TÀI LIỆU ÔN THI TOÁN LỚP 12

Phương pháp giải toán giải tích 12

CHƯƠNG II
CHƯƠNG
ỨNG DỤNG
DỤNG ĐẠO
ĐẠO HÀM
HÀM ĐỂ
ĐỂ KHẢO
KHẢO SÁT
SÁT
ỨNG
VÀ VẼ
VẼ ĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ CỦA
CỦA HÀM
HÀM SỐ
SỐ
VÀ

TÍNH ĐƠN
ĐƠN ĐIỆU
ĐIỆU CỦA
CỦAHÀM
HÀM SỐ
SỐ
I.I. TÍNH
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f′ (x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y′ . Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
x2
5
+ x−
4
4

a) y = − 2x2 + 4x + 5

b) y =

d) y = x3 − 2x2 + x − 2

e) y = (4 − x)(x − 1)2

f) y = x3 − 3x2 + 4x − 1

1 4
x − 2x2 − 1
4
2x − 1
k) y =
x+ 5

h) y = − x4 − 2x2 + 3

i) y =

g) y =

l) y =

x−1
2− x

1
2x2 + x + 26
o) y = − x + 3−
1− x
x+ 2
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
n) y =

a) y = −6x4 + 8x3 − 3x2 − 1

d) y =

2x − 1
x2

b) y =
e) y =

x2 − 1
x2 − 4
x

x2 − 3x + 2
Trang 1
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

c) y = x2 − 4x + 3

1 4 1 2
x + x −2
10
10
1
m) y = 1−
1− x
p) y =

c) y =

4x2 − 15x + 9

3x
x2 − x + 1
x2 + x + 1

f) y = x + 3+ 2 2 − x


Phương pháp giải toán giải tích 12

h) y = x 2 − x2

g) y = 2x − 1 − 3− x
 π
π
< x< ÷
 2
2

k) y = sin2x  −

i) y = 2x − x2

 π
π
l) y = sin2x − x  − < x < ÷
 2
2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y = f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y' = ax2 + bx + c thì:
 a = b = 0
 c ≥ 0
• y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔  
 a > 0
 ∆ ≤ 0

 a = b = 0
 c ≤ 0
• y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔  
 a < 0
 ∆ ≤ 0

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
b
)
2a
• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = −

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0:
∆ > 0

• x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
S < 0

∆ > 0

• 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
S > 0

• x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
• Tính y′ .
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a ≠ 0
∆ > 0


(1)

• Biến đổi x1 − x2 = d thành (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2

(2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác
định) của nó:
a) y = x3 + 5x + 13

b) y =

x3
− 3x2 + 9x + 1
3

Trang 2
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

c) y =

2x − 1
x+ 2


Phương pháp giải toán giải tích 12

x2 + 2x − 3
x2 − 2mx − 1
e) y = 3x − sin(3x + 1)
f) y =
x+1
x− m
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác
định) của nó:
a) y = −5x + cot(x − 1)

b) y = cos x − x
c) y = sin x − cos x − 2 2x
d) y =

Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của
nó:
a) y = x3 − 3mx2 + (m+ 2)x − m b) y =
mx + 4
x+ m
Tìm m để hàm số:
d) y =

e) y =

x3 mx2
−
− 2x + 1
3
2

c) y =

x+ m
x− m

x2 − 2mx − 1
x− m

f) y =

x2 − 2mx + 3m2
x − 2m

a) y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
1 3 1 2
x − mx + 2mx − 3m+ 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2
1
c) y = − x3 + (m− 1)x2 + (m+ 3)x − 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Tìm m để hàm số:
b) y =

a) y =

x3
+ (m+ 1)x2 − (m+ 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).
3

b) y = x3 − 3(2m+ 1)x2 + (12m+ 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
mx + 4
(m≠ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
x+ m
x+ m
d) y =
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
x− m
c) y =

e) y =

x2 − 2mx + 3m2
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
x − 2m

f) y =

−2x2 − 3x + m
nghịch biến trên khoảng
2x + 1

 1

 − ; +∞ ÷.
 2


VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác định do đề bài chỉ định.
• Xét dấu f′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 3
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

x3
< sin x < x, vôù
i x> 0
6
π
c) x < tan x, vôù
i 0< x <
2
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
tana a
π
a)
< , vôù
i 0< a< b<
tanb b
2
a) x −

b)

2
1
π
sin x + tan x > x, vôù

i 0< x <
3
3
2

d) sin x + tan x > 2x, vôù
i 0< x <

π
2

b) a − sina < b − sinb, vôù
i 0< a < b<

c) a − tana < b − tanb, vôù
i 0< a< b<

π
2

π
2

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x >

2x
π
, vôù
i 0< x<

π
2

c) xsin x + cos x > 1, vôù
i 0< x <

b) x −

x3
x3 x5
< sin x < x − +
, vôù
i x> 0
6
6 120

π
2

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ex > 1+ x, vôù
i x> 0

i x> 0
b) ln(1+ x) < x, vôù

(

)

1
d) 1+ x ln x + 1+ x2 ≥ 1+ x2
, vôù
i x> 0
1+ x
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
7
a) tan550 > 1,4
b) < sin200 <
c) log2 3 > log3 4
3
20
1+ x
HD: a) tan550 = tan(450 + 100) . Xét hàm số f (x) =
.
1− x
c) ln(1+ x) − ln x >

b) Xét hàm số f (x) = 3x − 4x3 .
 1 1
1
7
f(x) đồng biến trong khoảng  − ; ÷ và ,sin200, ∈
 2 2
3
20

 1 1
 − ; ÷.

 2 2

c) Xét hàm số f (x) = logx(x + 1) với x > 1.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
• Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
• Xét các hàm số y = f(x) (C 1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C 1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có
hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Giải các phương trình sau:
a)

x + x− 5 = 5

b) x5 + x3 − 1− 3x + 4 = 0

c)

x + x − 5 + x + 7 + x + 16 = 14

d)

x2 + 15 = 3x − 2 + x2 + 8

Giải các phương trình sau:
a)

5

x + 1+ 5 x + 2 + 5 x + 3 = 0

Trang 4
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

b) ln(x − 4) = 5− x


Phương pháp giải toán giải tích 12

c) 3x + 4x = 5x
Giải các bất phương trình sau:
a)

x + 1+ 3 5x − 7 + 4 7x − 5 + 5 13x − 7 < 8

d) 2x + 3x + 5x = 38
b) 2x + x + x + 7 + 2 x2 + 7x < 35

Giải các hệ phương trình sau:
2x + 1= y3 + y2 + y

a) 2y + 1= z3 + z2 + z
2z + 1= x3 + x2 + x


 x = y3 + y2 + y − 2

b)  y = z3 + z2 + z− 2
 z = x3 + x2 + x − 2



 y3 = 6x2 − 12x + 8

c)  z3 = 6y2 − 12y + 8
 x3 = 6z2 − 12z + 8


 tan x − tan y = y − x

5π
2x + 3y =
d) 
4
 π
π
 − < x, y <
 2
2

sin x − sin y = 3x − 3y

π
e)  x + y =
5

x
,
y
>

0


sin2x − 2y = sin2y − 2x
2x + 3y = π
f) 
 0 < x, y < π

2

 cot x − cot y = x − y

g) 5x + 7y = 2π
 0 < x, y < π

h)

HD: a, b) Xét hàm số f (t) = t3 + t2 + t

c) Xét hàm số f (t) = 6t2 − 12t + 8

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

II. CỰC
CỰC TRỊ
TRỊ CỦA
CỦAHÀM
HÀM SỐ
SỐ
II.

I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x0 ∈ D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên
Trang 5
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

(a; b)\{x0}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f′ (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
• Tìm f′ (x).
• Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• Xét dấu f′ (x). Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
• Tính f′ (x).
• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
• Tính f′′ (x) và f′′ (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f′′ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f′′ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3x2 − 2x3
x4
− x2 + 3
2
− x2 + 3x + 6
g) y =
x+ 2
Tìm cực trị của các hàm số sau:
d) y =

b) y = x3 − 2x2 + 2x − 1
e) y = x4 − 4x2 + 5
h) y =

3x2 + 4x + 5
x+1
4x2 + 2x − 1

a) y = (x − 2)3(x + 1)4

b) y =

d) y = x x2 − 4

e) y = x2 − 2x + 5

2x2 + x − 3

1
c) y = − x3 + 4x2 − 15x
3
x4
3
f) y = −
+ x2 +
2
2
2
x − 2x − 15
i) y =
x− 3
c) y =

3x2 + 4x + 4
x2 + x + 1

f) y = x + 2x − x2

Tìm cực trị của các hàm số sau:

3 2

x
2x + 1

a) y = 3 x2 + 1

b) y =

d) y = x2 − 5x + 5+ 2ln x

e) y = x − 4sin2 x

c) y = ex + 4e− x
f) y = x − ln(1+ x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
Trang 6
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

• Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y(x0) = ax03 + bx02 + cx0 + d

+ y(x0) = Ax0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′ .
2
P (x)
• Hàm số y = ax + bx + c =
(aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai
Q(x)
a' x + b'
b'
nghiệm phân biệt khác − .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
P (x0)
P '(x0)
y(x0) =
hoặc y(x0) =
Q(x0)
Q '(x0)
• Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
• Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a) y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3
x2 + m(m2 − 1)x − m4 + 1
x− m
Tìm m để hàm số:
c) y =

b) y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + 1

d) y =

x2 + mx − m+ 2
x − m+ 1

a) y = (m+ 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
b) y = x3 − 3(m− 1)x2 + (2m2 − 3m+ 2)x − m(m− 1) có cực đại, cực tiểu.
c) y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
1
d) y = −mx4 + 2(m− 2)x2 + m− 5 có một cực đại x = .
2
2
x − 2mx + 2
e) y =
đạt cực tiểu khi x = 2.
x− m
x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− 2
f) y =
có cực đại, cực tiểu.
x−1
x2 − x + m
g) y =
có một giá trị cực đại bằng 0.
x−1
Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a) y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m+ 4
− x2 + mx + 5
x− 3
Tìm a, b, c, d để hàm số:
c) y =

b) y = mx3 + 3mx2 − (m− 1)x − 1
d) y =

x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− 2
x−1

a) y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
Trang 7
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

4
1
tại x =
27
3


Phương pháp giải toán giải tích 12

b) y = ax4 + bx2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =

3.

x2 + bx + c
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
x−1
ax2 + bx + ab
d) y =
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

bx + a
ax2 + 2x + b
e) y =
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
x2 + 1
Tìm m để hàm số :
c) y =

a) y = x3 + 2(m− 1)x2 + (m2 − 4m+ 1)x − 2(m2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 1 1
+
= (x + x ) .
x1 x2 2 1 2
1 3
x − mx2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1 − x2 ≥ 8 .
3
1
1
c) y = mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x +
đạt cực trị tại hai điểm x 1, x2 sao cho:
3
3
x1 + 2x2 = 1.
b) y =

Tìm m để hàm số :
x2 + mx − m+ 2
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
x − m+ 1
x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− 2

b) y =
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực
x−1
tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
− x2 + 3x + m
c) y =
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M − m = 4 .
x− 4
2x2 + 3x + m− 2
d) y =
có yCÑ − yCT < 12 .
x+ 2
Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y =

900m2
.
729
b) y = x4 − mx2 + 4x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
x2 + mx + m− 2
c) y =
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
x− m
hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
x2 + mx
d) y =
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
1− x
− x2 + 2mx + 5

e) y =
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
x−1
thẳng y = 2x.
x2 + 2x + m+ 3
f) y =
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
x− m
Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y = − x3 + mx2 − 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB2 =

Trang 8
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

a) y = 2x3 + mx2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b) y = x3 − 3mx2 + 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c) y = x3 − 3mx2 + 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng
(d): 3x − 2y + 8 = 0 .
x2 + (2m+ 1)x + m2 + 1
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng
x+ 1
(d): 2x − 3y − 1= 0 .
Tìm m để đồ thị hàm số :
d) y =

x2 − (m+ 1)x + 2m− 1

có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
x− m
phẳng toạ độ.
2mx2 + (4m2 + 1)x + 32m2 + 2m
b) y =
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
x + 2m
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
a) y =

mx2 − (m2 + 1)x + 4m2 + m
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và
x− m
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
x2 + (2m+ 1)x + m2 + 1
d) y =
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
x+ 1
c) y =

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d .
• Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B.
• Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
 y1 = f (x1) = Ax1 + B
 y = f (x ) = Ax + B
 2
2
2

⇒ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

P (x) ax2 + bx + c
2) Hàm số phân thức y = f (x) =
.
=
Q(x)
dx + e
P '(x0)
• Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 =
.
Q '(x0)
• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
P '(x) 2ax + b
=
trị ấy là: y =
.
Q '(x)
d
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a) y = x3 − 2x2 − x + 1

b) y = 3x2 − 2x3

c) y = x3 − 3x2 − 6x + 8

2x2 − x + 1
x2 − x − 1
e y=
x+ 3

x− 2
Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số:
d) y =

Trang 9
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

a) y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3

x2 + mx − 6
x− m
2
x + mx − m+ 2
d) y =
x − m+ 1
b) y =

c) y = x3 − 3(m− 1)x2 + (2m2 − 3m+ 2)x − m(m− 1)
Tìm m để hàm số:

a) y = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6(m− 2)x − 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b) y = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6m(1− 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c) y = x3 + mx2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.

d) y = x3 − 3x2 + m2x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (∆): y =

1
5
x− .
2
2

III. GIÁ
GIÁ TRỊ
TRỊ LỚN
LỚN NHẤT
NHẤT
III.
VÀ GIÁ
GIÁ TRỊ
TRỊ NHỎ
NHỎ NHẤT
NHẤT CỦA
CỦAHÀM
HÀM SỐ
SỐ
VÀ

1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).
 f (x) ≤ M ,∀x∈ D
a) M = max f (x) ⇔ 
D

∃x0 ∈ D : f (x0) = M
 f (x) ≥ m,∀x∈ D
b) m= min f (x) ⇔ 
D
∃x0 ∈ D : f (x0) = m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f (x) = f (b), min f (x) = f (a) .
[a;b]

[a;b]

f (x) = f (a), min f (x) = f (b) .
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max
[a;b]
[a;b]
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
• Tính f′ (x).
• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
• Tính f′ (x).
• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
• Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
• So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]

m= min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]

Trang 10
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y = x2 + 4x + 3
b) y = 4x3 − 3x4
d) y = x2 + x − 2

e) y =

c) y = x4 + 2x2 − 2
x−1

x2 − 2x + 2

f) y =

2x2 + 4x + 5
x2 + 1
x4 + x2 + 1

1
x2 − x + 1
h) y =
i) y =
(x > 0)

x
x2 + x + 1
x3 + x
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 trên [–1; 5]
b) y = 3x − x3 trên [–2; 3]
g) y = x2 +

c) y = x4 − 2x2 + 3 trên [–3; 2]
e) y =

3x − 1
trên [0; 2]
x− 3

g) y =

4x2 + 7x + 7
trên [0; 2]
x+ 2

d) y = x4 − 2x2 + 5 trên [–2; 2]
x−1
trên [0; 4]
x+ 1
1− x + x2
h) y =
trên [0; 1]
1+ x − x2
k) y = 2 + x + 4− x

f) y =

i) y = 100 − x2 trên [–6; 8]
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1
2sin x − 1
a) y =
b) y =
2
sin x + 2
cos x + cos x + 1
d) y = cos2x − 2sin x − 1

(x > 0)

e) y = sin3 x + cos3 x

g) y = 4 x2 − 2x + 5 + x2 − 2x + 3

c) y = 2sin2 x − cos x + 1
f) y =

x2 − 1
x4 − x2 + 1

h) y = − x2 + 4x + x2 − 4x + 3

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
• Chứng minh một bất đẳng thức.

• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Giả sử D = { (x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x
y
z
+
+
.
x + 1 y + 1 z+ 1
 1
1
1 
+
+
HD: P = 3− 
÷
 x + 1 y + 1 z + 1
P=

 1
1
1 
+
+
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ (x + 1) + (y + 1) + (z = 1)] 
÷≥ 9
 x + 1 y + 1 z + 1
3
1

3
⇒ P ≤ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = . Vậy min P = .
D
4
3
4

5
Cho D = (x; y)/ x > 0, y > 0, x + y =  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4
4 1
S= +
.
x 4y

Trang 11
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

1 1 1 1 1 
4 1 
HD: ( x + x + x + x + 4y)  + + + + ÷ ≥ 25 ⇔ 4(x + y) + ÷ ≥ 25
 x x x x 4y 
 x 4y 
1
⇒ S ≥ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1, y = . Vậy minS = 5.
4

Cho D = { (x; y)/ x > 0, y > 0, x + y < 1} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2
y2
1
.
P=
+
+ x+ y+
1− x 1− y
x+ y
1
1
1
x2
y2
1
+
+
− 2.
+ (1+ y) +
+
−2 =
1− x 1− y x + y
1− x
1− y x + y
 1
1
1 
+
+

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ (1− x) + (1− y) + (x + y)] 
÷≥ 9
 1− x 1− y x + y 
HD: P = (1+ x) +

1
1
1
9
+
+
≥
1− x 1− y x + y 2
5
1
5
⇒ P ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = . Vậy minP = .
2
3
2
Cho D = { (x; y)/ x > 0, y > 0, x + y ≥ 4} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

⇔

P=
HD: P =

3x2 + 4 2 + y2
+
.

4x
y2

x 1  1 y y x+ y
+ + 2 + + ÷+
4 x  y2 8 8 
2

Theo bất đẳng thức Cô–si:
1
y2

⇒P ≥

+

x 1
x 1
+ ≥ 2 . =1
4 x
4 x

y y
1 y y 3
+ ≥ 33 . . =
8 8
y2 8 8 4

(1)
(2)

(3)

9
9
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 2. Vậy minP = .
2
2

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
 f (x) = y0
(1)

(2)
 x∈ D
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng:
m ≤ y0 ≤ M (3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f (x) = m; max f (x) = M
D

D

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
x2 + x + 1
2x2 + 7x + 23
a) y =
b) y =

x2 − x + 1
x2 + 2x + 10
2sin x + cos x + 3
d) y =
2cos x − sin x + 4
Trang 12
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

c) y =

2sin x + cos x + 1
sin x − 2cos x + 3


Phương pháp giải toán giải tích 12

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
f (x) = m; max f (x) = M . Khi đó:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min
D
D
 f (x) = α
1) Hệ phương trình 
có nghiệm ⇔ m ≤ α ≤ M.
 x∈ D
 f (x) ≥ α
2) Hệ bất phương trình 
có nghiệm ⇔ M ≥ α.
 x∈ D
 f (x) ≤ β

3) Hệ bất phương trình 
có nghiệm ⇔ m ≤ β.
 x∈ D
4) Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.
5) Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.
Giải các phương trình sau:
a)

4

x − 2 + 4 4− x = 2

c) x5 + (1− x)5 =

b) 3x + 5x = 6x + 2

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) x + 2x2 + 1 = m

b)

1
16

2 − x + 2+ x − (2 − x)(2 + x) = m

c) 3+ x + 6− x − (3+ x)(6− x) = m
d) 7− x + 2 + x − (7− x)(2+ x) = m
Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:
a) x + 2x2 + 1 > m

b) m 2x2 + 9 < x + m

c)

mx4 − 4x + m≥ 0
Cho bất phương trình: x3 − 2x2 + x − 1+ m< 0 .
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Tìm m để các bất phương trình sau:
a) mx − x − 3 ≤ m+ 1 có nghiệm.
b) (m+ 2)x − m ≥ x + 1 có nghiệm x ∈ [0; 2].
c) m(x2 − x + 1) ≤ x2 + x + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1].

Trang 13
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

IV. ĐIỂM
ĐIỂM UỐN
UỐN CỦA
CỦAĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ
IV.
1. Định nghĩa:
Điểm U ( x0; f (x0)) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)
chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại

điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
2. Tính chất:
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x 0, f′′ (x0) = 0 và
f′′ (x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U ( x0; f (x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Đồ thị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) luôn có một điểm uốn và đó là
tâm đối xứng của đồ thị.
Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
a) y = x3 − 6x2 + 3x + 2
b) y = x3 − 3x2 − 9x + 9

c) y = x4 − 6x2 + 3

x4
e) y = x4 − 12x3 + 48x2 + 10 f) y = 3x5 − 5x4 + 3x − 2
− 2x2 + 3
4
Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
x3
8
a) y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m+ 4 ; I(1; 2). b) y = − + (m− 1)x2 + (m+ 3)x − ; I(1; 3)
3
3
2

c) y = mx3 + nx2 + 1; I(1; 4)
d) y = x3 − mx2 + nx − 2; I  ; −3÷
3

d) y =

x3
f) y = mx3 + 3mx2 + 4 ; I(–1; 2)
+ 3mx2 − 2 ; I(1; 0)
m
Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
x2 + mx − 1
x5 4 4
a) y =
− x + (4m+ 3)x3 + 5x − 1 b) y =
5 3
x2 + 1
Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
2x + 1
x+ 1
2x2 − 3x
a) y = 2
b) y = 2
c) y =
x + x+ 1
x +1
x2 + 1
2x + 1
x
x2 + 2x + 5
d) y = 2
e) y = 2
f) y =
x +1
x +1
x2 − x + 1

2x2 − 3x
x2 + 3x
x3
g) y =
h) y =
i) y =
x2 − 3x + 3
x2 + 1
x2 − 4x + 5
Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:
e) y = −

Trang 14
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

a) y = x4 − 2x3 − 6x2 + mx + 2m− 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
x3 2
2
− x + mx + có điểm uốn ở trên đường thẳng y = x + 2 .
3
3
1
c) y = − x4 + mx2 + n có điểm uốn ở trên Ox.
4
b) y = −

V. ĐƯỜNG

ĐƯỜNGTIỆM
TIỆM CẬN
CẬN CỦA
CỦAĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ
V.
1. Định nghĩa:
• Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim+ f (x) = +∞ ;
lim+ f (x) = −∞ ;
lim− f (x) = +∞ ;
lim− f (x) = −∞
x→ x0

x→ x0

x→ x0

x→ x0

• Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f (x) = y0 ;
lim f (x) = y0
x→+∞

x→−∞

• Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x)
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim [ f (x) − (ax + b)] = 0;
lim [ f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞

x→−∞

2. Chú ý:
a) Nếu y = f (x) =

P (x)
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q(x)

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 .
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:
f (x)
a = lim
;
b = lim [ f (x) − ax]
x→+∞ x
x→+∞
f (x)
hoặc
a = lim
;

b = lim [ f (x) − ax]
x→−∞ x
x→−∞
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2x − 5
10x + 3
a) y =
b) y =
x−1
1− 2x
2
x − 4x + 3
(x − 2)2
d) y =
e) y =
x+1
1− x
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
x
2+ x
a) y = 2
b) y =
x − 4x + 5
9− x2
d) y =

2x2 + 3x + 3

x3 + x + 1

e) y =
x2 + x + 1
x2 + 1
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
Trang 15
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

2x + 3
2− x
7x2 + 4x + 5
f) y =
2 − 3x
c) y =

c) y =
f) y =

x2 + 4x + 5
x2 − 1
x4 − x + 4
x3 − 1


Phương pháp giải toán giải tích 12

a) y = x2 − 4x

b) y =

4x + 2

x2 − 9

c) y =

1
x2 − 4x + 3

2
x−1
e) y = 3 3x2 − x3
f) y = x − 3x + 2
x+ 1
x− 2
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2x + 1
ex − e− x
a) y =
b) y = ln
c) y = ln(x2 − 5x + 6)
x
2
2 −1
Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
3
2 + x2
x+ 3
y
=
a) y = 2
b)

c) y = 2
2
2
4x + 2(2m+ 3)x + m − 1
x + x + m− 2
3x + 2(m+ 1)x + 4
x− 3
x−1
3
y=
y
=
d) y = 2
e)
f)
x + 2(m+ 2)x + m2 + 1
x2 + 2(m− 1)x + m2 − 2
2x2 + 2mx + m− 1
Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
x2 + (3m+ 2)x + 2m− 1
mx2 + (2m+ 1)x + m+ 3
a) y =
b) y =
x+ 5
x+ 2
Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục
toạ độ:
3x2 + x + 1
−3x2 + x − 4
x2 + x − 7

a) y =
b) y =
c) y =
x−1
x+ 2
x− 3
Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện
tích S đã chỉ ra:
x2 + mx − 1
x2 + (2m− 1)x − 2m+ 3
a) y =
;S=8
b) y =
;S=8
x−1
x+ 1
2x2 + 2(2m+ 1)x + 4m− 5
2x2 + mx − 2
c) y =
; S = 16
d) y =
;S=4
x+ 1
x−1
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai
tiệm cận bằng một hằng số:
x2 − x + 1
2x2 + 5x − 4
x2 + x − 7
a) y =

b) y =
c) y =
x−1
x+ 3
x− 3

d) y = x

Trang 16
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

VI. KHẢO
KHẢO SÁT
SÁT SỰ
SỰ BIẾN
BIẾN THIÊN
THIÊN
VI.
VÀ VẼ
VẼ ĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ CỦA
CỦAHÀM
HÀM SỐ
SỐ
VÀ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′ .
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
• Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y′′ .
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′ .
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ
độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức
tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác
hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) :
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
• Các dạng đồ thị:
a>0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ D’ = b2 – 3ac > 0

a<0

y

y

I
0

x

0

I

x

y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ D’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
⇔ D’ = b2 – 3ac < 0

y

y
I

0

3. Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) :
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Trang 17
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

I

x

0

x


Phng phỏp gii toỏn gii tớch 12

Cỏc dng th:
a > 0a < 0y = 0 cú 3 nghim phõn bit
y ab < 0

y

y 0= 0 ch cú
x
1 nghim
y ab > 0

0

0

x

0

x

y

x

ax + b
(c 0, ad bc 0) :
cx + d
d
Tp xỏc nh D = R \ .
c
d
a
th cú mt tim cn ng l x = v mt tim cn ngang l y = . Giao im ca
c
c
hai tim cn l tõm i xng ca th hm s.
Cỏc dng th:

4. Hm s nht bin y =

y

y

0

x

ad bc > 0

0

x

ad bc < 0

ax2 + bx + c
(a.a' 0, tửỷkhoõ
ng chia heỏ
t cho maó
u) :
a' x + b'
b'
Tp xỏc nh D = R \ .
a'
b'
th cú mt tim cn ng l x =
v mt tim cn xiờn. Giao im ca hai tim
a'
cn l tõm i xng ca th hm s.

5. Hm s hu t y =

Trang 18
Toỏn ụn thi thpt v i hc. thy Trn Ngc Hiu


Phương pháp giải toán giải tích 12

• Các dạng đồ thị:
a.a′ > 0

a.a′ < 0

y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y

y′ = 0 vô nghiệm

y

0

x

0

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = x3 − 3x2 − 9x + 1

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 5

x3 2 1
−x +
3

3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

c) y = − x3 + 3x2 − 2

d) y = (x − 1)2(4 − x)

e) y =

f) y = − x3 − 3x2 − 4x + 2

a) y = x4 − 2x2 − 1

b) y = x4 − 4x2 + 1

c) y =

d) y = (x − 1)2(x + 1)2
e) y = − x4 + 2x2 + 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
x+ 1
2x + 1
a) y =
b) y =
x+ 2
x−1
1− 2x
3x − 1
d) y =
e) y =

1+ 2x
x− 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

f) y = −2x4 + 4x2 + 8
3− x
x− 4
x− 2
f) y =
2x + 1
c) y =

b) y =

x2 + x + 2
x−1

c) y =

x2 + x − 2
x+ 1

d) y = − x + 1+

e) y =

x2
1− x

f) y =

x2 − 2x
x+ 1

a) y = x 3 − 3 x + 2

b) y = − x3 + 3x2 − 2

a) y =

x2 + x + 1
x+ 1

x4
5
− 3x2 +
2
2

1
x−1
Vẽ đồ thị của các hàm số:

d) y =

x+ 1
x−1

e) y =

x2 − x + 2
x −1

Trang 19
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

c) y = x4 − 2x2 − 3
f) y =

x2 + 3x + 3
x+ 2


Phương pháp giải toán giải tích 12

VII. MỘT
MỘT SỐ
SỐ BÀI
BÀI TOÁN
TOÁN LIÊN
LIÊN QUAN
QUAN
VII.
ĐẾN KHẢO
KHẢO SÁT
SÁT HÀM
HÀM SỐ
SỐ
ĐẾN
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1) và (C2)
ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
⇔ Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có cực đại, cực tiểu và yCÑ .yCT < 0.
Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

x2
3

2x − 4
+ 3x −
 y = −
y =
2
2
a) 
b) 
x−1
y = x + 1
 y = − x2 + 2x + 4

2 2
 y = x4 − x2 + 1
d) 
2
 y = 4x − 5

 y = x3 − 5x2 + 10x − 5

e) 
2
 y = x − x + 1

 y = 4x3 − 3x
c) 
y = − x+ 2
2

y = x
f) 
x−1
 y = −3x + 1

Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

x3 x2

+
− 2x
x3
 y =
 y = x3 − 3x − 2

3 2
a) 
b) 
c)  y = − 3 + 3x



y
=
m
(
x
−
2)
1
13

 y = m x + ÷+
 y = m(x − 3)


2  12
2



2x + 1
x+ 1
y =
y =
 y = x − 6x + 3
d) 
e) 
f) 
x+ 2
x−1
x+ 2

 y = 2x + m
 y = −2x + m
 y = x − m
2


1
 y = 2x3 − x + 1
 y = − x + 3+
 y = x − 3x + 3
g) 
h)
i)


1− x
x− 2
2
 y = m(x − 1)
 y = mx + 3
 y = mx − 4m− 1
Tìm m để đồ thị các hàm số:
(x + 2)2 − 1
a) y =
; y = mx + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
x+ 2
2x2 − 3x + m
b) y =
; y = 2x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
x−1

mx2 + x + m
c) y =
; y = mx + 2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
x−1
x2 + 4x + 5
d) y =
; y = mx + 2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
x+ 2
(x − 2)2
e) y =
; y = mx + 3 cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
1− x
mx2 + x + m
f) y =
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
x−1
Trang 20
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

Tìm m để đồ thị các hàm số:
a) y = x3 + 3x2 + mx + 2m; y = − x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b) y = mx3 + 3mx2 − (1− 2m)x − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) y = (x − 1)(x2 − mx + m2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d) y = x3 + 2x2 − 2x + 2m− 1; y = 2x2 − x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e) y = x3 + 2x2 − m2x + 3m; y = 2x2 + 1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Tìm m để đồ thị các hàm số:
a) y = x4 − 2x2 − 1; y = m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

b) y = x4 − m(m+ 1)x2 + m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c) y = x4 − (2m− 3)x2 + m2 − 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Tìm m để đồ thị của các hàm số:
3x + 1
a) y =
; y = x + 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
x− 4
ngắn nhất.
4x − 1
b) y =
; y = − x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
2− x
ngắn nhất.
x2 − 2x + 4
c) y =
; y = mx + 2− 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
x− 2
theo m.
Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a) y = x3 − 3mx2 + 6mx − 8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
b) y = x3 − 3x2 − 9x + 1; y = 4x + m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của
đoạn AC.
c) y = x4 − (2m+ 4)x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
d) y = x3 − (m+ 1)x2 − (m− 1)x + 2m− 1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
e) y = 3x3 + (2m+ 2)x2 + 9mx + 192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân.

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x)
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Trang 21
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phương pháp giải toán giải tích 12

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m
(1)
y
(C)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
c.
c.
(d) : y = m
m
A
giao điểm của hai đường:
yCĐ c.
c.
c.
(C): y = f(x)
d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
xA
x
• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
yCT
c.
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m)
(2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
y
d1
Dạng 3:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)
y = kx
c. b
1
c.d
(k: không đổi)
d2
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
M1
(C): y = f(x)
O
d: y = kx + m
• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
x

M2
m
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m). (C)
A
c. c.
• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)
c.
có hệ số góc k.
• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …
b2
để biện luận.
Dạng 4:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)
m=
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
y
+∞
hoành độ giao điểm của hai đường:
c.
d3
m>0
I
(C): y = f(x)
(C)
d: y = m(x – x0) + y0
d
c. (+)
M
M
y

1
0
• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
d1
m=0
c.
• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …
(–)
IV m < 0
M2
0
của (C) đi qua M0.
x0
x
• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.
d2
Chú ý:
m = –∞
• Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: α ≤ x ≤ β thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x)
với α ≤ x ≤ β.
• Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
a) y = x3 − 3x + 1; x3 − 3x + 1− m= 0
b) y = − x3 + 3x − 1; x3 − 3x + m+ 1= 0
c) y = x3 − 3x + 1; x3 − 3x − m2 − 2m− 2 = 0

Trang 22
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu

d) y = − x3 + 3x − 1; x3 − 3x + m+ 4 = 0


Phương pháp giải toán giải tích 12

x4
f) y = x4 − 2x2 + 2; x4 − 2x2 − m+ 2 = 0
+ 2x2 + 2; x4 − 4x2 − 4 + 2m= 0
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
x2 − 5x + 7
a) y =
;
x2 − (m+ 5)x + 3m+ 7 = 0
x− 3
2x2 − 4x + 2
b) y =
;
2x2 − 2(m+ 2)x − 3m+ 2 = 0
2x + 3
2
x +1
c) y =
;
(m− 1)x2 + 2x − 1= 0
x

2
x − 2x + 4
d) y =
;
x2 − 2(m+ 1)x + 4(m+ 1) = 0
2x − 4
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
2x2
a) y =
;
2sin2 α + 2mcosα − m− 2 = 0 (0 ≤ α ≤ π )
2x − 1
e) y = −

2x2 − 3x
;
cos2α − (m+ 3)cosα + 2m+ 1= 0 (0 ≤ α ≤ π )
x− 2
x2 + 3x + 3
c) y =
;
cos2 α + (3− m)cosα + 3− 2m= 0 (0 ≤ α ≤ π )
x+ 2
3
d) y = x − 3x2 + 6;
cos3 x − 3cos2 x + 6 − m= 0
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
x2 − 5x + 7

a) y =
;
2t + (3m+ 7)2−t = m+ 5
x− 3
2
x + x−1
b) y =
;
2t + (m− 1)2−t = m− 1
x−1
2x2 − 5x + 4
c) y =
;
2e2t − (5+ me
) t + 4 + m= 0
x−1
x2 − 5x + 4
d) y =
;
e2t − (5+ m)et + 4 = 0
x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng
đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
b) y =

a) (C ): y =

x2 − 3x + 6
x2 − 3x + 6 x2 − 3x + 6
; (T ): y =

;
− 2m= 0
x−1
x−1
x−1

b) (C ): y =

x2 − 5x + 4
x2 − 5x + 4 x2 − 5x + 4
; (T ): y =
;
− m+ 2 = 0
x
x
x

c) (C ): y = x3 − 3x2 + 6; (T ): y = x3 − 3x2 + 6 ; x3 − 3x2 + 6 − m+ 3 = 0
d) (C ): y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4; (T ) : y = 2 x 3 − 9x2 + 12 x − 4; 2 x 3 − 9x2 + 12 x + m= 0
e) (C ): y = (x + 1)2(2 − x); (T ): y = ( x + 1)2 2 − x ;(x + 1)2 2 − x = (m+ 1)2(2 − m)
f) (C ): y =

x2 + 1
x2 + 1
; (T ): y =
; (m− 1)x2 + 2 x − 1 = 0
x
x

Trang 23

Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu


Phng phỏp gii toỏn gii tớch 12

x+ 2
.
x1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng x 3y = 0 .
c) Dựng th (C), bin lun s nghim ca phng trỡnh:

Cho hm s y = f (x) =

3x2 (m+ 2)x + m+ 2 = 0
x+ 1
.
x1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng x 2y = 0.
c) Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:

Cho hm s y = f (x) =

2x2 (m+ 1)x + m+ 1= 0
x2
.
x1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) i qua im A(0; 1).

c) Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:

Cho hm s y = f (x) =

(1 m)x2 (1 m)x + 1= 0
VN 2: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc ba bng th
C s ca phng phỏp: Xột phng trỡnh bc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0) (1)
Gi (C) l th ca hm s bc ba: y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
S nghim ca (1) = S giao im ca (C) vi trc honh
Dng 1: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v Ox cú 1 im chung
f khoõ
ng coựcửùc trũ (h.1a)


f
coự
2 cửùc trũ

(h.1b)

yCẹ .yCT > 0

y

y

(C)

(C)

yC
A
x0

O

(h.1a)

x

A
x0

Trng hp 2: (1) cú ỳng 2 nghim (C) tip xỳc vi Ox
f coự2 cửùc trũ

yCẹ .yCT = 0
Trang 24
Toỏn ụn thi thpt v i hc. thy Trn Ngc Hiu

yCT
x1 o

x2

(h.2)

(h.1b)

x

Phương pháp giải toán giải tích 12

y

y
(C)

(C)
yCĐ

(H.2)

A
x0 o

yCĐ
A

B
x1

x'0

x

(yCT = f(x0) = 0)

B x2

x0 x1 x'0 o
yCĐ

C
x"0

x
(H.3)

• Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
 f coù2 cöïc trò
(h.3)
⇔
 yCÑ .yCT < 0
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
• Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
 f coù2 cöïc trò
 y .y < 0
⇔  CÑ CT
 xCÑ > 0, xCT > 0
 a. f (0) < 0 (hay ad < 0)
y

y

a>0

a<0

(C)
yCĐ

yCĐ
o

A

yCT

B x2
xA x1 xB

f(0)

C
xC

x

o
yCT

A x1 B
xA
xB x2

C
xC

f(0)

x
(C)

• Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
 f coù2 cöïc trò
 y .y < 0
⇔  CÑ CT
 xCÑ < 0, xCT < 0
 a. f (0) > 0 (hay ad > 0)
a>0

y

a<0

(C)
(C)

f(0)
yCĐ
A

B x2
xA x1 xB

C
xC o

y

yCĐ
x

yCT

A x1 B
C
xA
xB x2 xC o
yCT
f(0)

x

Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a) 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx − 2 = 0

b) x3 − 3x2 + 3(1− m)x + 1+ 3m= 0

c) 2x3 − 3mx2 + 6(m− 1)x − 3m+ 12 = 0

d) x3 − 6x2 − 3(m− 4)x + 4m− 8 = 0

e) 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6(m− 2)x + 2 − m= 0

f) x3 − 3mx + 2m= 0

Trang 25
Toán ôn thi thpt và đại học. thầy Trần Ngọc Hiếu