Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải
phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ
học, vật lý và các ngành kĩ thuật khác.
Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các
tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở khai
thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình
dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm,
tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thức dạng
phức của các phép biến hình. Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ
nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các
phép biến hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép biến
hình trong mặt phẳng”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức.
- Tổng hợp, phân tích các kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng bằng
công cụ số phức và phân tích qua các bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến số phức, các phép biến hình trong mặt
phẳng, từ đó hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, diễn đạt theo ngôn ngữ
số phức các phép biến hình trong mặt phẳng.
- Nghiên cứu một số dạng bài tập liên quan đến phép biến hình sử dụng công cụ
số phức.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu giáo trình liên quan đến
số phức và các phép biến hình trong mặt phẳng.
1
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức
có liên quan đến vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học và chính xác.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức, các phép biến hình
trong mặt phẳng và các bài toán về quỹ tích, dựng hình.
- Phạm vi nghiên cứu: Số phức và các phép biến hình trong hình học sơ cấp.
6. Bố cục của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài: "Số phức với
các phép biến hình trong mặt phẳng" bao gồm 3 chương:
Chương 1. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức
1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức.
1.2. Các phép toán và tính chất
1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
1.4. Số phức liên hợp và mô đun của số phức.
1.5. Dạng lượng giác của số phức.
1.6. Căn bậc n của số phức
1.7. Tích vô hướng và tích lệch
1.8. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức
Chương 2. Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng
2.1. Phép tịnh tiến.
2.2. Phép đối xứng trục.
2.3. Phép đối xứng tâm.
2.4. Phép quay.
2.5. Phép dời hình và phép phản chiếu.
2.6. Phép vị tự.
2.7. Phép đồng dạng.
2.8. Phép nghịch đảo.
2
Chương 3. Bài tập vận dụng
3.1. Bài toán chứng minh
3.2. Bài toán quỹ tích
3.3. Bài toán dựng hình
3.4. Bài tập

3
Chương 1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức
Tập hợp
2
¡
các cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với các phép toán cộng và
nhân xác định bởi:
(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v)
(x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu)
gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu là
£
,
£
cùng hai phép toán trên làm thành
một trường.
Vậy mỗi số phức z
∈
£
là cặp số thực (x, y), viết z = (x, y). Để ý các số
phức dạng (x, 0), (x
∈

¡
) ta thấy:
(x, 0) + (x', 0) = (x + x', 0)
( x, 0 ).(x', 0) = (x.x', 0)
Tức là phép cộng và phép nhân các số phức dạng (x, 0) cũng giống như
phép cộng và phép nhân các số thực x; từ đó có thể đồng nhất tập hợp

¡
các số
thực x với tập hợp con của
£
gồm các phần tử (x, 0), tức coi
⊂¡ £
, viết
x = (x, 0).
Kí hiệu số phức (0, 1)
∈

£
là i, gọi là đơn vị ảo, thì với y
∈

£
, ta có:
yi = (y, 0).(0,1) = (0, y)
iy = (0, 1).(y, 0) = (0, y)
nên z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy = x + yi. Vậy mỗi số phức z có thể viết
dưới dạng z = x + iy ( hay z = x + yi ) (x, y
∈

¡
), gọi là dạng đại số của số phức
z, trong đó:
x gọi là phần thực của z, kí hiệu Rez,
y gọi là phần ảo của z, kí hiệu Imz.
Số phức mà phần ảo bằng 0 là số thực, số phức có phần thực bằng 0 gọi là số
thuần ảo.

1.2. Các phép toán và tính chất
1.2.1. Các phép toán
4
Cho z = x + iy, w = u + iv (x, y, u, v
∈

¡
) thì:
z = w
x u
y v
=

⇔

=

z + w = (x + u) + i(y + v)
z.w = (xu - yv) + i(xv + yu)
2 2 2 2
w
z xu yv uy xv
i
u v u v
+ −
= +
+ +
1.2.2. Tính chất của phép toán
1.2.2.1. Tính chất của phép toán cộng số phức
Phép toán cộng các số phức có các tính chất tương tự phép toán cộng các

số thực, với mọi số phức z
1
, z
2
, z
3
ta có:
*) z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
(giao hoán)
*) (z
1
+ z
2
) + z
3
= z
1
+ (z
2
+ z
3
) (kết hợp)
*) z

1
+ 0 = 0 + z
1
= z
1
(0 là phần tử không của phép cộng)
*) Cho z = x + iy (x, y
∈
¡
) thì có duy nhất một số phức (số đối của z)
- z = - x - iy để z + (-z) = (-z) + z = 0, từ đó ta có định nghĩa phép trừ hai
số phức : z
2
- z
1
= z
2
+ (-z
1
), nó là phép toán ngược của phép cộng với các tính
chất quen thuộc (chuyển vế, mở dấu ngoặc …).
1.2.2.2. Tính chất của phép nhân và chia số phức
Phép toán nhân các số phức cũng có các tính chất tương tự phép toán nhân các
số thực, với mọi số phức z, z
1
, z
2
, z
3
ta có:

*) z
1
z
2
= z
2
z
1
(giao hoán)
*) (z
1
z
2
)z
3
= z
1
(z
2
z
3
) (kết hợp)
*) 1z = z1 = z (1 là phần tử đơn vị của phép nhân số phức)
*)
( )
( )
1 2 3 1 2 1 3
1 2 3 1 3 2 3
z z z z z z z
z z z z z z z


+ = +


+ = +


tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân
*) Với z
∈
£
và n là số nguyên dương, người ta cũng viết: z
n
=
{
.
n lÇn
z z z

5
Khi đó i
2
= (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) tức i
2
= -1
*) Với z
≠
0 và n là số nguyên, n
≥
0, ta cũng có: z

0
= 1, z
-n
=
1
n
z
và với
∀
m, n
∈
Z ta có : z
m
. z
n
= z
m+n
, (z
m
)
n
= z
mn
1.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong mặt phẳng, kí hiệu E, lấy hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, khi đó
mỗi điểm M của E xác định bởi tọa độ (x; y) của nó trong hệ tọa độ đó. Gọi số
phức z = x + yi là tọa vị của điểm M, cũng viết M(z) và gọi E (với hệ tọa độ
Oxy) là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với
£
.

Các điểm thuộc Ox là các điểm có tọa vị thực nên gọi Ox là trục thực. Các điểm
thuộc Oy là các điểm có tọa vị thuần ảo nên gọi Oy là trục ảo. Điểm K có tọa vị
1 thuộc Ox gọi là điểm đơn vị, điểm I có tọa vị i thuộc Oy gọi là điểm đơn vị ảo.
Mỗi điểm M
∈
E xác định véc tơ
OM
uuuur
gọi là bán kính
véc tơ của M (đối với gốc O của E).
Khi đó M có toạ độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy
thì véc tơ
OM
uuuur
cũng có tọa độ (x, y) nên M có toạ vị z
thì véc tơ
OM
uuuur
cũng có toạ vị z, viết
OM
uuuur
(z). Nếu
OM
uuuur
có Hình 1.1
toạ vị z,
OP
uuur
có tọa vị w thì z + w là tọa vị của
OM

uuuur
+
OP
uuur
, kz (k
∈
R) là tọa vị
của k
OM
uuuur
tức là nếu z = x + yi thì kz = (k + 0i)(x + yi) = kx + kyi.
1.4. Số phức liên hợp và mô đun của số phức
1.4.1. Số phức liên hợp
Cho số phức z = x + yi (x, y
∈
¡
) thì số phức
= −z x iy
gọi là số phức
liên hợp của z. Nếu z là tọa vị của M thì
z
là tọa vị của điểm
'M
đối xứng với
M qua trục Ox. Ta có: z +
z
= 2Rez, z
−

z

= 2iImz
Vậy số phức z là số thực khi và chỉ khi z =
z
, nó là số
thuần ảo khi và chỉ khi z =
−
z
.
Với mọi số phức z, w ta có:
6
P(w)
O
x
z + w
M(z)
I(i)
K(1)
y
M(z)
y
M
’
()
x
O
Hình 1.2
i)
z
= z
ii)

z w z w+ = +

iii)
zw z=
w
iv)
z w z w− = −

1.4.2. Mô đun của số phức
Nếu z là tọa vị của điểm M thì ta định nghĩa môđun của z là khoảng cách
từ M đến gốc tọa độ O:

=
uuuur
z OM
= OM
Viết z = x + iy (x, y
∈
¡
) thì z
z
= (x + iy)(x
−
iy) = x
2
+ y
2
= OM
2

⇒
z zz=
Ta có các tính chất sau:
z

≥
0,
z
= 0
⇔
z = 0,
z z=
,
zw z w=
.
1.5. Dạng lượng giác của số phức
1.5.1. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z
≠
0.
Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị z,
khi đó M được xác định bởi độ dài đoạn thẳng OM tức
z

và góc định hướng (Ox, OM) tạo bởi tia Ox (tia đầu),
tia OM (tia cuối). Số đo
β
của góc định hướng (đo bằng rađian) xác định sai
khác một bội nguyên của 2
π

,
β
gọi là argumen của z, kí hiệu: argz.
Vậy z
≠
0 hoàn toàn xác định bởi
z
và argz + 2k
π
(k
∈

¡
), tức là nếu
z, w
∈

£
\
{ }
0
thì: z = w
π

=

⇔

= + ∈



¡arg arg 2 ( )
z w
z w k k
Vậy với z = x + yi (z
≠
0),
β
là argumen của z ta xác định được:

= +
2 2
z x y
,
β β
= =
+ +
2 2 2 2
cos , sin
x y
x y x y

7
β
M
y
x
O
Hình 1.3
z =

 
+ +
 ÷
 ÷
+ +
 
2 2
2 2 2 2
x y
x y i
x y x y
, tức là
( )
β β
= +cos sinz z i
,
β
là
argz. Đó là dạng lượng giác của số phức z
≠
0, vì số phức z = 0 có
z
= 0 nên
đôi khi cũng dùng công thức lượng giác đó cho cả z = 0, coi argz không
xác định trong trường hợp này.
1.5.2. Nhân số phức dưới dạng lượng giác
Cho z, w
∈

£

: z =
z
(cos
α
+ isin
α
)
w =
w
(cos
β
+ isin
β
)
Ta có:

=zw z
w
(cos
α
+ isin
α
)(cos
β
+ isin
β
)
=
z
w

(cos
α
cos
β
- sin
α
sin
β
) + i(cos
α
sin
β
+ cos
β
sin
α
)
=
z
w
((cos(
α
+
β
) + isin(
α
+
β
))
Vậy

=zw z
w
, arg(zw) = arg z + arg w + 2k
π
, k
∈
Z
1.6. Căn bậc n của số phức
1.6.1. Căn bậc hai của số phức
Ta sẽ chứng minh trong
£
có căn bậc hai của mọi số.
Cho số phức
α
= a + bi (a, b
∈

¡
), tìm số phức z = x + yi (x, y
∈

¡
) để
z
2
=
α
tức (x + yi)
2
= a + bi

⇔
x
2

−
y
2
+ 2xyi = a + bi. Đồng nhất hệ số ta được:

2 2
2
− =


=

x y a
xy b
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
4

+ = +



⇒


=


b
x y a
b
x y

Vì x
2
- y
2
= a và tích xy cùng dấu với b khi b
≠
0 suy ra :
* Nếu
 
+ + + −
 ÷
≥ = ± +
 ÷
 
2 2 2 2
0,
2 2
a b a a b a
b z i

8
* Nếu b
 
+ + + −
 ÷
≤ = ± −
 ÷
 
2 2 2 2
0,
2 2
a b a a b a
z i

Hai số z tìm thấy là hai số đối nhau (và khác nhau, trừ trường hợp
α
= 0).
1.6.2. Căn bậc n của số phức
Cho số nguyên n
≥
2. Với số phức
α
, hãy tìm số phức z mà z
n
=
α
, tức
tìm nghiệm của phương trình: z
n

-
α
= 0
+) Nếu
α
= 0 thì z = 0 là nghiệm duy nhất
+) Nếu
α

≠
0
α
=
ϕ
α
i
e
,
ϕ
là
arg
α
. Khi đó: z =
ψ
n
i
z e
thì: z
n
-

α
= 0

⇔
ψ
n
i
z e
=
ϕ
α
i
e
2
2 ,
,
α
α
ϕ
ψ ϕ π
ψ π

=

=
 
⇔ ⇔
 
= + ∈


= + ∈



n
n
z
z
k
n k k Z
k Z
n n
Vậy: z =
ϕ ϕ
α π π
 
   
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
2 2
cos sin
n
k k
i
n n n n
, k
∈

Z
*)
α
n
là kí hiệu số thực không âm mà lũy thừa n bằng
α
.
*) Cho k = 0, 1, 2, …, n - 1 thì được n nghiệm khác nhau đó là tất cả các
nghiệm của phương trình z
n
=
α
. Vậy n nghiệm đó ứng với k = 0, 1, 2, …, n -1
là tọa vị của n điểm A
0
, A
1
, …, A
n-1
. Các điểm này tạo thành đa giác n đỉnh định
hướng thuận nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
α
n
.
1.6.3. Căn bậc n của đơn vị
Xét số phức z mà z
n
= 1 (n
≥
2). Ta có, các số phức z:

π
ε π π
= = +
2
2 2
cos sin
i k n
k
k k
e i
n n
(k = 0, 1, …, n - 1).
Rõ ràng
k qn k
ε ε
+
=
(k, q
∈
Z) nhưng tập
{ }
k
k Z
ε
∈
chỉ có n phần tử phân
biệt. Tập hợp đó đóng kín đối với phép nhân số phức:
9
0 1 1

, 1, ,
k l k l
k l k l k k
ε ε ε ε ε ε ε ε
+
= = = =
Ngoài ra, còn có
1
k k
ε ε
−
=
và z
n
- 1 =
( ) ( )
( )
0 1 1

n
z z z
ε ε ε
−
− − −
(do tất cả các
nghiệm của phương trình z
n
- 1 = 0 là (
0 1 1
, , ,

n
ε ε ε
−
).
10
1.7. Tích vô hướng và tích lệch
1.7.1. Tích vô hướng
Cho hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) khác
0
r
, với z, w
∈
£
,
uuuur
OM
=
z
,
uuur
OP
=
w
và

α
,
β
lần lượt là argz, argw.
Ta có: z.
w
=
z
(cos
α
+i.sin
α
)
w
(cos(-
β
)+ i.sin(-
β
))
=
z
w
( ) ( )
α β α β
 
− + −
 
cos sini
=
z

w
( ) ( )
cos sini
β α β α
 
− − −
 

Tương tự ta có: w
z
=
w
z
( ) ( )
cos sini
α β α β
 
− − −
 

Định nghĩa 1.1. Tích vô hướng của hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w), được kí hiệu
là:
uuuur
OM

.
uuur
OP
= <z, w>, là số thực xác định bởi:

uuuur
OM
.
uuur
OP
=
uuuur
OM
uuur
OP
cos(
uuuur
OM
,
uuur
OP
) =
z
w
cos(
β
-
α
)
Ta có:

uuuur
OM
uuur
OP
= <z, w> =
1
2
(z
w
+
z
w)
Nếu z = 0 hoặc w = 0 thì quy ước:
uuuur
OM
uuur
OP
= <z, w> = 0
Tính chất của tích vô hướng
<z, z> = z
z
=
z
2
> 0,
∀
z
≠
0 (tính chất xác định dương)
<z, w> = <w, z> ( tính chất đối xứng)

<kz, w> = k <z, w>, k
∈
¡
<z
1
+z
2
, w> = <z
1
, w> + <z
2
, w>
11
<cz, w> = <z,
c
w>, c
∈

£
⇒
<cz, cw> = <z, c
c
w> =
c
2
<z, w>
Cho hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và

uuur
OP
(w) khác
0
r
:
uuuur
OM

⊥

uuur
OP

⇔

uuuur
OM
uuur
OP
= 0
⇔
<z, w> = 0
⇔
z
w
+
z
w = 0

⇔
Re( z
w
) = Re(
z
w) = 0

⇔
z
w
= ik (k
∈
¡
)

⇔
z =
.i k
w
= i
2
k
w
w = ik
1
w (k
1
=
2
k

w
∈
¡
)
1.7.2. Tích lệch
Định nghĩa 1.2. Cho hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) với
α
,
β
lần lượt là argz,
argw. Tích lệch của
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) kí hiệu là
,OM OP
 
 
uuuur uuur
=
[ ]
,z w

, là số
thực xác định bởi:

,OM OP
 
 
uuuur uuur
=
[ ]
,z w
=
uuuur
OM
uuur
OP
sin(
uuuur
OM
,
uuur
OP
) =
z
w
sin(
β
-
α
)
=

1
2i
−
(z
w
-
z
w) =
2
i
(z
w
-
z
w)
Nếu z = 0 hoặc w = 0 thì qui ước :
,OM OP
 
 
uuuur uuur
=
[ ]
,z w
= 0
Tích chất của tích lệch
Với z, w, v
∈
£
, có:

[ ]
( )
= −,
2
i
z w zw zw

[ ] [ ]
= −, ,z w w z
(tính chất phản đối xứng). Suy ra
[ ]
=, 0z z
12

[ ] [ ]
, , ,= ∈kz w k w z k
¡

[ ] [ ] [ ]
+ = +, , ,z v w z v z w

[ ]
, , ,
 
= ∈
 
cz w z cw c
£
. Suy ra:
[ ] [ ]

 
= =
 
2
, , ,cz cw z ccw c z w
1.8. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức
1.8.1. Đường thẳng
Giả sử
∆
là đường thẳng qua điểm
0
M
(
0
z
), có véc tơ chỉ phương
u
r
(u)
0≠
r
.
- Phương trình z =
0
z
+ t u (t
∈
¡
) được gọi là phương trình tham số của
đường thẳng

∆
qua M
0
(
0
z
) có véc tơ chỉ phương
u
r
(u).
- Phương trình của đường thẳng đi qua M
0
(z
0
) và có véc tơ chỉ phương
r
u
(u) có dạng:
( )
−
−
=
0
0
z z
z z
u
u
hoặc
( )

− = −
0 0
u
z z z z
u
Tương tự ta cũng có phương trình đường thẳng đi qua điểm M
0
(z
0
) và có
véc tơ pháp tuyến
v
r
(v) là:
( )
( )
δ δ
+ + = = − + ∈¡
0 0
0vz vz vz vz
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
:
α β γ
+ + = 0z z
, với
α β
= ≠ 0
và

αγ βγ
=
.
Cho hai điểm M
1
(z
1
), M
2
(z
2
). Đường thẳng
∆
đi qua hai điểm M
1
(z
1
),
M
2
(z
2
) là đường thẳng đi qua điểm M
1
(z
1
), có véc tơ chỉ phương
=
r uuuuuur
1 2

u M M
có
toạ vị z
2
−
z
1
nên có phương trình:

[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 1 2 1 2
, 0
0
2
0
0
z z z z
i
z z z z z z z z

z z z z z z z z
z z z z z z z z z z
− − =
 
⇔ − − − − − =
 
⇔ − − − − − =
⇔ − − − + − =
13
Mặt khác đường thẳng
∆
qua hai điểm M
1
(z
1
), M
2
(z
2
) là đường thẳng đi
qua điểm M
1
(z
1
), có véc tơ chỉ phương
=
r uuuuuur
1 2
u M M
có toạ vị z

2
−
z
1
nên có phương
trình tham số: z = z
1
+ (z
2
−
z
1
) t, t
∈
¡
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chọn điểm A
∈
Ox, A có toạ vị z
1
= a
(a
∈
¡
) và B
∈
Oy, B có tọa vị z
2
= ib (b
∈
¡

). Khi đó phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm A, B (đường thẳng AB) là:

( )
( )
2 1 2 1 1 2 1 2
0z z z z z z z z z z− − − + − =

⇔
(- ib – a)z – (ib – a)
z
+ iab + iab = 0

⇔
(a + ib)z + (ib – a)
z
= i2ab

⇔
(z
1
+ z
2
)z + (z
2
– z
1
)
z
= 2z

1
z
2

⇔

1 2 1 2
1 1 1 1
2z z
z z z z
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Phương trình dạng trên gọi là phương trình theo đoạn chắn.
1.8.2. Phương trình đường tròn
1.8.2.1. Phương trình dạng tự liên hợp của đường tròn
Trong mặt phẳng phức, xét đường tròn (C) có tâm tại điểm M
0
có toạ vị z
0
và có bán kính R > 0. Điểm M(z) thuộc đường tròn (C) khi:

0
z z−
= R. Do R > 0 nên:

⇔
(z
−

z
0
)
( )
0
z z−
= R

⇔

( )
0 0 0 0
zz z z z z z z− + + −
R
2
= 0
Vậy phương trình của đường tròn (C) là:
( )
( )
2
2
0 0 0
0zz z z z z z R− + + − =
Phương trình trên gọi là phương trình dạng tự liên hợp của đường tròn.
1.8.2.2. Phương trình dạng tham số của đường tròn
Cho đường tròn (C) tâm M
0
có tọa vị z
0
, bán kính R > 0.

Điểm M (z) thuộc đường tròn (C) và gọi t là argumen của z
−
z
0
, ta có:

0
z z−
= R
⇔
z
−
z
0
= R( cost + isint ),
0 2t
π
≤ ≤

⇔
z = z
0
+ Re
it
,
0 2t
π
≤ ≤
14
Vậy: z = z

0
+ Re
it
,
0 2t
π
≤ ≤
gọi là phương trình tham số của đường tròn (C).
1.8.2.3. Phương trình tổng quát của đường tròn
Trong hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C). Phương
trình tổng quát của (C) được xác định:
a(x
2
+ y
2
) + 2bx + 2cy + d = 0, a
≠
0, b
2
+ c
2
> ad, a, b, c, d
∈

¡
Đặt z = x + iy
⇒
2x =
z z+
; 2y =

( )
−z z
i
Khi đó, phương trình trên trở thành:
az
z
+ b(z +
z
) + c(
z
−
z)i + d = 0
⇔
az
z
+ (b
−
ic) + (b + ic)
z
+ d = 0
Đặt
β
= b + ic, phương ttrình có dạng:
az
z
+
( )
z z
β β
+

+ d = 0, với a
≠
0, a, d
∈
R,
2
β
−
ad > 0
Ngược lại, xét phương trình dạng: az
z
+
( )
z z
β β
+
+ d = 0, với a
≠
0, a, d
∈
¡
,
β
∈

£
.
- Nếu
2
β

−
ad > 0: đó là phương trình đường tròn tâm có toạ vị
a
β
−
và
bán kính R =
2
1
ad
a
β
−
.
- Nếu
2
β
−
ad = 0: phương trình đó xác định một điểm (còn gọi là
“đường tròn điểm”).
- Nếu
2
β
−
ad < 0: không có z
∈

£
thoả mãn phương trình đó (hay còn
gọi là phương trình của “đường tròn ảo” tâm tại điểm có tọa vị

β
−
a
).
- Để cho gọn ta còn viết phương trình của đường tròn tâm M
0
(z
0
), bán
kính R là: z
z
+
( )
z z
β β
+
+ d = 0, d
∈

¡
,
β

∈

£
và
2
0d
β

− >
hoặc:
2 , 0zz z d
β
+ < > + =
, d
∈

¡
,
β

∈

£
và
2
0d
β
− >
.
15
là đường tròn tâm M
0
(z
0
), toạ vị z
0
=
β

−
, bán kính R =
2
d
β
−
.
Chương 2
SỐ PHỨC VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1. Phép tịnh tiến
2.1.1. Định nghĩa 2.1
Trong mặt phẳng P cho véc tơ
v
r
, phép biến hình biến một điểm M thành
điểm M’ sao cho
'MM
uuuuur
=
v
r
được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ
v
r
và ký hiệu
là
v
T
r
.

Véc tơ
v
r
gọi là véc tơ tịnh tiến.
Ta có
v
T
r
(M) = M’ hay
v
T
r
: M
→
M’.
* Cho véc tơ
v
r
có tọa vị là
β
Giả sử
v
T
r
: M (z)
→
M’ (z’)
⇒

'MM

uuuuur
=
v
r
ta có
'OM
uuuur
=
OM
uuuur
+
'MM
uuuuur
=
OM
uuuur
+
v
r
⇔
z’ = z +
β
Vậy biểu thức tọa vị của phép tịnh tiến
v
T
r
là z’ = z +
β
(
β

là tọa vị của
véc tơ tịnh tiến
v
r
).
2.1.2. Tính chất
a. Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
c. Phép tịnh tiến:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
+ Biến một tia thành một tia.
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
16
Hình 2.1
x
y
M'
M
O
v
r
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
2.1.3. Chứng minh một số tính chất
Cho
v
T
r

là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z +
β
(
β
là tọa vị của véc tơ tịnh tiến
v
r
)
*
v
T
r
biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
- Trường hợp đường thẳng
∆
có phương trình là:
z =
z
α
+
( 1,
δ α αδ
=
+
0)
δ
=

v
T

r
có biểu thức tọa vị z’ = z +
β

⇒
z = z’ -
β
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆
qua
v
T
r
là đường
'∆
có phương trình là
z’ -
β
=
α
(
'z
β
−
) +
δ
⇔
z’ -
β
=

'z
α
-
'
αβ
+
δ
⇔
z’ =
'z
α
+
δ
+
β
-
αβ
Đặt
α
=
α
’,
δ
+
β
-
αβ
=
δ
’. Khi đó ta có: z’ =

' 'z
α
+
δ
’
Vì
' 1, ' '
α α α δ
= =
+
δ
’=
α
(
δ
+
β
-
α
β
) +
δ
+
β
-
αβ
=
α
δ
+

α
β
-
β
+
α
+
β
-
α
β
=
α
δ
+
δ
= 0
Nên z’ =
' 'z
α
+
δ
’ là phương trình của một đường thẳng
Vậy phép tịnh tiến
v
T
r
biến đường thẳng
∆
thành đường thẳng

'∆
có
phương trình là z’ =
' 'z
α
+
δ
’ (với
α
’=
α
,
δ
’=
δ
+
β
-
αβ
).
- Trường hợp đường thẳng
∆
có phương trình là z =
z
α
+
δ
(trong đó
β
α

β
=
) (tức
∆
là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến
v
).
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆
qua
v
T
r
là đường thẳng
'∆
có phương trình
là: z’ =
' 'z
α
+
δ
’.
17
Với
α
’=
β
α
β
=

,
δ
’=
δ
+
β
-
αβ
=
δ
+
β
-
β
β δ
β
=
Khi đó
'∆
có phương trình là z’ =
' 'z
α
+
δ
. Suy ra
∆
≡
'∆
.
Vậy

v
T
r
biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến
v
r
thành chính
đường thẳng đó.
*
v
T
r
biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
Cho đường tròn (C
1
) có phương trình là
z z’ +
1
β
z +
1
β
z
+ p
1
= 0 ( p
1

∈
¡

)
(C
1
) có tâm có tọa vị là z
0
= -
1
β
, bán kính
1
1 1 1
R p
β β
= −

Ảnh của đường tròn (C
1
)

qua
v
T
r
là đường (C
2
)

có phương trình là
(z’ -
β

) (
'z
β
−
) +
1
β
( z’ -
β
) +
1
β
(
'z
β
−
) + p
1
= 0
⇔
z’
z
’ - z’
β
-
β
z
’ +
β
β

+
1
β
z’ -
1
β
β
+
1
β
z
’ -
1
β
β
+ p
1
= 0
⇔
z’
z
’ + z’ (
1
β
-
β
) +
z
’(
1

β
-
β
) +
β
β
-
1
β
β
-
1
β
β
+ p
1
=0
Đặt
1
β
-
β
=
2
β
,
β
β
-
1

β
β
-
1
β
β
+ p
1
= p
2
Khi đó ta có phương trình
z’
z
’ + z’
2
β
+
z
’
2
β
+ p
2
= 0
p
2
=
β
β
-

1
β
β
-
1
β
β
+ p
1

∈¡
( vì
β
β
,
1
β
β
,
1
β
β
, p
1

∈¡
).
2
β
2

β
- p
2
= (
1
β
-
β
) (
1
β
-
β
) -
β
β
+
1
β
β
+
1
β
β
- p
1
=
1
β
1

β
- p
1
> 0
Nên z’
z
’ + z’
2
β
+
z
’
2
β
+ p
2
= 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy phép tịnh tiến
v
T
r
biến đường tròn (C
1
) thành đường tròn (C
2
) có
phương trình là z’
z
’ + z’
2

β
+
z
’
2
β
+ p
2
= 0 (
2
β
=
1
β
-
β
, p
2
=
β
β
-
1
β
β
-
1
β
18
1

C
2
C
O
v
r
x
y
Hình 2.2
β
+ p
1
) và đường tròn (C
1
) bằng đường tròn (C
2
) (vì R
2
=
2
2 2
p
β β
−
=
1
1 1
p
β β
−

= R
1
).
2.2. Phép đối xứng trục
2.2.1. Định nghĩa 2.2
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến
điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d làm
đường trung trực được gọi là phép biến đối xứng trục d.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đ
d
.
Ta có Đ
d
(M) = M’ hay Đ
d
: M
→
M’
Cho đường thẳng d có phương trình là:
u
z z
u
δ
= +
(
0, 0
u
u
u

δ δ
+ = ≠
).
(d là đường thẳng có véctơ chỉ phương là véc tơ
u
r
có tọa vị là u).
Giả sử Đ
d
: M(z)
→
M’(z’)
Suy ra MM’
⊥
d và d đi qua trung điểm I của MM’, I có tọa vị là
z
1
=
'
2
z z+
véc tơ
'MM
uuuuur
có tọa vị là z’ – z.
Để MM’
⊥
d và d đi qua I thì ta phải có:
' , 0
' '

2 2
z z u
z z u z z
u
δ
< − >=


 
+ +

= +
 ÷

 

⇔
( ' ) ( ' ) 0
( ') ' 2 0
z z u z z u
z z u uz uz u
δ

− + − =


+ − − − =


r

Cộng hai phương trình trên vế với vế ta được: 2z’
u
- 2u
z
- 2
u
δ
=0
' ( 0, u 0)
u u
z z
u u
δ δ δ
⇔ = + + = ≠
Nếu đặt
( 1) '
u
z z
u
α α α δ
= = ⇒ = +
19
I
M'
M
d
Hình 2.3
Khi đó Đ
d
là phép đối xứng trục có biểu thức tọa vị là

'z z
α δ
= +
( )
1, 0
α αδ δ
= + =
.
2.2.2. Tính chất
a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự của chúng.
c) Phép đối xứng trục biến:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp.
2.2.3. Chứng minh một số tính chất
Cho phép đối xứng trục Đ
d
có biểu thức tọa vị là
z’ =
( )
1, 0z
α δ α αδ δ
+ = + =
(d là đường thẳng có phương tình là z =

, 1, 0z
α δ α αδ δ
+ = + =
).
* Phép Đ
d
biến một đường thẳng thành một đường thẳng
Cho đường thẳng
∆
có phương trình là
( )
1
1 1 1 1
1, 0z z
α δ α α δ δ
= + = + =
Do Đ
d
có biểu thức tọa vị là
'
'
z
z z z
δ
α δ
α
−
= + ⇒ =
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆

qua phép Đ
d
là đường
∆
’ có phương trình
là
1 1
' 'z z
δ δ
α δ
α α
 
− −
= +
 ÷
 ÷
 
20
x
y
O
d
'∆
∆
Hình 2.4
1 1
1
' 'z z
δ α α δ
δ

α
α
− −
⇔ = +
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
' '
' ' (vì 1)
' '
z z
z z
z z
α αδ α α α αδ δ αα
α α α α αδ αδ δ αα
α αδ δ
δ
α α α α α α
⇔ − = − +
⇔ = + − − =
⇔ = + − −

Đặt
1
1 1 1
', - '
α αδ δ
α δ δ
α α α α α α

= − =
Khi đó ta có:
' ' ' 'z z
α δ
= +
1
1
1
' 1,
1.1
α
α
α
α α
α α
= = = =
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1
' ' 0
α αδ δ αδ δ δ α δ δ
α δ δ δ αδ
α α α α α α α α α α α α α α
 
 
+
= − − + − − = − − = − =
 ÷

 ÷
 
 
ur
( vì
1 1 1 1
1, 0)
α α α δ δ
= = + =
.
Nên
' ' ' 'z z
α δ
= +
là phương trình của một đường thẳng.
Vậy Đ
d
biến đường thẳng
∆
thành đường thẳng
∆
’ có phương trình là
1
1 1 1
' ' ' ' ' ; '= -z z
α αδ δ
α δ α δ δ
α α α α α α
 
= + = −

 ÷
 
.
* Đ
d
biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó
Cho đường tròn
ε
có phương trình là
0 (p ).zz z z p
β β
+ + + = ∈¡
ε
là đường tròn có tâm có tọa vị z
o
= -
β
, có bán kính R=
p
β β
−

21
x
y
O
d
ε
'
ε

Hình 2.5
Ảnh cuả đường tròn
ε
qua Đ
d
là đường
'
ε
có phương trình là
' ' ( ' ) '
0
' ' ( ' ) ( ' )
( )( ) 0
' ' ' ' ' '
0 (vì 1)
' ' '( ) '( ) 0
z z z z
p
z z z z
p
z z z z z z
p
z z z z p
δ δ δ δ
β β
α α α
α
δ δ δ δ
β β
α α

α α
δ δ δδ βα βαδ αβ αδβ
αα
αα αα
αβ δ αβ δ δδ α βδ αδβ
   
 
− − − −
+ + + =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
− − − −
⇔ + + + =
− − + − + −
⇔ + + = =
⇔ + − + − + − − + =
ur
Đặt
', 'p p
αβ δ β δδ αβδ αδβ
− = − − + =
Khi đó ta có phương trình:
' ' ' ' ' ' ' 0z z z z p
β β
+ + + =
' (vì p, , )
' ' ' ( )( )

= 0
p p
p p
p
δδ αβδ αδβ δδ αβδ αδβ
β β αβ δ αβ δ δδ αβδ αδβ
β β
= − − + ∈ + ∈
− = − − − + + −
− >
¡ ¡
Suy ra
' ' ' ' ' ' ' 0z z z z p
β β
+ + + =
là phương trình của một đường tròn.
Vậy Đ
d
biến đường tròn
ε
thành đường tròn
'
ε
có phương trình là
' ' ' ' ' ' ' 0 z z z z p
β β
+ + + =
(với
' , 'p p
β αβ δ δδ αβδ αδβ

= − = − − +
)
'
ε
là đường tròn có tâm có tọa vị là z’
0
= -
'
β δ α β
= −
, có bán kính
' ' ' 'R p p R
β β β β
= − = − = ⇒
đường tròn C bằng đường tròn C ’
* Đ
d
có tính chất đối hợp
Giả sử Đ
d
: M(z)
→
M’(z’)
M’(z’)
→
M’’(z’’)
'
'' ' ( )
= z+ (vì 1, 0)
z z

z z z z
z
α δ
α δ α α δ δ αα αδ δ
αδ δ αα αδ δ
⇒ = +
= + = + + = + +
+ = = + =
22
Từ z’’ = z
''M M⇒ ≡
. Vậy Đ
d
có tính chất đối hợp
2.3. Phép quay
2.3.1. Định nghĩa 2.3
Trong mặt phẳng P đã được định hướng. Cho một điểm A cố định và một
góc định hướng
α
sai khác 2k
π
. Một phép quay tâm A với góc quay
α
là một
phép biến hình biến điểm A thành chính nó và biến điểm M thành điểm M’ sao
cho AM = AM’ và
( , ')AM AM
α
=
uuuur uuuur

Ta ký hiệu
( , ')AM AM
uuuur uuuur
là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối là
AM’.
Ký hiệu phép quay tâm A góc quay
α
là
A
Q
α

Ta có
A
Q
α
: M
→
M’ hay
A
Q
α
(M)=M’
Cho A là điểm có tọa vị là a, giả sử
A
Q
α
: M(z)
→
M’(z’)

Khi đó ta có:
'
( , ')
AM AM
AM AM
α
=


=

uuuur uuuur
AM
uuuur
có tọa vị là z – a,
'AM
uuuur
có tọa vị là z’ – a.
Giả sử
(cos i sin ), z' - a= ' (cos ' i sin ') z a z a z a
ϕ ϕ ϕ ϕ
− = − + − +
+) Để thỏa mãn
'
( , ')
AM AM
AM AM
α
=



=

uuuur uuuur
ta phải có:
'
' k2 '= + k2
z a z a
ϕ ϕ α π ϕ ϕ α π
− = −


− = + ⇔ +

Ta có:
' (cos( k2 ) isin( + +k2 ))
= (cos( + )+ isin( ))
= (cos + isin ) (cos +isin )
z a z a
z a
z a
ϕ α π ϕ α ϕ
ϕ α ϕ α
ϕ ϕ α α
− = − + + +
− +
−
' ( )(cos + isin )z a z a
α α
⇒ − = −

23
Đặt
cos + isin p p
α α
= ⇒
là số phức có
1 và argp=p
α
=
Khi đó z’ – a = p(z – a)
⇔
z’ = p(z – a) + a
Vậy biểu thức tọa vị của phép quay
A
Q
α
(A có tọa vị là a) là
' ( )z p z a a= − +
(
1 và argp = p
α
=
).
Trường hợp phép chiếu quay tâm A có góc quay
α
=180
o
Khi đó
0
180

A
Q
(A có tọa vị là a) có biểu thức tọa vị là
0 0
' (cos 180 isin180 )(z-a)+a = - (z - a)+a = - z + 2az = +
2.3.2. Tính chất
a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
b) Phép quay biến ba điểm thẳng hành thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của chúng
c) Phép quay
A
Q
ϕ
+ Biến đường thẳng
∆
thành đường thẳng
∆
’ và (
∆
,
∆
’)=
ϕ
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó
+ Biến một tam giác thàn tam giác bằng nó
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
d) Phép quay
A

Q
ϕ
có tâm A là điểm kép duy nhất
2.3.3. Chứng minh một số tính chất
Cho phép quay
A
Q
ϕ
có biểu thức tọa vị là
z' = p (z-a) + a
(a là tọa vị của A, argp =
ϕ
,
1p =
)
*
A
Q
ϕ
biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Cho đường thẳng
∆
có phương trình là
( 1, 0)z az
δ α αδ δ
= + = + =
Do
A
Q
ϕ

có biểu thức tọa vị là
'
' ( )
z a
z p z a a z a
p
−
= − + ⇒ = +
24
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆
qua
A
Q
ϕ
là đường
∆
’ có phương trình là
' '
' '
' '
'
'
'
'
z a z a
a a
p p
z a z a
a a

p p
z p a p ap p pz pa p pa p p
pz p pa p p pa a p ap p
z
p p
pz p
z pa p a a ap
p p
α δ
α δ
α α α δ
α α δ α
α α
α δ
 
− −
+ = + +
 ÷
 
 
− −
⇔ + = + +
 ÷
 
⇔ − + = − + +
+ − + −
⇔ = +
⇔ = + + − + −
Đặt
', p '

p p
a p a a ap
p p
α α
α α δ δ
= + − + − =
Khi đó ta có:
' ' ' 'z z
α δ
= +
' 1 (vì 1, ).
.
' ' ' . .
( ) 0 (vì 0)
p
p
p p
p
p
p pa p
pa p a a p pa p a a ap
p
p p
p
α
α
α α
α α α
α δ δ α δ α δ
αδ δ αδ δ

= = = = =
 
+ = + − + − + + − + −
 ÷
 
= + = + =
Suy ra
' ' ' 'z z
α δ
= +
là phương trình của một đường thẳng.
Vậy
A
Q
ϕ
biến đường thẳng
∆
thành đường thẳng
∆
’ có phương trình là
' ' ' 'z z
α δ
= +
(với
' , '= p )
p pa
a p a ap
p p
α α
α δ α δ

= + − + −
.
*
A
Q
ϕ
biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
Cho đường tròn C
1
có phương trình là
1 1 1 1
0 (p )zz z z p
β β
+ + + = ∈¡
Khi đó ảnh của C
1
qua
A
Q
ϕ
là đường C
1
’ có phương trình là
25
x
y
O
∆
'∆
A

N
N'
M'
M
ϕ
Hình 2.6
y
O
ϕ
Hình 2.7
x
A
C
C