Do đó ta có

. k
.
j=1

. . k .
.
a2j
bj 2

.
.2

−
.

Tù đó suy ra . aj bj .

≤
.
.
.
.
.j=1
.

.

. .k

k

.
a2

j=i

j

. ≥ 0.

aj

bj

j=1

.. k

k

j=i

j=1

b2 .
j

Vói ba véc tơ bat kỳ x = (x1, x2, .., xk), y = (y1, y2, ..., yk), z = (z1,
z2, ..., zk)
thu®c Rk ta có:
k
2

.

d (x, y) = (xj −
yj )2
j=
1

=

k
.

[(xj − zj ) + (zj − yj )]

2

j=1
k .
k
.k
.
2
= (xj − zj ) + 2 (xj − zj )(zj − yj ) + (zj − yj )
2
j=1

j=1

j=1

‚
.

k
.
k ..
2
≤
(xj − zj ) + 2 (xj
j=1
,
− zj )
j=1

‚
... k
.k
2 (z − y + (z − y
j
j
j
j
2
, )2
)
j=1

= d2(x, z) + 2d(x, z)d(y, z) + d2(z, y)
2

= [d(x, z) + d(y, z)] .
Tù đó suy ra:

j=1


d(x, y) ≤
d(x, z) +
d(y, z), ∀x,
y, z ∈ R.
Do đó h¾ thúc (1.1) thóa mãn đieu ki¾n 3 cna Đ%nh nghĩa 1.1.1.
V¾y h¾ thúc (1.1) là m®t metric trên Rk.
Ta có (Rk, d) là m®t không gian metric.

Ví dn 1.1.2. Cho t¾p X ƒ= ∅. Vói hai phan tú bat kỳ x, y ∈ X ta
đ¾t:

(1.3)
1 neu x ƒ= y
d(x, y) =
0 neu x = y.
Hien nhiên, h¾ thúc (1.3) xác đ%nh m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc
R. Ta kiem tra h¾ thúc (1.3) thóa mãn các tiên đe ve metric.
Th¾t v¾y:
Vói hai phan tú x, y ∈ X, hien nhiên d(x, y) ≥ 0 .
Neu x = y thì theo (1.3), ta có d(x, y) = 0 .
Neu d(x, y) = 0, nhưng x ƒ= y thì d(x, y) = 1 đieu này trái
vói giá thiet.
Vì v¾y d(x, y) = 0 ⇔ x = y. Do đó (1.3) thóa mãn tiên đe 1 ve
metric. Vói hai phan tú x, y ∈ X.
Neu x = y thì y = x, do đó d(x, y) = d(y, x) = 0.
Neu x ƒ= y thì y ƒ= x, do đó d(x, y) = d(y, x) = 1.
V¾y ta có d(x, y) = d(y, x), vói moi x, y ∈ X.
Vói ba phan tú x, y, z ∈ X, ta có:
Neu x = y thì d(x, y) = 0.
Theo chúng minh trên d(x, z) ≥ 0, d(y, z) ≥
0. Do đó d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Giá sú x ƒ= y thì d(x, y) = 1.
Neu z = x thì z ƒ= y, khi đó d(x, z) = 0, d(z, y) = 1.
Suy ra
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y).
Neu z ƒ= x, z ƒ= y thì d(x, z) = d(z, y) = 1, do đó
d(x, y) < d(x, z) + d(z, y).

Vì v¾y d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), vói moi x, y, z ∈ X
.
V¾y h¾ thúc (1.3) là m®t metric trên X. Khi đó (X, d) là không
gian metric ròi rac.


Nh¾n xét 1.1.1.
Trên cùng m®t t¾p hop có the xác đ%nh nhung metric khác nhau. Ví
du trên cùng t¾p hop Rk, ngoài metric Eukleides, có the xác đ%nh các
metric sau đây.
Vói hai phan tú bat kỳ x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ..., yk)
thu®c Rk
ta đ¾t:
k

d1(x, y) =

.

|xi − yi| ,

i=1

d2(x, y) = max |xi − yi| ,
1≤i≤k

Các h¾ thúc trên cũng là các metric trên Rk.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. [4] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ∈
X và điem x0 ∈ X. Dãy {xn} đưoc goi là h®i tn tói điem x0 trong X
khi n → ∞, neu vói moi ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, vói moi n ≥ n0 ta có

d(xn, x0) < ε. Ký hi¾u:
lim
n→∞ xn = x0 hay xn → x0, khi n → ∞.
Điem x0 goi là giói han cúa dãy {xn} trong X.
Ví dn 1.1.3. Sn h®i tu cna m®t dãy điem trong không gian Eukleides
Rk là sn h®i tu theo toa đ®.
(n)
(n)
(n)
Th¾t v¾y, giá sú dãy điem x(n) = (x , x , ..., x ), n = 1, 2,
... h®i
1

2

k

tu tói điem x = (x1, x2, ..., xk) trong Rk.
Theo đ%nh nghĩa, vói moi ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, vói moi n ≥ n0 sao cho:
‚ ..
(n)
(n)
.
k (x
d(x
,
x)
=
< ε.
− xj )

,
2
j=1

.
Suy ra

(n)

.
.xj

j

.
.
− xj . < ε, ∀n ≥ n0, j = 1, 2, ..., k.

(1.4)

Bat đang thúc (1.4) chúng tó vói moi j = 1, 2, .., k dãy so thnc

j

,x

(n)

,

h®i tu tói so thnc xj khi n → ∞. Sn h®i tu đó đưoc goi là sn h®i tu theo


toa đ®.
(n)
(n)
(n)
Ngưoc lai, giá sú dãy điem x(n) = (x , x , ..., x ), n = 1, 2, ...
h®i
1

2

k

tu theo toa đ® tói điem x = (x1, x2, ..., xk). Theo đ%nh nghĩa, vói ∀ε
>0
(vói moi j = 1, 2, .., k), ∃nj ∈ N, ∀n ≥ nj ta có:
.
.
. (n)
.
ε
.xj − xj . < √
.
k
Đ¾t n0 = max {n1, n2, ..., nk} thì vói ∀n ≥ n0 ta có:
.
.

. (n)
.
ε
.xj − xj .
√ , j = 1, 2,
<
k
..., k.
Tù đó suy ra
(x

(n)

j

V¾y ta
có

.k
(n)

(x
j=
1

Do đó

ε2
− xj ) 2

j

− xj )2 < ε2 , ∀n ≥ n0 .

‚
.
k
..
, (x(n) − x )2 < ε, ∀n ≥ n .
j
0
j
j=1

V¾y dãy điem đã cho h®i tu theo metric Eukleides cna không gian Rk.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. [4] Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X
goi là dãy Cauchy, neu vói moi ε > 0, ton tai n0 ∈ N∗ sao cho, ∀m,
n ≥ n0 ta có:
d(xm, xn) < ε.
Ha
y

lim d(x , x ) = 0.
m
n

m,n→∞

Moi dãy {xn} ⊂ X h®i tn trong X đeu là dãy Cauchy.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. [4] Không gian metric (X, d) goi là đay đú, neu
moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t điem thu®c X.


Ví dn 1.1.4. Không gian l2 là không gian các dãy so khá tong b¾c hai.
l2 là không gian đay đn.
(n)
(n)
(n)
Th¾t v¾y, giá sú x(n) = (x , x , ..., x ), n = 1, 2, ... là dãy
Cauchy tùy
1

2

k

ý trong không gian l2.
Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy, vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0.
‚ ..
(n)
(n)
(m) . ∞
d(x (m), x ) =
.x
2 < ε.
−x .
.

.
,
. k
k .
k=1

Suy ra

‚
.2
.
.. p .. (n
(m)
)
.
∗
,
< ε, ∀m, n ≥ n0 , p ∈ N .
.
−
. k=1 xk
xk
. (n)
.
(m)
.
.xk −
. < ε, ∀m, n ≥ n0, ∀k = 1, 2, ....
xk

(1.5)

(1.6)

(n)

Bat đang thúc (1.6) chúng tó vói moi k co đ%nh, dãy ,xk , là dãy so
Cauchy, nên phái ton tai giói han
lim
n→∞

(n)

xk = xk, k = 1, 2, ....

Đ¾t x = (x1, x2, ..., xk, ...) = (xk). Vì các bat đang thúc (1.5)
không phu thu®c p nên có the chuyen qua giói han trong các bat đang
thúc này khi m → ∞ ta đưoc:
. p
‚
.2
.. .. (n)
,
−
≤ ε, ∀n ≥ n0 , p ∈ N∗ .
.
.
.
k=1 x
xk

k

(1.7)

Tiep tuc chuyen qua giói han bat đang thúc (1.7) khi p → ∞ ta đưoc:
‚
.
. ∞
.
(n)
2
.
.
.

M¾t
khác

,
k=
1

.
xk

− . ≤ ε, ∀n ≥ n0.
.
xk
2

(1.8)


2

.

(n).

|xk| =. .xk − (n + x
)
x
...
k
. k. . ..2
(n)
.
k .
. k(n).
≤ .x − x . + .x . .
k


.
.
.
. (n) .2
.(n)
. 2 xk −
≤ 2 xk

+
x
.
.k
.

.2
.

, ∀k, n = 1, 2....

(1.9)

Tù các bat đang thúc (1.8) và (1.9) suy ra
p
p
p
. .2
.
.2
.
.
.
2
. (n1)
.
|xk| ≤ 2 . (n1).
x . k +. 2
.xk − xk.
k=1

k=
1∞

≤2

.
..

k=1
∞

<2

.

)

. +

2k=

.
.2
. (n1)
.
.xk − xk.

1

..x

k=1

V¾
y

k

1 .2
.

k=
1∞

(n1)

.2 +

n >n.

.
2

2ε ,
. k .

∀1

0

p
. .2
.
.
∞
2
.
|xk| < 2
+ 2ε2, ∀n1 > n0.
(n1).
x
. k .

k=1

k=1

Do đó dãy x = (xk) ∈ l2, các bat đang thúc (1.9) chúng tó dãy
Cauchy
.
.
x(n) h®i tu tói x ∈ l2 trong không gian l2.
Vì v¾y không gian l2 là không gian đay đn.
Ví dn 1.1.5. Cho X là t¾p tat cá các hàm so x(t) liên tuc trên
không gian R1 sao cho x(t) = 0 ngoài m®t đoan nào đó (đoan này
phu thu®c tùng hàm so x(t)). Vói hai hàm so bat kỳ x(t) ∈ X, y(t)
∈ X, ta đ¾t
d(x, y) = max |x(t) − y(t)| .
t∈R1

Khi đó (X, d) là m®t không gian metric không đay
đn. Th¾t v¾y:
Trưóc het ta chí ra (X, d) là m®t không gian metric.
d : X × X → R.
d là m®t ánh xa vì: ∀x = x(t) ∈ X, ∀y = y(t) ∈ X, ta goi 6x,
6y là các đoan tương úng vói các hàm so x(t), y(t) sao cho x(t) =
0 vói moi t ∈/ 6x và y(t) = 0 vói moi t ∈/ 6y.


Do x = x(t), y = y(t) liên tuc trên không gian R1 nên x(t), y(t)
liên tuc trên 6x∪6y, mà 6x∪6y là t¾p đóng và b% ch¾n nên ta có: x(t)
−y(t)


liên tuc trên 6x ∪ 6y và ∃ max |x(t) − y(t)| =

|x(t) − y(t)| .

max
t∈6x∪6y

R1

V¾y d xác đ%nh.

M¾t khác ta lai có:
Vói moi (x, y) ∈ X, (x1, y1) ∈ X, giá sú (x, y) = (x1, y1) hay
(x(t), y(t)) =
(x1(t), y1(t)) vói ∀t ∈ R1.

Suy ra
x(t) = x1(t), y(t) = y1(t) vói ∀t ∈
R1.

Tù đó ta có

max |x(t) − y(t)| = max |x1(t) −
y1(t)| .
R1

R1

Hay
d(x, y) = d(x1, y).
V¾y d là đơn tr
%. Tù đó suy ra
d :X × X → R là ánh xa
(x, y) ›→ max |x(t) − y(t)| .
R1

Bây giò ta kiem tra các tiên đe ve metric.
Vói moi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X
ta có
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀t ∈ R1 .
Suy ra

max |x(t) − y(t)| ≥ 0.
R1

Hay

Tương đương
M¾t khác


d(x, y) = 0.

d(x, y)
≥ 0.

max |x(t) − y(t)|
R1

= 0.


Suy ra
|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈
R1 .

Hay

x(t) = y(t) ⇔ x = y.
V¾y tiên đe 1 thóa mãn.
Vói moi x, y ∈ X ta có :
d(x, y) = max |x(t) − y(t)|
= max
|y(t) − x(t)|
R1
R1

= d(y, x).
V¾y tiên đe 2 thóa mãn.
Vói moi x = x(t) ∈ X, y = y(t) ∈ X, z = z(t) ∈ X, ta có:
|x(t) − y(t)| = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|
≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)| .
Suy ra
|x(t) − y(t)| ≤ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) − y(t)| , ∀t ∈
R1 .
R1

R1

Tù đó ta có
max |x(t) − y(t)| ≤ d(x, z) + d(z, y).
R1

Hay
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
V¾y tiên đe 3 thóa mãn.
Do đó d là m®t metric trên X.
Tiep theo ta chí ra (X, d) là không gian không đay đn.
Th¾t v¾y vói moi n 
∈ N∗ ta chon
1
1
neu |t| ≤ n

xn(t) =
 t2 + 1 − n 2 +
1


0

neu |t| > n.


De thay xn(t) là m®t hàm thu®c X vói moi n ∈ N∗. Hơn nua {xn} ⊂ X
là m®t dãy Cauchy. Th¾t v¾y ta có:
d(xn, xn+p) = max |xn(t) − xn+p(t)| , ∀p ∈ N∗
t∈R1

= max
|t|≤n+p

= max

|xn(t) − xn+p(t)|

.

.
|xn(t) − xn+p(t)|

max |xn(t) − xn+p(t)| ,

max
|t|≤n
n<|t|≤n+p
..
. .

1
1
= max . 1
.1 .
−
,
−
.
.
. t
n<|t|≤n+p . 2
2+
(n
+
(n + +
+
+
n
1
2
=
p)
p)2
1
1. 1
1
.
−
2
2

n + 1 (n + p) + 1
Cho n → ∞ ta có d(xn, xn+p) → 0, vói p ∈ N∗.
V¾y {xn} là dãy Cauchy trong X. M¾t khác ta lai có: Vói x0
=
khi đó

.

.
1.

n2

1
+1

d(x , x ) = max
n 0
. t.2 + 1 −
−
. −1
.
= max . .
.
.
|t|≤n .n2 + 1.
1
= 2
.
n +1

1

.

t2 + 1.

.

Cho n → ∞ ta có d(xn, x0) → 0. Do đó ta có lim xn = x0 .
M¾t khác ta lai có x0
=

1
1

n →∞

nên x0 ∈/ X.

> 0, ∀t ∈
t2 + 1
R
V¾y (X, d) là m®t không gian metric nhưng không đay đn.
1.1.2.

Không gian đ%nh chuan

..
.

.
1.

1
t2 +
,
1


Đ%nh nghĩa 1.1.5. [1] Ta goi không gian tuyen tính đ%nh chuan (hay
không gian đ%nh chuan) là m®t không gian tuyen tính X trên trưòng
K(thnc ho¾c phúc) cùng vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, ký hi¾u
là "." và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau:
1) "x" = 0 ⇔ x = θ (θ là phan tú 0 trong X), vói moi x ∈ X;