Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẪN VĂN NGỮ

tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c
dao ®éng tö Para-boson biÕn
d¹ng

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số
: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, NĂM 2011


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi những
kiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn
thành tốt luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - Khoa
Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao
đẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này.

LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với
những đề tài khác.
Hà Nội, ngày

tháng

2011 Tác giả

Mẫn Văn Ngữ

năm



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH -

3

HỦY BOSON
1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyết tính

3

1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson

11

CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ

16

PARA – BOSON
2.1. Trạng thái kết hợp

16

2.1.1. Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein

16

2.1.2. Trạng thái kết hợp

22

2.2. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson

24

2.2.1. Dao động tử Boson

24

2.2.2. Dao động tử Para Boson

25

2.2.3. Thống kê Para Boson

27

2.2.4. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson

28

CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ

32

PARA BOSON BIẾN DẠNG
3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q

32

3.1.1. Lý thuyết q số

32

3.1.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q

34

3.1.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q

36

3.1.4. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát

39

3.2. Dao động tử có thống kê vô hạn

40

3.2.1. Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn

41

3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn

42

3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q

44

tổng quát
3.3.1. Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát

44


3.3.2. Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát

45

3.3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson

46

biến dạng q tổng quát

MỞ ĐẦU


1. Lý do chn ti
Ngày nay lý thuyết trờng lợng tử đã tạo nên cơ sở của thế
giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về
mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Từ đó lý thuyết trờng lợng tử đã mở ra con đờng để nhận biết các quá trình
vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử,
nguyên tử hạt nhân và các hạt cơ bản.
Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngng tụ Bose Einstein là một trạng thái đặc biệt của vật chất và của các
hạt vi mô. Trong trạng thái kết hợp hệ thức bất định
Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng). Việc nghiên cứu
trạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giải
quyết các bài toán phi tuyến của quang học lợng tử, lý thuyết
chuyển pha lợng tử làm chính xác và phong phú thêm
những hiểu biết về thế giới hạt vi mô.

Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về trạng thái kết hợp
của các dao động tử, tôi đã chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp
của các dao động tử Para-Boson biến dạng'' .
2. Mc ớch nghiờn cu
- Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyết
trờng lợng tử và các trạng thái kết hợp của các dao động tử
Para-Boson biến dạng q -tổng quát.
3.Những vấn đề chính đợc nghiên cứu
- Tính phân bố thống kê của các hệ dao động tử biến dạng.
- Xây dựng trạng thái kết hợp của các dao động tử ParaBoson biến dạng q tổng quát.
- Các hệ thức về phơng sai của toạ độ và xung lợng.
- Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất
để trạng thái kết hợp có n hạt.
4. i tng nghiờn cu v phm vi nghiờn cu


- Hệ các dao động tử Para-Boson.
5. Phng phỏp nghiờn cu
- Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử.
- Phơng pháp lý thuyết nhóm lợng tử.
- Phơng pháp giải tích toán học.
- Sử dụng hình thức luận các dao động tử điều hòa và
hình thức luận các trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô.
6. Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti
- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy và học trong nhà trờng s phạm, nâng cao năng lực
nghiên cứu khoa học của giảng viên, học viên cao học.
- Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tử
Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu đợc các hệ thức về
phơng sai của tọa độ và xung lợng, tính đợc số hạt trung
bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất

để trạng thái kết hợp có n hạt.
7. Kt cu ca lun vn
Ngoi phn m u v kt lun, lun vn c chia lm ba chng:
Chng 1: Biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh - hy Boson
Chng 2: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson
Chng 3: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin
dn
g

NI DUNG


CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ
SINH - HỦY BOSON
1.1. Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính
Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa một
chiều:
H□ 

2

(1.1)

P 
m
x 2
x

2m
Ký hiệu:

2

xˆ là toán tử tọa độ

qˆ

pˆ pˆ i
x

d

là toán tử xung lượng.

dx

Hệ thức giao hoán giữa
pˆ

và qˆ

 pˆ ,qˆ pˆ qˆ
qˆpˆ i d

d
x


x ix
x  i d i d
dx
dx
dx
dx

 pˆ ,qˆ
 x
  i ix

d

i

d

dx

dx

 pˆ ,qˆ

i

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo
pˆ
2

H□  pˆ


m

(1.2)
và
qˆ

như sau:

2

q
ˆ

(1.3)

2

Ta đặt:


2m

2
m

pˆ i

2

qˆ 

 aˆ aˆ 

h  aˆ aˆ
2m





10

Khi đó ta biểu diễn
Hˆ
pˆ 2
H

□


theo
aˆ

m qˆ 2
 1
2

và aˆ như sau:


.i 2 . m . aˆ
 aˆ 2 

m
. 


 aˆ aˆ 2

2

2m
2
2m
2
2 2m
 ˆ

1
 .
 a aˆ 2  aˆ aˆ 2 

2 2  

1
 .
 aˆ aˆ  aˆ aˆ

 aˆ aˆ  aˆ aˆ  

2 2

1 .   2aˆ aˆ 2aˆ aˆ 
2 2

  aˆ aˆ aˆ aˆ 
2
Ta biểu diễn các toán tử
aˆ

2
qˆ 

aˆ aˆ 
i

  aˆ aˆ
2m
 aˆ 
qˆ

và qˆ :

và aˆ ngược lại
qua pˆ

pˆ i m aˆ
 aˆ

(1.4)

pˆ mipˆ 2
2
m

aˆ 2m


qˆ

2m

Từ đó ta thu được:
m  qˆ
pˆ 

i 
2
m



m
ˆ 
aˆ 
pqˆ
i


2

m


aˆ 

Dễ dàng chứng minh được các toán tử
hoán:

(1.5)
(1.6)


a
ˆ
,

aˆ 1


11
aˆ và

aˆ thỏa mãn hệ thức giao

(1.7)


m  qˆ
pˆ 
i

Thật vậy:
aˆ
aˆ,
aˆaˆ 

m  qˆ-i pˆ 

aˆ aˆ 



2
m





 m
pˆ  qˆ
m qˆ i pˆ 



i 
2
m 2
m





2



m



1
i
2  2ipˆ qˆ   pˆ qˆ qˆpˆ 1

2iqˆ pˆ


Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:


H□  aˆ aˆ 1 




2

aˆ aˆ . [2]

Ta đưa vào toán tử mới
Nˆ

Hệ thức giao hoán giữa toán tử
N□
+  Nˆ , aˆ

Nˆ aˆ
aˆ Nˆ

với các toán tử aˆ và aˆ là:

aˆaˆ  aˆ 1.aˆ  aˆ

Nˆ

+  Nˆ , aˆ

Nˆ aˆ 
aˆ Nˆ


1



(1.10)

aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ
 aˆaˆ aˆ aˆ aˆ  .1 aˆ 

Hay Nˆ aˆ

aˆ 
1
ˆ
N



(1.9)

aˆ aˆ aˆ aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ

Hay: Nˆ aˆ
aˆ



(1.8)



(1.11)


Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử

Nˆ ứng với trị riêng n.

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
Nˆ n


nn

Nˆ như sau:
(1.12)

 n n n n n
n Nˆ n n
Nˆ
n aˆ aˆ n
nn
n

nn
nn
(1.13)


Vì:

n n 







r  2 d r 0

n

 

n aˆ aˆ n 




2
d
r 0
r
aˆ
n




Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử
Nˆ

là các số không âm.

Xét véc tơ trạng thái thu được aˆ n bằng cách tác dụng toán tử
aˆ
véc tơ trạng thái n . Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử

Nˆ công thức (1.10) ta có:
Nˆ aˆ n a 1



ˆ

n

 Nˆ

aˆ  n
1n

aˆ  aˆ
n
Nˆ n

lên

và sử dụng
(1.14)

 n 1 aˆ n

Hệ thức trên có ý nghĩa là:
Véc tơ trạng thái

n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ
aˆ với trị riêng (n - 1).

ứng
Tương tự như vậy
n ; n ... cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
aˆ 2
aˆ 3
tử
Nˆ

ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)…

aˆ  , tác dụng lên véc tơ trạng thái
Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái n

này toán tử Nˆ , sử dụng công thức (1.11) ta có:
Nˆ aˆ n aˆ 1
aˆ  aˆ 
n
 Nˆ
n Nˆ
n
aˆ  n  n 1 aˆ n
 1n

 

(1.15)

Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái aˆ  cũng là véc tơ trạng
n
thái riêng của toán tử

Nˆ

ứng với trị riêng (n + 1).

Tương tự như vậy
aˆ 2

n ;aˆ
3 n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán


tử
Nˆ

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)…
Kết luận 2:

Nˆ ứng với trị riêng
Nếu n là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử n
thì
aˆ p

n cũng là một véc tơ riêng của toán tử
Nˆ

ứng với trị riêng (n – p),

(p = 1,2,3…) và  aˆ

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử
Nˆ

 p n

ứng

với trị riêng (n+p).
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử Nˆ
thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử
Nˆ . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất, thỏa
mãn:
aˆ n
min

Vì nếu
aˆ

n

min

(1.16)



0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị
riêng

(n 1
)
min

trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.16) ta có: aˆ
aˆ n
min

Nˆ n

0

Mặt khác theo định nghĩa
Nˆ

(1.17)

min

n

min

n n
min

(1.18)

min

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
Nˆ
thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của
Nˆ
thỏa mãn điều kiện aˆ

là nmin có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng

được ký hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này

0 .

0 Ta có:
+ aˆ 0 tỉ lệ với véc tơ riêng l của
Nˆ

ứng với trị riêng n = 1.

Thật vậy ta có: Nˆ 1 1 *
1
Mà aˆ  là một véc tơ riêng của toán tử
0
Nˆ
tức là

ứng với trị riêng 0 + 1 = 1,

Nˆ aˆ  0 
1aˆ 

0 .**

Từ (*) và (**) ta thấy:
1 là véc tơ riêng của toán tử
Nˆ

ứng với trị riêng là 1.


aˆ 0 là véc tơ riêng của toán tử
Nˆ

ứng với trị riêng là 1.

Vì vậy aˆ  phải tỉ lệ với véc tơ riêng l của toán tử
Nˆ
riêng n = 1. 0
+ Tương tự

tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử
Nˆ

aˆ
2

0
riêng n = 2, …, aˆ
n
riêng n.
0
Từ
biểu
thức:
ˆ
H

ứng với trị

ứng với trị

tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử
ứng với trị
ˆ
N


1 aˆ aˆ
1 


 ˆ Nˆ 

 N





2
2
2



Hˆ 0 
0 

  0
2
Nˆ
Hˆ 0

. Vì Nˆ
0

0 0 0

 E 0

0
2

Nên: 0 là véc tơ riêng của
Hˆ
1Hˆ là véc tơ riêng của

0

1
ứng với trị riêng E  
2

1  
ứng với trị riêng E  1 
0

1





2

…………………………………………………………..

nHˆ là véc tơ riêng của
 n 1
ứng với trị riêng E 



 2
n

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián

đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thaí kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng .

1
5
E  2 
  


2
  2

3
1
E  1 
 
2




E
1

12


2
E
E

2

2

1


Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0, trạng thái tiếp theo 1 với
năng lượng E 

0

có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử

năng lượng vào trạng thái
tiếp theo 2
ứng với năng

0 . Trạng thái

lượng E 
 2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm
một

E
1

0

lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai

lượng
tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0,
thì
có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy 0
được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là
trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử Nˆ
có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán
tử số năng lượng. Toán tử
aˆ

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với

n
do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử aˆ
1

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n
1

do đó được đoán nhận

là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
lượng là một hạt thì toán tử
Nˆ

sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy
hạt,

aˆ


sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E sẽ là
n

trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng .
Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử
aˆ

tác dụng lên n cho một trạng


thái tỉ lệ với n 1 và toán aˆ khi tác dụng lên ncho một trạng thái
tử
tỉ lệ
với n
1

n

n

n

. Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ ,,  trong các hệ
thức:


aˆ n n 1

n

aˆ n

 n 1
n

n aˆ n 0
n

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:
khi m n
1
m, n 

khi m n
0
m,n

+ Tìm
n:
Nˆ
nn
Chúng ta có n 
nn

n 

n Nˆ
n

n

n ,n

n aˆ aˆ n

Mặt khác n aˆ

*
Do đó: n
 *

Nˆ
nn


n 1
n

n 1 n
 n 1 n 2

  1
1
2
n

n

n

Coi n là thực nên 
n
n

+ Tìm
n: Ta
có n 

n Nˆ
n

n aˆ
aˆ n

n aˆaˆ 1 n

n

Mặt khác: n aˆ
n 1
 *
Do đó: n


n Nˆ
n

n aˆaˆ 1 n

* n
1

n

n

n
1 2 1

1
n

Coi n là số thực nên 2 n
1  
n

n


n 1
+ Tìm n:
Ta có n

a   aˆ  n1 aˆ 0
ˆ n 0
n

n

n 

 aˆ 
n1

n

 aˆ n

1 

0

n

2 aˆ 1
0

 aˆ n2





2
n

0

1


n
n

0

2 ...

1

  aˆ

n

 n2

n

...
n

0

1

3

n  1.2.3...n n 


n

n! n
n

1


n!
n

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:
Nˆ n

n n

aˆ n  n n
1

(1.19)

aˆ n  n 1 n
1

(1.20)

n  1 aˆ
n
! n

0

(1.21)

1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson
Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử
hủy hạt [2]:

aˆ, aˆ 1
aˆ, aˆ aˆ
,aˆ  0

(1.22)

Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
như sau:
aˆ ,aˆ


aˆ , aˆ ,
aˆ aˆ  0




(1.23)

v

(1.24)