SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

THCS: Trung học cơ sở
HS:

Học sinh

GV:

Giáo viên

SGK:

Sách giáo khoa

CNTT: Công nghệ thông tin
BĐTD: Bản đồ tư duy
PSTG: Phân số tối giản
ĐN:

Định nghĩa

(a, b): ƯCLN(a;b)
a\b : a là ước số của b hay b chia hết cho a.
NXBGD: Nhà xuất bản giáo dục

-1-


MỤC LỤC

Nội dung
ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang
3

Lý do chọn đề tài

3

Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu

4

Đổi mới trong kết quả nghiên cứu

4

1.1. Cơ sở lý luận

6
6
6

1.2. Thực trạng

6

Chương I

Chương II

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Cơ sở lí luận, thực trạng vấn đề ......

Các giải pháp ......................

.2.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản
2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan .......
2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác

7
7
10
12

Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản
Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản.
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc .......
Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước

12
19
21
23

Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước

25

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

28
31

ĐẶT VẤN ĐỀ
-2-


Lí do chọn đề tài
Qua nhiều năm học tập, nghiên cứu, giảng dạy bộ môn Toán ở trường
THCS, tôi rất tâm đắc câu nói nổi tiếng của nhà toán học vĩ đại người Đức, Vua
toán CARL FRIEDRICH GAUSS: “Toán học là ông hoàng, số học là bà chúa”.
Thực ra, trong chương trình toán ở cấp THCS phần kiến thức phân môn số
học chiếm không nhiều, trong đó kiến thức được học về phân số tối giản (PSTG)
lại càng khiêm tốn. Vì vậy, đối với các em học sinh THCS, việc giải quyết các bài
toán số học có liên quan tới PSTG không phải là vấn đề dễ dàng nhất là với các
em học sinh lớp 6.
Bài toán về PSTG là một trong những dạng toán có nhiều cách sử dụng câu
hỏi khác nhau với cùng một yêu cầu. Mặt khác trong thực tế, thường thì các em HS
lớp 6 chỉ mới làm quen và dừng lại ở dạng toán đơn giản, tường minh về phân số
tối giản. Vì thế khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dưới dạng tử và mẫu là
những biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minh phân số đó là PSTG
hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số đã cho trở thành PSTG thì đa số
các em gặp phải khó khăn, lúng túng do chưa nắm vững bản chất của dạng toán,
thiếu kinh nghiệm trong việc huy động lượng kiến thức liên quan cũng như khả
năng ngôn ngữ hạn chế và chưa quen với việc sử dụng các lập luận có căn cứ.
Trên thực tế, chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm ban đầu về
PSTG trong một thời lượng hạn hẹp. Sách bài tập và các nguồn sách tham khảo chỉ

đưa ra một số bài tập khác nhau và lời giải cụ thể cho mỗi bài mà chưa có sự khái
quát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm vi kiến thức liên quan nên
trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng quan tâm khai thác,
thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyện dạng toán về
PSTG cho các em vì vậy đa số HS thấy thiếu tự tin khi gặp loại toán này.
Song nếu chịu khó đầu tư quan tâm nghiên cứu và dành thời gian để rèn
luyện thì bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán hay, thu hút
người dạy, người học và có nhiều ứng dụng, góp phần kích thích được tính tích
cực, kiên nhẫn tìm tòi, khả năng sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của người
học.
-3-


Những năm gần đây, đẩy mạnh ứng dụng CNTT và Bản đồ tư duy vào dạy
học nên trong khi thực hiện đề tài tôi đã mạnh dạn phát huy lợi thế của công cụ
đắc lực đó ở một số bước thực hiện đem lại những hiệu quả nhất định đồng thời
kích thích được lòng say mê và hứng thú của học sinh, được học sinh hưởng ứng
nhiệt tình và cũng đã tạo được cho các em một lối tư duy sáng tạo, cách ghi chép,
học tập hiệu quả, khả năng nhớ lâu kiến thức và rèn kỹ năng ôn tập sáng tạo cho
các em.
Việc cho học sinh tự mình khai thác phát hiện và tự đặt câu hỏi cho bài toán
cũng là một điểm mới mà đề tài đã khai thác và thu được nhiều điều thú vị đáng
chia sẻ.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương I
-5-


CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC

DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN HIỆN NAY
1.1 Cơ sở lí luận
Tất cả mọi dạng toán đều đòi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích
quan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình huống
giải toán cụ thể.
Việc hướng dẫn HS đi từ ôn tập kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán cơ
bản sau đó nâng dần lên theo mức độ và khả năng tiếp thu của học sinh là hoàn
toàn phù hợp với quá trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp,
từ cụ thể đến trừu tượng).
Trong học tập nói chung, học toán nói riêng nếu người học được tự mình xây
dựng hệ thống kiến thức cho mỗi chủ đề và khai thác ứng dụng các kiến thức đó
vào thực tế giải toán thì không chỉ giúp người học nhớ lâu tránh được lối tiếp thu
thụ động mà còn tạo được thói quen làm việc năng động, tích cực, sáng tạo đồng
thời góp phần hướng tới mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học nhằm tích cực
hóa hoạt động học tập của HS.
Đối tượng HS lớp 6 thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể hiện khả năng sáng
tạo tìm tòi của bản thân nên việc thực hiện đề tài cũng có nhiều thuận lợi nhất
định.
1.2 Thực trạng
Trên thực tế, khi dạy về phân số tối giản, đa phần GV đã có sự định hướng
cho HS về kiến thức cũng như phương pháp.Tuy nhiên, để đi sâu khai thác, phân
tích các dạng toán từ đó hình thành cho HS một “cái nhìn” tổng quan về kiến
thức và các dạng bài toán cũng như các hướng khai thác bài toán thì GV chưa
thật sự quan tâm đầu tư thích đáng. Hơn nữa GV chưa thật chú trọng rèn luyện
cho HS thói quen xem xét kết quả của một bài toán hay rèn luyện các cách phát
biểu khác nhau cho cùng một vấn đề hoặc sử dụng các tính chất đã học để khai
thác bài toán.
Mặt khác, đối với HS lớp 6, khả năng ngôn ngữ còn hạn chế, năng lực tư
duy còn non nớt, thói quen lập luận có căn cứ chưa được rèn luyện do đó HS
-6-

thường bị bối rối khi thay đổi các câu hỏi theo các cách khác nhau với cùng một
yêu cầu của bài toán. Khi ôn tập HS cũng chưa thật sự chú ý đến mối quan hệ
giữa các kiến thức liên quan do đó HS chưa tìm ra được “sợi chỉ” xuyên suốt, xâu
chuỗi các kiến thức đó với nhau.Vì vậy hầu như HS chưa phát huy được tính tích
cực khi học tập về PSTG.
Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp thực
hiện như sau:

Mọi phân số đều
đưa Chương
được về II
dạng tối giản
CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN CÓ HIỆU QUẢ TRONG VIỆC

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Tổng, hiệu của
Phân số không
VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
một số nguyên
rút gọn được
với HS nắm vững kiến thức cơ bản
2.1. Giúp
nữa
PSTG
Trước
hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và PSTG:
là PSTG
 Phân số là số có dạng

a
( a, b  Z ; b
b

0)

 Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.
 Phân số

a
( a, b  Z ; b
b

0)
là phân
tối giản
nếu ƯCLN(a;b) = 1.
PHÂN
SỐsốTỐI
GIẢN

 Mọi phân số đều có thể đưa về dạng tối giản.
 Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.
 Nếu phân số

a
b
là PSTG thì phân số
cũng là PSTG.

b
a

tối giản thì
 Tổng
cũng
tối (hiệu)
giản của một số nguyên và một phân số tối giản là một PSTG.

ƯCLN(a;b) =1
Đối với bước này, để giúp HS dễ nhớ, nhớ lâu và nhìn thấy sự liên kết
tối năng
giản diễn
của đạt một vấn đề theo các cách
giữa các khái niệm cũng như Dạng
rèn khả
một phân số là duy
khác nhau để dễ dàng liên hệ đến thực
nhấttế giải toán thì việc vận dụng bản đồ
tư duy mang lại hiệu quả đáng kể.
Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi đã dẫn dắt HS xây dựng được sơ đồ
sau (Sơ đồ 1):

Sơ đồ 1

-7-


Sơ đồ 1

-8-


Cần chú ý phân tích cho HS thấy rõ mối quan hệ qua lại của các kiến thức
liên quan được thể hiện bằng các mũi tên hai chiều trên sơ đồ.
Với vốn kiến thức cơ bản đó, HS dễ dàng nhận ra phân số cho dưới dạng
tường minh là PSTG hay không là PSTG. Đây là dạng bài cơ bản đầu tiên ở mức
độ nhận biết nên các em trả lời đúng và giải thích một cách rõ ràng.
Chẳng hạn:
Trong các phân số sau phân số nào là PSTG, phân số nào không là PSTG?
8 9 11 8 6 17
; ; ; ; ;
11 15 8 15 17 6

Đối với ví dụ này GV cần đặt yêu cầu cao ở lời giải thích của HS nhằm
giúp các em quen với lập luận có căn cứ.
 Phân số

8
là PSTG vì ƯCLN(8;11) =1
11

 Phân số

9
không là PSTG vì ƯCLN(9;15) =3 �1
15

 Phân số

8
là PSTG vì ƯCLN(8;15) =1
15

 Phân số

6
là PSTG vì ƯCLN(6;17) = 1
17



17
:
6

Phân số

* Cách 1: Phân số

17
là PSTG vì ƯCLN(17;6) = 1
6

* Cách 2: Phân số

17
6
là PSTG vì phân số
là PSTG

6
17

* Cách 3: Phân số

17
5
5
17
là PSTG vì  2  , mà là PSTG vì ƯCLN(5;6) = 1.
6
6
6
6

Với phân số cụ thể, tử và mẫu không quá lớn thì cách 1 đơn giản và dễ
hiểu hơn và cách 2, cách 3 thường áp dụng cho phân số có tử và mẫu là số có
giá trị tuyệt đối lớn hoặc phân số chứa tham số.Tuy nhiên ngay từ đầu GV
cũng cần cho HS làm theo các cách khác nhau để vừa củng cố kiến thức vừa
giúp HS làm quen với cách lập luận và tính phong phú của phương pháp giải
toán đồng thời biết lựa chọn cách giải ưu việt nhất cho mỗi bài toán.
-9-


Như vậy, về cơ bản HS đã nắm được cách kiểm tra một phân số là PSTG
hay là phân số chưa tối giản.Trên cơ sở nền tảng đó GV giúp HS xác định rõ
bản chất của bài toán về PSTG. Chẳng hạn GV có thể nêu câu hỏi như sau:
“Muốn kiểm tra hay chứng minh một phân số nào đó có phải là PSTG hay
không ta cần làm gì?”
HS dễ nhận ra “bản chất của bài toán là tìm ƯCLN của hai số”.

2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan đến dạng toán
về PSTG
Có nhiều cách làm khác nhau có thể giúp HS xây dựng được hệ thống các
kiến thức liên quan. Song với tinh thần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
cũng như giúp HS nắm được “mạch” kiến thức một cách có lôgic, có sức
thuyết phục, dễ nhớ, dễ hiểu mà không tách rời với khoa học bộ môn đồng
thời kích thích được tính sáng tạo ở HS thì GV có thể tiếp tục sử dụng bản đồ
tư duy đối với bước này(Sơ đồ 2)

- 10 -


Kiểm tra
phân số
tối giản

ƯCLN
PP
xác
định

Trực tiếp: Thuật
toán Ơclit
(Euclude)

Gián tiếp: Chủ yếu
dùng tính chất chia
hết của tổng, hiệu

Các tính chất:

Phản
chứng

Ứng dụng thường
dùng:
a + 1d và a d thì
1 d nên d = 1

Sơ đồ 2

- 11 -


Trong đó:
1. Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b):
Ta tìm UCLN(a ;b) bằng cách dùng thuật toán Euclide như sau :
a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b
b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1
....
rn-1 = rnqn

.

Thuật toán phải kết thúc với một số dư bằng 0
Do đó ta có: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) =...=(rn-1; rn) = rn.
Ví dụ: Tìm ƯCLN (153 ; 119)
Ta có :
(153 ;119) = (34 ;119) = (34 ; 85) = (51 ; 34) = (17;34) = (17;17) = 17
Vậy: ƯCLN(153 ;119) = 17.

Với việc vận dụng thuật toán Euclid tìm ƯCLN của hai số đối với học sinh lới 6
chỉ nên dừng lại ở hai số cụ thể. Sau khi học phép chia đa thức (ở lớp 8) học sinh
sẽ sử dụng thuật toán này để tìm ƯCLN của hai đa thức.
Chẳng hạn: Chứng minh ƯCLN(n4 +3n2 + 1; n3 + 2n) = 1
2. Chứng minh phản chứng: Giả sử ƯCLN (a;b) = d với d khác 1.
Khi đó kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán dẫn đến một điều vô lí
hoặc trái giả thiết bài toán đã cho thì suy ra chỉ có thể ƯCLN(a;b) = 1.
3. a �b(mod m): a đồng dư với b theo môđun m nghĩa là a và b có cùng số dư
trong phép chia cho m.
2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác
Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản
* Chọn một số bài tập điển hình hướng dẫn học sinh giải và khai thác
Mức áp dụng trực tiếp đối với học sinh trung bình:
Bài 1.1: Chứng tỏ rằng phân số

1
tối giản với mọi n � N, n �0
n

Mọi học sinh đều dễ dàng nhận ra vì ƯCLN(1; n) = 1 với mọi n � N, n �0

- 12 -


Giải: Vì ƯCLN(1,n) = 1 nên

1
là PSTG.
n

+Mức độ được nâng lên và học sinh trung bình cũng giải được:
Bài 1.2: Chứng minh rằng phân số

2011
là phân số tối giản.
2012

GV giúp học sinh nhận định rõ phương pháp và kiến thức cần sử dụng. Rõ
ràng đây là bài toán cần tìm trực tiếp ƯCLN ( 2011; 2012) Từ đó các em thấy được
cách làm là sử dụng thuật toán Euclide để xác định nhanh ƯCLN(2011;2012)
Giải:

Áp dụng thuật toán Ơclit tìm ƯCLN của hai số ta có:

ƯCLN ( 2011; 2012) = ƯCLN( 2011; 1 ) = 1
Do đó phân số

2011
là phân số tối giản.
2012

Sau khi HS giải quyết được bài toán 1.2, GV đặt vấn đề:
? Nếu có bài toán”Chứng minh rằng 2011 và 2012 là hai số nguyên tố cùng
nhau” thì phải làm thế nào?
HS dễ dàng nhận ra thực ra cũng chính là bài toán trên nhưng chỉ thay đổi
cách nêu câu hỏi mà thôi.
Lúc này GV có thể cho HS nêu các câu hỏi khác cho cùng yêu cầu trên,
chẳng hạn HS có thể nêu:
- Tìm ƯCLN(2011;2012)
Hay: - Chứng minh rằng ƯCLN(2011;2012)=1

Hoặc: - Chứng tỏ rằng phân số

2011
là phân số không rút gọn được nữa
2012

Hoặc: - Tử và mẫu của phân số

2011
có thể cùng chia hết cho các số nào?
2012

Với cách làm này, HS thấy được với cùng một bài toán nếu nắm được bản
chất có thể tự mình đặt các câu hỏi khác nhau, diễn đạt yêu cầu theo các cách khác
nhau và các em thực sự rất hào hứng. Sau đó GV tiếp tục nâng bài toán lên với
mức độ khó hơn và luôn đặt ra yêu cầu này để các em được rèn luyện về ngôn ngữ
cũng như nắm vững được bản chất của bài toán.
Từ bài toán 1.1, áp dụng nhận xét “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một
PSTG là một PSTG” GV hướng dẫn HS cùng khai thác theo cách sau:
- 13 -


? Cộng (hoặc trừ) 1 đơn vị ở phân số trong bài toán 1.1 ta có phân số nào? (HS dễ
dàng làm được)
? Phân số thu được có phải là PSTG không? Vì sao?
? Vậy ta có bài toán nào? Nêu cách giải?
Với phương pháp này HS thấy đã tự mình khám phá ra một bài toán mới khó
hơn nên các em rất say sưa, hứng thú.
+ Nâng bài toán lên dạng khái quát với tham số dành cho HS mức trung bình khá
Bài 1.3:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì các phân số sau là phân số
tối giản
a,

n 1
1
(Kết quả của 1+ )
n
n

b,

n 1
1
(Kết quả của 1- )
n
n

Tiếp tục cho học sinh nêu các cách giải khác nhau để các em thấy được sự phong
phú trong giải toán
Giải:
a, Cách 1
Theo thuật toán Euclide: ƯCLN( n ; n + 1) = UCLN (1; n + 1) = 1
do đó

n 1
là phân số tối giản ( áp dụng thuật toán Euclide)
n

Cách 2: Giả sử ƯCLN( n; n +1) = d khi đó (n + 1) Md và n Md suy ra 1 Md (tính

chất chia hết của một tổng) vậy thì d = 1 nên
Cách 3: Ta có:

n 1
là phân số tối giản
n

n 1
1
1
n 1
= 1  mà là PSTG vì ƯCLN(1; n) = 1 nên
tối giản
n
n
n
n

do “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG”(Về thực chất
đây cũng là thuật toán Euclide).
b, Giải tương tự.
Với bài toán này có nhiều hướng khai thác, tuy nhiên nhằm vừa khai thác
vừa củng cố kiến thức thì đến đây GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục khai thác theo
hướng sau:
? Nếu đổi tử cho mẫu ta có phân số nào? Hãy nêu bài toán mới?
- 14 -


Với sự hướng dẫn đó HS hoàn toàn tự tin nêu bài toán mới:
Bài 1.3’: Chứng minh rằng các phân sau là phân số tối giản

a,

n
(Với n là số tự nhiên khác 0)
n 1

b,

n
(Với n là số tự nhiên khác 0 và 1)
n 1

Bài toán này HS hoàn toàn tự giải quyết được với việc áp dụng nhận xét:
“

a
b
tối giản thì cũng tối giản”
a
b
Với bài toán này GV tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách hỏi khác nhau để có bài

toán cùng bản chất nhằm tiếp tục rèn luyện kỹ năng ngôn ngữ cho HS. Chẳng hạn:
 Tìm ƯCLN(n; n+1) với n � N*
 Chứng minh rằng ƯCLN(n; n+1) = 1 với n � N*
 Chứng tỏ rằng n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Với n � N*
 Tử và mẫu của phân số

n
(n � N*) có thể cùng chia hết cho số tự nhiên

n 1

nào?
….
Trên cơ sở của bài toán 1.1, nếu thay đổi số nguyên đem cộng vào hoặc kết
hợp các kiến thức đã được ôn tập từ sơ đồ 1 các em sẽ thu được nhiều bài toán khó
hơn và rất thú vị. Lúc này HS thật sự vào cuộc hăng hái và thích thú. Kết quả là có
nhiều bài toán mới khác nhau được nêu lên. Chẳng hạn:
Bài 1. 4 Chứng minh rằng với n �Z các phân số sau tối giản.
a,

n
1
( n khác 0) (HS lấy nghịch đảo của tổng 2  )
2n +1
n

b,

1
1
1
(HS đã suy luận từ là PSTG nên
cũng là PSTG)
7n  1
n
7n  1

c,

7n +1
1
(HS lấy nghịch đảo của tổng 2 
)
14n +3
7n  1

Việc trình bày lời giải lúc này trở nên nhẹ nhàng hơn nhiều đối với các
em.Do đó các em thấy rất tự tin. (Xin miễn trình bày lời giải cho bài toán này)
Với đối tượng HS có khả năng tư duy tốt, GV có thể mạnh dạn khai thác sâu
hơn bằng cách sau:

- 15 -


+Dành cho HS khá giỏi khai thác:
1
là PSTG nếu cộng thêm một số tự nhiên bất kỳ nào đó dưới dạng
n

? Từ phân số

tổng quát thì có bài toán sẽ khó hơn, hay hơn.
Kết quả là một số em khá giỏi đã cộng thêm số nguyên dạng n; 2n; n 2 ... vào và thu
được bài toán:
Bài 1.5: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
a,

1
n2  1

(với mọi n �Z, n khác 0) - (kết quả của  n )
n
n

b,

n
1
(Lấy nghịch đảo của  n )
n 1
n

c,

7n  1
1
(với mọi n �Z) - (Lấy nghịch đảo của n +
)
2
7n  n  1
7n  1

d,

n
1
1
(với mọi n �Z, n khác 0) - (kết quả của nghịch đảo  n của  n 2 )
n 1
n

n

2

3

1
2n 2  n  1
e,
(Kết quả của 2n  1  )
n
n

Trên đây là các bài toán của cùng một dạng được đưa ra và hướng dẫn HS
lần lượt khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức học
sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sự thích thú,
lôi cuốn kích thích sự tìm tòi đồng thời cũng là một cách khai thác sâu hơn bài toán
chứng minh phân số tối giản và rèn luyện được khả năng diễn đạt cho các em.
Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải để giúp
các em tháo gỡ. Chẳng hạn khi gặp bài toán sau:
Bài 1.6: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số
Phân tích:

a
có là PSTG không?
a2

Nếu ƯCLN (a; a+2) = d thì a Md và a +2 Md do đó 2 Md nên d = 1

hoặc d = 2. Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải là quên yếu tố a là số tự nhiên chia 4

dư 3. Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận

a
không
a2

phải là phân số tối giản.

- 16 -


Giải:

Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a Md và a +2 Md do đó 2 Md nên d = 1 hoặc d =

2. Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1.
Vậy phân số

a
là PSTG.
a2

Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từ bài
toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải và khai
thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất . Tôi đã sử dụng thành công việc chốt vấn
đề bằng sơ đồ sau: (Sơ đồ 3)

- 17 -

Số nguyên cụ thể +PSTG

Số nguyên cụ thể -PSTG

PSTG - Số nguyên cụ thể

Tổng , hiệu của
một số nguyên
với phân số tối
giản

Số nguyên tham số + PSTG

Số nguyên tham số - PSTG

Đổi tử cho mẫu và
đổi dấu phân số

KHAI THÁC
TỪ BÀI TOÁN
CHỨNG
MINH PHÂN
SỐ TỐI GIẢN

Nghịch đảo của
PSTG là PSTG
Đơn thuần đổi tử cho
mẫu

Tìm ƯCLN

Phát biểu dạng khác

Chứng minh ƯCLN
bằng 1
Chứng minh nguyên tố
cùng nhau

Tử và mấu có ước
chung nào?

Sơ đồ 3

- 18 -


……
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố
cùng nhau:
a. Hai số lẻ liên tiếp
b. 2n + 1 và 3n + 1
c. 21n + 4 và 14n + 3
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản
2n  1

a. 2n(n  1) ( Với n khác 0 và - 1)

b.

3n  2
(Với n là số tự nhiên)
5n  3

Khi HS đã nắm bắt một cách chắc chắn các dạng toán điển hình, tôi mạnh
dạn hướng dẫn HS khai thác các dạng toán liên quan.
Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản.
* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn học sinh giải và khai thác
Trước hết GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự giải được
Bài 2.1: Tìm tất cả các số nguyên n để
Giải:

Để

7
(n khác 1) là phân số tối giản.
n-1

7
(n khác 1) là PSTG ta phải có ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1
n-1

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN( n - 1, 7 ) � 1 thì n  1M7
hay n – 1 = 7k (k � Z, k khác 0 ) do đó n = 7k + 1 ( k �Z, k khác 0)
nên ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1 khi n � 7k + 1 ( k �Z)
Phân tích: Vì nếu

7
7
n-8

là PSTG thì 1 
cũng tối giản tức là
cũng tối giản
n-1
n-1
n-1

do đó GV có thể hướng dẫn HS khai thác theo hướng đã nêu ở dạng 1 để có bài
toán mới sau:
Bài 2.2: Tìm tất cả các số nguyên n để
Lược giải: Vì

n-8
(n khác 1) là phân số tối giản.
n-1

n-8
7
n-8
= 1
nên
(n khác 1) là PSTG khi
n-1
n-1
n-1

7
là PSTG là
n-1

phân số tối giản (Tiếp tục như bài toán 2.1)

- 19 -


Hoàn toàn có thể khai thác bài toán theo các bước đã làm đối với dạng 1 HS đã
nêu được một số bài toán mới. Chẳng hạn:
Bài 2.3: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a,

2n-9
7
(Kết quả của 2 
)
n-1
n-1

b,

3n+4
7
(Kết quả của 3 
)
n-1
n-1

7
n 2 -n-7
c,
(Kết quả của n 

)
n-1
n-1

d,

n-1
7
(Kết quả của nghịch đảo của 2n 
)
2n -2n-7
n-1
2

Để đánh giá được mức độ tiếp thu của HS có thể cho HS thực hành giải và
khai thác trên bài toán cụ thể. Chẳng hạn:
Bài 2.4: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số

3
là phân số tối giản.
2n  3

Hãy giải và đề xuất cách khai thác bài toán mới?
Giải: Vì 3 là số nguyên tố nên

3
là PSTG khi 2n + 3 không chia hết cho 3.
2n  3

Do 3 M3 nên 2n M 3 khi n M3 hay n �3k (k là số nguyên).

Sau khi giải HS đã đề xuất tốt các bài toán mà các em khai thác được. Chẳng
hạn:
Bài 2.5:

Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.

a,

4n+3
3
(Kết quả của 2 
)
2n+3
2n  3

b,

3
4n 2 + 6n + 3
(Kết quả của 2n 
)
2n + 3
n+3

.....
Lưu ý: Với các bài toán dạng 2, GV vẫn tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách diễn đạt
câu hỏi khác nhau. Chẳng hạn:
+ Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho là PSTG
+ Với những giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số đã cho không rút gọn được

nữa
- 20 -


* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác
Bài 1. Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau:
a. 4n + 3 và 2n +3
b. 7n + 13 và 2n + 4
Bài 2. Tìm số tự nhiên n để:
18n + 3
là PSTG.
21n + 7

a, Phân số
b, Phân số

8n  193
là PSTG.
4n  3

Nếu bài toán dạng 2 yêu cầu tìm tham số n để phân số tối giản thì ngược lại
với bài toán dạng 2 là bài toán rất thường xuyên gặp trong chương trình toán lớp 6
cũng như sau này trong các đề thi thường được khai thác:
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc có giá trị là một số
nguyên, một số tự nhiên
* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Cũng làm tương tự như trên, GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự
giải được. Có thể vận dụng ngay bài toán 2.1 và thay đổi yêu cầu để có bài toán
khác:
Bài 3.1: Tìm tất cả các số nguyên n để

Giải:

Để

7
(n khác 1) là phân số chưa tối giản.
n-1

7
(n khác 1) không là PSTG ta phải có ƯCLN( n – 1; 7 ) � 1
n-1

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN( n - 1, 7 ) � 1 thì n  1M7
hay n – 1 = 7k (k � Z, k khác 0 ) do đó n = 7k + 1 ( k �Z, k khác 0)
Hoàn toàn có thể dùng cách khai thác bài tập như đã khai thác ở dạng 2 và
nêu câu hỏi để có bài toán dạng 3. Khi giải chỉ cần HS nắm vững yêu cầu của bài
toán để điều chỉnh lời giải.Chẳng hạn:
Bài 3.2: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số chưa tối giản.

- 21 -


a,

2n-9
n-1

3n+4
n-1

b,

c,

n 2 -n-7
n-1

d,

n-1
2n -2n-7
2

Nếu chỉ xét trường hợp tử chia hết cho mẫu thì có thể nêu bài toán dưới dạng
sau:
Bài 3.2: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số
9 15
;
x x2

nguyên :
Giải:
a,

9
là một số nguyên khi x khác 0 và là ước số của 9.
x

Do đó x � { �1; �3; �9 }
b,

15
là một số nguyên khi x+2 khác 0 và là ước số của 15.
x2

Do đó x + 2 � { �1; �3; �5; �15 }
Lập bảng:
x+2
x

-15
-17

Vậy

-5
-7

-3
-5

-1
-3

1
-1

3
1

5
3

15
13

15
là một số nguyên khi x � {-17;-7;-5;-3;-1;1;3;13}
x2

Lưu ý: HS lớp 6 mới làm quen với số nguyên âm nên nếu các em đọc không kỹ
đề bài sẽ dẫn đến chỉ xét các ước tự nhiên của tử do đó GV cần nhấn mạnh giúp
HS tránh thiếu sót khi làm bài.
Đến đây, GV hoàn toàn có thể yêu cầu HS khai thác đề bài trên để có bài toán
tương tự. Chẳng hạn:
Bài 3.3: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số
nguyên :
a.

2x+9
9
(Kết quả của 2+ )
x
x

b.

3x+21
15
(Kết quả của 3 +

)
x+2
x2

c.

15
5x 2 +10x+15
(Kết quả của 5x +
)
x2
x+2

…..

- 22 -


* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS luyện giải
Bài 1: Có thể rút gọn phân số

5t + 6
( t �N) cho những số nguyên nào?
8t + 7

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số

21n  3
rút gọn được.
6n  4

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 và 4n + 1 là hai số có ƯCLN khác 1.
Nhấn mạnh các cách nêu yêu cầu khác nhau đối với bài toán dạng này như:
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho có thể rút gọn được
+Tìm số tự nhiên n để hai số cho trước có ƯCLN khác 1
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho nhận giá trị nguyên
.....
Trong thực tế giải toán ta còn gặp những phân số chỉ tối giản khi đi kèm với
một điều kiện khác. Do đó với đối tượng HS khá giỏi, GV mạnh dạn cho các em
tiếp xúc với dạng toán này:
Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước
Đây là dạng bài khó, trừu tượng nên GV cần chú ý dẫn dắt sao cho phù hợp
với đối tượng HS của mình.
*Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Phân tích: Áp dụng nhận xét tổng, hiệu của một số nguyên với một phân số tối
giản là phân số tối giản. Xuất phát từ một phân số tối giản ban đầu dưới dạng tổng
p

quát chẳng hạn q . Tiếp tục khai thác theo hướng trên, GV cho HS cộng thêm một
số nguyên bất kỳ để tạo ra bài toán mới. Để bài toán mở đầu đơn giản GV hướng
dẫn HS cộng thêm 1 đơn vị để có phân số tối giản

p+q
. Khi đó HS tự khám phá
q

được bài toán mới một cách thú vị.
p

Bài 4.1: Cho phân số q tối giản chứng minh rằng phân số

p+q
tối giản
q
p

(Như vậy HS hiểu rõ điều kiện kèm theo của bài toán là phân số q tối giản)
HS có thể chứng minh theo cách đã khai thác
- 23 -


Cách 1:
p+q
=
q

p q
p
  1
q q
q

p

Do q tối giản nên phân số

p+q
p+q
tối
giản

vậy
tối
q
q

giản
Ngoài ra cũng nên cho HS tiếp cận với phương pháp chứng minh phản
chứng như đã giới thiệu ở trên.
Cách 2:
Giả sử

Phản chứng
p+q
không tối giản suy ra
q

ƯCLN ( p + q ; q ) = d khác 1 nên p + q Md và q Md
p

hay ƯCLN ( p,q) = d khác 1. Như vậy trái với đề bài đã có q tối giản vậy

p+q
là
q

phân số tối giản.
Dựa trên cách khai thác đó HS đã đề xuất được một loạt bài tương tự và
hoàn toàn tự giải được, chẳng hạn như:
p

Bài 4.2 Cho phân số q tối giản chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản:
a.

pq + p
q

hay

p(q + 1)
p
p )
(
Kết
quả
của
q
q

p
q2 + p
b.
( Kết quả của q  q )
q

c.

mq + p
p
m  ) (m là số nguyên) ....
(

Kết
quả
của
q
q
p

Mặt khác, nếu phân số q không tối giản thì ƯCLN (p;q) = d (d khác 1). Có thể yêu
cầu học sinh tìm ƯCLN (p+q; q) từ đó đề xuất bài toán mới như sau:
Bài 4.3 Chứng tỏ rằng: ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Giải: Gọi ƯCLN (p;q) = d. Khi đó d \ p và d \ q suy ra d\ p + q. Nên ƯCLN (p+q;
q) = d hay ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Đối với HS có khả năng tư duy tốt hơn GV có thể nêu bài toán khó hơn dưới dạng
câu hỏi khác. Chẳng hạn:

- 24 -


Bài 4.4: Cho phân số tối giản

a
11a + 2b
xét xem phân số
có là phân số tối giản
b
18a + 5b

không?
GV có thể hướng dẫn HS như sau:
? Để xét phân số

11a + 2b
có là phân số tối giản hay không ta cần làm thế
18a + 5b

nào? (Tìm ƯCLN ( 11a + 2b; 18a + 5b) = d và kết hợp với cơ sở

a
tối giản để để
b

xem xét sau khi đã tìm được d)
Giải: :
Gọi d = ƯCLN ( 11a + 2b; 18a + 5b) thì 11( 18a + 5b) Md Và 18.(11a + 2b) Md
suy ra 11.18a + 55b Md và 18.11a + 36b Md do đó 19b Md nên b Md hoặc 19 Md
+ Nếu b Md ta có 5.( 11a + 2b) Md và 3.(18a + 5b) Md Nên a- 5b Md
Vì b Md nên 5b Md suy ra a Md và do

a
tối giản nên d = 1 (*)
b

+ Nếu 19 Md thì d = 19 hoặc d = 1
Từ (*) và (**) suy ra

(**)

11a + 2b
hoặc tối giản hoặc rút gọn được cho 19
18a + 5b

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS luyện giải và khai thác
Bài 1: Chứng minh rằng
a, ƯCLN(5a+3b; 13a + 8b)= ƯCLN(a; b)
b, ƯCLN(a; a + b) = ƯCLN(a; b)
c, ƯCLN(a; a - b) = ƯCLN(a; b)
Bài 2: Nếu a,b,c lẻ thì ƯCLN(a; b; c)= ƯCLN(
Bài 3: Cho

ab bc ca
;
;
)
2
2
2

a
ab
là phân số tối giản, xét xem phân số
có tối giản không?
b
a b

Bài 4: Chứng minh rằng 5n2 + 1 M6 thì

n
n
và
tối giản

2
3

Một dạng bài toán nữa về phân số tối giản mà học sinh được gặp trong
chương trình với các cách giải khác nhau tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Loại toán này góp phần rèn luyện cho HS khả năng tư duy linh hoạt, óc sáng
tạo trong khi làm toán.
- 25 -


Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước
*Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Bài 5.1 Tìm phân số tối giản

a
mà gía trị của nó không đổi khi cộng thêm tử với
b

4, mẫu với 10.
Với bài toán cụ thể này GV định hướng cho HS bám sát đề bài để giải quyết bài
toán.
? Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số

a
a4
ta được phân số nào? (
)
b
b  10

? Lúc này quan hệ giữa hai phân số như thế nào? (

a
a4
=
)
b
b  10

? Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có điều gì? ( a(b+10) = b(a+4) )
? Hãy tìm

a
b

Giải:
Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số
Lúc này ta có:

a
a4
ta được phân số
b
b  10

a
a4
=
b
b  10

Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có a(b+10) = b(a+4)
Suy ra 10a = 4b nên

a
4
2
=
=
b
10
5

Bài 5.2 Tìm phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và cộng mẫu vào mẫu
thì phân số đó tăng lên gấp 2 lần.
Giải: Gọi phân số cần tìm là
Mà

a
a
a
a

ta có:
giảm 2 lần so với
b
b  b 2b
b

ab ab

a
a
1

tăng gấp 2 lần suy ra a + b = 4a nên b = 3a. Do đó =
bb
2b
b
b
3

Với loại bài toán này GV có thể cho HS chọn một phân số tối giản ban đầu, sau đó
tiến hành thêm, bớt ở tử, ở mẫu để có phân số mới. Sau khi nhận xét về quan hệ
giữa tử và mẫu của phân số mới hoặc quan hệ giữa phân số mới với phân số ban
đầu sẽ giúp HS xây dựng được bài toán mới.

- 26 -