Nghiệm nhớt của phương trình Đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F (D2u(x),x) = 0

LèI CÁM ƠN
Trưóc tiên tôi xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói: T.S Tran Văn Bang ngưòi thay đã hưóng dan, chí báo t¾n tình cho tôi trong suot quá trình
hoàn thành lu¾n văn này.
Tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen các thay, cô công
tác và tham gia giáng day ó phòng Sau đai hoc trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2. Các thay, cô đã nhi¾t tình giáng day cũng như tao
moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat cho tôi hoàn thành khóa hoc tai trưòng.
Đong thòi tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn tói tat cá ban bè, đong
nghi¾p và ngưòi thân đã đ®ng viên, giúp đõ tôi trong suot quá trình
hoc t¾p và viet lu¾n văn.
M¾c dù đã dành nhieu thòi gian nghiên cúu và tìm hieu song bán
lu¾n văn không tránh khói nhung han che, thieu sót. Vì v¾y tôi rat
mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna các quý v% đ®c giá đe lu¾n
văn này đưoc hoàn thi¾n hơn.
Xin chân thành cám ơn!

Hà n®i, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Hoc viên

Thân Văn Tài

-1-


LèI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cúu lu¾n văn vói đe tài "Nghi¾m nhót cna
phương trình đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F .D2u(x), x. = 0" tôi
đã hieu sâu hơn ve b® môn Giái tích hi¾n đai, đ¾c bi¾t ve b® môn
phương trình đao hàm riêng phi tuyen.
Tôi xin cam đoan lu¾n văn đưoc hoàn thành là do sn co gang, no
lnc tìm hieu và nghiên cúu cna bán thân dưói sn hưóng dan, chí báo

nhi¾t tình cna thay giáo: T.S Tran Văn Bang cũng như các thay, cô
trong to Toán giái tích cna trưòng ĐHSP Hà N®i 2.
Tôi cũng xin cam đoan ket qna cna lu¾n văn không trùng l¾p vói
các đe tài khác và moi thông tin trích dan trong lu¾n văn đã đưoc
chí rõ nguon goc.
Hà n®i, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Hoc viên

Thân Văn Tài


Mnc lnc
Mnc lnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Má đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
4

1 Các kien thNc cơ sá
9
1.1 Thu¾t ngu và kí hi¾u cơ bán . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 Paraboloid tiep xúc và tính khá vi cap hai............................... 10
2 Nghi¾m nhát cúa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff và nguyên lý cNc đai
16
2.1 Nghi¾m nhót cna phương trình elliptic.....................................17
2.2 Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cnc đai..............................27
3 Bat đang thNc Harnack và tính duy nhat nghi¾m
38
3.1 Bat đang thúc Harnack................................................................38

3.2 Tính duy nhat nghi¾m................................................................. 53
Ket lu¾n................................................................................................. 63
Tài li¾u tham kháo..............................................................................64


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Như chúng ta đã biet, phương trình đao hàm riêng nói chung và
phương trình đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F .D2u(x), x. = 0 nói
riêng có úng dung rat r®ng rãi trong thnc te. Có rat nhieu lĩnh vnc
nghiên cúu hi¾n đai mà trong đó phương trình đao hàm riêng đóng vai
trò het súc quan trong như: lý thuyet bieu dien nhóm nhieu chieu, lý
thuyet trưòng lưong tú, lý thuyet các không gian thuan nhat và v¾t lý
toán.
M¾c dù đưoc đe c¾p tù rat lâu vào khoáng cuoi the kí 18 và đau
the kí 19, nhưng lý thuyet các phương trình đao hàm riêng phi tuyen
cho tói nay cơ bán van chưa đưoc hoàn thi¾n. Tù đau the kí 20 cho tói
nay, do nhu cau nghiên cúu m®t cách ch¾t che nhung phương trình
đao hàm riêng đã kích thích sn phát trien các phương pháp nghiên
cúu cơ bán cna: Giái tích thnc, Giái tích hàm và Tôpô.
M®t bài toán phương trình đao hàm riêng neu có ý nghĩa thnc tien
thì chac chan phái có nghi¾m. Van đe là nghi¾m đó hieu theo nghĩa
nào mà thôi. Có rat nhieu phương trình đao hàm riêng, đ¾c bi¾t là
phương trình đao hàm riêng phi tuyen thưòng không có nghi¾m co
đien. Vì v¾y ta phái co gang xây dnng lý thuyet các nghi¾m suy r®ng
đe bài toán có nghi¾mn hơn nua nghi¾m đó can phái duy nhat.
Năm 1979, Krylov và Safonov đã chúng minh bat đang thúc Harnack
cho nghi¾m cna các phương trình đao hàm riêng elliptic cap hai có
dang không divergence vói các h¾ so đo đưoc. Đieu đó đã mó ra
m®t cách

đe phát trien lý thuyet chính quy cho phương trình đao hàm riêng phi
tuyen hoàn toàn.
Cùng thòi gian đó thì Crandall-Lions [5] và Evans [6, 7] đã giói thi¾u
m®t khái ni¾m nghi¾m yeu (nghi¾m nhót) cho phương trình đao hàm
riêng phi tuyen ho¾c tuyen tính có dang không divergence, nó thong
nhat vói nguyên lý Dirichlet và nghi¾m bien phân trong lý thuyet ve
phương trình dang divergence.
Vì v¾y tôi đã lna chon đe tài "Nghi¾m
phương trình
. nhát cúa
.
2
đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F D u(x), x = 0".
Trong lu¾n văn này, tôi se trình bày m®t so ket quá ve lý thuyet
chính quy cna nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen
hoàn toàn:
.
.
F D2u, x = f (x),
(0.0.1)
trong đó D2u là Hessian cna u. Trong [3, 4] các tác giá đã nghiên cúu
cho phương trình có dang:
.
.
F D2u, x = 0
(0.0.2)
(tương úng vói "phương trình thuan nhat vói h¾ so hang so" trong
trưòng hop tuyen tính). Tù các ket quá đó ta thu đưoc các C α , C 1,α ,

C 2,α va` W2,p- đánh giá tiên nghi¾m trong mien cho nghi¾m cna
(0.0.1). Khi F là elliptic đeu (xem Đ%nh nghĩa 2.1.1).
M®t trưòng hop đơn gián nhat là trưòng hop các phương trình tuyen
tính, khi đó ta có the giá thiet rang (0.0.2) chính là ∆u = 0. Lúc đó ta
có the đánh giá các đao hàm cna hàm đieu hòa (nghi¾m cna ∆u = 0)
trong mien bói dao đ® cna chính hàm đó. Ý tưóng cơ bán là tính chat
đó van đúng đoi vói các nhieu tuyen tính nhó cna Laplace. Cu the hơn,
giá sú u là nghi¾m cna phương trình elliptic đeu có dang không
divergence
sau:
n
.
ai,j (x)∂ij u = f (x).
(0.0.3)
i,j=1

Khi đó ta có, vói m®t nghi¾m b% ch¾n u cna (0.0.3) trong hình cau
đơn v% B1 cna Rn:
(a) (Đánh giá kieu Cordes - Nirenberg)
-5-


Giá sú 0 < α < 1 và "aij − δij "L∞(B1) ≤ δ = δ(α), vói m®t δ nhó.
Khi
đó u ∈ C1,α(B1/2) và
"u"C1,α(B
(b) (Schauder)

1/2

≤
C("u"L∞
)

(B1)

+

(B1)).

"f"L∞

Neu aij và f thu®c C α (B 1 ) thì u ∈ C 2,α (B¯1/2 ) và
"u"C 2,α (B¯

1/2)

≤

C("u"L∞(B1 ) + "f"C ∞(B¯1 ) ).
(c) (Calderón-Zygmund)
Neu aij liên tuc trong B1 và f ∈ L1(B1) vói 1 < p < ∞ thì u
∈
W2,p (B1/2 ) va`
+ "f"Lp (B1 ) ).
(B1/2) ≤
"u"W2,p
C("u"L∞(B1)
Lu¾n văn này đe c¾p tói m®t mó r®ng cna các ket quá trên cho ho
nghi¾m cna (0.0.1). Th¾m chí là trong trưòng hop tuyen tính, ky thu¾t

ó đây van cho ta nhung ket quá mói vì múc đ® gan cna aij đoi vói δij
đưoc xác đ%nh bói Ln- chuan chú không phái là L∞- chuan (n là so
chieu
cna Rn).
Công cu cơ bán trong cách tiep c¾n mói này là đánh giá Alexandroff
- Bakelman - Pucci và nguyên lý cnc đai. Chúng đưoc dùng đe:
(1) Đieu khien hàm phân bo cna m®t nghi¾m; đieu khien này dan tói
bat đang thúc Harnack và do đó dan tói C α - chính quy.
(2) Xap xí trong L∞ cna nghi¾m bói các hàm affine (hay các
paraboloid);
đieu này dan tói các đánh giá C1,α (tương úng C2,α).
Van đe cot lõi ó đây là hieu các đao hàm riêng cna m®t hàm thông
qua các xap xí đa thúc cna nó.
Nói m®t cách nôm na, phương pháp nêu trên ve cơ bán là "phi
tuyen" theo nghĩa nó không dna quá nhieu vào cau trúc cna phương
trình (0.0.1). Do v¾y, nó có the áp dung đoi vói các phương trình hoàn
toàn tong quát (không nhat thiet trơn) như các phương trình Pucci,
Bakelman và Isaasc. Trong đó tính chính quy nh¾n đưoc bang cách
lay vi phân cna
-6-


phương trình (0.0.1)
2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu khái ni¾m nghi¾m nhót cho phương trình đao hàm
riêng phi tuyen elliptic F .D2u(x), x. = 0 và m®t so tính chat đ%nh
tính cna
nghi¾m nhót.

-7-

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
• Tìm hieu cách xây dnng khái ni¾m nghi¾m nhót cho phương trình.
• Đưa ra các ví du cu the minh hoa cho các khái ni¾m.
• Chúng minh các tính chat đ%nh tính cna nghi¾m nhót.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
• Đoi tưong nghiên cúu:
Nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen.
• Pham vi nghiên cúu:
Lóp phương trình phi tuyen dang F .D2u(x), x. = 0.
5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyen bang cách thu th¾p thông tin, đoc, phân tích và
tong hop tài li¾u đe có đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve 2nghi¾m
nhót cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen elliptic F .D u(x), x.
= 0.
6. Bo cnc cúa lu¾n văn
Ngoài phan mó đau và phan ket lu¾n, lu¾n văn gom ba chương:
• Chương 1. Các kien thúc cơ só
Nham giói thi¾u m®t so thu¾t ngu và mô tá moi quan h¾ giua
các tính chat khá vi cna hàm u và các paraboloid tiep xúc vói đo
th% cna hàm u.
• Chương 2. Nghi¾m nhót cúa phương trình elliptic, đánh giá Alexandroff và nguyên lý cnc đai
Trong chương này đe c¾p:
+ Nghi¾m nhót cna phương trình (0.0.1), đ%nh nghĩa và các
tính chat cơ bán cna nghi¾m nhót. Khái ni¾m nghi¾m "rat yeu"
này cho


chúng ta xác đ%nh lóp các hàm chúa tat cá các nghi¾m co đien

cna phương trình elliptic tuyen tính và phi tuyen vói các hang so
elliptic co đ%nh và các h¾ so đo đưoc (xem muc 2.1.2). Trong
muc 2.1.3 tôi đưa ra m®t so ví du quan trong ve các phương trình
đao hàm riêng phi tuyen hoàn toàn.
+ Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci và nguyên lý cnc đai
cho nghi¾m nhót. Vì ket quá này có vai trò chìa khóa trong
nguyên lý chính quy sau này.
• Chương 3. Bat đang thúc Harnack và tính duy nhat nghi¾m
Trong chương này trình bày:
+ Chúng minh bat đang thúc Harnack nhò vào đánh giá Alexandroff và ky thu¾t cna Crandall-Zygmund. Ve cơ bán chúng minh
giong vói chúng minh lan đau phát hi¾n bói Krylov và Safonov.
M®t h¾ quá cna bat đang thúc Harnack là ta có ket quá ve C α chính quy trong mien đoi vói các nghi¾m cna phương trình
(0.0.1). Trong muc 3.1.3 trình bày m®t ket quá ve tính C α - chính
quy toàn cuc.
+ Nghi¾m xap xí Jensen cna phương trình (0.0.2) đưoc giói
thi¾u lan đau tiên trong [8] và sú dung chúng đe chúng minh tính
duy nhat cho bài toán Dirichlet đoi vói (0.0.2). Các muc 3.2.3 và
3.2.4 dành cho các úng dung khác cna nghi¾m xap xí Jensen.
Đó là các tính chat cơ bán cna các đao hàm riêng cap 1 và cap 2
cna nghi¾m cna phương trình (0.0.2). Chang han ta chúng minh
tính C1,α - chính quy trong mien cho các nghi¾m cna phương
trình (0.0.2).


Chương 1

Các kien thNc cơ sá
1.1

Thu¾t ngÑ và kí hi¾u cơ bán

Kí hi¾u Rn là không gian Euclidear n - chieu vói chuan
.
2
2
2
|x| =
|x1| + |x2| + · · · + |xn| ,
|x|∞

= max {|x1| , |x2| , ..., |xn|} .

Neu Br = Br(x0) = {x ∈ Rn : |x − x0| < r} là m®t hình cau (mó)
thì
Bσr(x0) cũng đưoc kí hi¾u là Bσr.
Xét hình l¾p phương mó
Qr (x0 ) = ,x ∈ Rn : |x − x0 | <
∞

r
,
2

vói tâm x0 và đ® dài canh r.
Ω là mien b% ch¾n (t¾p mó, liên thông, b% ch¾n) cna Rn .
λ va` Λ là hai hang so co đ%nh sao cho 0 < λ ≤ Λ, đưoc goi là
hang
so elliptic. M®t hang so đưoc goi là pho dnng neu nó chí phu thu®c vào
n, λ va` Λ (n là so chieu).
C là hang so dương, có the thay đoi trong moi bat đang thúc cũng

như các công thúc.
diam(Ω)
|Ω| tương úng là kí hi¾u đưòng kính và đ® đo
va`
Lebesgue
n - chieu cna Ω.


Vói m®t hàm u, ta kí hi¾u u+ va` u− tương úng là phan dương và
phan


âm cna u, ta có u = u+ − u−. Giá cna u kí hi¾u là suppu. Ta kí hi¾u:
∂u
= ∂ i u = u i,
∂xi
= ∂ij u = uij .

∂ 2u
∂xi∂xj

D2u là Hessian cna u (là ma tr¾n đoi xúng vói các phan tú là uij ).
Hàm L trên Rn đưoc goi là affine neu
L(x) = l0 + l(x),
trong đó l0 ∈ R và l là m®t hàm tuyen tính.
M®t paraboloid P là m®t đa thúc b¾c 2 cna (x1, x2, . . . , xn) và có
the viet dưói dang:
P (x) = L(x) 1xtAx,
+
2

trong đó L là m®t hàm affine và A = D2P là ma tr¾n đoi xúng.
Trong lu¾n văn này, thu¾t ngu "trơn" có nghĩa là thu®c lóp C ∞ .
Wk,p(Ω) là không gian Sobolev các hàm có tính chat: các hàm và
các đao hàm đen cap k cna nó thu®c Lp(Ω).
C k,α (Ω) và C k,α (Ω) là không gian Ho¨lder ( neu 0 < α < 1) và
là không gian Lipschitz (neu α = 1); vói k ∈ N+. Chuan trong chúng
là
k

trong đó

"u"Ck,α(Ω) = "u"Ck (Ω) +
.α ,Ω,
.
u
D
v(x) − v(y)|
[v]α,Ω = sup
|x − α .
|
y|
x,y∈
Ω
xƒ=
y

1.2

Paraboloid tiep xúc và tính khá vi cap hai

(1.1.1)


Trong phan này tôi dan ra m®t so tính chat ve tính khá vi hai lan cna
hàm u tù các kien thúc ve các paraboloid tiep xúc vói đo th% cna hàm
u. Các ket quá này se đưoc sú dung trong lý thuyet ve tính chính quy ó


các muc sau.
Ta nói P là m®t paraboloid vói đ® mó M neu
P (x) = l0 + l(x) M
,
±

(1.2.1)

2

2

|x|

trong đó M là hang so dương, l0 là hang so và l là hàm tuyen tính. P là
loi khi lay + trong (1.2.1) và là lõm khi lay - trong (1.2.1).
Vói hai hàm liên tuc u, v xác đ%nh trong m®t t¾p mó A và x0 ∈ A, ta
nói v tiep xúc trên vói u tai x0 trong A neu
u(x) ≤ v(x),

∀x ∈ A,

u(x0) = v(x0).
Tương tn, ta có khái ni¾m tiep xúc dưói.
Cho u là hàm liên tuc trên Ω, A ⊂ Ω là t¾p mó. Vói x0 ∈ A, ta đ%nh
nghĩa:
θ(u, A)(x0)
(1.2.2)
là c¾n dưói cna tat cá các hang so dương M , sao cho có m®t
paraboloid
loi vói đ® mó M tiep xúc trên vói u tai x0 trong A. Ta đ%nh nghĩa
(1.2.1) bang ∞ neu không ton tai hang so dương M nào, Có the thay
θ(u, A)
là m®t hàm đo đưoc trong A.
Sú dung các paraboloid lõm và tiep xúc dưói vói u, ta có khái ni¾m
θ(u, A)(x0) ∈ [0, ∞] .
.
.
Đ¾t θ(u, A)(x0) = sup θ(u, A)(x0), θ(u, A)(x0) ≤ ∞.
Vói x0 ∈ Ω, ta nói u là C1,1 trên tai x0 [tương úng C1,1 dưói tai x0,
C1,1
tai x0] neu θ(u, A)(x0) < ∞ [tương úng θ(u, A)(x0) < ∞, θ(u, A)(x0) <
∞] vói m®t lân c¾n A nào đó cna x0. M¾nh đe 1.2.2 dưói đây cho thay
tên goi đó là hop lý.
Neu u là C1,1 tai x0 thì u khá vi tai x0, vì u nam giua 2
paraboloid tiep xúc trong m®t lân c¾n cna x0.


Xét tí sai phân cap hai cna u tai x0:
hu(x0)

∆

2

=

u(x0 + h) + u(x0 − h) −
2u(x0)
|h|

2

;

(1.2.3)


trong đó h ∈ Rn và ta giá thiet rang x0 + h va` x0 − h thu®c Ω. Chú
ý
rang ∆2 P ≡ M (tương úng: ∆2 P ≡ −M ) khi P là paraboloid loi
(tương
h

h

úng: lõm) vói đ® mó M .
Do đó, vói moi x0 ∈ Ω,
2

−θ(u, B|h|(x0))(x0) ≤ ∆hu(x0) ≤ θ(u, B|h|(x0))(x0) ,

(1.2.4)

neu B|h|(x0) ⊂ Ω.
M¾nh đe 1.2.1. Cho 1 < p ≤ ∞ và u liên tnc trong Ω. Giá sú ε là
m®t
hang so dương và đ¾t
θ(u, ε)(x) := θ(u, Ω ∩ Bε(x))(x),

x ∈ Ω.

(1.2.5)

Giá sú θ(u, ε) ∈ Lp(Ω). Khi đó D2u ∈ Lp(Ω) và
D2u

Lp(Ω)

≤ 2"θ(u, ε)"Lp(Ω).

(1.2.6)

ChNng minh
Do 1 < p ≤ ∞, nên ta chí can chúng minh
.
.
.. ¸
..
. uϕij . ≤ 2"θ(u, ε)"LP (Ω)"ϕ"

(1.2.7)

r

.
.

Ω

.
.

LP (Ω)
r

∞

vói ∀ϕ ∈ C (Ω) và ∀i, j. Trong đó p là so mũ liên hop cna p. Neu có
đieu đó thì D2u ∈ Lp(Ω) và thóa mãn (1.2.6).
Ta chúng minh (1.2.7), ta có
1.
∂e +e ,e +eϕ − ii∂ ϕ −jj∂
∂ij ϕ =
i
.j i j
2
1
ϕ
=
(2∂vvϕ − ∂iiϕ − ∂jj ϕ) ,
2
trong đó v = √ và {e } là cơ só chính tac cna Rn . Vì the ta chí can

(ei+ej )
i
chúng minh:

2

..
.¸

..
.

.
u

.
ϕii ≤ "θ(u,
ε)"LP (Ω)"ϕ"
.
.


.

Ω

r

.

Lp
(Ω)

.

Giá sú K ⊂⊂ Ω là giá cna ϕ. Ta có
¸
¸
¸
¸
2
u∆
(∆ 2δe
δe
i ϕ =lim
uϕ
=lim
ii
uϕii =
u)ϕ ;
i
Ω

K

δ→0

δ→0

K

K

(1.2.8)


xem lai (1.2.3) ve đ%nh nghĩa cna ∆2. Lay δ < ε va` δ < dist(K, Rn \Ω)
thì tù (1.2.4) và (1.2.5) suy ra
.
..
. δeiu ≤ θ(u, ε) trong K
∆2

và ta có (1.2.8).
Q
M¾nh đe 1.2.2. Cho u ∈ C(Ω) và B là mien loi sao cho B ⊂ Ω. Lay
ε > 0 và đ%nh nghĩa:
θ(u, ε)(x) := θ(u, Ω ∩ Bε(x))(x),

x ∈ B.

Giá sú ton tai hang so K sao cho θ(u, ε)(x) ≤ K, ∀x ∈ B. Khi đó
u ∈ C1,1(B) và
|Du(x) − Du(y)| ≤ 2n"θ(u, ε)"L∞(B) |x − y|
∀x, y ∈ B
Chú ý 1.2.1. Neu Ω là loi thì "θ(u, ε)"L∞(Ω) ≤ "u"C1,1(Ω).

(1.2.9)

ChNng minh m¾nh đe 1.2.2

Do θ(u, x) < ∞, ∀x ∈ B nên u là khá vi tai ∀x ∈ B. Theo M¾nh
đe 1.1.1 (áp dung vói Ω = B) ta có D2u ∈ L∞(B) và D2u
≤
L∞(B)

2"θ(u, ε)"L∞(B).
Vì ui = ∂iu ∈ W 1,∞(B) và B là loi nên ui liên tuc
và
ui(x) − ui(y)
=

¸

1

0

=

t)y)dt

1

¸ ∂i u(tx + (1
−
j

.
j

vói moi x, y ∈ B. Do D2u

d u (tx + (1
dt i

0

L∞(B)

t)y)dt(xj
−

≤ 2"θ(u,
ε)"L

(B)

yj ),

nên ta có (1.2.9).

∞

Q
M¾nh đe 1.2.2 và ket quá sau đây đưoc dùng đe chúng minh đánh
giá Alexandroff cho nghi¾m nhót trong Chương 2.
Đ%nh lý 1.2.1. Cho H : Bd ⊂ Rn → Rn là ánh xa Lipschiitz. Khi đó
H là khá vi hau khap nơi trong Bd.

Giá sú A ⊂ Bd là t¾p sao cho |Bd\A| = 0 và H khá vi tai ∀x ∈ A.
¸
Khi
|det DH|,
(1.2.10)
đó
|H(Bd)| ≤
A

trong đó DH là vi phân cúa H.
Khang đ%nh thú nhat là đ%nh lý Rademacher. Còn (1.2.10) là công
thúc tính di¾n tích cna ánh xa Lipschitz.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Hàm u ∈ C(Ω) đưoc goi là khá vi cap hai theo nghĩa
tùng điem tai x0 ∈ Ω neu ton tai m®t paraboloid P sao cho
u(x) = P (x) + o .|x − x0|
túc là |u(x) − P (x)| |x − x0|
D2u(x0) =
D2P .

−2

2

→0

.

khi

x → x0,

khi

(1.2.11)

x → x0. Khi đó đ¾t

Ta nói u khá vi cap hai tai x0 neu u khá vi trong lân c¾n cna x0 và
Du(x) khá vi tai x0. Rõ ràng tính khá vi cap hai tai x0 kéo theo tính
khá vi cap hai theo nghĩa tùng điem tai x0.
Đ%nh lý 1.2.2 sau đây là đ%nh lý Alexandroff-Buselman-Feller. Nó
rat can thiet cho Chương 3.
Đ%nh lý 1.2.2. Giá sú u loi trong Bd. Khi đó u khá vi cap hai theo
nghĩa tùng điem tai hau het x0 ∈ Bd.
M¾nh đe 1.2.3. Giá sú u liên tnc trong m®t mien loi Ω sao cho
θ(u, Ω)(x) ≤ K

∀x ∈ Ω

vói hang so K nào đó. Khi đó
u(x) + K 2
|x|
2
là loi trong Ω. Nói riêng, u khá vi cap hai theo nghĩa tùng điem tai hau
het x ∈ Ω.
ChNng minh


2

Đ¾t w(x) = u(x) + K2|x| . Như trong (1.2.4), ta có: vói moi h sao
cho
x0 + h
va`
Do đó w

x0 − h thu®c Ω,
∆2
.x+y .

≤

1

h w(x0)

2

= ∆hu(x0) + K ≥ 0.

(w(x) + w(y)) , ∀x, y ∈ Ω. Vì w liên tuc nên w

loi.
2

2

Theo Đ%nh lý 1.2.2 ta suy ra khang đ%nh cuoi cna M¾nh đe 1.2.3. Q

Chương 2

Nghi¾m nhát cúa phương trình
Elliptic, đánh giá Alexandroff và
nguyên lý cNc đai
Trong [5], Crandall và Lions đã phát trien m®t lý thuyet nghi¾m nhót
cho phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap 1, theo đó ta có sn ton
tai nghi¾m. Trong chương này ta đưa ra khái ni¾m nghi¾m nhót cna
phương trình đao hàm riêng cap hai phi tuyen hoàn toàn.
Trưóc het ta đe c¾p tói ý tưóng cna đ%nh nghĩa này đoi vói phương
trình Laplace.
Ví dn 1. Xét phương trình uxx = 1 (trong trưòng hop n = 1).
De thay: m®t hàm so liên tuc u xác đ%nh trên khoáng I cna R có dang
u(x) = a + bx + x2/2 vói a, b − const (hay u là m®t nghi¾m co đien
cna
phương trình đó) khi và chí khi 2 đieu ki¾n sau thóa mãn:
(1). p(x) là m®t parabol (m®t đa thúc b¾c hai) và u − p có cnc đai đ%a
rr

phương tai x0 ∈ I thì (x0) ≥ 1.
p
(2). p(x) là m®t parabolrr(m®t đa thúc b¾c hai) và u − p có cnc tieu đ%a
phương tai x0 ∈ I thì (x0) ≤ 1.
p
Ví dn 2. Xét phương trình ∆u = 0 (trong trưòng hop n > 1).


Giá sú Ω là m®t mien trong Rn, ta có the chúng minh đưoc u là m®t
hàm đieu hòa trong Ω khi và chí khi u liên tuc và thóa mãn 2 đieu ki¾n
sau:

(1). u−ϕ có cnc đai đ%a phương tai x0 ∈ Ω và ϕ ∈ C2(Ω) thì2∆ϕ(x0)
≥ 0. (2). u−ϕ có cnc tieu đ%a phương tai x0 ∈ Ω và ϕ ∈ C (Ω) thì
∆ϕ(x0) ≤ 0.
Vói hai ví du trên, ta se lay 2 đieu ki¾n trên làm đ%nh nghĩa nghi¾m
nhót cna phương trình Laplace.
Tương tn, ta se đ%nh nghĩa nghi¾m nhót cho phương trình đao
hàm riêng phi tuyen cap 2. Van đe mau chot là nguyên lý cnc đai van
thóa mãn đoi vói các phương trình đó nhò thn tuc tuyen tính hóa.
Do v¾y đ%nh nghĩa nghi¾m nhót đòi hói nguyên lý cnc đai phái thóa
mãn khi u "đưoc thú" vói các nghi¾m dưói và nghi¾m trên trơn. Theo
cách đó thì toán tú vi phân không áp dung vào u mà đưoc áp dung
vào các hàm trơn.
Nghi¾m co đien u cna phương trình elliptic đeu vói ve phái bang 0
(phương trình có the phi tuyen), có tính chat Hessian D2u có các giá tr
% riêng vói dau khác nhau và chúng liên h¾ vói nhau theo nghĩa: các
giá tr% nhó nhat và lón nhat là so sánh đưoc vói nhau, túc là chúng
đieu khien nhau qua các hang so elliptic. Đieu đó là rõ ràng đoi vói
các phương trình tuyen tính dang không divergence:
.
.
aij (x)∂ij u(x) = tr A(x).D2u(x) = 0,
trong đó A(x) = [aij (x)] và tr là vet cna ma tr¾n. Nói cách khác, m®t
phương trình elliptic quy đ%nh đ® cong cna các nghi¾m. Trong muc
2.1.2 tôi đưa ra toán tú cnc tr% Pucci, nó dien tá sn đieu khien đoi vói
các giá tr% riêng cna D2u qua các hang so elliptic. T¾p các nghi¾m
nhót cna các toán tú cnc tr% Pucci goi là lóp S, nó chúa tat cá các
nghi¾m co đien cna các phương trình elliptic đeu tuyen tính và phi
tuyen vói các hang so elliptic co đ%nh. Muc 2.1.3 giói thi¾u m®t so ví

du ve phương trình elliptic phi tuyen hoàn toàn.
2.1
2.1.1

Nghi¾m nhát cúa phương trình elliptic
Nghi¾m nhát

Xét phương trình

.

2

.

F D u(x), x = f (x),

(2.1.1)


trong
đó x ∈ Ω và u, f là hàm xác đ%nh trên mien b% ch¾n Ω cna
Rn. F (M, x) là hàm giá tr% thnc xác đ%nh trên S × Ω. Trong đó S là
t¾p tat cá các ma tr¾n đoi xúng thnc cap n× n. Ta giá thiet F là toán
tú elliptic
đeu, túc là:
Đ%nh nghĩa 2.1.1. F là elliptic đeu neu ton tai 2 hang so dương λ ≤ Λ
(đưoc goi là hang so elliptic) sao cho vói moi M ∈ S va` x ∈ S
λ "N " ≤ F (M + N, x) − F (M, x) ≤ Λ "N " ,

∀N ≥ 0.

.Ta viet. N ≥ 0 neu N là ma tr¾n đoi xúng thnc, không âm, còn "M"
là L2, L2 - chuan cna M (túc là "M" = sup |Mx|). Do đó "N" là giá
|x|=1

tr% riêng lón nhat cna N khi N ≥ 0.
Vói các giá thiet trên thì phương trình (2.1.1) đưoc goi là phương
trình elliptic đeu cap hai hoàn toàn phi tuyen.
Neu không nói gì thì ta luôn giá sú f và F là các hàm liên tuc tai x.
Ta nhó rang bat kì N ∈ S đeu có sn phân tích duy nhat dưói dang
N = N + − N − vói N +, N − ≥ 0 và N + N − = 0. Ta de dàng kiem
tra
đieu sau.
Bo đe 2.1.1. F là elliptic đeu neu và chí neu
F (M + N, x) ≤ F (M, x) + Λ N
∈Ω

+

− λ N− ,

∀M, N ∈ S, ∀x

Chú ý rang: Tù đieu ki¾n elliptic đeu suy ra F (M, x) là đơn đi¾u
tăng và Lipschitz theo M ∈ S.
Ví dn. De thay, toán tú tuyen tính Lu = aij (x)∂ij u vói aij là ma tr¾n
đoi xúng thnc có các giá tr% riêng thu®c đoan [λ, Λ] là elliptic đeu
(theo Đ%nh nghĩa 2.1.1) vói các hang so elliptic λ, nΛ.
Tiep theo ta đưa ra đ%nh nghĩa nghi¾m nhót cna (2.1.1). Trưóc

tiên, can nhó lai rang hàm v xác đ%nh trên Ω đưoc goi là có cnc đai đ
%a phương
tai x0 (x0 ∈ Ω) neu v(x) ≤ v(x0) vói moi x thu®c m®t lân c¾n nào đó
cna x0 .
Đ%nh nghĩa 2.1.2. M®t hàm liên tuc u trong Ω đưoc goi là nghi¾m
nhót dưói (tương úng: nghi¾m nhót trên) cna (2.1.1) trong Ω, khi đieu
ki¾n
- 18 -


sau thóa mãn.
Neu x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C 2(Ω) va` u − ϕ có cnc đai đ%a phương tai x0 thì
F (D2ϕ(x0), x0) ≥ f (x0)

(2.1.2)

[Neu u − ϕ có cnc tieu đ%a phương tai x0 thì F (D2ϕ(x0), x0) ≤ f
(x0)].
Ta nói u là nghi¾m nhót cna (2.1.1) neu nó vùa là nghi¾m nhót dưói
vùa là nghi¾m nhót trên cna phương trình đó.
Ta cũng nói F (D2u, x) ≥ [tương úng: ≤, =] f (x) theo nghĩa nhót
trong
Ω neu u là nghi¾m nhót dưói [tương úng: nghi¾m nhót trên, nghi¾m
nhót] cna (2.1.1) trong Ω.
M¾nh đe 2.1.1. Các khang đ%nh sau đây là tương đương
(1) u là nghi¾m nhót dưói cúa (2.1.1) trong Ω.
(2) Neu x0 ∈ Ω, A là m®t lân c¾n mó cúa x0, ϕ ∈ C2(A),
u ≤ ϕ trong A

u(x0) = ϕ(x0)

(2.1.3)

va`
thì F (D2ϕ(x0), x0) ≥ f
(x0).
(3) Giong như (2) nhưng thay ϕ ∈ C2(A) bói ϕ là m®t paraboloid.
Chú ý 2.1.1. Theo thu¾t ngu trong muc 2.1.1, ta nói ϕ tiep xúc trên
vói u tai x0, neu ton tai m®t lân c¾n mó A cna x0 sao cho (2.1.3) thóa
mãn.
ChNng minh m¾nh đe 2.1.1
Ta thay (1) ⇒ (2)

(2) ⇒ (3) là hien nhiên. Đe chúng minh (3) ⇒

va`
(1), ta giá sú ϕ ∈ C 2(Ω)
va`
ε > 0 đn nhó, đ¾t

u − ϕ có cnc đai đ%a phương tai x0. Vói

1

t

2

ε

2