Sáng kiến kinh nghiệm toán 9 THCS::Rèn kỹ năng cho học sinh khối 9 qua một phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng phân thức

TĨM TẮT SÁNG KIẾN
Trong chương trình tốn học phổ thơng lượng kiến thức về bất phương
trình rất lớn và đa dạng . Đồng thời nó cũng là mảng bài cơ bản của toán học .
Lượng bài tập trong phần này rất đa dạng và phong phú. Có những bài đơn giản,
thần t, có những bài địi hỏi phải tư duy suy luận, khai thác từ nó rút ra phương
pháp giải, nhưng cũng có bài khơng giải quyết được bẳng phương pháp xuất phát
từ chính nó (qua biến đổi tương đương) mà phải khai thác nhờ các kiến thức có
liên quan. Đề tài tôi muốn đề cập đến là phương pháp giải quyết các bài toán bất
đẳng thức dạng phân thức bằng cách sử dụng từ một bất đẳng thức quen thuộc mà
học sinh hay gặp. Trong các sách tham khảo, các bài trên các báo toán hoặc một
số trang wed dạy học trực tuyến, các tác giả đã giải theo các hướng khác nhau. Ở
đề tài này tôi đã khai thác từ một bài bất đẳng thức cơ bản và vận dụng các bước
biến đổi để đưa ra các bài tập và phương pháp giải mà học sinh hay được tiếp cận
từ các đề thi học sinh giỏi huyện, tỉnh và các đề thi vào THPT .
Qua mỗi bài tập của từng dạng bài đề tài có rút ra phương hướng chung giải
quyết từng dạng đó sau đó có khai thác và mở rộng dần đề học sinh nắm được ý
tưởng và gây được sự say mê hứng thú tìm hiểu và giải quyết các bài toán tương
tự . Từ đó học sinh định hướng và nhận định dạng bài tập và có hướng giải quyết.
Với đề tài tài nhỏ này, mong muốn một hy vọng đóng góp phần nhỏ bé cho công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và ôn thi vào THPT .

-1-


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I/ Cơ sở lý luận .
Theo nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội nước Cộng hoà xã hội Việt
Nam - đã khẳng định: “Đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng”. Muốn làm tốt
và có hiệu quả điều đó - vấn đề đổi mới phương pháp dạy học phải là vấn đề then
chốt - trọng tâm .
Đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi ngành học, cấp

học. Năm học 2015-2016 việc đổi mới phương pháp dạy học đặc biệt dạy học
theo chủ đề đã trở thành nề nếp và đã được thực hiện có hiệu quả cao trong các
nhà trường .
Tốn học là một khoa học trừu tượng có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng
rộng rãi trong thực tiễn. Việc rèn luyện tư duy logíc là một trong những yêu cầu
hàng đầu của dạy học toán ở nhà trường phổ thông. Đặc biệt đối với việc bồi
dưỡng học sinh giỏi, học sinh thi vào Trung học phổ thơng. Vì vậy người giáo
viên phải nắm được phương pháp dạy học toán để phát huy hiệu quả tính tích
cực, tự giác chủ động của học sinh, thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi
các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy cho học sinh.
Để đạt được mục tiêu quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học
sinh thi vào Trung học phổ thông đạt kết quả cao (bộ mơn tốn) người giáo viên
cần thực hiện đảm bảo ngun tắc: học sinh tự mình hồn thành nhiệm vụ nhận
thức với vai trò sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.
II/Cơ sở thực tiễn .
Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn Tốn học lớp 8,lớp 9 trong nhà trường, tôi
nhận thấy khai thác mỗi mảng kiến thức mảng kiến là những đơn vị kiến thức
thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào Trung
học phổ thông trung .
Với học sinh :

-2-


Mỗi mảng kiến thức khi vận dụng trong thực tế bài làm của mình thường chưa
định rõ về phương pháp cơ bản của từng dạng bài mà mới chỉ dừng lại ở mức độ
chưa suy luận theo một logíc nhất định, kết quả đạt được trong các bài thi chỉ
dừng lại ở mức độ trung bình .
Đối với giáo viên: Khi giảng dạy các bài tốn cịn chưa đi sâu về dạng, các dạng
bài chưa đi theo một chuyên đề, cịn tản mạn .

Trước tình trên, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu về các mảng kiến thức
này, tôi mạnh dạn đưa ra một ý tưởng khai thác bài toán bất đẳng thúc với một
mong ước là làm tài liệu bồi dưỡng, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người
dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Sáng kiến gồm ba phần: Phần một :Thông tin chung về sáng kiến; Phần
hai: mô tả sáng kiến; phần ba kết luận;
Hiệu quả mới sau khi thực hiện sáng kiến tôi đã khảo sát đối chứng học
sinh lớp 9 năm học 2014-2015 kết quả rất đáng khả quan và có nhiều tiến bộ;
Hiện nay các giải pháp này tôi đã trao đổi cùng đồng nghiệp trong tổ chuyên môn
và đang áp dụng rộng rãi tại nhà trường trong năm học 2015-2016.
III/Mục đích nghiên cứu
Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là
những bài tốn về bất đẳng thức đại số. Thơng thường những bài toán về loại này
là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những
kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng
dụng đại số trong cuộc sống.
IV/Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về một phương pháp chứng minh bất đẳng
thức trong các bài chứng minh bất đẳng thức. Những bài tốn về bất đẳng thức
như vậy có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết. Một trong những ngun nhân
gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận, mổ xẻ vấn đề không phải là
các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong đại số.
-3-


V/ Giới hạn của đề tài
Nghiên cứu về bất đẳng thức đặc biệt là phương pháp chứng minh bất đẳng
thức và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những
kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thơng minh
nhất trong việc học tốn cũng như trong cuộc sống .

A/CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT
Các kiến thức và kỹ năng cần thiết khi giải bài tập bất đẳng thức mà học sinh cần
nắm được:
- Các quy tắc tính tốn (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa)
giữa các biểu thức đại số, biểu thức chứa chữ .
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
- Kỹ năng sử dụng thành thạo biến đổi biểu thức, đẳng thức và bất đẳng thức
- Kỹ năng phân tích, phân loại bài toán .
B/ CÁC HƯỚNG KHÁC NHAU CỦA BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC.
Mỗi mảng kiến thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp tốn học. Cũng vậy một
ý tưởng được được phát hiện, được khám phá giúp chúng ta giải quyết vấn đề
một cách đơn giản, gần gũi với học sinh. Với ý tưởng đó ta có thể thành ra các
bài tốn mới có tính độc đáo hơn, tạo sự hưng phấn với người đọc và niềm tin,
hứng thú học tập đối với học sinh .
Ta bắt đầu từ một bài toán
Bài toán: Cho a,b là các số dương
Chứng minh rằng: a 3 + b3 ≥ ab(a + b)

(*)

Lời giải:
a 3 + b3 = (a + b)( a 2 − ab + b 2 )
≥ (a + b)(2ab − ab)
≥ ab(a + b)

Dấu “ =” xảy ra khi a=b.
-4-

Chứng minh bất đẳng thức trên có nhiều cách, việc chứng minh bất đẳng thức
(BĐT) (*) khơng có gì khó khăn đối học sinh khá giỏi. Tuy nhiên ta biết hướng
khai thác từ bài tốn BĐT cơ sở thì ta có thể tìm được nhiều bài tốn hay và quen
thuộc .
Hướng khai thác thứ nhất từ BĐT (*)
* Nếu chia cả hai vế của BĐT (*) cho tích a.b ta được
a 3 + b3 ≥ ab(a + b)
a 3 + b3
⇔
≥ a+b
ab

Tương tự:

b3 + c 3
c3 + a3
≥b+c ;
≥c+a
bc
ca

Cộng các BĐT trên theo vế ba BĐT ta được bài toán
Bài toán 1.
Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

a 3 + b3 b 3 + c 3 c 3 + a 3
+
+
≥ 2(a + b + c)

ab
bc
ca

Suy ngẫm các BĐT riêng của bài toán 1 đã chặt chẽ chưa? Ta có thể vận dụng
BĐT Cơ si đối với từng BĐT riêng

a 3 + b3
a 3 + b3
≥ a + b ≥ 2 ab ⇔
≥ 2 ab
ab
ab

Khi đó ta có bài toán
Bài toán 1.1 Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

a 3 + b3 b 3 + c 3 c 3 + a 3
+
+
≥ 2( ab + bc + ca )
ab
bc
ca

* Từ BĐT (*) ta chia cả hai vế của BĐT cho số b, ta được:
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔

a3

+ b2 ≥ a ( a + b )
b

b3
c3
2
Tương tự: + c ≥ b ( b + c ) ; + a 2 ≥ c ( c + a )
c
a

Cộng 3 BĐT vế với vế ta được bài toán sau :
-5-


Bài toán 2.
Cho a,b,c là các số dương
a 3 b3 c 3
+ + ≥ a 2 + b2 + c2
b c a

Chứng minh rằng :

Đây là bài toán chứng minh không đơn giản. Nếu biến đổi tương đương hoặc sử
dụng BĐT Cơ si biến đổi mất thời gian, khó thành cơng hoặc dẫn tới bài tốn
khác.
Tiếp tục khai thác thêm BĐT riêng của bài toán 2 bằng cách sử dụng BĐT CôSi
a3
a3
+ b 2 ≥ a ( a + b ) ≥ 2a ab ⇔ + b 2 ≥ 2a ab
b

b

Từ đó ta có bài tốn
Bài tốn 2.1
Cho a,b,c là các số dương
Chứng minh rằng :

a 3 b3 c 3
+ + ≥ 2(a ab + b bc + c ca ) − (a 2 + b 2 + c 2 )
b c a

* Cũng từ BĐT (*) ta chia cả hai vế của BĐT cho a2b3 ta được :
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔

Tương tự :

a 3 + b3 ab(a + b)
a 1
1
1
≥
⇔ 3+ 2≥ 2+
2 3
2 3
ab
ab
b a
b ab

b 1

1 1 c 1
1 1
+ 2≥ 2+ ; 3+ 2≥ 2+
3
c b
c bc a c
a ca

Cộng ba vế của BĐT ta được bài toán
Bài toán 3. Cho a,b,c là các số dương
Chứng minh rằng :

a b c
1
1 1
+ 3+ 3≥
+ +
3
b c a
ab bc ca

* Cũng từ BĐT (*) chia cả hai vế của BĐT cho ab3 ta được
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔

Tương tự ta có :

a 3 + b3 ab(a + b)
a2 1 a 1
≥
⇔

+ ≥ +
ab3
ab3
b3 a b 2 b

b2 1 b 1 c 2 1 c 1
+ ≥ + ; + ≥ +
c3 b c 2 c a3 c a 2 a

Cộng các BĐT trên ta được bài toán
-6-


Bài toán 4. Cho a,b,c là các số dương
a 2 b2 c2 a b c
+ + ≥ + +
b3 c 3 a 3 b 2 c 2 a 2

Chứng minh rằng :

Tiếp tục vận dụng BĐT Cô si

a 1 2
+ ≥ ;
b2 a b

b 1 2
+ ≥ ;
c2 b c

c 1 2
+ ≥
a2 c a

Ta được bài toán quen thuộc sau :
Bài toán 4.1 Cho a,b,c là các số dương
a 2 b 2 c 2 1 1 1 ab + bc + ca
+ + ≥ + + =
b3 c 3 a 3 a b c
abc

Chứng minh rằng :

Hướng khai thác thứ hai từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b)

Kết hợp BĐT a 2 + b2 ≥ 2ab
Nhân vế với vế của hai BĐT trên ta được
Bài toán: Cho a,b là hai số dương
Chứng minh rằng : a 5 + b5 ≥ a 2b 2 (a + b) (**)
* Chia cả hai vế của BĐT (**) cho b2 ta được bài toán ta được
a 5 + b 5 ≥ a 2b 2 ( a + b ) ⇔

a 5 + b5 a 2b 2 (a + b)
a5
≥
⇔
+ b 3 ≥ a 2 ( a + b)
2
2

2
b
b
b

b5
Tương tự : 2 + c3 ≥ b 2 (b + c)
c

c5
; 2 + a 3 ≥ c 2 (c + a )
a

Cộng 3 BĐT trên vế với vế ta được bài toán sau :
Bài toán 5: Cho a,b,c là hai số dương
Chứng minh rằng :

a 5 b5 c 5
+ 2 + 2 ≥ a 2b + b 2c + c 2 a
2
b c a

* Từ BĐT (**) chia cả hai vế cho tích a2b2 ta được
a 5 + b 5 ≥ a 2b 2 ( a + b ) ⇔

Tương tự ta có

a 5 + b5
a 3 b3
≥

a
+
b
⇔
+
≥ a+b
a 2b 2
b2 a 2

b3 c 3
+ ≥b+c;
c 2 b2

c3 a 3
+ ≥c+a
a 2 c2

Cộng các BĐT trên ta được BĐT
-7-


Bài toán 6: Cho a,b,c là hai số dương
Chứng minh rằng :

a 3 + c 3 b 3 + c 3 b3 + a 3
+
+
≥ 2(a + b + c)
b2
a2

c2

* Từ BĐT (**) cộng cả hai vế cho tích ab ta được
a 5 + b5 ≥ a 2b 2 (a + b) ⇔ a 5 + b5 + ab ≥ a 2b 2 (a + b) + ab kết hợp với điều kiện abc=1
a 5 + b5 + ab ≥
⇔

a+b 1 a+b+c
1
c2
ab
abc 2
+
=
⇔
≤
⇔
≤
c2
c
c2
a 5 + b5 + ab a + b + c
a 5 + b 5 + ab a + b + c

ab
abc 2
ab
c
≤
⇔ 5 5

≤
5
5
a + b + ab a + b + c
a + b + ab a + b + c

Tương tự ta có các BĐT

bc
a
≤
;
5
b + c + bc a + b + c
5

ca
b
≤
5
c + a + ca a + b + c
5

Cộng các BĐT trên ta có bài tốn
Bài tốn 7: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc=1
Chứng minh rằng :

ab
bc
ca

+ 5 5
+ 5
≤1
5
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca
5

Hướng khai thác thứ ba từ BĐT (*)
*Từ BĐT (*) a 3 + b3 ≥ ab(a + b)
Và các BĐT : b3 + c3 ≥ bc(b + c ); c 3 + a 3 ≥ ca (c + a )
Cộng các BĐT trên ta được BĐT
Bài toán 8: Cho a,b,c là ba số dương
2(a 2 + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c ) + ca (c + a )

Nếu thêm điều kiện abc=2 suy ra ab =
Tương tự ta cũng có : bc(b + c) =

2
2( a + b)
nên ab(a + b) =
c
c

2(b + c)
2(c + a)
; ca(c + a) =
a
b

Khi đó ta có bài tốn

Bài tốn 8.1 : Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc=2
Chứng minh rằng : a 2 + b3 + c3 ≥

a+b b+c c+a
+
+
c
a
b

Ta suy nghĩ thêm, nếu từ các BĐT riêng của bài 8: a 3 + b3 ≥ ab(a + b)
-8-


Kết hợp BĐT Cô si a + b ≥ 2 ab ta được BĐT a 3 + b3 ≥ 2ab ab
Khi đó ta được bài tốn
Bài tốn 8.2 : Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng : a 2 + b3 + c3 ≥ ab ab + bc bc + ca ca
Bài toán sẽ trở lên đẹp hơn nếu ta bổ sung thêm giả thiết tích abc=1 khi đó ta
được bài toán .
Bài toán 8.3 : Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc=1
3

3

3

 1   1   1 
Chứng minh rằng: a + b + c ≥  ÷ +  ÷ +  ÷
 a  b  c

2

3

3

* Từ BĐT (*) a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ta cộng cả hai vế với tích abc
a 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c) ⇔
1

1
1
≤
3
a + b + abc ab(a + b + c)
3

1

1

1

Tương tự ta có các BĐT b3 + c3 + abc ≤ bc (a + b + c ) ; c3 + a 3 + abc ≤ ca (a + b + c)
Cộng các BĐT trên ta được BĐT
Bài toán 9: Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

1
1

1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

Nếu thêm điều kiện abc=1 ta có bài tốn quen thuộc
Bài tốn 9.1 Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc=1
Chứng minh rằng :

1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤1
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3

* Cũng từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ a 3 ≥ ab(a + b) − b3
⇔ 3a 3 ≥ 2a 3 + 2ab( a + b) − ab( a + b) − b3
⇔ 3a 3 ≥ 2a (a 2 + ab + b 2 ) − b(a 2 + ab + b 2 )
⇔ 3a 3 ≥ (a 2 + ab + b 2 )(2a − b) ⇔

3a 3
≥ 2a − b
a 2 + ab + b 2

Làm tương tự
-9-


3b3
3c3
≥
2
b
−
c
≥ 2c − a
;
b 2 + bc + c 2
c 2 + ca + a 2

Cộng ba BĐT vế với vớ ta được bài toán
Bài toán 10 Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

3a 3
3b3
3c 3
+
+
≥ a+b+c

a 2 + ab + b 2 b2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

* Cũng Từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ 2(a 3 + b3 ) ≥ ab(a + b) + a 3 + b3
⇔ 2(a 3 + b3 ) ≥ ab(a + b) + a 3 + b3
⇔ 2(a 3 + b3 ) ≥ ab(a + b) + (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
⇔ 2(a 3 + b3 ) ≥ (a + b)(a 2 + b 2 )
a 3 + b3 a + b
⇔ 2
≥
a + b2
2

Tương tự ta có các BĐT
b3 + c3 b + c
≥
;
b2 + c 2
2

c3 + a3 c + a
≥
c2 + a2
2

Cộng các BĐT trên ta được bài toán
Bài toán 11 Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

a3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3

+
+
≥ a+b+c
a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a2

Hướng khai thác thứ bốn từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ 3(a 3 + b 3 ) ≥ 3ab(a + b)
⇔ 4(a 3 + b3 ) ≥ 3ab( a + b) + a 3 + b3
⇔ 4(a 3 + b3 ) ≥ (a + b)3
⇔ 8(a 3 + b3 ) ≥ 2(a + b)3
3

a 3 + b3  a + b 
⇔
≥
÷
2
 2 

Kết hợp BĐT quen thuộc

1 1
4
+ ≥
a b a +b

- 10 -


Nhân hai vế của BĐT ta được :

Bài toán 12 Cho a,b,c là ba số dương

3
3 
2
Chứng minh rằng : (a + b )  + ÷ ≥ (a + b)
a b
1

1





*Cũng từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ 4(a 3 + b3 ) ≥ (a + b)3
3

1
1
c3
 c 
⇔
≥
⇔
≥

÷

3
3
(a + b)3 4(a 3 + b3 )
 a + b  4(a + b )
3

3

a3
b3
 a 
 b 
≥
≥
Tương tự ta có các BĐT 
;
÷

÷
3
3
3
3
 b + c  4(b + c )  c + a  4(c + a )

Cộng 3 BĐT trên vế với vế ta được BĐT
Bài toán 13 Cho a,b,c là ba số dương
3

3

3

c3
a3
b3
 c   a   b 
+
+
Chứng minh rằng : 
÷ +
÷ +
÷ ≥
3
3
3
3
3
3
 a + b   b + c   c + a  4(a + b ) 4(b + c ) 4(c + a )

Nếu kết hợp BĐT quen thuộc sau
x
y
z
3
+
+
≥
y+z z+x z+x 2

Khi đó ta có bài tốn
Bài tốn 13.1 Cho a,b,c là ba số dương
3

3


 

Chứng minh rằng : 
÷ +
÷
 a+b b+c 
c

a

*Cũng từ BĐT (*)
a 3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ 4(a 3 + b3 ) ≥ (a + b)3
a + b ≤ 3 4(a 3 + b3 ) ⇔
⇔

3

 b  3
+
÷ ≥
c+a 8

1
1
≥
a + b 3 4(a 3 + b3 )

c
c
≥
a + b 3 4(a 3 + b3 )

- 11 -


a

a

b
b
≥
3
3
c+a
4(c + a 3 )

Tương tự ta có các BĐT b + c ≥ 3 3 3 ;
4(b + c )
Cộng ba BĐT trên ta được
Bài toán 14 Cho a,b,c là ba số dương

Chứng minh rằng :

b
3

4(c + a )
3

Kết hợp BDDT quen thuộc

3

+

a
3

4(b + c )
3

3

+

c
3

4(a + b )
3

3

≤

a
b
c
+
+
b+c c+a a+b

a
b
c
+
+
<2
b+c c+a a +b

Ta được bài toán
Bài toán 14.1 Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng :

b
3

4(c + a )
3

3

+

a
3

4(b + c )
3

3

+

c
3

4(a + b3 )
3

<2

Các bài tập áp dụng :
Bài toán 15. Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng : 2(a 5 + b5 + c5 ) ≥ a 2b 2 (a + b) + b 2c 2 (b + c ) + c 2 a 2 (c + a)
Bài toán 16. Cho a,b,c là ba số dương
Chứng minh rằng : a 5 + b5 + c5 ≥ a 2b 2 ab + b 2c 2 bc + c 2 a 2 ca
Bài toán 17. Cho a,b,c là ba số dương
a 5 b5 c 5
+ +
≥ a 3 + b3 + c 3

bc ca ab

- 12 -


C. THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT
Với phương pháp nêu trên, hầu hết các em đều đã biết cách giải một bài tập
với những dạng bài tập khác nhau. Qua khảo sát các bài tập cho học sinh làm tôi
thấy kết quả như sau:
Có 55 em học sinh khối 9 tham gia vào quá trình triển khai đề tài
Trước khi triển khai đề tài
Tổng số

<5
%

Sl
hs
55
35
63.6
Sau khi triển khai đề tài
Tổng số
hs
55

Sl
20

Sl

<5
%

Sl

5

9

30

5 → 7.5
%

Sl

8 → 10
%

Sl

8 → 10
%

36.4
5 → 7.5
%
54.5

20

36.5

Kết quả tuy chưa cao, song nó cũng là cả một q trình nghiên cứu tìm tịi. Kết
quả này cịn có thể cao hơn nếu có sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp
cho bài viết của tôi.

KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
- 13 -


Việc rèn kỹ năng và phát triển tư duy toán học giúp học sinh khá giỏi luyện thi
vào Trung học phổ thông, về rèn kỹ năng cho học sinh qua khai thác bài bất đẳng
thúc cịn có thể mở rộng các bài toán khác nữa hay hơn từ các bài tốn đơn giản
trong SGK.
Là một giáo viên có trách nhiệm với công việc, được giao nhiệm vụ nhiều năm
bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi vào Trung học phổ thông, bản thân tơi đã rút ra
được bài học sau:
Về phía giáo viên: Cần phải nắm vững kiến thức cơ bản của bộ môn, sắp xếp
thành hệ thống các dạng bài để từ đó tìm ra được phương pháp tối ưu - có hiệu
quả .
Đầu tư, tích luỹ, sàng lọc, thử nghiệm qua thực tế giảng dạy của bản thân và đồng
nghiệp để tìm ra phương pháp tốt nhất, hiệu quả nhất .
Về phía học sinh:
Dạy cho các em phương pháp suy luận logíc Tốn học, trình bày khoa học những
hiểu biết của mình .
Dạy cho học sinh biết phân tích - nhận dạng bài tốn để từ đó có cách giải hợp lí
Nắm vững phương pháp - các bước để giải các dạng bài .
Kiến nghị: Các cấp quản lý về chuyên môn cần tổ chức tập huấn các nội dung

nâng cao chất lượng chuyên môn nghiệp vụ trong từng kỳ, từng năm để ngày
càng nâng cao chất lượng dạy học.
Bàn về khía cạnh nhỏ này trong chương trình dạy học tốn, tơi mong muốn đem
đến cho học sinh những niềm đam mê với mơn học, góp phần nhỏ khắc phục tình
trạng lúng túng của học sinh khi gặp dạng toán cùng loại và trang bị cho các em
đầy đủ tri thức - kiến thức quan trọng - chìa khố vạn năng để mở mọi cánh cửa
trong tương lai .
Đây chỉ là ý kiến nhỏ mang tính cá nhân, sự hiểu biết có thể chưa tồn diện, rất
mong được sự đóng góp ý kiến chân thành của các bạn và đồng nghiệp .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- 14 -


1. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS NXBGD
2. Phương pháp dạy học mơn tốn - NXB Giáo dục
3. Một số vấn đề phát triển đại số 9 - NXB Giáo dục
4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số - NXB Giáo dục
5. Phương pháp giải toán Bất đẳng thức và cựa trị - NXB đại học quốc gia Hà
Nội .
6. Nâng cao và phát triển Toán 9 - NXB Giáo dục
7. Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp hai-NXB trẻ TPHCM
8. Bài toán chọn lọc cấp II-NXB trẻ 1997
9. 2004Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB ĐHSP Hà Nội
10.Tạp chí tốn học tuổi trẻ hàng năm.
------------------------

MỤC LỤC
- 15 -

NỢI DUNG
Thơng tin chung về sáng kiến..............................................................
Tóm tắt sáng kiến.................................................................................
Mơ tả sáng kiến . ................................................................................
I/ Cơ sở lý luận.....................................................................................
II/Cơ sở thực tiễn .................................................................................
III/ Mục đích nghiên cứu…………………………………………….
IV/ Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………….
V/ Giới hạn đề tài ……………………………………………………
A/ Các kiến thức và kỹ năng cần thiết ................................................
B/Các hướng khác nhau của bài toán ................................................
C/Thực nghiệm khảo sát......................................................................
Phần III- Kết luận ...............................................................................
Tài liệu tham khảo...............................................................................
Mục lục

- 16 -

Trang
1
2
3
3
3
4
4
5
5
5
14

15
16
17