Tích chập, Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và ứnh dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
———————————————

CAO VĂN NH¾M

TÍCH CH¾P, TÍCH CH¾P SUY R®NG ĐOI VéI
CÁC PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN FOURIER,
FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ÚNG
DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: TOÁN GIÃI TÍCH
Mã so: 60 46 01

Ngưèi hưéng dan khoa hoc: TS. Nguyen Minh Khoa

Hà N®i - 2011


LèI CÃM ƠN
Trưóc tiên tôi xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói Tien sĩ Nguyen Minh Khoa
- Trưóng khoa Khoa hoc cơ bán Trưòng Đai hoc Đi¾n lnc, ngưòi thay
đã hưóng dan, chí báo t¾n tình cho tôi trong suot quá trình hoàn thành
lu¾n văn này.
Tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen các thay cô đã và
đang tham gia giáng day, công tác ó phòng Sau đai hoc trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2. Các thay cô đã nhi¾t tình giáng day và tao moi đieu
ki¾n thu¾n loi cho tôi hoàn thành khóa hoc tai trưòng.
Đong thòi tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn tói tat cá ban bè, đong
nghi¾p và ngưòi thân đã đ®ng viên, giúp đõ tôi trong suot quá trình

hoc t¾p và viet lu¾n văn.
M¾c dù đã dành nhieu thòi gian nghiên cúu tìm hieu song bán lu¾n
văn không the tránh khói nhung han che, thieu sót. Vì v¾y tôi rat mong
muon nh¾n đưoc sn góp ý cúa tat cá quý v% đe lu¾n văn này đưoc hoàn
thi¾n hơn.

Hà n®i, tháng 12 năm 2011
Hoc viên

Cao Văn Nh¾m


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rang so li¾u và các ket quá nghiên cúu trong lu¾n
văn này là trung thnc và không trùng l¾p vói các đe tài khác. Tôi cũng
xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n lu¾n văn này đã
đưoc cám ơn và các thông tin trích dan trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ
nguon goc.

Tác giá

Cao Văn Nh¾m


Mnc lnc

1

Mnc lnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mé đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier
sine
1.1. Phép bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8

1.2. Phép bien đoi Fourier cosine và Fourier sine..........................15
1.3. Úng dnng các phép đoi tích phân Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine vào giái các phương trình vi phân và phương
trình đao hàm riêng...................................................................22
2

Tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng đoi véi các phép bien đoi tích
phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine
27
2.1. Tích ch¾p vói hàm trong γ2(y) = cos y đoi vói phép bien
đoi tích phân Fourier cosine.....................................................27
2.2. Tích ch¾p suy r®ng đoi vói các phép bien đoi tích phân
Fourier sine, Fourier cosine......................................................38
2.3. Tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong γ3(y) = sign y đoi
vói ba phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine
và Fourier
sine..............................................................................................46

3

Úng dnng giái phương trình và h¾ phương trình tích phân dang
ch¾p
53
3.1. Các phương trình tích phân Toeplitz - Hankel........................53
3.2. Các h¾ phương trình tích phân dang ch¾p............................59
Ket lu¾n................................................................................................65
Tài li¾u tham kháo.........................................................................67
-4-


Me ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Phép bien đoi tích phân là m®t trong nhung van đe quan trong cúa
giái tích toán hoc và đưoc phát trien liên tnc trong khoáng hai trăm
năm tró lai đây. Phép bien đoi tích phân đóng vai trò quan trong trong
toán hoc cũng như trong nhieu lĩnh vnc khoa hoc tn nhiên khác, đ¾c bi¾t
là trong vi¾c giái các bài toán vói đieu ki¾n ban đau và đieu ki¾n biên
cúa phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, phương trình
tích phân, và các bài toán cúa v¾t lý - toán. Các phép bien đoi tích phân
là nhung công cn có hi¾u lnc đe chuyen các toán tú vi phân, toán tú đao
hàm riêng, toán tú tích phân ve toán tú đai so và đong thòi đưa các h¾
phương trình vi phân, tích phân ve h¾ phương trình đai so tuyen tính
quen thu®c. Nhung phép bien đoi tích phân pho bien nhat, có úng
dnng r®ng rãi nhat và ra đòi sóm nhat đó là các phép bien đoi tích
phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine.
Cùng vói sn phát trien cúa lý thuyet các phép bien đoi tích phân, m®t
hưóng phát trien mói cúa lý thuyet các phép bien đoi tích phân là tích

ch¾p cúa các phép bien đoi tích phân xuat hi¾n vào khoáng đau the ký
20. Các tích ch¾p đưoc nghiên cúu đau tiên đó là:
Tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier F cúa hai hàm f và
g
đưoc xác đ%nh như sau [4, 9, 15]
+∞

1 ¸
( f ∗ g) (x) = √ f (x − y)g(y)dy, x ∈ R.
F

2π
−∞

Tích ch¾p này thóa mãn đang thúc nhân tú hóa


F( f ∗g )(y) = (F f )(y). (Fg)(y), ∀y ∈ R, ∀ f , g ∈ L1(R).
F


Tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier cosine Fc cúa hai hàm
f
và g đưoc xác đ%nh như sau [9, 15]
+∞

( f ∗ g) (x) =1 √
2π

Fc

¸

f (y)[g (|x − y|) + g (x + y)] dy, x > 0.

0

Tích ch¾p này thóa mãn đang thúc nhân tú hóa
Fc ( f ∗ g )(y) = (Fc f )(y). (Fc g) (y), ∀y > 0, f , g ∈ L1 (R+) .
Fc

Tiep đen là tích ch¾p đoi vói các phép bien đoi Laplace [9, 15],
Mellin, Hilbert [9], Hankel [5] và Stieltjes [6, 10].
Các tích ch¾p nói trên đeu có cùng m®t thu®c tính đ¾c trưng đó là
trong đang thúc nhân tú hóa cúa chúng chí có duy nhat m®t phép bien
đoi tích phân tham gia. Đieu này ít nhieu làm han che đen cau trúc và
vi¾c úng dnng chúng vào giái các các phương trình, h¾ phương trình
tích phân dang ch¾p và các bài toán thnc te.
Năm 1951, I. N. Sneddon đã xây dnng đưoc tích ch¾p suy r®ng đau
tiên đoi vói hai phép bien đoi tích phân Fourier sine và Fourier cosine
[9]
+∞

1
( f ∗ g)(x) =

¸

f (t) [g (|x −t|) − g(x + t)] dt,

x > 0.

1

√
2π

0

Tích ch¾p này thóa mãn đang thúc nhân tú hóa
Fs ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y). (Fc g) (y),
1

∀y > 1 (R+) .

0, f , g ∈ L
Năm 1958, lan đau tiên tích ch¾p vói hàm trong ra đòi . Đó là tích
ch¾p vói hàm trong đoi vói phép bien đoi tích phân Mehler – Fox
đưoc khám phá bói Vilenkin Y. Ya.
Sau đó, năm 1967, trong m®t công trình công bo trên tap chí D.A.N.
[5],


V. A. Kakichev đã xây dnng phương pháp kien thiet tích ch¾p vói hàm
trong γ(y) đoi vói phép bien đoi tích phân K bat kì, thóa mãn đang
thúc nhân tú hóa sau
γ

K ( f ∗ g)(y) = γ(y)(K f )(y)(Kg)(y) .
Nhò phương pháp này mà m®t so tích ch¾p vói hàm trong đã đưoc xây

dnng và nghiên cúu [6].


Đen đau nhung năm 90 cúa the ký trưóc, S. B. Yakubovich đã đưa
ra m®t so tích ch¾p suy r®ng đoi vói các phép bien đoi tích phân vói
chí so, chang han như tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Mellin,
tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Kontorovich - Lebedev, bien
đoi G, bien đoi H.
Vào năm 1998, V. A. Kakichev và Nguyen Xuân Tháo đã đưa ra
phương pháp mói kien thiet tích ch¾p suy r®ng cúa ba phép bien đoi
tích phân bat kì K1, K2, K3 vói hàm trong γ (y) thóa mãn đang thúc
nhân tú hóa [6]
γ

K1 ( f ∗ g)(y) = γ (y) . (K2 f )(y) . (K3 g)(y) .
Tù ý tưóng cúa bài báo này trong vòng sáu, bay năm tró lai đây Nguyen
Xuân Tháo và Nguyen Minh Khoa đã xây dnng và nghiên cúu hàng chnc
tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng và đa ch¾p đoi vói chùm ba phép bien đoi
tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine [2, 8, 11–14]. Chang han
như: Tích ch¾p suy r®ng đoi vói phép bien đoi Fourier cosine và
Fourier sine [7] đưoc xác đ%nh bói
+∞
1 ¸
( f g) (x) = √
f (t) [sign(t − x)g (|t − x|) + g(t + x)] dt, x >
∗
2π
0.
2

0

(0.1)
Khi f và g là các hàm thu®c L (R+) thì tích ch¾p ( ∗
f g) cũng thu®c vào
2
1

L1 (R+) và thóa mãn đang thúc nhân tú hóa sau

Fc ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y). (Fs g) (y),
2

∀y >

(0.2)

0.

Tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong γ1(y) = sin y đoi vói phép bien đoi
Fourier cosine và Fourier sine [12] đưoc xác đ%nh bói
γ1

( f ∗ g)(x)
= 3

+∞

1
2 2π

√

¸ f (t) [g (|x + t − 1|) + g (|x −t + 1|) − g(x

+ t + 1)

0

−g (|x −t − 1|)] dt, x > 0.
γ1

(0.3)


Khi f và g là các hàm thu®c L1 (R+) thì tích ch¾p ( ∗
f g) cũng thu®c vào
3

1

L (R+) và thóa mãn đang thúc nhân tú hóa sau
γ1

Fc ( f ∗
0.

3

g)(y) = sin y. (Fs f )(y). (Fc g) (y),
(0.4)

∀y >


Xây dnng, nghiên cúu các tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng vói hàm
trong thnc sn có ý nghĩa trong lý thuyet ve các phép bien đoi tích phân,
tích ch¾p và phương trình vi, tích phân. Vì v¾y tôi đã chon hưóng
nghiên cúu cúa lu¾n văn là xây dnng và nghiên cúu tích ch¾p, tích
ch¾p suy r®ng đoi vói các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier
cosine, Fourier sine và úng dnng chúng vào giái phương trình và h¾
phương trình tích phân dang ch¾p.
2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Xây dnng và nghiên cúu ba tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng đoi vói các
phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và úng
dnng chúng đe giái phương trình tích phân Toeplitz – Hankel và h¾
phương trình tích phân dang ch¾p.
3. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói các
phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và úng
dnng vào giái phương trình tích phân, h¾ phương trình tích phân dang
ch¾p.
4. Phương pháp nghiên cNu
• Sú dnng các phép bien đoi tích phân và các ket quá cúa giái tích,
giái tích hàm.
• Sú dnng phương pháp kien thiet tích ch¾p vói hàm trong cúa V. A.
Ka- kichev, Nguyen Xuân Tháo và ky thu¾t trong các bài báo cúa
Nguyen Xuân Tháo, Nguyen Minh Khoa đe tìm tòi, nghiên cúu các
tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng và các úng dnng cúa chúng.
5. Bo cnc cúa lu¾n văn
Ngoài phan mó đau và phan ket lu¾n, lu¾n văn gom ba chương:

• Chương 1. Các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine và
Fourier sine
Nhac lai đ%nh nghĩa, các tính chat cơ bán cúa các phép bien đoi
Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và m®t so ví dn áp dnng các
phép bien đoi này trong vi¾c giái các phương trình vi phân,
phương trình đao hàm riêng.
• Chương 2. Tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng đoi vói các phép bien đoi
tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine
Xây dnng lai và nghiên cúu các tính chat cúa ba tích ch¾p, tích
ch¾p suy r®ng đoi vói các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier
cosine và Fourier sine.
• Chương 3. Úng dnng giái phương trình và h¾ phương trình tích
phân dang ch¾p
Sú dnng các tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng ó chương 2 đe giái
phương trình và h¾ phương trình tích phân dang ch¾p.


M®t so kí hi¾u dùng trong lu¾n văn
• R+ là t¾p các so thnc dương.
• L1(R) là t¾p các hàm f xác đ%nh trên R sao cho:
+∞

¸

| f (x)| dx < +∞.
−∞

• L1 (R+) là t¾p các hàm f xác đ%nh trên R+ sao cho:

+∞

¸

| f (x)| dx < +∞.
0

• L (R, ex) là t¾p các hàm f xác đ%nh trên R sao cho:
+∞

¸

ex | f (x)| dx < +∞.

−∞

• L (R+, ex) là t¾p các hàm f xác đ%nh trên R+ sao cho:
+∞

¸
0

ex | f (x)| dx < +∞.


Chương 1

Các phép bien đoi tích phân
Fourier, Fourier cosine và Fourier
sine

1.1.

1.1.1.

Phép bien đoi Fourier

Phép bien đoi Fourier

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho f ∈ L1(R), hàm F( f ) xác đ%nh bói
+∞

(F f )(y)
=

1
fˆ (y) = √
2π

¸

e−iyx f (x)dx , y ∈ R

(1.1.1)

−∞

đưoc goi là bien đoi Fourier cúa f .
Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Bien đoi Fourier ngưoc) Neu F(y) ∈ L1(R) thì hàm
F−1 {F(y)} xác đ%nh bói
1

F −1 {F(y)} (x) = f (x) =
√
2

+∞
¸e

iyx

F(y)dy , x ∈ R

−∞

π
đưoc goi là bien đoi Fourier ngưoc cúa hàm F.

.
. ax2 , a > 0
Ví dn 1.1.1. Tìm bien đoi Fourier cúa hàm exp −
Giái:

(1.1.2)


Theo đ%nh nghĩa ta có
fˆ(y) = (F f )(y)
+∞

¸

= √1
2π
= √

2

e−iyx−ax dx
−∞
+∞

1

iy

−∞

4a

e

π
.
−∞

a

4a
dx

−∞

y2

e

−

4a

.

iy
+∞

e−at2 dt =

.

dt

6 đây ta đã sú dnng phép đoi bien t = x +
¸

2

−

−a x + 2a
. y2 . ¸+∞ −at2
−

= √
2π
exp
1

y

.

2

1

2a

.

exp

2π

= √

.

¸

2
a

và sú dnng công thúc

, a > 0.

Nh¾n xét: Neu a =2 1 thì F ,e−x2/2 ,(y) = e−y2/2 túc là hàm e−x2/2 và
bien
đoi Fourier cúa nó có dang giong nhau (hàm có tính chat như v¾y đưoc
goi là tn ngh%ch đáo qua phép bien đoi Fourier).
Ví dn 1.1.2. Tìm bien đoi Fourier cúa hàm g(x) = e−a|x|, a > 0
Giái:
Theo đ%nh nghĩa ta có
g(y) = (Fg)(y)
ˆ
1
= √2π

+∞
¸

e−a|x|−iyx dx

−∞

+∞

¸

1 −(a+iy)x
e 

dx +
= √ 2π
0

0



¸

e(a−iy)x dx
−∞


= √

1

.

1

+

1

a+
a−iy
2π
iy

. 2
a
=
. 2
.
π (a + y2)

.


+∞

¸

6 đây ta đã sú dnng công
thúc

1
0

e

−λx

, λ > 0.
dx = λ
1.1.2.

Các tính chat cơ
bán cúa bien

đoi Fourier

Tính chat 1. Phép bien
đoi Fourier là toán tú
tuyen tính.
ChNng minh. Vói ∀ f , g
∈ L1(R) và vói ∀λ , µ ∈
R ta có
+∞

√

F
[λ
.f
+
µ.
g]
(y
)
=

1

−iyx
¸e
[λ

f

(x) +
µg(x)]dx
2π

−∞

+∞
+∞

λ
= √

2π
−∞

e−iyx f −iyx
(x)dx e
+
µ
√g(x)
−∞

¸
¸

dx
=
λ
(F
f)

(y)
+


µ (Fg) −iyξ
f (ξ )
e
dξ
(y).
iya
= e F{f
(x)} (y).
Q
Tính chat 2. Vói ∀a ∈ R, ta
có
F { f (x + a)} (y) = eiyaF { f
(x)} (y).
ChNng minh. Theo đ%nh
nghĩa ta có
+∞

F

√

{

1 f (x + a)dx
¸e
−

f

2

i

(

π

y
x

x
+
a
)
}
(
y)
=

−∞
+∞

= √ 1 ¸
2π
e−i f (ξ )dξ , ξ
−∞ y(ξ = x + a

−a)
+
∞

= eiya.

1

¸ 2
π

−∞

√


Q
Tính chat 3. Vói ∀a ƒ= 0, đ¾t fa(x) = f (ax). Khi đó ta có
. y.
1
(F fa )(y)
(F f )
.
a
|a|
=
ChNng minh. Ta
có
+∞
1 ¸ −iyx

e
f (ax)dx
√
2π

(F f a )(y)
=

−∞

1
=
=

|a|

¸+∞

1
.√

e− a f (ξ )dξ , ξ = ax

2π

1

iyξ

−∞

|a| (F f ) . y .
a.
Q

Tính chat 4. Neu F(y) = (F f )(y), G(y) = (Fg)(y) thì
+∞

¸

+∞

F(y)g(y)eiyx dy =

−∞

¸

f (t)G(t − x)dt.

−∞

ChNng minh. Ta có
+∞

¸ F(y)g(y)e

iyx

−∞

+∞

+∞

1
−iyt
dy = ¸ g(y)eiyxdy
¸e
f (t)dt
√2π
−∞
+∞

=

¸

−∞
+∞

−∞
+∞

f (t)dt √1
2π

¸

−∞

e−iy(t−x)g(y)dy

¸

=

f (t)G(t − x)dt.
−∞

Q
Nh¾n xét: Trưòng hop đ¾c bi¾t khi x = 0, ta có
+∞

¸

F(y)g(y)dy =

+∞

¸

−∞


−∞

f (t)G(t)dt.

Tính chat 5. Neu f (x) khá vi liên tnc tùng khúc và khá tích tuy¾t đoi thì
(i) fˆ(y) = (F f )(y) b% ch¾n,
(ii) fˆ(y) = (F f )(y) liên tnc vói ∀y ∈ R.
ChNng minh. Theo đ%nh nghĩa ta có
.. fˆ(y)
. ≤
.
.. √

1
2π

= √

1

.
. iyx | f (x)| dx
.
.
e−

+∞
¸

−∞
¸+∞

| f (x)|dx < +∞.
2π

−∞

Khang đ%nh (i) đưoc chúng minh.
Đe chúng minh (ii) ta có
..

..

1

¸+∞..

e−ihx

..

. fˆ(y + h) − f.ˆ(y)
≤ √

− 1. | f (x)| dx
.
2
π −∞
. +∞
¸
2
≤
| f (x)|dx.
π−∞

.
.
−ihx
Do lim e
− 1 = 0 vói ∀x ∈ R nên lim . f (y + h) − f (y). = 0.
.. ˆ
.
.
ˆ ..
h→0

Đieu này chúng
tó

h→0

fˆ(y) liên tnc vói ∀y ∈ R.

Tính chat 6. (Bo đe Riemann - Lebesgue) Neu f ∈ L1(R) thì
.
lim .. f (y). = 0.

Q


|y|→∞

.ˆ

.

ChNng minh. Tù e−iyx = −e−iyx−iπ , ta có
+∞

1
fˆ(y) = √ ¸ e−iyx f (x)dx
2π
−∞

= − √1
2π

+∞

¸

e

−∞

+∞
1 1

.
e

√
2 2π

e−iyx
f
.

f (x)dx

.
x − π dx.
y
.

+∞

¸

−iy

f (x)dx −

x

−∞
+∞

=

.

π.

¸

fˆ(y)
=

y

π

y
−∞
¸+∞

= − √1
2π
Do đó

−i

. .
x+

e−iyx

x − dx y

f

1 1 ¸
e−iyx

2 √2π

.

f (x) − −∞
.
..
f
x − π dx.
y

−∞

.
.
.. fˆ(y). ≤ 1
2
√
2π .

¸ ..

. f (x)
−f

−∞

.f

.

+∞

Suy ra

1
.
(y) ≤ lim
|y|→∞

.

.
.
f(xf)
¸ −

..
.
x − π .dx
y
.

π . .
x= 0. dx

+∞

..

lim
.. ˆ

.
.

2√ 2π |y|→∞

.
−∞ .

−y .
.
Q


Tính chat 7. Cho f ∈ L1(R) và thóa mãn các đieu ki¾n:
(i) f (x) khá vi liên tnc và f r ∈ L1(R),
(ii) f (x) → 0 khi |x| → ∞.
Khi đó
ˆf r (y) = (iy) fˆ(y).


ChNng minh. Áp dnng công thúc tích phân tùng phan ta có
+∞

ˆf r (y)

1
−iyx r

f (x)dx
√ ¸e
2π

=
−∞

= √

1 .
2π

.+∞
..

f (x)e−iyx.
.

−∞

¸+∞

iy
+√
2π

e−iy f (x)dx
−∞ x

= (iy) fˆ(y).

Tong quát: Neu f khá vi liên tnc cap n và f

(k)

Q
(x) → 0 khi x → ∞ vói

k = 1, 2, ..., (n − 1) thì
F ,f
Do đó ta có

(n)

n

(x) , (y) = (iy) {F f } (y).

. ,
,..
(n)
.
.
f (x) .
.
. .
.
n
. fˆ(y) . = F
|y|

1
V¾y
neu f khi
có đao
hàm
thì nhanh
|y| →
∞. b¾c càng cao trong L (R)

fˆ(y) h®i tn ve 0
càng

Đ%nh
1.1.3.
f và
Fouriernghĩa
kí hi¾u
là (Tích
f ∗ ch¾p
g) và đcúa
ưochai
xáchàm
đ%nh
bóig đoi vói phép bien đoi
F
¸+∞

1
( f ∗ g) (x) =
√

F

f (x − t)g(t)dt.

(1.1.3)

2π
−∞

Tính chat 8. (Đ%nh lí tích ch¾p)
Cho f , g ∈ L1(R), khi đó tích ch¾p (1.1.3) thóa mãn đang thúc nhân tú
hóa
F( f ∗ g)(y) = (F f )(y). (Fg)(y) , ∀y ∈ R.
F

(1.1.4)