Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1
Bài 1. Giải phương trình:

2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2
2sin x  1
Hướng dẫn giải

x
3
2
0

� 
x �  k
�
1
� 6
, k , l �� (*).
Điều kiện: sin x � � �
2
�x �5  l
� 6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2

x
3  0
2

� 2 3 sin x  2 3 sin x.cos x  2 cos x  1  cos x   3  0

�2
�





 



3 sin x  cos x  3sin 2 x  2 3 sin x.cos x  cos 2 x  0
� 3 sin x  cos x  0
3 sin x  cos x  2  0 � �
� 3 sin x  cos x  2

3 sin x  cos x  0 � cot x  3 � x   k , k ��
6

�
�
� �
3 sin x  cos x  2 � 2 �
sin x cos  cos x sin � 2 � sin �x  � 1
6
6�
�

� 6�

3 sin x  cos x

TH1:
TH2:
� x





 
2
  k 2 � x 
 k 2 , k ��
6 2
3

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
x

7
2
 k 2 , x 
 k 2 , k ��.
6
3

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x �(2009; 2011) của phương trình : cos x  sin x  cos 2 x 1  sin 2 x  0

Bài 3. Chứng minh rằng:

1  sin 2a
� �
 cot 2 �
a �
.
1  sin 2a
� 4�

x
y 1
Bài 4. Cho: sin x  sin y  2sin  x  y  , với x  y �k , k ��. Chứng minh rằng: tan  tan  .
2
2 3
www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
3
1  cot x
2
 2cos 2 x  0
cos 2 x
1  cot x
A
B
B

A
Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin .cos 3  sin .cos 3 . Chứng minh
2
2
2
2
rằng tam giác ABC cân.
Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sin x  3 cos x)  3cos 2 x  sin 2 x.
Bài 5. Giải phương trình : 3 tan 2 x 

2
Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin x  2sin x.cosx  cos2 x  a �3
Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c .
l l l l l l
1. Chứng minh rằng: a b  b c  c a �3 3.
c
a
b

2. Nhận dạng tam giác, biết: a  b  tan

C
(a tan a+btanb).
2

�
ax 2  a  y  cos x
�
Bài 10. Định a để hệ: � 2

có nghiệm duy nhất.
sin x  y 2  1
�
2 cos 2 x  sin 2 x
Bài 11. Chứng minh rằng nếu x  2 x 2 thì:
 16
sin 2 x.cos2 x
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những
�
s inx.cos2 y  m 4  2m 2  2
�
.
giá trị tìm được của m: �
cos x.cos2 y  m3  1
�
Bài 13. Cho hai phương trình sau:
2sin 7 x  (1  sin  a).sin x  a.sin 3 x
(1)

(a  1)(1  cos 2 x)  2sin 6 x  2sin 2 x  2( a  1)3

(2)

a. Giải các phương trình trên với a  2 .
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.
�
3 3
sin x  sin y  sin z 
�
�

2 .
Bài 14. Giải hệ phương trình: �
3
�
cos x  cos y  cos z 
�
�
2

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x � 0; 2  sao cho: 2 cos x � 1  sin 2 x  1  sin 2 x �2.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:
3 x
� x  �
cos 2 (a  x )  2cos (a  x)  cos
.cos �  � 2  0.
2a
�2a 3 �
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
3 2
Bài 17. Cho tam giác ABC có tan A  tan C  2 tan B . Chứng minh rằng: cos A  cos C �
.
4
BC
AB  BC


. Tính tổng số đo
Bài 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức:
AB  BC
AC
góc: 3 A  B.

Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max  A, B, C � . Tìm giá trị lớn của biểu thức:
2
2
3
P  sin A  sin B  sin C.
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m  1)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  2m 2  2m  2  0
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x �� ta luôn có sin x  cos x �1 .
Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
m  sin x  cos x  1  sin 2 x  sin x  cos x  2
Bài 23. Giải phương trình: cos 2 x  cos3x  sin x  cos 4 x  sin 6 x .
2x  1
2x  1
2x  1
 sin
 3co s 2
 0 thỏa
Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình sin
x
3x
3x
1
mãn điều kiện x �
10
 5

Bài 25. Tìm m để phương trình mcosx  cos3x  cos2x  1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng ( ; )
2 2
Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P  cos2A  cos2 B  cos2C lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình : 8cos 4 x.cos 2 2 x  1  cos3 x  1  0
sin A sin B sin C


Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết
1
2
3
2
2
Bài 29. Giải phương trình 2cos x  1  cot x   2sin x  1  0
Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2 A  2  cos 2 B  cos 2C   2  0
Bài 31. Tìm
số
tự
nhiên
a
bé
nhất
để
phương
trình
sau
có
nghiệm
:
3


x

x



cos 2  (a  x )  2 cos  (a  x )  cos
. cos
   2 0;
2a
 2a 3 
3 2
Bài 32. Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A  cos C 
;
4
Bài 33. Giải phương trình: 1  tan x.tan 2 x  cos 3 x
Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba góc A, B, C lập thành cấp số cộng với A �B �C và thỏa hệ
thức cos A  cos B  cos C 

1 3
. Tính số đo các góc A, B, C .
2

�
 5x �
9x
 2cos2
�
2

�4 2 �

Bài 35. Giải phương trình cos3x  sin7x  2sin � 
2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
Bài 36. Tìm

m

để

phương trình

sau

có

4

nghiệm

phân

biệt

trong

khoảng

�  �
:
� ; �
� 2 2�

� 4x
x�
4cos2 x  16m�
sin  cos4 � 14m 1 0
4�
� 4

Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4
Hướng dẫn giải
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π
Bài 38. Giải phương trình:

(cos x  1)(2cos x  1)
 1  sin 2 x  2cos 2 x.
sin x

Bài 39. Cho phương trình: (m  3)sin 3 x  ( m  1)cos 3 x  cos x  ( m  2)sin x  0
a) Giải phương trình khi m  5 .

� 5 �
,
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x ��
.
� 4�
�
Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
1
1
1
1
1
1





A
B
C
cos A cos B cos C sin
sin
sin
2
2
2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
 x
2sin 2 (  )s inx - cos3 x

4 2
Bài 41. Giải phương trình :
 0.
3
3
sin x  cos x
4x
2x
 cos 2
 m 0 có nghiệm.
Bài 42. Tìm m để phương trình cos 2
x 1
x 1
ABC
Bài 43. Tam
giác
có
ba
góc
thỏa
mãn
hệ
8 cos A sin B sin C  4 3 (sin A  cos B  cos C )  17 0 . Hãy tính các góc của tam giác đó.
cos 2 x  3cos x  1
 1
Bài 44. Giải phương trình:
sin x  1
Bài 45. Giải phương trình sau sin 2 x   sin x  cos x  1  2sin x  cos x  3   0 .
Hướng dẫn giải
2

PT
�  sin x  cos x   1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3  0

thức

:

�  sin x  cos x  1  sin x  cos x  1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3   0
�  sin x  cos x  1   sin x  2 cos x  4   0

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
x  k 2
�
sin x  cos x  1
�
��
�� 
,( k ��)
�
sin x  2 cos x  4(VN )
x   k 2
�
� 2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k 2 , x 
Bài 46. Cho cos2  


 k 2 , (k ��)
2

�
�
4

với     . Tính giá trị của biểu thức: P   1  tan  cos�   �
5
2
�4
�

Hướng dẫn giải
Do


    nên sin  0,cos  0 . Ta có:
2

cos2  

1  cos2 1
1
 � cos  
,
2
10

10

sin2   1  cos2  

9
3
sin
� sin 
, tan 
 3
10
cos
10

Khi đó: P   1  tan  .

1
2

� 1
3 � 2 5


�
� 
5
2 � 10
10 �

 cos  sin    1  3 . 1

1  cot x
2 cos x  1
Hướng dẫn giải

1
�
�
cos x �
�
�x ��  k 2
,  k , l ��
3
2 ��
Ñieàu kieän xaùc ñònh �
�
�
sin x �0
�
�x �l
Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số y 

Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2 x  tan 2 x
Hướng dẫn giải
1
2
1
* y  cos x 
cos 2 x
2

* cos x 

1
�2
cos 2 x

* y �1 � GTNN y = 1
*

2
y = 1 � cos x 

1
� cos 4 x  1 � sin x  0 � x  k , k ��
2
cos x

Bài 49. Giải phương trình

www.thuvienhoclieu.com

3 cos 2 x  sin 2 x  2
Hướng dẫn giải

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
3 cos 2 x  sin 2 x  2 �

3
1
cos x  sin 2 x  1
2
2



 sin 2 x.sin  1
6
6
� �
� cos �
2 x  � 1
6�
�

� 2 x   k 2
6

� x    k , k ��
12
� cos 2 x.cos

��
0; �:
Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc �
� 2�
cot 2 x  2  m  1 cot x  3m  1  0
Hướng dẫn giải

��
0; �� t  0
* t = cotx , x ��
� 2�
2
* cot x  2  m  1 cot x  3m  1  0 (1)

� t 2  2  m  1 t  3m  1  0 (2)
��
0; �� pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x ��
� 2�
'  0
�
�
� �S  0
�P  0
�
� keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m<

1
3

3

Bài 51. Giải phương trình (7  5 2) cos x  (17  12 2) cos x  cos 3 x
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = R.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3

(1  2)3cos x  (1  2) 4cos x  4 cos3 x  3cos x
� (1  2)3cos x  3cos x  4 cos 3 x  (1  2) 4cos
www.thuvienhoclieu.com

3

x

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
Xét hàm số f(t) = (1  2) t  t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx =
4cos3x
 cos3x = 0  x =

 k

,kZ
6 3

Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1
Hướng dẫn giải
Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x)  2m – 1.
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx,  2 �t � 2 . Ta có:
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với  2 �t � 2 .
g (t )  4( 2  1) 2

Xét sự biến thiên của g(t) ta có: �max
�
2; 2
�

�

Vì f(x)  0 nên ta có:
maxf(x) =

max f 2 ( x)  max g (t )  2( 2  1)

3 2 2
.
2
1
1
1

 ... 
Bài 53. Rút gọn tổng S =
trong đó n là một số tự
cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x
cos nx cos(n  1) x
Vậy ta có: 2( 2 �
1) ۳2m 1

m

nhiên.

Bài 54. Biết rằng sin2x + sin2y =
Bài 55. Rút gọn : P = cos

1
, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y.
2


2
3
n
cos
cos
... cos
.
2n  1
2n  1
2n  1
2n  1

tg 1  cos 2 

Bài 56. Chứng minh rằng nếu ta có
thì sin(3   ) 7 sin(   ) .
tg 1  sin 2 

Bài 57. Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử x 

p q
, hãy tìm cặp số

2

nguyên (p, q).

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
Bài 58. Cho

sin 8 x cos 8 x
1
sin 4 x cos 4 x
1


. Chứng minh rằng:
, (a > 0, b > 0).


3
3
a
b
( a  b) 3
a
b
a b

Bài 59. Cho tg 2 xtg 2 y  tg 2 ytg 2 z  tg 2 ztg 2 x  2tg 2 xtg 2 ytg 2 z 1 . Tính giá trị của biểu thức

P sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z
1
1
1
Q



3
5 .
Bài 60. Tính giá trị của biểu thức:
cos
cos
cos
7
7
7

Bài 61. Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức M cos

A
B
C
đạt
cos cos
2
2

2

giá trị lớn nhất.
Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu


thức T a  b 2 sin x  c sin 2 x , trong đó x  (0; ) .
2
x
 
; ].
Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x)   sin 2 x với x  [
2
2 2
n

n

1  
1 

Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) 1 
  1 
 với n là số tự nhiên.
2
2
 sin x   cos x 
Bài 65. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:



a) B  ,
3

b) cosA+ cosC 

Bài 66. Cho tam giác ABC thoả mãn: tg
ABC vuông là sin

3 2
.
4

A B 1
tg  . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác
2 2 2

A
B
C 1
sin sin  .
2
2
2 10

Bài 67. Tính tổng S = sin 39 0  sin 69 0  sin 1830  sin 2130 .
Bài 68. Chứng minh rằng: 3 cos

www.thuvienhoclieu.com

2

7

 3 cos

4
7

 3 cos

5  33 7
3
.

7
2

6

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa

sin x  sin y  sin z  sin t 1


 cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  cos 2t 10 .


3

 
và thoả mãn:
2
2


Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t  .
6
Bài 70. Tìm GTNN của hàm số y 

1
1


, x  (0; ) .
sin x cos x
2

Bài 71. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y sin

Bài 72. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 

2x
4x
 cos
1.
2
1 x

1 x2

2 cos 2 x  cos x  1
cos x  1

.

Bài 73. Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của
tam giác ABC . Tính tỷ số

OH
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
R

Bài 74. Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma , mb lần lượt là
r2
độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: 2
.
ma  mb2
Bài 75. Giải các phương trình sau:
1/ sin 3 x  cos 3 x  sin 3 x cot gx  cos3 xtgx  2 sin 2 x .
2/ 2 cos x  2 sin 10 x 3 2  2 cos 28 x. sin x .
3/

sin 3 x sin 5 x

.
3
5

4/ 2 3 sin( x 








) cos( x  )  2 cos 2 ( x  )  3  4sin 2 x  cos(  x) cos(  x)
8
8
8
3
3



5/ 2 sin 5 x(16 sin 4 x  20 sin 2 x  5) 1 .
6/ (16 sin 4 x  20 sin 2 x  5)(16 sin 4 5 x _ 20 sin 2 5 x  5 1
Bài 76. Chứng minh rằng: 4cos36 0  cot g 7 0 30 1  2  3  4  5  6

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
Bài 77. Cho

1
1
1
1



7 . Tính sin 2 2 x .
2
2
2
tg x cot g x sin x cos 2 x

Bài 78. Chứng minh rằng: cos


2 1
 cos
 .
5
5
2

Bài 79. Thu gọn tổng S = tga.tg 2a  tg 2a.tg 3a  ...  tg (na).tg (n  1)a .
Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)... (2 cos 2 n  1 a  1)
Bài 81. Tính các tổng:
1

S=
tg 6

2
sin
7
2



1
3
sin
7



2

1
6 ,
sin
7
2

8
P = tg


5
7
 tg 8

 tg 8
,
18
18
18

R=


5
7
 tg 6
 tg 6
18
18
18

Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x   ) trong đó k, 
là các tham số thực. Chứng minh rằng: M 2  m 2 2
Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau:

A
B
C
tg
tg
1
2
2
2




B C
C A
A B
A B C
1  tg tg
1  tg tg
1  tg tg
4tg tg tg
2 2
2 2
2 2
2 2 2
tg

PHẦN 2
Câu 1:

Giải các phương trình sau đây: sin x 1  sin 2 x  cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Ta có:

sin x  sin x  cos 2 x  cos x

1
1
�  sin x  sin x   cos 2 x  cos x
4

4
2

2

1� �
1�
�
� � sin x  � �
cos x  �
2� �
2�
�

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
�
cos x  1
�
1
1
�
�
�
sin
x



cos
x

�
sin x  0
�
2
2 � � sin x  cos x  1 � �
��
�
�
cos x �0
�
� sin x  1  1  cos x
� sin x   cos x
�
�
�
2 2
sin x  cos 2 x
�
�
�

x  k 2 , k �Z
�
cos x  1
�

�
cos x �0
�
�
cos x �0
��
��
�
�
�
� 2
�
1 � 5
�
sin
x

sin
x

1

0
�
sin x  �
�
�
�
�
2 .

�
x  k 2
�
�
� 5 1 �
��
k , m ��
x    arcsin �
 m2
�
�
�
�
� 2 �
�
Câu 2:

Giải các phương trình lượng giác sau:
a)  sin x  cos x   3 cos 2 x  2
2

b)

t anx  1
 2 s inx
cot x  1

c) 4(cos 4 x  sin 4 x )  1  sin 2 x
Hướng dẫn giải:
a)  sin x  cos x   3 cos 2 x  2

2

� sin 2 x  3 cos 2 x  1

1
� sin(2 x  ) 
3
2


�  
�
2 x    k 2
x    k
�
�
3 6
12
��
��

5


�
�
2x  
 k 2
x   k
�

� 4
6
� 3
b)

k �Z

t anx  1
 2 s inx
cot x  1

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
s inx �0
�
�
cos x �0
Điều kiện: �
�
cot x �1
�
s inx  cos x
s inx
.
 2 s inx
cos x

cos x  s inx
s inx
�
 2 s inx  0
cos x
1
� s inx(
 2)  0
cos x
s inx  0
�
�
�
1
�
cos x 
�
2

 pt  �

Với sinx  0 , không thỏa mãn điều kiện
Với cos x 

1

� x  �  k 2 0
 k �Z
4
2

Giá trị x  


 k 2 0
 k �Z bị loại do điều kiện cot x �1
4

Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: x 


 k 2 0
 k �Z
4

c) 4(cos 4 x  sin 4 x )  1  sin 2 x
� 4(1  2sin 2 x.cos 2 x)  1  sin 2 x
1
� 4(1  sin 2 2 x)  1  sin 2 x
2
� 2sin 2 2 x  sin 2 x  3  0
sin 2 x  1
�
��
3
�
sin 2 x  
�
2
� sin 2 x  1

�x
Câu 3:


 k
4

.

 k �Z

Giải phương trình cosx.cos 2x 

www.thuvienhoclieu.com

1
.
4
Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
x  k không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4 x  sin x .
Suy ra x 

k 2
 k 2
; x 
.

3
5
5

2

3
Vì x �k nên pt có các nghiệm x  �  k 2 ; x  �  k 2 ; x  �  k 2 .
3
5
5
Câu 4:

Giải phương trình

5  sin 2 x  s inx  2cosx .
Hướng dẫn giải

VT  5  sin 2 x � 5 .
Theo BĐT Bunhiacôpski s inx  2cosx � (12  22 )(s in 2 x  cos 2 x)  5 .
Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi
� k
x
�
sin 2 x  0
�
� 2
��
(Hệ phương trình vô nghiệm).
�

2
1 �
�
sin x  2 cos x  5
�
�
sin( x   )  1; �
sin  
;cos  
�
�
5
5�
�
�
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 5:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos( x 2 )  cos[ (x 2  2 x  1)] .
Hướng dẫn giải
�
x 2  x 2  2 x  1  2k
cos( x )  cos[ (x  2 x  1)] �  x  �
[ (x  2 x  1)]; k ��� �2
x  ( x 2  2 x  1)  2k
�
2

2

2

2

2 x  1  2k  0 (1)
�
�� 2
2 x  2 x  1  2k  0 (2)
�
Ta có:
(1) � x 

1  2k
1
; k ��� xmin  (nghiệm dương nhỏ nhất khi k  1 ).
2
2

� �۳
4k 1 0
(2) có 

www.thuvienhoclieu.com

k

1
4

k 1 (do k nguyên).

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
(2) có hai nghiệm x1 

1  4k  1
1  4k  1
 0; x2 
 0.
2
2

1  3
Suy ra nghiệm dương x1 nhỏ nhất khi k  1 . Khi đó x1min 
0
2
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x1min 
Câu 6:

1  3
.
2

Cho phương trình: cos 2 x –  2m  1 cos x  m  1  0 .
a. Giải phương trình khi m 

3
.

2

� 3 �
�.
�2 2 �

b. Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ;

Hướng dẫn giải
a. khi m 

3
phương trình  2 cos 2 x  8 cos x  5 0  4 cos 2 x  8 cos x  3 0 .
2


� x  �  k 2
3

(k �) .

� 3 �
�.
�2 2 �

b. Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ;

1

cos x 


phương trình  2 cos x  (2m  1) cos x  m 0 
2.
cos x m

2

1
� 3 �
�ta có  1 cos x  0 nên cos x  2 không thoả mãn.
�2 2 �

với x �� ;

� 3 �
�� 1 �m  0 .
�2 2 �

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x �� ;
Câu 7:

Tìm nghiệm của phương trình cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 thỏa mãn điều kiện:
2004  x  2005 .

Hướng dẫn giải

cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 (*)
+ 1  sin 2 x  cos x  sin x
www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com
cos2 x   cos x  sin x   cos x  sin x 





+  * �  cos x  sin x  1   cos x  sin x  cos x  sin x  0
� cos x  sin x  0  1 hoặc  cos x  sin x  cos x  sin x  1  2 
+  1 � cos2 x  0 (1)
+  2  �  1  sin 2 x   1  sin 2 x   1 � sin 2 x  0 (vì sin 2 x  0 không thể xảy ra)
Ta có:  * � cos2 x  0 hoặc sin 2 x  0 � sin 4 x  0 � x  k


,  k �� .
4

+ Với điều kiện 2004  x  2005 , chọn số nguyên k  2552 . Vậy x  638 .
Câu 8:

Cho phương trình m sin x  cos x  1  m (1) ( m là tham số).
a. Giải phương trình (1) với m  1 .
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
a. Với m  1 . Thay vào phương trình  1 ta được:

 1 � sin x  cos x  0 �



� �
� �
2 sin �x  � 0 � sin �x  � 0 � x   k � x    k .
4
4
� 4�
� 4�

2
�
1 �
1 
m۳
b. Phương trình có nghiệm �m�

2

Câu 9:

m 2 1 1 2m m 2

m 1.

�x  �
(2  3) cos x  2sin 2 �  �
Giải phương trình:
�2 4 � 1

2cos x
Hướng dẫn giải
cos
x
�
0
Điều kiện:
.
�x  �
(2  3) cos x  2sin 2 �  �
Ta có:
�2 4 � 1
2 cos x
�x  �
� 2  3 cos x  2sin 2 �  � 2 cos x
�2 4 �





�
�
� �
�  3 cos x  �
1  cos �x  �
� 0 � sin x  3 cos x  1
� 2�
�
�

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
�

1
3
1

 1
sin x 
cos x  � sin x.cos  cos x.sin 
2
2
2
3
3 2

�  
� 
x    k 2
x   k 2
�
�

� �
3 6

2
� sin �x  � sin � �
��
,  k �� .
7


6
� 3�
�
�
x      k 2
x
 k 2
�
� 6
6
� 3
Vậy phương trình có họ nghiệm là x 


7
 k 2 và x 
 k 2 ,  k �� .
2
6

Câu 10: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x 

m

. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã
cos x

cho có nghiệm.
Lời giải
ĐKXĐ: cos x �0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được:
m tan x  m  1  m  1  tan 2 x  � m tan 2 x  m tan x  1  0

2
Đặt tan x  t , ta được phương trình: mt  mt  1  0  *
Do phương trình tan x  t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 *

m �0
�
2
có nghiệm �   m  4m �0 � �
.
m �4
�

�
�
cot 3 x  sin    2 x   2 cos 5 x  0
Câu 11: Giải phương trình sin �  2 x �
�2
�
Lời giải
ĐKXĐ: sin 3 x �0 .

�
�
cot 3x  sin    2 x   2 cos 5 x  0
Ta có: sin �  2 x �
�2
�

www.thuvienhoclieu.com

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com
cos 3 x
 sin 2 x  2 cos 5 x  0
sin 3x
� cos 2 x cos 3 x  sin 2 x sin 3 x  2 cos 5 x sin 3 x  0
� cos 2 x





� cos 5 x 1  2 sin 3 x  0


� 
� 
.
x



k
5
x


k

�
�
10
5
2
cos 5 x  0
�
�
�


2

��
��
3 x   k 2
��
x k
 k �� .
2
�

� 12
�
4
3
sin 3x 
�
�
�
2


2
�
�
3 x     k 2
x k
� 4
4
3
�
Câu 12: Giải phương trình 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

Điều kiện: x �k

1
sin 2 x
Lời giải


.

2

1
sin 2 x
1  cos 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
sin 2 x
2sin 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
 2sin 2 x  tan x
2sin x cos x
� tan x  2sin 2 x
2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

� 4sin x  4 cos x  1  0

.

2

� sin x  2 cos 2 x  1  0

�
sin x  0  l 
2

�
�
� 2x  �  k 2 � x  �  k ,  k �� .
1

�
3
3
cos 2 x  
�
2
Câu 13: Giải phương trình sin 2 3 x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
Lời giải
2
2
2
2
sin 3 x  cos 4 x  sin 5 x  cos 6 x
� 1  cos 6 x  1  cos8 x  1  cos10 x  1  cos12 x
�  cos12 x  cos 6 x    cos10 x  cos8 x   0
�  sin 9 x.sin 3 x  2sin 9 x.sin x  0
� sin 9 x  sin 3 x  sin x   0
� 2sin 9 x.sin 2 x.cos x  0
www.thuvienhoclieu.com

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com
�

�
�
sin 9 x  0
9 x  k

�
xk
�
�
9
��
sin 2 x  0 � �
2 x  k
��
 k �� . .
�

�
� 
xk
�
cos x  0
�
�
x   k
2
�
� 2
Câu 14: Giải phương trình 3cos x  2 sin x  2
Lời giải
2
3cos x  2 sin x  2 � 2 sin x  2  3cos x (Điều kiện: cos x � )
3
2
2

� 4  1  cos x   4  12 cos x  9cos x
� 13cos 2 x  12 cos x  0
cos x  0
�
�
�
12
�
cos x 
13
�


� cos x  0 � x   k ,  k �� .
2
 l

.

Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos 2 x  4cos x  m  0 có nghiệm.
Lời giải
Đặt t  cos x , điều kiện 1 �t �1 .
2
2
Phương trình cos 2 x  4 cos x  m  0 (1) trở thành t  4t  m  0 � f  t   4t  t  m (2).

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t � 1;1 .
Lập bảng biến thiên của f  t  , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là 5 �m �3 .
Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  1  m có nghiệm?
Lời giải

sin 2 x  3 cos 2 x  1  m �
� sin 2 x cos

1
3
1 m
sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2


 1 m
�  � 1 m
 cos 2 x sin 
� sin �
2 x  �
3
3
2
3� 2
�

1 m
1 m
 ���1���
�
1 ��1
Phương trình có nghiệm ۣ

2
2

www.thuvienhoclieu.com

2 1 m 2

3 m 1.

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com
� �
 ;0 �
Câu 17: Cho 3 số thực a  b  c  0 . Số nghiệm của phương trình a sin x  b cos x  c trên khoảng �
�2 �
là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. thay đổi theo a, b, c .

Lời giải

a sin x  b cos x  c �

a
a b
2

2

sin x 

� sin  x     sin  (2) (vì 0 

b
a b

c
a  b2
2

2

2

cos x 

c
a  b2
2

(1)

1)

� �
Trên khoảng � ;0 �thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

�2 �

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sin u  sin v
sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần
tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos 2 x  2sin x cos x  sin 2 x  m có nghiệm
Lời giải
� �
2
2
2 x  � m
Ta có: cos x  2sin x cos x  sin x  m � cos 2 x  sin 2 x  m � 2 sin �
4�
�
� � m
� sin �
2 x  �
.
4� 2
�

Phương trình có nghiệm khi

m
�1 �  2 �m � 2 .
2

Câu 19: Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin x  2 cos x  2sin 2 x . Lời
giải
� �

Đặt t  sin x  cos x  2 cos �x  �,  2 �t � 2 .
� 4�
Ta có t 2   sin x  cos x   1  sin 2 x � sin 2 x  t 2  1 .
2

Ta được hàm số y  2t 2  2t  2,  2 �t � 2 .
Bảng biến thiên:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
t

1
2
5
2

 2

y

2  2 2
5
Suy ra M  ; m  2  2 2 .
2

2

2  2 2

2
2
2
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  m  2  cos x  4m sin x cos x  m  3 vô

nghiệm.
Lời giải

m

2



 2  cos 2 x  4m sin x cos x  m2  3 � m 2  2

�  m2  2  cos 2 x  4m sin 2 x  m 2  4 .





2x
 4m sin x cos x  m
 1  cos
2



2

Phương trình vô nghiệm � m 2  2  16m 2  m 2  4



2

2

3

� m 2  1 � 1  m  1 .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm
�  �
x ��
 ;
.
� 2 2�
�

Lời giải
x
 0 không là nghiệm của phương trình.
2
x

2t
1 t2
Đặt t  tan � sin x 
.
;
cos
x

2
1 t2
1 t2
2t
1 t2
2
Ta được phương trình 2.

m
.
 1  m � t  4t  1  2m  0  1 .
2
2
1 t
1 t
�  �
 ;
�  1 có nghiệm t � 1;1 .
Phương trình có nghiệm x ��
� 2 2�
�
2

Phương trình  1 � t  4t  1  2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol
cos

 P  : y  t 2  4t  1 và đường thẳng d : y  2m .
Bảng biến thiên của hàm số y  t 2  4t  1
t

�

1

1

2

�

6

y

www.thuvienhoclieu.com

2

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
�  �

 ;
� 2 �2m �6 � 1 �m �3 .
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  1 có nghiệm x ��
� 2 2�
�



Câu 22: Phương trình sin x  3 cos x



2

� �
 5  cos �
4 x  �có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10 ?
3�
�

Lời giải
� �
� �
�  �.
 5  cos �
4 x  �� 4sin 2 �x  � 5  cos �
4x  �
3�
3�
�

� 3�
�
�
� �
2�
0 4sin 2 �x
�
Ta có: 0 �sin �x 
�1 �
� 4.
� 3�
� 3�
� �
� �
�1
cos
��
4�
x  � 1 4 5 cos �
4x
� 6.
3�
3�
�
�

 sin x 

3 cos x



2

� 2�  �
�  
sin �x  � 1
x    k
�
�

� � 3�
� 3 2
��
� x   k ,  k ��
Dấu "  " xảy ra � �

6
� �
�
�
4 x     l 2 , k , l ��
cos �
4 x  � 1
�
�
3
3�
� �
Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k  0, k  1, k  2, k  3 .

Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x  tan x 

2 cos 4 x
trên đường tròn lượng giác ta được
sin 2 x

bao nhiêu điểm?
Lời giải

k
,  k � .
2
2 cos 4 x
cosx sin x
cos 4 x
cot x  tan x 
�


� cos 2 x  cos 4 x
sin 2 x
sin x cos x sin x.cos x

0 2x
Điều kiện: sin 2 x �۹۹�

k

x

1
�
cos 2 x   .
�
2
� 2 cos 2 x  cos 2 x  1  0 � �
cos 2 x  1
�
+ Với cos 2 x  1 � sin 2 x  0 (không thỏa điều kiện).
1

+ Với cos 2 x   � x  �  k ,  k �� (thỏa điều kiện).
2
3
2



Biểu diễn hai họ nghiệm x  �  k ,  k �� trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.
3
PHẦN 3
www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
(cos x  1)(2 cos x  1)
 1  sin 2 x  2 cos 2 x.
sin x

Hướng dẫn giải.
0
x m (m Z ).
Điều kiện: sin x �۹�
Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2 x  3cos x  1  sin x  2sin 2 x.cos x  2sin x.cos 2 x .
� cos 2 x  3cos x  2  sin x  cos x(1  cos 2 x)  sin x(1  cos 2 x) .
� cos x 2 x  2(sin x  cos x  1)  cos 2 x(sin x  cos x)  0 .

Bài 1.

Giải các phương trình sau:

� cos 2 x  2  0

.
�  cos 2 x  2   sin x + cos x  1  0 � �
sin
x
+
cos
x

1

0
�
� cos 2 x  2
x  k 2
�
�

��
�
( k �Z ). .

� � 2
�
�
x   k 2
s in �x  �
�
� 2
� � 4� 2


 k 2 ( k ��).
2
3 �
2 x
2�
.
Giải các phương trình sau: 4sin  3 cos 2 x  1  2 cos �x 
�
2
� 4 �
Hướng dẫn giải.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x 
Bài 2.

� 3

2x 
Phương trình đã cho tương đương với 2  1  cos x   3 cos 2 x  1  1  cos �
2
�

�
.
�
�

� 2 cos x  3 cos 2 x   sin 2 x .

�

1
3
sin 2 x 
cos 2 x  cos x .
2
2

� �
� sin �
2 x  � cos x .
3�
�
� �
�
�
� sin �

2 x  � sin �  x �.
3�
�
�2
�

2
�  
� 5
2 x    x  k 2
x
k
�
�
3 2
18
3
��
��
(k ��).
 
5
�
�
2 x    x  k 2
x
 k 2
�
�
� 3 2

� 6
Bài 3.

Giải phương trình sin 2 x  2 cos x  0.
Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với 2sin x.cos x  2 cos x  0 .
www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
� 2 cos x(sin x  1)  0 .

cos x  0
�
��
.
sin x  1
�
� 
x   k
�

�� 2
� x   k (k ��). .

2
�

x   k 2
� 2
Bài 4.

Giải phương trình: 2 3.sin 2 x 

3tan 2 x
 3.
2 sin 2 x  1
Hướng dẫn giải.

sin 2 x �0
�
�
1
�
sin 2 x �  * ( nếu thí sinh viết không đủ (*) thì trừ 0,5 điểm).
Điều kiện: �
4
�
cos2 x �0
�
�

Khi đó:

PT (1) � 4 3.sin 2 x  2 3.sin 2 x  3

sin 2 x
cos 2 x

 2 3.sin 2 x  3 .

� 2 3.sin 4 x  3sin 2 x  3 cos 2 x .
� sin 4 x 

3
1
� �
sin 2 x  cos2 x � sin 4 x  sin �2 x  �
2
2
6�
�


�
� 
4 x  2 x   k 2
x   k
�
�
6
12
��
��
5


�

�
x
k'
4 x    2 x   k '2
�
�
3
6
� 36
�

 k , k ' �Z 

.

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là


x ιk�
 ,�
x
12
Bài 5.

5
36

k'



3

 k, k '

Z , k ' 6m 2, k ' 6m 5, m Z  .

Cho phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cos2 4 x  m. ( m là tham số).

1) Giải phương trình khi m 

www.thuvienhoclieu.com

3
.
2

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
�  �
 ;
2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn �
.
�4 4�
�

Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với:
3  cos 4 x

 cos 2 4 x  m.
4

 4 cos 2 4 x  cos 4 x  4 m  3 (1).
1) Với m 

3
ta có phương trình:
2


� 
cos 4 x  1 �
x k
�
4
2
4cos 2 4 x  cos 4 x  3  0 � �
.
3 ��
�
1
3

cos 4 x 
�
x  � arccos  k
�
4
�

4
4
2
2) Đặt t = cos4x ta được: 4t 2  t  4m  3 , (2).
�  �
�  �
 ; �thì t � 1;1 . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ��
 ;
Với x ��
khi và chỉ khi
�4 4�
� 4 4�
�

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t � 1;1 . (3).
Xét g(t) = 4t 2  t với t � 1;1 . ta có bảng biến thiên :

t

1

www.thuvienhoclieu.com



1
8

1

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com
5
3
g(t)



1
16

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra  
47
3
m� .
64
2

Vậy giá trị m cần tìm là:
Bài 6.

1
47
3
 4m  3 �3 
m�
16
64

2

Giải phương trình:

2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx.
Hướng dẫn giải

Ta có PT  (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 .
2

Đáp số: x  �  k 2 , x   k
3
4

( k �Z ) .

Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin A.cos B.sin C  3(cos A  sin B  cos C ) 

Bài 7.

17
.
4

Hướng dẫn giải
2

2

2


3 
3 
3
   sin B 
   cos C 
 0 .
Đẳng thức   cos A 





2
2
2

 
 

Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200.
Giải phương trình : 2 cos x

Bài 8.





3 sin x  cos x  1  1 .
Hướng dẫn giải

2 cos x





3 sin x  cos x  1  1 .

� cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25