Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn Phòng sau Đai hoc; Các thay giáo, cô giáo
trong Khoa Toán cùng toàn the các anh ch% em hoc viên khóa 13 chuyên
ngành Toán giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, đã đ®ng viên
giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình thnc hi¾n
đe tài nghiên cúu khoa hoc. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu
sac tói TS. Nguyen Văn Hùng đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n
tình chí báo giúp đõ em hoàn thành Lu¾n văn này.
Do thòi gian và kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói nhung
han che và còn có thieu sót nhat đ%nh. Em xin chân thành cám ơn đã
nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban
hoc viên.

Hà N®i, tháng 11 năm 2011
Tác giá

Bùi Văn Lương


Lài cam đoan
Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hùng,
Lu¾n văn Thac sy chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài "ÚNG
DUNG SAI PHÂN GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG
TRÌNH ELIPTIC" đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán
thân tác giá, không trùng vói bat cú Lu¾n văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n Lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn!

Hà N®i, tháng 11 năm 2011
Tác giá

Bùi Văn Lương


Mnc lnc
Lài nói đau.................................................................................. 4
Chương 1. Các khái ni¾m cơ bán ve phương trình đao
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.........

6

1.1. Các kí hi¾u và đ%nh nghĩa chung.................................................6
1.1.1. Ve mien trong Rn............................................................................................6
1.1.2. Ve đao hàm.....................................................................................................6
1.1.3. Ve các không gian............................................................................................7
1.1.4. Đ%nh nghĩa phương trình đao hàm riêng................................................................7
1.1.5. Các phương trình đ¾c bi¾t........................................................................................8

1.2. Phân loai phương trình đao hàm riêng.......................................9
1.3. Các bài toán biên cna phương trình Eliptic...........................10
Chương 2. Phương trình sai phân.........................................11
2.1. Các khái ni¾m cơ bán..................................................................12
2.1.1. Đ%nh nghĩa................................................................................................................12
2.1.2. Tính chat cna sai phân...................................................................................14

2.2. Phương trình sai phân tuyen tính...........................................17
2.2.1. Đ%nh nghĩa................................................................................................................17
2.2.2. Nghi¾m......................................................................................................................18
2.2.3. Tuyen tính hóa..............................................................................................23

2.3. Phương trình sai phân tuyen tính cap m®t...............................25
2.3.1. Đ%nh nghĩa................................................................................................................25

3


2.3.2. Nghi¾m......................................................................................................................25
2.3.3. M®t so phương pháp tìm nghi¾m riêng x∗ cna phương trình sai phân tuyen tính
cap m®t không thuan nhat..............................................................................26
2.3.4. Phương trình sai phân tuyen tính cap m®t vói h¾ so bien thiên....................29

2.4. Phương trình sai phân tuyen tính cap hai..............................31
2.4.1. Đ%nh nghĩa..................................................................................................................31
2.4.2. Nghi¾m........................................................................................................................32
2.4.3. Phương trình sai phân tuyen tính cap hai vói h¾ so bien thiên......................35

Chương 3. Giái bài toán biên phương trình Eliptic bang
phương pháp sai phân.............................................................38
3.1. Sai phân hóa bài toán biên cna phương trình Eliptic...................38
3.1.1. Bài toán biên Đirichlê......................................................................................38
3.1.2. Nhung bưóc đi chính trong vi¾c sai phân hóa bài toán biên Đirichlê.............39
3.1.3. Thí du..............................................................................................................44
3.1.4. Bài toán biên Nơman. Sai phân hóa biên ki¾n ∂u/∂n....................................45

3.2. Phương pháp giái h¾ phương trình sai phân cna bài toán biên
phương trình Eliptic..........................................................................48
3.2.1. Vài đieu chú ý..................................................................................................48
3.2.2. Ve vi¾c giái l¾p các h¾ phương trình đai so tuyen tính........................................52
3.2.3. Phép l¾p Iacôbi và phép l¾p Zayđen..............................................................55
3.2.4. Phép giám dư quá han ke tiep (phép l¾p SOR)..............................................57

3.2.5. Phép l¾p luân hưóng (phép l¾p ADI)............................................................60
3.2.6. Các phép l¾p khoi.......................................................................................................64

3.3. Sn h®i tu cna bài toán biên sai phân phương trình Eliptic

66

3.3.1. Đưòng loi chung đe chúng minh sn h®i tu......................................................66
3.3.2. Cách chúng minh cu the..................................................................................67

4


Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
70
n

5


Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71


Lài nói đau
Phương trình đao hàm riêng đưoc nghiên cúu lan đau tiên vào giua
the ký 18 trong các công trình cna nhung nhà toán hoc noi tieng như
Ơle, Đalambe, Lagrăng và Laplaxơ như là m®t công cu quan trong đe
mô tá các mô hình cna v¾t lý và cơ hoc. Nhung bài toán có n®i dung

tương tn van còn đưoc nghiên cúu đen t¾n ngày nay và là m®t trong
các n®i dung cơ bán cna lý thuyet phương trình đao hàm riêng. Chí
đen giua the ký 19 và đ¾c bi¾t là trong các công trình cna Riemann,
phương trình đao hàm riêng mói tró thành công cu manh trong nhung
lĩnh vnc khác cna toán hoc lý thuyet. Phương trình đao hàm riêng
thưòng xuyên xuat hi¾n trong các bài toán úng dung cna lý thuyet
thuý đ®ng hoc, cơ hoc lưong tú, đi¾n hoc, đi¾n – tù trưòng....
Đa so các bài toán này rat phúc tap, không có phương pháp giái
đúng. Nhieu bài toán không có nghi¾m theo nghĩa co đien. Van đe tìm
nghi¾m đúng cna các phương trình đao hàm riêng nhieu khi không the
và cũng không can thnc hi¾n trong moi trưòng hop. Bói v¾y trong nhieu
trưòng hop ta chí tìm đưoc nghi¾m gan đúng cna các phương trình đao
hàm riêng và cũng tù đó xuat hi¾n các phương pháp đe giái gan đúng
các phương trình đó.
Phương pháp sai phân (hay còn goi là phương pháp lưói) là m®t
trong nhung phương pháp đưoc áp dung r®ng rãi trong nhieu lĩnh vnc
khoa hoc, ky thu¾t. N®i dung cna nó là dan đoi tưong can xét ve vi¾c
giái phương trình sai phân. M®t trong nhung úng dung cna phương


pháp này là giái bài toán biên phương trình đao hàm riêng, trong đó có
phương trình Eliptic là m®t trong nhung phương trình đao hàm riêng
quan trong.
Vói mong muon đưoc tìm hieu ky hơn các úng dung cna sai phân,
cùng vói sn giúp đõ và hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Nguyen Văn
Hùng, tôi xin giói thi¾u đe tài:
“ÚNG DUNG SAI PHÂN GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA
PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC” .

Chương 1
Các khái ni¾m cơ bán ve phương
trình đao hàm riêng
1.1. Các kí hi¾u và đ%nh nghĩa chung
1.1.1. Ve mien trong Rn
.
R = x = (x1, x2, ..., xn) | xi ∈ R, i = 1, n .
. n . 21
. 2
Chuan "x"
xi .
n

=

.

i=1

Tích vô hưóng: x.y =

n.

i=1
n

xiy i.

Hình cau mó tâm a ∈ R , bán kính r > 0. Kí hi¾u: Br(a) ho¾c B(a,
r);

B(a, r) = {x ∈ Rn : "x − a" < r}.
Ω ⊂ Rn là m®t mien ⇔ Ω mó và liên thông.
r

Π2
Wn là the tích cna Br(a) trong Rn, Wn
n
.
=
Γ . + 1.
2
1.1.2. Ve đao hàm
Đa chí so: là m®t b® α = (α1, α2, ..., αn) ∈
Nn. Khi đó b¾c cna α là so |α| = α1 + α2 + ·


· · + αn. Đao hàm cap α cna hàm so u = u(x),
x ∈ Rn là:
∂ α|u
D u(x) = α1 |α2
α .
∂x ∂x ...∂x n
α

1

2

n

∂f
Vói hàm so z = f (x, y). Thay cho
, ta viet fx(x, y) ho¾c zx(x,
viet
∂x
y).
∂ 3f
Thay
, ta viet zxxy(x, y),
cho ∂ vài trưòng hop còn kí
viet x hi¾u
2

Dxxy
∂
f (x,
y
y).

1.1.3. Ve các không gian
Giá sú A ⊂ Rn là m®t t¾p
bat kì.
C k(A) là t¾p hop tat cá các
hàm u = u(x), xác đ%nh trên
A và có đao hàm Dαu(x) vói
|α| ≤ k liên tuc trên A0 và có
the thác trien liên tuc trên
toàn b® A.
A0 là t¾p các điem trong A, A

mó thì A0 = A = Ω. Khi đó
C k (Ω) cũng đưoc hieu tương
tn như trên.
Rn+1 = Rn × R các phan tú
x = (xr, t) vói xr ∈ Rn, t ∈
R; xr là bien
không gian, t là bien thòi gian.
Vói A ∈ Rn+1, kí hi¾u
Ck,m(A) t¾p tat cá các hàm
u(x, t) xác đ%nh trên
A α sao
cho u(x, t) và
β
D D u(x, t) liên tuc trên A0
và có the thác trien


x

t

liên tuc trên A vói moi α ≤ k, 0 ≤
β ≤ n.
∂Ω là t¾p các điem biên cna Ω.
1.1.4. Đ%nh nghĩa phương trình
đao hàm riêng
Đ%nh nghĩa: Phương trình liên h¾
giua các hàm an u1, u2, ..., un; các
bien và các đao hàm riêng cna chúng
đưoc goi là phương trình đao hàm

riêng.
M®t phương trình đao hàm riêng
chúa ít nhat m®t đao hàm cap m và
không chúa đao hàm cap cao hơn m
đưoc goi là phương trình đao hàm


riêng cap m.
Phương trình đao hàm riêng đưoc goi là tuyen tính neu nó tuyen tính
đoi vói tat cá các hàm an và các đao hàm riêng cna chúng. Cũng vì v¾y
mà phương trình đao hàm riêng tuyen tính chí chúa các đao hàm hàm
an b¾c m®t.
Phương trình đao hàm riêng goi là tna tuyen tính neu nó tuyen tính
vói các đao hàm cap cao nhat.
Thí dn: Xét hàm 2 bien u = u(x, y).
Phương trình: x2uxx + uyy + u2 = 1 là phương trình đao hàm
riêng tna tuyen tính.
2
Phương trình: ∂ u
∂x2
+

∂ 2u
∂x∂y

∂
u + y2u = x2 − y2 là phương
−
trình

∂x
đao hàm riêng cap 2 và nó tuyen tính.
Phương trình tuyen sóng: utt − ∆u = f (x, t) là tuyen tính
vói
u = u(x, t).
Nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng là m®t h¾ bat kì các hàm sao
cho khi thay vào các hàm an, phương trình bien thành đong nhat thúc.
Thí dn: M®t nghi¾m cna phương
trình
cos(ax + y) + e−ax+y.

2

∂ 2 a2∂ u= 0 là hàm u(x, y)
u −=
∂y 2
∂x
2

1.1.5. Các phương trình đ¾c bi¾t
Toán tú Laplace:

∂ 2u
∆ = ∆u
+
2
= ∂2
∂x
+
1

2
∂x
1


∂ 2u
∂2
∂x2

∂x2

+
+ · · · · · ∂2
· +2 2
+
2 ∂x

∂ 2u
∂x2n
n


Phương trình Poison: ∆u = f (x). Khi f (x) = 0 trên Ω ta có
phương trình Laplace.
Phương trình truyen nhi¾t: ut − ∆u = f (x, t); (x, t) ∈ QT , ó đây
u=
u(x, t).
Phương trình tuyen sóng: utt − ∆u = f (x, t).

1.2. Phân loai phương trình đao hàm riêng

Xét phương trình tuyen tính cap 2
∂2 +
Lu :=
u 2B
A
∂x
2

∂2 u

∂u
∂u
∂x∂y + C 2 + a +
∂y
∂x
b
∂y
∂ 2u

+ c.u = f (x, y).
(1.1)

Neu các h¾ so A, B, C không phu thu®c vào x, y thì ta có bi¾t thúc:
.
.
.
..
.
.
− B2.

.=
. A
D = . B C AC
.
B
.
Ta nói phương trình (1.1) thu®c loai Eliptic neu D > 0, thu®c loai
Parabol neu D = 0, thu®c loai Hypebol neu D < 0.
Đe ý rang phương trình không thay đoi sau moi phép bien đoi không
suy bien ξ = ϕ (x, y); ν = ψ (x, y), túc là
...∂ϕ ∂ϕ = 0;
∈ G,
.
(x,
.
y)
∀
. ∂x
∂y .
.
. ∂ψ
.
.
∂x

∂ψ .
∂y ..

ƒ

trong đó G là m®t mien thay đoi cna (x, y) trong phương trình (1.1).
∂ 2u
∂x2
a, Phương trình Laplace: +
Thí dn:

∂2
u
∂y
2

phương trình thu®c loai Eliptic.

= 0 có D = A.C = 1 > 0
nên


∂u
b, Phương trình:

∂y
−

∂ 2 = 0 thu®c loai Parabol.
u
Các dang pho bien:
∂x
1, Phương trình
2

Laplace (Eliptic): ∆u
=

∂2 ∂
u 2 = 0.
∂x u
2

+ ∂
y
2

∂u

2, Phương trình
truyen nhi¾t:

∂t

=a
t).

2

u

2

u
; u = u (x,

∂x2

∂
2
; u = u (x, t).
u

∂

3, Phương
trình dây
cung:

∂
2

=

∂ a
t ∂
2 2
x

1.3. Các bài toán biên cúa
phương trình Eliptic
Xét
phương ∂
2
trình:

u

∂2u
∂u

+ gu = f,
(1.2)

∂y
L
u∂ + b
+
∂y 2
:x
2 c
+d
= ∂x
∂y
a
trong đó a, b, c, d, g, f là các hàm cna
(x, y) và moi (x, y) ∈ G, D :=
a.b > 0 đe (1.2) là phương trình Eliptic.


Ngưòi ta phân
bi¾t ba loai bài
toán biên




1) Bài toán

Đirichlê:  3) B
L(u) = f,
à
i
(x, y) ∈ G
t

o
Γá
n
ϕ,
(h
yo
n
∈

h
L(u) = o
2) B
f, (x, y) p
à ∈G
:
∂u
.
i
t
o


(

L
(
u
)
=
f
,
(
x
,
y
)
∈
G
∂
.
|

á

Γ

n

=

N

ϕ
,

ơ
m
a
n
:


(
x
,
y
)
∈

Γ
.


Chương 2
Phương trình sai phân
Phương pháp sai phân là phương pháp đưoc áp dung r®ng rãi trong
nhieu lĩnh vnc khoa hoc, kĩ thu¾t. N®i dung cna nó là đưa bài toán can
xét ve vi¾c giái phương trình sai phân ho¾c h¾ phương trình sai phân
(túc là h¾ thúc ho¾c các h¾ thúc liên h¾ các giá tr% cna các hàm so tai
các điem khác nhau như nhung hàm so cna đoi so nguyên).
Thí du, đe tìm nghi¾m cna phương trình đai so ho¾c siêu vi¾t

f (x) = 0
trên (a, b), trên đó f r(x) và f

rr

(x) không đoi dau và f (a)f (b) <

0 , ta có the dùng phương pháp Niutơn theo công thúc

f (xn)

xn+1 =
xn − r n
f (x
)


(2.1)

(2.2)

x0 = c, vói f (c)f rr (c) > 0, c ∈ [a, b] .

Có nghĩa là ta thay phương trình (2.1) bang phương trình sai phân
(2.2) (goi là sai phân hóa), đe tính nghi¾m gan đúng xn cna (2.1) theo
công thúc truy hoi (2.2).
Ta cũng có the viet (2.1) dưói dang:
x = ϕ(x)

(2.3)

sao cho |ϕr(x)| ≤ q ≤ 1, ∀x ∈ (a, b) và tìm nghi¾m cna (2.3) (cũng có


nghĩa là nghi¾m cna (2.1)) bang phương pháp l¾p đơn theo công thúc:

x
ϕ (xn)
n+1 =
(2.4)
 x
= c, c ∈ (a,
0
b),
túc là ta đã thay (2.1) bang phương trình sai phân (2.4).
Đe minh hoa, ta lay ví du đơn gián là tìm nghi¾m cna phương trình
x2 + x − 1 = 0 trên (0, 1).

2.1. Các khái ni¾m cơ bán
Xét dãy so {xn}; dang khai trien cna nó là: {x0, x1, ..., xn, ...}.
Thí du, dãy so tn nhiên kí hi¾u là N có dang: {n} = {0, 1, 2, ..., n,
...}; dãy so nguyên dương Z+ có dang: {n} = {1, 2, ..., n, ...}; dãy
so đieu
.
.
hòa .
1, 1, ... 1, ... .
.1
,
=

n
2
n
Có the xem dãy so là m®t hàm cna đoi so nguyên n. Kí hi¾u x(n) =
xn.
2.1.1. Đ%nh nghĩa
Đ%nh nghĩa 2.1. Ta goi sai phân huu han cap 1 cna hàm so x(n) =
xn vói n ∈ Z: {n} = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...} (ho¾c n ∈ Z+ ho¾c n
∈ N) là hi¾u:
∆xn = xn+1 − xn.
Thí dn: Hàm xn cho dưói dang báng
n

0 1 2 3 4

x(n) 1 3 4 7 6


có sai phân huu han cap 1 là:
∆x0 = x1 − x0 = 3 − 1 = 2; ∆x1 = x2 − x1 = 4 − 3 = 1;
∆x2 = x3 − x2 = 7 − 4 = 3; ∆x3 = x4 − x3 = 6 − 7 = −1.
Tù đây ve sau, neu không có gì nham lan vói tí sai phân, ta goi tat
sai phân huu han là sai phân và cũng goi sai phân cap 1 là sai phân.
Đ%nh nghĩa 2.2. Ta goi sai phân cap 2 cna hàm so xn là sai phân cna
sai phân cap 1, và nói chung sai phân cap k cna hàm so xn là sai phân
cna sai phân cap k − 1 cna hàm so đó.
Như v¾y, sai phân cap 2 cna hàm so xn là:
∆2xn = ∆ (∆xn) = ∆xn+1 − ∆xn
= xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn)
= xn+2 − 2xn+1 + xn.

Sai phân cap 3 cna hàm xn là:
.
.
∆3xn = ∆ ∆2xn = ∆2xn+1 − ∆2xn
= xn+3 − 2xn+2 + xn+1 − (xn+2 − 2xn+1 + xn)
= xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn.
Nói chung sai phân cap k cna hàm xn là:
.
.
∆kxn = ∆ ∆k−1xn = ∆k−1xn+1 − ∆k−1xn
k.

= (−1)iCk i
xn+k
i=0

−i,

(2.5)


trong đó

C ik

k!
=
.
i!(k − i)!
Thí dn: Xét hàm xn trong đ%nh nghĩa 2.1, ta có:

∆2x0 = x2 − 2x1 + x0 = 4 − 2.3 + 1 = −1;
∆2x1 = x3 − 2x2 + x1 = 7 − 2.4 + 3 = 2;
∆2x2 = x4 − 2x3 + x2 = 6 − 2.7 + 4 = −4;
∆3x0 = x3 − 3x2 + 3x1 − x0 = 7 − 3.4 + 3.3
− 1 = 3;
∆3x1 = x4 − 3x3 + 3x2 − x1 = 6 − 3.7 + 3.4
− 3 = −6;
∆4x0 = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x1 + x0 = 6 − 4.7
+ 6.4 − 4.3 + 1 = −9.
Tù công thúc (2.5) suy ra m®t so tính chat cna sai phân
sau đây:
2.1.2. Tính chat cúa sai phân
Tính chat 1. Sai phân các cap đeu có the bieu dien
qua các giá tr% cna hàm so.
Tính chat 2. Sai phân moi cap cna hàm so là m®t toán
tú tuyen tính.
Tính chat 3. Sai phân cap k cna đa thúc b¾c m là
1. Đa thúc b¾c m − k, neu k < m;
2. Hang so, neu k = m;
3. Bang 0 khi k > m.
Tính chat 4.
N

.

∆kxn = ∆k−1xN +1 − ∆k−1xa, vói

k ∈ Z+ .

n
=
a


ChNng minh.
N
.

N
k

∆ xn =

n=a

.

.
.
∆ ∆k−1xn

n=a

= ∆k−1xa+1 − ∆k−1xa + ∆k−1xa+2 −
∆k−1xa+1
+ · · · + ∆k−1xN +1 − ∆k−1xN
= ∆k−1xN +1 − ∆k−1xa.

Đ¾c bi¾t lưu ý vói trưòng hop k = 1, ta có:

N

.

∆xn = xN +1 − xa.

n=a

Ví dn 2.1. Tính các tong
S = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n!
k= kk!;
1
.n
=
.
.
.
.
.
S1 = 12 + 1 + 1 ! + 22 + 2 + 1 2! + · · · + n2
.
+ n + 1 n!
n
.
. 2
.
=
k + k + 1 k!.
k=
1

Lòi giái. Ta có k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k!
V¾y S
=
Vì

n
.

k.k!

∆k! = (n + 1)! − 1.

k=1

=
k=1

n
.

.

.
.
.
k2 + k + 1 k! = k2 + 2k + 1 − k k!
= (k + 1)2k! − kk!
= (k + 1)(k + 1)! − kk!

= ∆(kk!)
nên S1
=

n
.

2

(k +k +

1)k! =
k=1

n
.

∆(kk)! = (n + 1)(n + 1)!

− 1.
k=1