Sáng kiên kinh nghiệm:Rèn kĩ năng giải hệ phương trình

TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh ra đời

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinh
giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc
dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường
lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải.
Trong chương trình Đại số 9 - học kì II, xác định hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn là một trong những kiến thức quan trọng. Bởi lẽ đây cũng là một
trong những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu của
SGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm
Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn chuyên đề “Rèn kĩ
năng giải hệ phương trình” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là
Trường THCS. Cụ thể là những học sinh lớp 9, HS tham gia đội tuyển học
sinh giỏi Toán của trường và của Huyện, ôn thi vào THPT
3. Nội dung sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về mặt hình thức là không mới. Cái mới
ở đây chính là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn
bám vào các kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào
đó, với mỗi bài toán đều có sự phân tích, có sự tổng quát và điều đặc biệt là
cho học sinh tìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta
đã tạo ra chúng bằng cách nào. Mỗi dạng toán đều có phương pháp giải
chung, hệ thống các bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, nhằm mục đích làm
tài liệu để học sinh có thể luyện tập, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn tập thi vào
1

trường THPT.
Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích
nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các
bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu có kĩ năng giải các bài tập về hệ
phương trình và có hứng thú khi học phần này.
4. Kết quả đạt được của sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng đã mang lại cho cho học sinh có thói quen tổng
quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc,
việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các
em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học
sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều
quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn và phát
triển được năng lực của học sinh.
5. Đề xuất, kiến nghị để thực hiện áp dụng sáng kiến.

Giáo viên phải tích cực đầu tư thời gian nghiên cứu phương pháp dạy
học, các kiến thức cơ bản về hệ phương trình, các dạng toán có liên quan tới
hệ phương trình đối với học sinh lớp 9 để nâng cao hiệu quả dạy học, giúp
học sinh giải thành thạo các bài toán về hệ phương trình.
Ban giám hiệu phải quan tâm, đôn đốc sát sao quá trình áp dụng sàng
kiến kinh nghiệm.
Học sinh phải tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức, chuẩn bị đầy đủ
dụng cụ trong học tập.
Tăng cường, khuyến khích các sáng kiến cấp trường và triển khai ngay
vào thực tế giảng dạy.

2

Phần 2: MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN
Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinh
giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc
dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường
lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì:
Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi
người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác
nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu
tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa có sự phân loại các dạng
toán, nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn
tổng quát về hệ phương trình.
Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen
tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong
các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã
gây khó khăn cho các em.
Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế nhà trường trong việc chỉ
đạo hoạt động dạy học: Thực hiện việc dạy các chủ đề tự chọn bám sát cho
môn toán ở tất cả các khối lớp thông qua tứng chuyên đề gắn với trọn tâm
kiến thức.
Trong chương trình Đại số 9 - học kì II, xác định hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn là một trong những kiến thức quan trọng. Bởi lẽ đây cũng là một
trong những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu của
SGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm
3

Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn chuyên đề “Rèn kĩ
năng giải hệ phương trình” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS.
Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những thành công đáng kể song vì
điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và
chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng
nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực
hơn trong nhà trường. Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục
THCS. Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan
đến hệ phương trình trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi tuyển vào
THPT, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán trong những
năm học THPT.
2. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN
Sáng kiến này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương
pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình.
Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà HS cần nắm
vững trước khi tiếp cận với các dạng bài tập liên quan đến hệ phương trình.
Đưa ra hệ thống các các dạng bài tập liên quan đến hệ phương trình có
sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh
theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập
khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ
phong phú cho từng phương pháp.
3. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU

3.1 Cơ sở tâm lí
Theo tâm lí học lứa tuổi, học sinh trung học cơ sở đang có sự thay đổi
lớn về tâm sinh lí. Tính nết các em thay đổi thất thường, tính tò mò, hiếu
động, ham hiểu biết. Các em đang bắt đầu “tập làm người lớn” nên rất tích
cực tham gia vào các hoạt động học tập sáng tạo, độc lập. Đó chính là tiền đề
4

cho sự tự giác, tự khám phá và phát hiện kiến thức mới nếu có sự định hướng
và khai thác của giáo viên.
3.2 Cơ sở thực tiễn
Chúng ta đều biết, mọi học sinh có sức học bình thường dều có khả
năng nắm bắt được các kiến thức, kĩ năng chuẩn trong chương trình THCS.
Hiện tượng có không ít học sinh học kém toán và sợ học toán hiện nay do
nhiếu nguyên nhân: Phần lớn các em chưa có phương pháp học tập tốt, chưa
có điều kiện để học tập tốt, có nhiều lỗ hổng kiến thức, năng lực tư duy kém,
… Và một phần do giáo viên chưa tìm ra phương pháp dạy học phù hợp dành
cho những đối tượng đó. Do vậy mỗi giáo viên phải có trách nhiêm làm sao
cho mọi học sinh đều nắm bắt được những kiến thức kĩ năng tối thiểu. Để làm
được điều đó giáo viên phải lựa chọn nội dung, lựa chọn phương pháp giảng
dạy sao cho phù hợp với từng tiết, đặc biệt là những tiết luyện tập. Bởi vì
những tiết luyện tập giúp các em củng cố, khắc sâu kiến thức và rèn luyện
được những kĩ năng giải toán. Nếu giáo viên thực hiện tốt điều đó thì chắc
chắn sẽ không còn học sinh yếu toán, chán học toán và sợ học toán nữa.
3.3 Cơ sở giáo dục
Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục
sẽ cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá
trình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Phương pháp khái quát hóa

– Phương pháp khảo sát thực tiễn

– Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp phân tích

– Phương pháp quan sát

– Phương pháp tổng hợp

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5


5. CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
5.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
5.1.1 Định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

�ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

Trong đó ax  by  c và a ' x  b ' y  c ' là những phương trình bậc nhất hai ẩn.
5.1.2. Ví dụ:

2x  3 y  7
�
�
�x  4 y  2

5.1.3. Nghiệm của hệ phương trình.
- Nếu (x0; y0) là nghiệm chung của hai phương trình thì (x0; y0) được gọi
là nghiệm của hệ phương trình
5.1.4. Số nghiệm của hệ phương trình.
* Hệ phương trình

ax  by  c
�
�
a'x  b' y  c'
�

(a; b; c; a’; b’; c’ khác 0 )

a b c
 
- Có vô số nghiệm � a ' b ' c '
a b c
 �
�
a
'
b' c'
- Vô nghiệm

a b
�
a
'
b'

�
- Có một nghiệm duy nhất
Chú ý: Nếu ab’ = a’b thì hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.
5.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THÔNG THƯỜNG
5.2.1. Phương pháp thế
Cách giải.
- Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ đã cho
(coi là phương trình thứ nhất)
- Thế vào phương trình còn lại (phương trình thứ hai) ta được một
6


phương trình mới (chỉ có một ẩn).
- Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
3x  2 y  4
�
�
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình �2 x  y  5

(1)
(2)

Hướng dẫn: - Ta thấy hệ số của biến y trong phương trình (2) bằng 1, nên từ
phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta được y  5  2 x . (*)
- Thay (*) vào phương trình (1) của hệ ta được:

3 x  2  5  2 x   4 � 7 x  14
.

- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình

7 x  14
�
�
sau: �y  5  2 x .

- Trong hệ này, từ phương trình 7x = 14 ta tính được x = 2. lấy giá trị x = 2
thay vào phương trình y = 5 – 2x, ta có y = 5 – 2.2 � y = 5 – 4 � y = 1.
3x  2  5  2 x   4
3x  2 y  4
7 x  10  4
7 x  14
�
�
�
�x  2
�
��
��
��
��
�
2x  y  5
�y  2 x  5
�y  2 x  5
�y  1
�y  5  2 x
Lời giải: �

x; y    2; 1 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

x  5y  7
�
�
3x  2y  4
�

Hướng dẫn:

x  7  5y
�
x  5y  7
x  7  5y
x  7  5y
x2
�
�
�
�
��
��
��
��
�
3  7  5y   2y  4
3x  2y  4
21  17y  4
y 1

y 1
�
�
�
�
�
x; y    2; 1 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 

* Ta thường chọn ẩn có hệ số là 1 hay (-1) (nếu có) hoặc chọn ẩn có hệ
số nhỏ hơn để rút ẩn này theo ẩn còn lại cho việc tính toán đơn giản hơn.
5.2.2. Phương pháp cộng đại số
Cách giải.
- Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (Nếu cần) sao
cho các hệ số của biến x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau
hoặc đối nhau.
7


- Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó
có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương
trình một ẩn).
- Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm hệ đã cho.
3x  2 y  4
�
�
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình �2 x  y  5

(1)
(2)

Hướng dẫn: - Ta thấy hệ số của biến y ở cả hai phương trình nhỏ hơn, vì vậy
ta chọn hệ số của biến y để cân bằng hệ số.
- Vì BCNN(2; 1) = 2, nên chỉ nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta
3x  2 y  4
�
�
được hệ tương đương: �4 x  2 y  10

- Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được phương trình 7x = 14 và ta
7 x  14
�
�
đưa hệ đã cho về hệ �2 x  y  5

Trong hệ này, từ phương trình 7x = 14 ta tính được x = 2. lấy giá trị x = 2 thay
vào phương trình 2x + y = 5, ta có 2.2 + y = 5 � y = 5 – 4 � y = 1.
3x  2 y  4
3x  2 y  4
7 x  14
�
�
�
�x  2
�x  2
� �
��
��
��
�

4 x  2 y  10
2x  y  5
2.2  y  5
�
�
�
�y  1
Lời giải: �2 x  y  5

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y    2; 1 .
* Chú ý: Trước khi thực hiện phép nhân hai vế của các phương trình của hệ
với các hệ số, ta cần quan sát để tìm ra các số thích hợp. Việc làm này đôi khi
giúp ta tìm được cách giải ngắn gọn hơn. Chẳng hạn:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

x  5y  7 (1)
�
�
3x  2y  4 (2)
�

Với hệ này, ta nhân cả hai vế của (1) với 3.
x  5y  7
3x  15y  21
17y  17
y 1
�
�
�
�

� �
��
��
�
3x  2y  4
3x  2y  4
3x  2y  4
x2
�
�
�
�

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

 x; y    2; 1 .

8


Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

18x  3y  21 (1)
�
�
12x  15y  99 (2)
�

Cách 1: Vì BCNN (18;12) = 36 nên ta chỉ cần nhân hai vế của (1) với 2 và hai

vế của (2) với 3 để có hệ

36x  6y  42
51y  255
y5
�
�
�
�
��
��
36x  45y  297
12x  15y  99
x2
�
�
�

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

 x; y    2; 5 .

Cách 2: Vì BCNN (3;15) = 15 nên ta có thể nhân hai vế của (1) với 5 để có
hệ:
90x  15y  105
102x  204
x2
x 2
x2
�

�
�
�
�
��
��
��
��
�
12x  15y  99
18x  3y  21
18.2  3y  21
3y  15
y 5
�
�
�
�
�

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

 x; y    2; 5 .

* Chú ý chung:
- Khi giải hệ phương trình, ta cần quan sát kĩ các hệ số để chọn phương
pháp giải đơn giản và nhanh chóng.
- Ý tưởng chung của hai phương pháp cộng đại số và phương pháp thế
là đưa từ việc giải hệ hai phương trình với hai ẩn về việc giải một hệ phương
trình trong đó có một phương trình với một ẩn mà ta đã biết cách giải.Ý tưởng

này được vận dụng trong việc giải hệ nhiều phương trình với nhiều ẩn số.
- Số nghiệm của phương trình một ẩn này quyết định số nghiệm của hệ
phương trình
Trên cơ sở này nó sẽ giúp giải quyết các bài toán về hệ phương trình
5.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5.3.1. Dạng I: Xác định số nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ 1: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích?
2x  y  1
�
�
a) �x  2 y  1

2x  y  4
�
�
b) � x  y  1

�x  y  2
�
c) �3x  3 y  2

3x  2 y  1
�
�
6 x  4 y  2
�
9

d)

Hướng dẫn: Vì bài toán này không được giải hệ phương trình mà phải đoán
số nghiệm của mỗi hệ phương trình nên ta phải dựa vào các hệ thức về số
a b
c
nghiệm của hệ phương trình. Muốn vậy ta phải tính các tỉ số a ' ; b ' và c ' . Rồi

so sánh.
b 1 1 �a
a 2


 2
a'
a) Ta có: a ' 1
; b ' 2 2

b�
2
�
b'�

1�
�
2�

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
b 1
a
2

a
  1 �

 2
a'
b) Ta có: a ' 1
; b' 1

b
 2 1
b'

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
a b c �1 1 �
a 1 b 1 c 2

  1 �  � �  �1�

a ' b ' c ' �3 3 �
c) Ta có: a ' 3 ; b ' 3 ; c ' 2

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
a b c �1�
1 c
1
1
a
3
1 b 2




  �   � �


a' b' c' � 2 �
2 ; c ' 2
2
2 ; b' 4
d) Ta có: a ' 6

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
mx  y  1
�
�
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: �x  my  m  1

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hướng dẫn: Ta thấy với m = 0 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
Với m �0 thì:
a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

m 1
�
� 1 m

� m 2 �1 � m ��1

Vậy với m ��1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
m 1
1
 �
b) Hệ phương trình vô nghiệm � 1 m m  1

10


�m 1

�
�1 m
�
�m 2  1
m  �1
�
1
1
� �
�
�
2m �1 �
� �m m  1 � �m �1  m � �

m  �1
�
�
� 1 � m  �1
m�

�
� 2

Vậy với m  �1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
�m 1

�
m 1
1
�1 m
 
��
1 m 1 m
�1  1
�m 1  m
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm �

�m  �1
�
�m  1
m  �1
�
� 1
�
�
m
m

1


m
2
m

1
� �
� �
��
� 2 (vô lí)
2

Vậy không có giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
5.3.2. Dạng II: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng hai phương
pháp thông thường.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
2x  y  4
�
�
a) � x  y  1

�x  y  2
�
b) �3x  3 y  2

3x  2 y  1
�
�
c) �6 x  4 y  2

Hướng dẫn:

2x  y  4
3x  3
�
�
�x  1
�x  1
��
��
��
�
a) � x  y  1 � x  y  1 �1  y  1 �y  2
x; y    1; 2  .
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 

(1)
3x  3 y  6
0 x  4 (vô lí )
�x  y  2
�
�
��
��
�
b) �3x  3 y  2 (2) �3 x  3 y  2 �x  y  2

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
x �R
�
3x  2 y  1
(1)

6x  4 y  2
0x  0
�
�
�
�
��
��
� � 3x  1
�
6 x  4 y  2 (1)
6 x  4 y  2
3x  2 y  1 �y 
�
�
�
�
2
c)
x �R
�
�
� 3x  1
�y  2
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm: �

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

11

1, 3x  4, 2 y  12
�
�
a) �0,5 x  2,5 y  5,5

0, 5 x  0, 25 y  1
�
�
b) �2, 5 x  1, 25 y  5

1
�2
x  y 1
�
�3
2
�
�1 x  1 y  1
c) �3 4

Hướng dẫn: Ta thấy các hệ số của các biến chưa là số nguyên, ta nên đưa các
hệ số về số nguyên để việc giải hệ phương trình đơn giản hơn.
1,3 x  4, 2 y  12
13 x  42 y  120
13 x  42 y  120 (1)
�
�
�
��

��
�
5 x  25 y  55
(2)
�x  5 y  11
a) �0,5 x  2,5 y  5,5 �

Từ phương trình (2) � x = 11 - 5y (*). Thay vào phương trình (1), ta được:
13(11 – 5y) + 42y = 120 � 143 – 65y + 42y = 120 � 23y = 23 � y = 1.
Thay y = 1 vào phương trình (*), ta được x = 11 – 5.1 = 6.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (6; 1)
b)
0,5 x  0, 25 y  1 �
50 x  25 y  100
2x  y  4
0x  0
x �R
�
�
�
�
��
��
��
��
�
2,5 x  1, 25 y  5
250 x  125 y  500
2x  y  4
2x  y  4

�
�
�
�
�y  4  2 x

x �R ; y  4  2 x 
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 
1
�2
x  y 1
�
�4 x  3 y  6 �0 x  18 (vô lí )
�3
2
��
��
�
1
1
4
x

3
y

12
�
�4 x  3 y  12
� x  y 1

c) �3 4
Vậy hệ phương trình vô

nghiệm
* Lưu ý: Trong trường hợp các hệ số của các biến là số thập phân, hoặc phân
số ta nên đưa về hệ số nguyên.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
� 2x  2 3y  5
�
�
9
3 2x  3y 
�
2
a) �



b)



� 5  2 .x  y  3  5
�
�
�
x  2 y  6  2 5
�

Hướng dẫn: a)

� 2x  2 3y  5
�
�
�
7 2 x  14
�
� 2x  2 3y  5
�
�x  2
��
��
�
9��
3 2x  3 y 
6 2 x  2 3 y  9 � 2 x  2 3 y  5 � 2. 2  2 3 y  5
�
�
�
2
12


�x  2
�
�x  2
�
��
��
3
2 3 y  3 �y 

�
�
2 .
�
3�
2;
�
�
�
2 �
�
�
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =









�
� 5  2 x  y  3 5
�
�y  3  5  2 5  4 x
��
�
x  6  2 5  2 5  4 x  6  2 5
�

�
x  2 y  6  2 5
�
b) �









�y  3  5  2 5  4 x
�x  0
�
��
��
x 1 2 5  4 x  0
�y  3  5
�
�





Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =

 0;3  5 

5.3.3. Dạng III: Giải hệ hai phương trình đưa được về hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn
+) Phương pháp khai triển bỏ dấu ngoặc – rút gọn.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
�
 x  3  2 y  5    2 x  7   y  1
�
�
 4 x  1  3 y  6    6 x  1  2 y  3
a) �

�
 x  y   x  1   x  y   x  1  2 xy
�
�
 y  x   y  1   y  x   y  2   2 xy
b) �

Hướng dẫn:
�
 x  3  2 y  5    2 x  7   y  1
�2 xy  5 x  6 y  15  2 xy  2 x  7 y  7
�
��
�
 4 x  1  3 y  6    6 x  1  2 y  3 �12 xy  24 x  3 y  6  12 xy  18 x  2 y  3
a) �
� 51
y

�
7 x  13 y  8
73 y  51
�
�42 x  78 y  48 �
� 73
��
��
��
��
42 x  5 y  3 �42 x  5 y  3
7 x  13 y  8
�
�
�x  79
� 511
�79 51 �
� ;
�
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = �511 73 �

b)

�
 x  y   x  1   x  y   x  1  2 xy �x 2  x  xy  y  x 2  x  xy  y  2 xy
�
� �2
�
2
y


x
y

1

y

x
y

2

2
xy








�y  y  xy  x  y  2 y  xy  2 x  2 xy
�

�x 2  x  xy  y  x 2  x  xy  y  2 xy  0
2x  0
�
�x  0

�
� �2
��
��
2
�y  y  xy  x  y  2 y  xy  2 x  2 xy  0
�x  3 y  0 �y  0
13


Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =  0;0 

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
�2 x  1 y  2 1


�
� 4
3
12
�
�x  5  y  7  4
�2
3

2
�
4 x 2  5  y  1   2 x  3
�
�

3  7 x  2   5  2 y  1  3 x
a) �

�3 x  2 y 5 x  3 y

 x 1
�
� 5
3
�
�2 x  3 y  4 x  3 y  y  1
2
c) � 3

b)

2
2
�
�4 x 2  5 y  5  4 x 2  12 x  9
�4 x  5  y  1   2 x  3
�
�
�
3  7 x  2   5  2 y  1  3 x
�21x  6  10 y  5  3 x
�
Hướng dẫn: a)

12 x  5 y  14

24 x  10 y  28
0 x  39 (vô lí )
�
�
�
��
��
��
24 x  10 y  11 �
24 x  10 y  11 �
12 x  5 y  14
�

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
�2 x  1 y  2 1


�
6x  3  4 y  8  1
�
� 4
3
12
��
�
3x  15  2 y  14  24
�
�x  5  y  7  4
3
b) � 2

6 x  4 y  10
3x  2 y  5
0 x  20 (vô lí )
�
�
�
��
��
��
3 x  2 y  25
3x  2 y  25
3 x  2 y  5
�
�
�

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
�3 x  2 y 5 x  3 y

 x 1
�
9 x  6 y  25 x  15 y  15 x  15
�
� 5
3
��
�
4 x  6 y  12 x  9 y  6 y  6
�2 x  3 y  4 x  3 y  y  1 �

2
c) � 3

19 x  21y  15 �
3x  9
�
�x  3
�x  3
��
��
��
��
16 x  21y  6
16 x  21y  6
16.3  21y  6
�
�
�
�y  2
3; 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =  

+) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

14


�1 1
�x  y  1

�
�
�2  3  5
�x y
a) �

15 7
�
�x  y  9
�
�
�4  9  35
�x y
b) �

1
5
�1
�x  y  x  y  8
�
�
� 1  1 3
8
�x  y x  y
c) �

1
1
Hướng dẫn: Điều kiện: x �0 ; y �0 . Đặt a = x ; b = y
�1 1

�x  y  1
�
�
�2  3  5
�x y
a) �

�

a b 1
3a  3b  3
�
�
�
�
Khi đó hệ phương trình trở thành: �2a  3b  5 � �2a  3b  5

� 8
a
�
� 5
�
5a  8
�
8
�
2.  3b  5
�
2a  3b  5 � � 5
�

�

�1 8

�
�x 5
�1 3
� 
Do đó: �y 5 �

� 5
x
�
� 8
�
�y  5
� 3

� 8
a
�
� 5
�
16
�
3b  5 
�
5 �

� 8

a
�
� 5
�
9
�
3b 
� 5 �

� 8
a
�
� 5
�
3
�
b
� 5

(Thoả mãn ĐK).

�5 5 �
�; �
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = �8 3 �
15 7
�
�x  y  9
�
�
�4  9  35

�x y
b) �

1
1
Điều kiện: x �0 ; y �0 . Đặt a = x ; b = y

15a  7b  9
135a  63b  81
�
�
�
�
Khi đó hệ phương trình trở thành: �4a  9b  35 � �28a  63b  245
163a  326
a2
a2
a2
�
�
�a  2
�
�
�
�
�
�
�
4a  9b  35 � �
4.2  9b  35 � �

9b  35  8 � �
9b  27 � �
b3
� �

Do đó:

�1
2
�
�x
�1
� 3
�y

� 1
x
�
� 2
�
�y  1
� � 3 (Thoả mãn ĐK).

�1 1 �
�; �
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = �2 3 �

15

1
5
�1
�x  y  x  y  8
�
�
� 1  1 3
8
�x  y x  y
c) �

1
1
Điều kiện: x ��y. Đặt a = x  y ; b = x  y

5
�
a b 
�
�
8
�
�a  b   3
8 �
Khi đó hệ phương trình trở thành: �
� 1
a
�
� 8
�

5 1
�
b 
� � 8 8 �

� 1
2a 
�
� 4
�
�a  b  5
�
8 �

� 1
a
�
� 8
�
�1  b  5
�8
8

� 1
a
�
� 8
�
1
�

b
� 4 (Thoả mãn ĐK).

1
�1
�x  y  8
�
�
�x  y  8
�2 x  10
�x  5
�x  5
�1 1
�
�
�
�
�
x

y
2
x

y

2
x

y


8
5

y

8
�
�
�
�
�
�
�
�
�y  3 (T/m
Do đó:

ĐK).
5;3
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =  

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:







�
2 x2  2x  y  1  0
�
� 2
3 x  2x  2 y  1  7  0
�
b) �

1
� 2
�x  2y  y  2x  3
�
�
� 4  3 1
�
a) �x  2y y  2x
�
5 x1  3 y 2  7
�
�
2 4x2  8x  4  5 y2  4y  4  13.
�
c) �

Hướng dẫn:
1
� 2
�x  2y  y  2x  3
�
�

� 4  3 1
�
a) �x  2y y  2x
Điều kiện: x + 2y �0 ; y + 2x �0 .
1
1
Đặt a = x  2 y ; b = y  2 x . Khi đó hệ phương trình trở thành:

2a  b  3
6a  3b  9
10a  10
10a  10
a 1
�
�
�
�
�
��
��
��
��
�
4a  3b  1 �
4a  3b  1
2a  b  3
2.1  b  3
b 1
�
�

�
�

16


Do

� 1
� 1
x
�x  2 y  1 �x  2 y  1 �x  2 y  1
�
3x  1
�
�
� 3
��
��
��
��
�
1
y

2
x

1
4

x

2
y

2
y

2
x

1
�
�
�
�
�y  1
1
�
� 3
đó: �y  2 x

(T/m

ĐK).
�1 1 �
�; �
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = �3 3 �








�
2 x2  2x  y  1  0
�
� 2
3 x  2x  2 y  1  7  0
�
b) �
Điều kiện: y �1 .
2
Đặt a = x  2 x ; b =

y 1

. Khi đó hệ phương trình trở thành:

a  1
2a  b  0
7 a  7
�
�4a  2b  0
�
�a  1
�
��
��

��
��
�
2.  1  b  0 �
3a  2b  7
3a  2b  7
b2
�
�
�2a  b  0 �
2
2
2
�
�
�x  1
x  1  0
�x  2 x  1 �x  2 x  1  0
�

��
��
��
�
y 1  2
�y  3
�y  3
�y  1  4
Do đó: �
(T/m ĐK).

1;3
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) =  

�
5 x1  3 y 2  7
�
5 x1  3 y 2  7
�
�
��
�
4 x  1  5 y  2  13
2 4x2  8x  4  5 y2  4y  4  13 �
�
c) �

Đặt a =

x 1

;b=

y2

. (a, b �0). Khi đó hệ phương trình trở thành:

5a  3b  7
25a  15b  35 �
37 a  74

�
�
�a  2
�a  2
��
��
��
��
�
12a  15b  39
4a  5b  13 �
4.2  5b  13 �
b  1 (T/m ĐK).
�4a  5b  13 �
�
�
�x  1  �2
�x  1; x  3
�x  1  2
��
��
�
y  2  1 �y  2  �1 �y  3; y  1
Do đó: �
1; 3  1; 1  3; 3  3; 1
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) = 
;
;
;

* Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng
cách đổi biến số, ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta
sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản.
2a  b  0
�
�
* Chẳng hạn xuất phát từ hệ phương trình đơn giản: �3a  2b  7 (I)
17


2
- Thay a  x  2 x, b 







�
2 x2  2x  y  1  0
�
� 2
3 x  2x  2 y  1  7  0
y  1 vào hệ (I) ta được hệ (1) �
�

�
2 x2  6 x  y  0
� 2

2
a

x

2
x
,
b

2
x

y
- Thay
vào hệ (I) ta được hệ (2) �3x  2 x  2 y  7

�2 x  2 y  1
� x  y 0
�
�
x 1
y 1
�3x  3  2 y  2  7
a
,b
y
x
y vào hệ (I) ta được hệ (3) �
� x

- Thay
1
� 2
�x  2 y  2 x  y  0
�
�
1
1
� 3  2  7
a
,b
x  2y
2 x  y vào hệ (I) ta được hệ (4) �
�x  2 y 2 x  y
- Thay
…

* Như vậy, với hệ xuất phát (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ
5a  3b  7
�
�
pt mới. Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) �4a  5b  13 và làm tương

tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn:
- Thay a =

a  x 1 ;b  y  2

vào hệ (II) ta được hệ

�
�5 x  1  3 y  2  7
�
2
2
�2 4x  8x  4  5 y  4y  4  13.
(1) �

5 3
�
5x  3 y    7
�
x y
�
�
4 5
1
1
�
4 x  5 y    13
ax ,b y
x y
x
y vào hệ (II) ta được hệ (2) �
�
- Thay
� 5 3x
5x  
7
�

� x y
�
4 5x
1
x
�
4x  
 13
ax ,b
�
x
y
y
y
- Thay
vào hệ (II) ta được hệ (3) �
3
�
5x  5 y   7
�
y
�
�
1
�4 x  4 y  5  13
a  x  y, b 
y
y vào hệ (II) ta được hệ (4) �
�
- Thay

18


�
5x2  4 x  3 y2  7
�
� 2
2
2
2
a

x

2
x
,
b

y

2
x
- Thay
vào hệ (II) ta được hệ (5) �4 x  18 x  5 y  13 ...

Như vậy, nếu chúng ta biết cách tạo ra bài toán thì chúng ta có thể nghĩ
ra cách giải của những bài toán khác.
5.3.4. Dạng IV: Giải và biện luận số nghiệm của hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số
m:
�
mx  y  2m   1
  
�
�
4 x  my  m  6   2   
�

Hướng dẫn: Từ phương trình (1) y = mx – 2m, thay vào phương trình (2) ta
được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
* Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x =
Khi đó y =



m
m

m  2 . Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (; m  2 )

* Nếu m2 – 4 = 0 m2 = 4 m = �2.
Với m = 2 thì phương trình (3) trở thành (22 – 4)x = (2.2 + 3)(2 – 2)
0x = 0 (luôn đúng với mọi x), khi đó y = mx - 2m = 2x – 4
x �R
�
�
Hệ có vô số nghiệm �y  2 x  4

Với m = - 2 thì phương trình (3) trở thành 0x = 4 (Vô lí). Hệ vô nghiệm
m
Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x, y) = (; m  2 )


x �R
�
�
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm �y  2 x  4

- Nếu m = - 2 thì hệ vô nghiệm
* Chú ý: Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình trên, bắt
buộc ta phải nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thể
mắc thiếu sót nếu như không phân biệt trường hợp m = 0 hay m � 0. Vì vậy
ta nên giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế.
19


- Việc giải và biện luận hệ phương trình theo tham số là quan trọng. Nó
giúp ta tìm được điều kiện của tham số để hệ phương trình có một nghiệm, vô
nghiệm, vô số nghiệm. Để từ đó là cơ sở giải tiếp các bài toán có liên quan tới
nghiệm của hệ phương trình.
5.3.5. Dạng V: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn
+) Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm cho trước.
Cách giải thông thường:
- Thay giá trị của x; y vào hệ phương trình đã cho ta được hệ phương
trình mới (ẩn là tham số cần tìm giá trị)
- Giải hệ phương trình mới, ta tìm được giá trị của tham số
4x + ay = b

�
�
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình �x - by = a . Tìm a và b để hệ phương trình có

nghiệm duy nhất (x; y) = (2; - 1).
Hướng dẫn: Thay x = 2 và y = - 1 vào hệ đã cho ta được:
a=2+b
�
8-a=b
a=5
�
�
��
��
�
8 -  2 + b  b
2+b=a
b=3
�
�
�

.

Vậy a = 5; b = 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2; - 1).
ax  by  3
�
�
Ví dụ 2: Tìm a, b biết hệ phương trình �bx  ay  11 có nghiệm

�x  3
�
�y  1

Hướng dẫn:
ax  by  3
�
�
Hệ phương trình �bx  ay  11 có nghiệm

�x  3
�
�y  1 nên

a.3  b( 1)  3
�
�
�b.3  a(1)  11

3a  b  3
a2
a2
9a  3b  9 �
10a  20
�
�
�
�
��
��

��
��
� ��
a  3b  11 �
3a  b  3 �
b  3.
a  3b  11
a  3b  11
�
�
�
�x  3
�
Vậy a = 2; b = 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất �y  1

+) Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn đẳng
thức, bất đẳng thức cho trước.

20


Cách giải thông thường:
- Giải hệ phương trình đã cho theo tham số, ta tìm được x; y theo tham số.
- Thay x; y vào đẳng thức, bất đẳng thức, ta được phương trình, bất
phương trình ẩn là tham số cần tìm
- Giải phương trình, bất phương trình, ta tìm được giá trị của tham số
3x - y = 2m - 1
�
�
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: �x + 2y = 3m + 2 (1)

Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10.
Hướng dẫn: Giải hệ đã cho theo m ta được:
3x - y = 2m - 1
6x - 2y = 4m - 2
7x = 7m
�
�
�
�x = m
��
��
��
�
�x + 2y = 3m + 2
�x + 2y = 3m + 2
�x + 2y = 3m + 2
�y = m + 1

Nghiệm của hệ đã cho thỏa mãn x2 + y2 = 10 � m2 + (m + 1)2 = 10
� 2m2 + 2m – 9 = 0.

Giải PT ta được:
Vậy

m1 

m1 

1  19

1  19
; m2 
2
2
.

1  19
1  19
; m2 
2
2
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)

thoả mãn x2 + y2 = 10.
�
 m  1 x - y = 3 (1)
�
mx + y = m (2)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình �
.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x + y > 0.
Hướng dẫn: Cộng hai vế của (1) và (2) ta có phương trình: (2m+1)x=m+3 (3)
- Nếu 2m + 1 = 0 � m =



1
2 . Ta có (3) � 0x = 2,5 (vô lí)

� Hệ phương trình vô nghiệm

1
- Nếu 2m + 1 �0 � m � 2 � hệ đã cho tương đương với:


� m3
� m3
�x  2m  1
�x 
�
� 2m  1 � �
m 2  2m
�
�
y

m

mx
y

�
�
2m  1

21


Khi đó

x y 

m  3 m 2  2m m 2  m  3


0
� m2 – m + 3 và 2m +1 cùng
2m  1 2m  1
2m  1
2

� 1 � 11
m – m  3�
m  �  0
2� 4
�
dấu. Mà
với mọi m vì
2

Suy ra 2m + 1 > 0 � m >
Vậy m >





2

� 1�
m  ��0
�
� 2�
với mọi m.

1
2 (Thoả mãn điều kiện)

1
2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x + y

>0.
2 x  y  5m  1
�
�
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: �x  2 y  2
(m là tham số)

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.
�x  2m
�
Hướng dẫn: Ta giải (I) theo m được �y  m  1

Nghiệm này thỏa mãn hệ thức x2 – 2y2 = 1 nghĩa là 4m2 – 2(m - 1)2 = 1.
Giải phương trình ẩn m được
Vậy

m1 

m1 

4  10
4  10
; m2 
2
2

4  10
4  10
; m2 
2
2
thì nghiệm của hệ (I) thỏa mãn hệ thức trên.

Ví dụ 4: Tìm các số nguyên m để hệ phương trình

�x  y  3m
�
�x  2 y  3

có nghiệm

( x; y ) thỏa mãn điều kiện x 2  xy  30 .
Hướng dẫn: Giải hệ phương trình theo m, ta được y  m  1 , x  2m  1
m  2
�
�
�
5

�
m
2
2
2
x  xy  30 � (2m  1)  (2m  1)(m  1)  30 � 2m  m  10  0 � 2

Do m nguyên nên m  2
�
 m  1 x  y  3m  4 (1)
�
�
x   m  1 y  m
(2)
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: �
. Tìm các giá trị của

m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn điểm M(x; y) nằm
22


trong góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn:
* Rút x từ (2) rồi thay vào (1) và rút gọn ta được:

m  m  2 y   m  2

2

Với m �0 và m � 2 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:

�3m  2 m  2 �
;
�
�
m �
� m

Ta có:

x

3m  2 2m  m  2

 2 y
m
m

Để M(x; y) nằm trong góc phần tư thứ nhất thì
�
m2 0
�
�
�m  2
�
�
�
�
m0
m2
�x  0

�
m2
�
�m  0
�
�
� y0�
0�
�
��
�
�
�
m0
m
m2 0
�
�m  2
�y  0
�
�
�
�
�
m0
�
�
�
�m  0

Vậy m > 2 hoặc m < 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả
mãn điểm M(x; y) nằm trong góc phần tư thứ nhất..
+) Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn biểu
thức cho trước đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cách giải thông thường:
- Giải hệ phương trình đã cho theo tham số, ta tìm được x; y theo tham
số.
- Thay x; y vào biểu thức (cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), ta được một
biểu thức ẩn là tham số cần tìm
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mới, ta tìm được giá trị của
tham số.
�x  2 y  3  m
�
2x  y  3 m  2
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình �
. Gọi nghiệm của hệ phương

trình là (x; y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x; y), Ta có:
�x  2 y  3  m
2 x  4 y  6  2m
5 y  5m
�
�
�x  m  3
��
��
��
�
2 x  y  3 m  2

2 x  y  6  3m
�
�x  2 y  3  m
�y  m
�
23


2

� 3� 9
m �
�
2
2
2
2
2
2 �+ 2
�
x + y = (m + 3) + m = 2m + 6m + 9 = 2
2

2

� 3�
� 3� 9
9
m  ��0
m �

�
�
2
2
�
�+ 2 � 2 với mọi x.
Ta có: �
với mọi x nên 2 �

9
3
Hay x2 + y2 � 2 với mọi x. Dấu bằng xảy ra khi m = - 2
9
3
Do đó x + y đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi m = - 2
2

2

3 x  y  2m  9
�
�
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình �x  y  5
có nghiệm (x; y). Tìm m để

biểu thức  xy  x 1 đạt giá trị lớn nhất.
3 x  y  2m  9
�
�x  m  2
��

�
�y  3  m
Hướng dẫn: �x  y  5
2
Ta có : xy  x  1  m  2m  7 � xy  x  1    m  1  8 �8

2

� Biểu thức  xy  x 1 đạt giá trị lớn nhất là 8 khi m = 1

x  my  m  1 (1)
�
�
mx  y  3m  1 (2) . Trong trường hợp hệ có
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: �

nghiệm duy nhất, tìm các giá trị của m để tích xy nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
* Rút y từ (2) rồi thay vào (1) và rút gọn ta được:

 m  1  m  1 x   m  1  3m  1

Với m �1 và m � - 1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
�3m  1 m  1 �
;
�
�
�m  1 m  1 �

Ta có

3m  1 m  1  3m  1  m  1 3m 2  2m  1 4m2  m2  2m  1
xy 
.



2
2
m  1 m  1  m  1  m  1
 m  1
 m  1


4m 2   m  1

 m  1

2

2

2

�2m �
�
� 1 �1
�m  1 �

với mọi m. Dấu bằng xảy ra khi m = 0

Vậy xy có giá trị nhỏ nhất là – 1 khi m = 0.
Ví dụ 4: Các số không âm x; y; z thoả mãn hệ phương trình:
24


4x  4 y  2z  1
�
�
8x  4 y  z  8
�

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + y – z.
Hướng dẫn:
4x  4 y  2z  1
�
�
�
8
x

4
y

z

8
�
* Biểu thị x; y theo z:

4 x  4 y  2 z  1
�
�
8x  4 y   z  8
�

� 3 z
� 3 z
x
x
�
�
�
�
4
4
��
��
12 x  3z  9
�
3 z
z2
�
��
8.
 4 y   z  8 �y 
�
�
8x  4 y   z  8
4

4
�

* Ta có

A x yz 

3 z z  2
5  4z

z
4
4
4

�3  z
�0
�
x
�
0
�
�z �3
�4
��
��
� 2 �z �3
�
�y �0
�z �2

�z  2 �0
�4
* Vì
. Mà z �0 nên 0 �z �3

Do đó: A lớn nhất � 5 – 4z lớn nhất � z nhỏ nhất � z = 0.
3
1
5
Khi đó x = 4 ; y = 2 và A = 4

A nhỏ nhất � 5 – 4z nhỏ nhất � z lớn nhất � z = 3.
5
7

Khi đó x = 0; y = 4 và A = 4

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là



7
5
4 khi x = 0; y = 4 ; z = 3.

5
3
1
A có giá trị lớn nhất là 4 khi x = 4 ; y = 2 ; z = 0.

+) Tìm giá trị nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm
thoả mãn biểu thức cho trước có giá trị nguyên.
Cách giải thông thường:
- Giải hệ phương trình đã cho theo tham số, ta tìm được x; y theo tham
số.
- Thay x; y vào biểu thức (cần tìm giá trị nguyên), ta được một biểu thức
ẩn là tham số cần tìm
25