Bài giảng hệ tọa độ trong không gian

Tài liệu toán 12

năm học 2018

1. H TA TRONG KHễNG GIAN
A.TểM TT Lí THUYT
1. Ta ca vect






Ox , Oy, Oz .
a) nh ngha: u x ; y; z u xi y j z k vi i , j , k l cỏc vect n v, tng ng trờn cỏc trc



b) Tớnh cht: Cho hai vect a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 v k l s thc tựy ý, ta cú:

z


a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 .


k (0;0;1)


a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 .

j(0;1;0)


k.a ka1 ; ka2 ; ka3 .

O

x

a1 b1


a b a2 b2 .

a3 b3

y


i(1;0;0)


a1 kb1




a
a

a


a cựng phng b b 0 a2 kb2 1 2 3 vi b1 , b2 , b3 0 .

b1 b2
b3



a3 kb3






a.b a1 .b1 a2 .b2 a3 .b3 .


a b a.b 0 a1 .b1 a2 .b2 a3 .b3 0 .

2

2
a a12 a22 a32 , suy ra a a a12 a22 a32 .



a1b1 a2 b2 a3b3

a.b
cos a; b
vi a 0, b 0.
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
a.b



2. Ta ca im


a) nh ngha: M x ; y; z OM x ; y; z ( x : honh , y tung , z cao ).
Chỳ ý: Trong h ta Oxyz , cho im M x ; y; z ta cú cỏc khng nh sau:
M O M 0;0;0 .
M Oxy z 0 , tc l M x ; y;0.
M Oyz x 0 , tc l M 0; y; z .
M Oxz y 0 , tc l M x ;0; z .
M Ox y z 0 , tc l M x ;0;0.
M Oy x z 0 , tc l M 0; y;0.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 12

năm học 2018

M Oz x y 0 , tc l M 0;0; z .
b) Tớnh cht: Cho bn im khụng ng phng A x A ; y A ; z A , B x B ; y B ; z B , C xC ; yC ; zC v D x D ; y D ; z D .


AB x B x A ; y B y A ; z B z A .

2
2
2
AB AB x B x A y B y A z B z A .

x x B y A y B z A z B
;
;
Ta trung im I ca on thng AB l I A
.
2
2
2
x x B xC y A y B yC z A z B zC
;
;
Ta trng tõm G ca tam giỏc ABC l G A
.


3
3
3
x x B xC x D y A y B yC yd z A z B zC z D

;
;
Ta trng tõm G ca t din ABCD l G A
.


4
4
4
3. Tớch cú hng ca hai vect





a) nh ngha: Trong khụng gian Oxyz , cho hai vect a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 . Tớch cú hng ca hai vect a v b l


mt
vect,
kớ
hiu
l
v
c
xỏc
nh
nh
sau:
a, b

a, b a2 a3 ; a3 a1 ; a1 a2 a b a b ; a b a b ; a b a b .

2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1
b2 b3 b3 b1 b1 b2
b) Tớnh cht




a cựng phng vi b a, b 0 .





a, b vuụng gúc vi c hai vect a v b .



b, a a, b .

a, b a . b .sin a; b .




c) ng dng
Xột s ng phng ca ba vect:


+) Ba vộct a; b; c ng phng a, b .c 0 .


+) Bn im A, B, C , D to thnh t din AB, AC . AD 0 .




Din tớch hỡnh bỡnh hnh: S ABCD AB, AD .
Tớnh din tớch tam giỏc: SABC
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

1
2


AB, AC .

- 0946798489

Page | 2


Tài liệu toán 12

năm học 2018


Tớnh th tớch hỡnh hp: VABCD . A ' B ' C ' D ' AB, AC . AD .


Tớnh th tớch t din: VABCD

1
6


AB, AC . AD .



4. Phng trỡnh mt cu
2

2

2

Mt cu tõm I a; b; c , bỏn kớnh R cú phng trỡnh S : x a y b z c R 2 .
Xột phng trỡnh x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 . *
Ta cú * x 2 2ax y 2 2by z 2 2cz d
2

2

2

x a y b z c d a 2 b 2 c 2 .
tõm I a; b; c

phng trỡnh * l phng trỡnh mt cu a 2 b 2 c 2 d . Khi ú S cú
.
bỏn kớnh R a 2 b 2 c 2 d


tõm O 0;0;0
c bit: S : x 2 y 2 z 2 R 2 , suy ra S cú
.
bỏn kớnh R


B.PHNG PHP GII TON
Vn 1. CC NH TA CA IM, TA VECT
Phng phỏp
S dng cỏc kt qu trong phn:

Ta ca vect.
Ta ca im.
Liờn h gia ta vect v ta hai im mỳt.
1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.

Cho ba im A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).
a. Chng minh A, B, C l ba nh ca mt tam giỏc.
b. Tớnh chu vi, din tớch ca ABC.

c.
d.
e.
f.
g.
Vớ d 2.



Tỡm to im D ABCD l hỡnh bỡnh hnh v tớnh cụsin gúc gia hai vect AC v BD .
Tớnh di ng cao h A ca ABC k t A.
Tớnh cỏc gúc ca ABC.
Xỏc nh to trc tõm H ca ABC.
Xỏc nh to tõm ng trũn ngoi tip ABC.

Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2).
a. Tỡm ta cỏc im A 1 , A 2 theo th t l cỏc im i xng vi im A qua mt phng (Oxy) v trc Oy.
b. Chng minh rng A, B, C, D l bn nh ca mt hỡnh t din.
c. Tớnh th tớch khi t din ABCD.
d. Chng minh rng hỡnh chúp D.ABC l hỡnh chúp u.

e. Tỡm ta chõn ng cao H ca hỡnh chúp D.ABC.
f. Chng minh rng t din ABCD cú cỏc cnh i vuụng gúc vi nhau.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 12

năm học 2018

g. Tỡm ta im I cỏch u bn im A, B, C, D.
Vn 2. PHNG TRèNH MT CU
Phng phỏp
Vi phng trỡnh cho di dng chớnh tc:(S): (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = k, vi k > 0 ta ln lt cú:
Bỏn kớnh bng R =
.
Ta tõm I l nghim ca h phng trỡnh:


I(a; b; c).

Vi phng trỡnh cho di dng tng quỏt ta thc hin theo cỏc bc:
Bước 1:
Chuyn phng trỡnh ban u v dng:(S): x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0.
Bước 2:
(1) l phng trỡnh mt cu iu kin l:a2 + b2 + c2 d > 0.

Bước 3:

Khi ú (S) cú thuc tớnh:

(1)

.

1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.

Cho h mt cong (S m ) cú phng trỡnh:(S m ): (x 2)2 + (y 1)2 + (z m)2 = m2 2m + 5.
a. Tỡm iu kin ca m (S m ) l mt h mt cu.
b. Tỡm mt cu cú bỏn kớnh nh nht trong h (S m ).
c. Chng t rng h (S m ) luụn cha mt ng trũn c nh.

Vớ d 2.

Cho h mt cong (S m ) cú phng trỡnh:(S m ): x2 + y2 + z2 - 2m2x - 4my + 8m2 - 4 = 0.
a. Tỡm iu kin ca m (S m ) l mt h mt cu.

b. Chng minh rng tõm ca h (S m ) luụn nm trờn mt Parabol (P) c nh trong mt phng Oxy, khi m thay
i.

c. Trong mt phng Oxy, gi F l tiờu im ca (P). Gi s ng thng (d) i qua F to vi chiu dng ca trc
Ox mt gúc v ct (P) ti hai im M, N.


Tỡm to trung im E ca on MN theo .

T ú suy ra qu tớch E khi thay i.

Vn 3. VIT PHNG TRèNH MT CU
Phng phỏp
Gi (S) l mt cu tho món iu kin u bi. Chỳng ta la chn phng trỡnh dng tng quỏt hoc dng chớnh tc.
Khi ú:
1. Mun cú phng trỡnh dng chớnh tc, ta lp h 4 phng trỡnh vi bn n a, b, c, R, iu kin R > 0. Tuy nhiờn,
trong trng hp ny chỳng ta thng chia nú thnh hai phn, bao gm:
Xỏc nh bỏn kớnh R ca mt cu.
Xỏc tõm I(a; b; c) ca mt cu.
T ú, chỳng ta nhn c phng trỡnh chớnh tc ca mt cu.
2. Mun cú phng trỡnh dng tng quỏt, ta lp h 4 phng trỡnh vi bn n a, b, c, d, iu kin a2 + b2 + c2 d >
0.
Chỳ ý: 1. Cn phi cõn nhc gi thit ca bi toỏn tht k cng la chn dng phng trỡnh thớch hp.
2. Trong nhiu trng hp c thự chỳng ta cũn s dng phng phỏp qu tớch xỏc nh phng trỡnh
mt cu.
1. caực vớ duù minh hoùa
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 4


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Vớ d 1.

Vit phng trỡnh mt cu trong cỏc trng hp sau:
a. ng kớnh AB vi A(3; 4; 5), B(5; 2; 1).
b. Tõm I(3; 2; 1) v i qua im C(2; 3; 1).

Vớ d 2.
Vớ d 3.

Vit phng trỡnh mt cu i qua hai im A(1; 2; 2), B(0; 1; 0) v tõm I thuc trc Oz.
Vit phng trỡnh mt cu i qua ba im A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) v cú tõm nm trờn mt phng (Oyz).

Vớ d 4.

Lp phng trỡnh mt cu i qua ba im A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) v cú bỏn kớnh bng

Vớ d 5.

Cho bn im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) v D(2; 2; 1).
a. Chng t rng A, B, C, D khụng ng phng. Tớnh th tớch t din ABCD.
b. Lp phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD.

Vớ d 6.

Vit phng trỡnh mt cu:
a. Cú tõm I(2; 1; 6) v tip xỳc vi trc Ox.
b. Cú tõm I(2; 1; 4) v tip xỳc vi mt phng (Oxy).
c. Cú tõm O(0; 0; 0) tip xỳc vi mt cu (T) cú tõm I(3; 2; 4), bỏn kớnh bng 1.

Vớ d 7.

Lp phng trỡnh mt cu:
a. Cú tõm nm trờn tia Ox, bỏn kớnh bng 5 v tip xỳc vi mt phng (Oyz).
b. Cú bỏn kớnh bng 2 v tip xỳc vi (Oxy) ti im M(3; 1; 0).
1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bi 1

5.









1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho ba vộc t a 2i 3 j 5k, b 3 j 4k, c i 2 j




a) Xỏc nh ta cỏc vộc t a, b, c , x 3a 2b v tớnh x


b) Tỡm giỏ tr ca x vộc t y 2x 1; x ; 3x 2 vuụng gúc vi vộc t 2b c

c) Chng minh rng cỏc vộc t a, b, c khụng ng phng v phõn tớch vộc t u 3; 7; 14 qua ba vộc t a, b, c .







2. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho cỏc vộc t a 2i 3 j k, b i 2k, c 2 j 3k

a) Xỏc nh ta cỏc vộc t a, b, c





b) Tỡm ta vộc t u 2a 3b 4c v tớnh u


c) Tỡm x vộc t v (3x 1; x 2; 3 x ) vuụng gúc vi b


d) Biu din vộc t x (3;1; 7) qua ba vộc t a, b, c .

Bi 2

1. Cho hai vộc t a , b cú a 2 3, b 3,(a , b ) 300. Tớnh



a) di cỏc vộc t a b , 5a 2b , 3a 2b ,




b) di vộc t a , b , a , 3b , 5a , 2b .



2. Tỡm iu kin ca tham s m sao cho




a) Ba vộc t u (2;1; m ), v (m 1; 2; 0), w(1; 1;2) ng phng.

b) A(1; 1; m ), B(m; 3;2m 1),C (4; 3;1), D(m 3; m;2 m ) cựng thuc mt mt phng.


c) Gúc gia hai vộc t a (2; m;2m 1), b (m;2; 1) l 600.
Bi 3 Cho tam giỏc ABC cú B(1;1; 1),C (2; 3; 5). im A cú tung l

1
, hỡnh chiu ca im A trờn BC l
3

7
49
K 1; ; 3 v din tớch tam giỏc ABC l S
.
3
3
1. Tỡm ta nh A bit A cú honh dng.
2. Tỡm ta chõn ng vuụng gúc h t B n AC .
3. Tỡm ta tõm I ca ng trũn ngoi tip v ta trc tõm H ca tam giỏc ABC .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tµi liƯu to¸n 12

n¨m häc 2018



4. Chứng minh HG  2GI với G là trọng tâm tam giác ABC .
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. Tọa độ các
điểm A(2; 4;1), B(0; 4; 4),C (0; 0;1) và D có hồnh độ dương.

1. Xác định tọa độ điểm D.
2. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng G cách đều các đỉnh của tứ diện.
3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng MN là đường vng góc chung của hai đường

thẳng AB và CD.
4. Tính độ dài các đường trọng tuyến của tứ diện ABCD. Tính tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh của tứ diện ABCD.
Bài 5 Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(0;2; 0), B(1; 0; 3), C (0; 2; 0), D(3;2;1) .
1. Chứng minh rằng bốn điểm A, B,C , D khơng đồng phẳng;
2. Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH của tam giác BCD ;
3. Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A ;
4. Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành;
5. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD ;
6. Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BMC cân tại ;
7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A,G, A’ thẳng hàng với A ' là trọng tâm tam giác BCD
.
Bài 6 Cho tam giác ABC có A(2; 3;1), B(1;2; 0),C (1;1;  2).
1. Tìm tọa độ chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC .
2. Tìm tọa độ H là trực tâm của tam giác ABC .
3. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .
4. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng các điểm G, H , I nằm trên một đường thẳng.
Bài 7
Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề Các vng góc Oxyz cho tam giác đều ABC có A(5; 3;  1), B(2; 3;  4) và điểm C
nằm trong mặt phẳng (Oxy ) có tung độ nhỏ hơn 3 .
a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.
b) Tìm tọa độ điểm S biết SA, SB, SC đơi một vng góc.
Bài 8

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 3; 2; 4
a) Tìm tọa độ các hình chiếu của A lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ
b) Tìm M  Ox , N  Oy sao cho tam giác AMN vng cân tại A
c) Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz ) sao cho tam giác AEB cân tại E và có diện tích bằng 3 29 với

B 1; 4; 4 .
Bài 9

  450 .
Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho A(4; 0; 0), B(x 0 ; y 0 ; 0) với x 0 , y 0  0 thỏa mãn AB  2 10 và AOB

a) Tìm C trên tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8 .
b) Gọi G là trọng tâm ABO và M trên cạnh AC sao cho AM  x . Tìm x để OM  GM .
1ii. Bài tập trắc nghiệm tự luyện



Vấn đề 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
B. a  2;3; 5, b  3;4;0, c  0; 2;0 .
Câu 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ



 

 


a  2i  3 j  5k , b  3 j  4 k , c  i  2 j .

Khẳng định nào sau đây đúng?




A. a  2;3; 5, b  3;4;0, c  1; 2;0 .

Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489




C. a  2;3; 5, b  0; 3;4 , c  1; 2;0 .



D. a  2;3; 5, b  1; 3;4 , c  1; 2;1 .
Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ





a  0;1;3 và b  2;3;1 . Nếu 2 x  3a  4b thì tọa

độ của vectơ x là:
Page | 6


Tài liệu toán 12

năm học 2018


9 5

A. x 4; ; .

2 2


9 5
B. x 4; ; .

2 2

9 5
C. x 4; ; .
2 2


9 5
D. x 4; ; .

2 2




A. x 2a 3b c .




B. x 2a 3b c .

C. x 2a 3b c .




D. x 2a 3b c .

Cõu 8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba vect



a 1;0; 2, b 2;1;3 , c 4;3;5 . Tỡm hai s
Cõu 3. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba vect


thc m , n sao cho m.a n.b c ta c:



a 2; 1;3 , b 1; 3;2 v c 3;2; 4 .
B. m 2; n 3. C. m 2; n 3.
A. m 2; n 3.



x .a 5

Cõu 9. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai vect






Gi x l vect tha món:
x .b 11 . Ta ca vect

a

2;
m

1;

1
b
1; 3;2 . Vi nhng giỏ tr
v







x .c 20

nguyờn no ca m thỡ b 2a b 4 ?

x l:



A. 2;3;1 . B. 2;3; 2 . C. 3;2; 2 . D. 1;3;2 .
Cõu 4. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba vect




a 1;1;0 , b 1;1;0 v c 1;1;1.
Trong cỏc khng nh sau, khng nh no sai?


A. a 2. B. c 3.


C. a b.


D. c b.

A. 4 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 2 .

Cõu 10. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai


vect u m; 2; m 1 v v 0; m 2;1 .


Tt c giỏ tr ca m cú th cú hai vect u v v cựng
phng l:

A. m 1. B. m 0.

C. m 1.

D. m 2.

Cõu 11. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , hai vect


Cõu 5. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba vect
a m;2;3 v b 1; n;2 cựng phng, ta phi cú:

a 1;1;0, b 1;1;0 v c 1;1;1 .
Trong cỏc khng nh sau, khng nh no ỳng?

A. a.c 1 .


B. a, b cựng phng.


2
C. cos b, c
.
6


D. a b c 0 .



Cõu 6. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc vect



p 3, 2,1 ,
r 2,1, 3
q 1,1, 2 ,
v

c 11, 6,5 . Khng nh no sau õy l ỳng ?

A. c 3 p 2q r .




B. c 2 p 3q r .



m 1
m 3


2
2
. B.
.
A.


4
4
n
n
3
3

m 2
m 3


3
2
C.
. D.
.


2
4
n
n
3
3



Cõu 12. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai


vect a 2;1; 2 v b 0; 2; 2 . Tt c giỏ tr

ca m hai vect u 2a 3mb v v ma b
vuụng gúc l:





26 2
.
6

A.

26 2
.
6

B.

C.

26 2
.
6

D.

2
.
6

Cõu 13. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho vect


u 1;1; 2 v v 1;0; m . Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca


m gúc gia hai vect u v v cú s o bng 450 :
Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc vect




a 2;3;1, b 1;5;2 , c 4; 1;3 v x 3,22,5
Mt hc sinh gii nh sau:



C. c 2 p 3q r .





D. c 3 p 2q 2r .

. ng thc no ỳng trong cỏc ng thc sau?

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 7


Tài liệu toán 12

năm học 2018


Bc 1: cos u, v



1 2m
6. m 2 1

.

Vn 2. TA CA IM


0
Bc 2: Gúc gia hai vect u v v cú s o bng 45
Cõu 19. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn im
nờn suy ra
A ( 2;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;2 ) v D ( 2;2;2 ) . Gi M , N
1 2m

1
2

1 2m 3. m 1 . *
ln lt l trung im ca AB v CD . Ta trung
2
6. m 2 1
im I ca MN l:
Bc 3: Phng trỡnh
m 2 6
.
* 1 2m 2 m 1 m 4 m 2 0
m 2 6
2

2

2

Bi gii trờn ỳng hay sai? Nu sai thỡ sai bc no?
A. ỳng

B. Sai bc 1

C. Sai bc 2

D. Sai bc 3

1 1
A. I ; ;1 .B. I (1;1;0 ) . C. I (1; 1;2 ) .

2 2

D. I (1;1;1) .

Cõu 20. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai


vect=
a (1;1; 2 ) , b =
( 3;0; 1) v im A ( 0;2;1) . Ta


im M tha món AM= 2a b l:
A. M ( 5;1;2 ) .B. M ( 3; 2;1) .C. M (1;4; 2 ) .D. M ( 5;4; 2 ) .


Cõu 14. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai vect a Cõu 21. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , hỡnh chiu




v b tha món a 2 3, b 3 v a, b 30 0 . di
ca im M 1; 3; 5 trờn mt phng Oxy cú ta


l:
ca vect 3a 2b bng:

A. 54.

B. 54.

C. 9.

D. 6.

A. 1; 3;5 .

B. 1; 3;0 . C. 1; 3;1 . D. 1; 3;2 .

Cõu 15. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho vect
Cõu 22. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im



u 2; 1;2 v vect n v v tha món u v 4.
M 3;2; 1 . Ta im M ' i xng vi M qua

di ca vect u v bng:
mt phng Oxy l:
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

A. M ' 3;2;1 . B. M ' 3;2;1 . C. M ' 3;2 1 . D. M ' 3; 2; 1 .

Cõu 16. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai





vect a v b tha món a 2, b 5 v a, b 30 0 . Cõu 23. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im

M 2016; 1; 2017 . Hỡnh chiu vuụng gúc ca im
di ca vect a, b bng:

M trờn trc Oz cú ta :



A. 10 .

B. 5 .

C. 8 .

D. 5 3 .

A. 0;0;0 B. 2016;0;0 C. 0; 1;0 D. 0;0 2017

Cõu 17. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai vect a
Cõu 24. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im

v b tha món a 2 3, b 3 v a, b 30 0 . di
A 3;2; 1 . Ta im A ' i xng vi A qua trc


Oy l:
ca vect 5a, 2b bng:





A. 3 3.

B. 9.

C. 30 3.

D. 90.

A. A ' 3;2;1 B. A ' 3;2 1 C. A ' 3;2;1 D. A ' 3; 2; 1

Cõu 18. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai Cõu 25. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im

A 1;2;3 . Khong cỏch t A n trc Oy bng:
vect u v v tha món u 2 , v 1 v u, v 60 0 .


Gúc gia hai vect v v u v bng:
B. 10.
C. 2.
D. 3.
A. 10.



A. 30 0.

B. 450.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. 60 0.

D. 90 0.

- 0946798489

Page | 8


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
M 3; 1;2 . Trong cỏc phỏt biu sau, phỏt biu no

sai?
A. Ta hỡnh chiu ca M trờn mt phng xOy l
M ' 3; 1;0 .

B. Ta hỡnh chiu ca M

trờn trc Oz

l

M ' 0;0;2 .

C. Ta i xng ca M qua gc ta O l
M ' 3;1; 2 .

C. D 10; 17;7

D. D 10; 17;7

Cõu 30. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho sỏu
im A 1;2;3 , B 2; 1;1 , C 3;3; 3 , A ', B ', C ' tha

món A ' A B ' B C ' C 0 . Nu G ' l trng tõm tam
giỏc A ' B ' C ' thỡ G ' cú ta l:
4 1
4 1

4 1
A. 2; ; B. 2; ; C. 2; ;
3 3
3 3
3 3


4 1
D. 2; ;

3 3

Cõu 31. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn
im M 2; 3;5 , N 4;7; 9 , P 3;2;1 v Q 1; 8;12
. B ba im no sau õy l thng hng?

D. Khong cỏch t M n gc ta O bng

3

14.

A. M , N , P B. M , N , Q C. M , P , Q

D. N , P , Q

Cõu 27. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba
M 2; 5;4 . Trong cỏc phỏt biu sau, phỏt biu no

im A 2; 1;3 , B 10;5;3 v M 2m 1;2; n 2 .

sai?

A, B, M thng hng thỡ giỏ tr ca m, n l:

A. Ta im M ' i xng vi M qua mt phng

yOz l M 2;5;4 .
B. Ta im M ' i xng vi M qua trc Oy l

A. m 1; n

3
2

C. m 1, n

M 2; 5; 4 .

C. Khong cỏch t M n mt phng ta xOz bng
5.

3
B. m , n 1
2
3
2

2
3

D. m , n
3
2

Cõu 33. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
im A 1; 3;5 v B 3; 2;4 . im M trờn trc Ox
cỏch u hai im A, B cú ta l:

D. Khong cỏch t M n trc Oz bng

29.

Cõu 28. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im

3

3

A. M ;0;0 . B. M ;0;0 . C. M 3;0;0 . D. M 3;0;0 .
2


2


M 1; 2;3 . Trong cỏc phỏt biu sau, phỏt biu no sai? Cõu 34. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba

A. Ta i xng ca O qua im M l O ' 2; 4;6 .
B. Ta im M ' i xng vi M qua trc Ox l
M ' 1; 2;3 .

C. Khong cỏch t M n mt phng ta yOz bng
1.

im A 1;1;1 , B 1;1;0 , C 3;1; 1 . im M trờn
mt phng Oxz cỏch u ba im A, B, C cú ta
l:
5 7
7
5
5
7
A. 0; ; . B. ;0; . C. ;0; .
6

6 6
6
6
6

6
6
D. ;0; .
5
7

Cõu 35. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam
D. Khong cỏch t M n trc Oy bng

10.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
A 3;4;2 , B 5;6;2 , C 4;7; 1 . Tỡm ta im



D tha món AD 2 AB 3 AC .

A. D 10;17; 7
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

B. D 10;17; 7
- 0946798489

giỏc ABC bit 1;0; 2 , B 2;1; 1 , C 1; 2;2 . Tỡm
ta trng tõm G ca tam giỏc ABC .
A. G 4; 1; 1

4 1 1
B. G ; ;
3 3 3

1 1
C. G 2; ;
2
2

4 1 1
D. G ; ;
3 3 3

Page | 9


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 36. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam
giỏc ABC cú A ( 0;0;1) , B ( 1; 2;0 ) , C ( 2;1; 1) . Khi ú
ta chõn ng cao H h t A xung BC l:
8
5 14
A. H ; ;
19 19 19

4

B. H ;1;1
9


8

C. H 1;1;
9


3
D. H 1; ;1
2

A. C 4; 5; 2 . B. C 4;5;2 . C. C 4; 5;2 . D. C 4;5; 2 .
Cõu 43. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam giỏc
ABC cú A 2; 1;6 , B 3; 1; 4 , C 5; 1;0 . Trong

cỏc khng nh sau, khng nh no ỳng?
tam giỏc ABC l

Cõu 37. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam giỏc

A. Tam giỏc cõn.

B. Tam giỏc u.

C. Tam giỏc vuụng.

D. C A v C.

ABC cú A 1;2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 . Ta Cõu 44. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
A 1; 2;0, B 1;0; 1 v C 0; 1;2 . Mnh no sau
ca tam giỏc ABC
chõn ng phõn giỏc trong gúc B

l:

õy l ỳng?

11

2 11 2 11 1

A. ; ;1 B. ; ; C. ; 2;1 D. 2;11;1
3
3 3 3 3 3


A. Ba im A, B, C thng hng.

Cõu 38. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
A 2; 1;3 , B 4;0;1 , C 10;5;3 . di ng phõn

ca tam giỏc ABC bng:
giỏc trong gúc B
A. 2 3

B. 2 5

C.

2
5

D.

B. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc cõn.
C. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc cú mt gúc
bng 60 0.
D. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc vuụng.

2
3

Cõu 39. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam giỏc
ABC cú A 0; 4;0 , B 5;6;0 , C 3;2;0 . Ta chõn

ca tam giỏc ABC l:
ng phõn giỏc ngoi gúc A
A. 15; 14;0 B. 15; 4;0 C. 15;4;0 D. 15; 14;0
Cõu 40. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba
im M 2;3; 1 , N 1;1;1 , P 1; m 1;2 . Vi nhng

Cõu 45. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im
A 2;0;1 , B 0;2;0 v C 1;0;2 . Mnh no sau õy

ỳng?
A. Ba im A, B, C thng hng.
B. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc cõn A .
C. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc cõn B .
D. Ba im A, B, C to thnh tam giỏc vuụng.

giỏ tr no ca m thỡ tam giỏc MNP vuụng ti N ?

Cõu 46. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc

A. m 3
B. m 2
C. m 1
D. m 0
im A, B, C cú ta tha món OA i j k ,

OB 5i j k , BC 2i 8 j 3k . Ta im D
Cõu 41. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam
t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh l:
giỏc ABC cú nh C 2;2;2 v trng tõm G 1;1;2 .
Tỡm ta cỏc nh A, B ca tam giỏc ABC , bit A
thuc mt phng Oxy v im B thuc trc cao.
A. A 1; 1;0, B 0;0;4 B. A 1;1;0, B 0;0;4
C. A 1;0;1, B 0;0;4

D. A 4;4;0, B 0;0;1

Cõu 42. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam giỏc

A. D 3;1;5 B. D 1;2;3

C. D 2;8;6

D. D 3;9;4

Cõu 47. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
M 2;0;0 , N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nu MNPQ l hỡnh

bỡnh thnh thỡ ta ca im Q l:
A. 2; 3;4 B. 3;4;2

C. 2;3;4

D. 2; 3; 4

ABC cú A 4; 1;2 , B 3;5; 10 . Trung im cnh Cõu 48. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
AC thuc trc tung, trung im cnh BC thuc mt
phng Oxz . Ta nh C l:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

A 1;2; 1 , B 3; 1;2 , C 6;0;1 . Trong cỏc im sau õy,

im no l nh th t ca hỡnh bỡnh hnh cú ba nh l
A, B, C . M 4;3; 2 ; N 2;1;0 ; P 2;1; 1
Page | 10


Tài liệu toán 12

năm học 2018

A. Ch cú im M

B. Ch cú im N

C. Ba vect ụi mt vuụng gúc vi nhau

C. Ch cú im P

D. C hai im M v N

D. Ba vect cú ln bng nhau

Cõu 49. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh bỡnh Cõu 55. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , trong cỏc



b ba vect a, b, c sau õy, b no tha món tớnh cht
hnh OABD , cú OA 1;1;0 v OB 1;1;0 vi O l


a, b .c 0 (hay cũn gi l ba vect a, b, c ng
gc ta . Khi ú ta ca D l:

phng).
C. 1;0;1. D. 1;1;0.
A. 0;1;0. B. 2;0;0.



A. a 1; 1;1, b 0;1;2, c 4;2;3.
Cõu 50. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn im



B. a 4;3;4, b 2; 1;2, c 1;2;1.
A 1;0; 2 , B 2;1; 1 , C 1; 2;2 v D 4;5 7 . Trng

C. a 2;1;0, b 1; 1;2, c 2;2; 1.

tõm G ca t din ABCD cú ta l:
A. 2;1;2 B. 8;2; 8

C. 8; 1;2

D. 2;1; 2




D. a 1; 7;9, b 3; 6;1, c 2;1; 7.

Cõu 51. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh hp Cõu 56. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn



Bit
ABCD. A ' B ' C ' D ' .
A 2;4;0 ,
B 4;0;0 ,
vect a 2,3,1 , b 5,7,0 ,
c 3, 2, 4 v

C 1;4; 7 v D ' 6;8;10 . Ta im B ' l:
d 4,12, 3 .
A. 10;8;6 B. 6;12;0

C. 13;0;17 D. 8;4;10

Vn 3. TCH Cể HNG CA HAI VECT
Cõu 52. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai



vect a v b khỏc 0 . Kt lun no sau õy sai?




A. a, b a b sin a, b




B. a,3b 3 a; b






C. 2a, b 2 a, b

D. 2a,2b 2 a, b






Cõu 53. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai



vect u v v khỏc 0 . Phỏt biu no sau õy l sai?



A. u, v cú di l u v cos u, v




Mnh no sau õy sai?

A. d a b c

B. a , b , c l ba vect khụng ng phng.



C. a b d c

D. 2a 3b d 2c

Cõu 57. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai vect





a v b khỏc 0 . Gi c a, b . Mnh sau õy l

ỳng?


A. c cựng phng vi a .


B. c cựng phng vi b .




B. u, v 0 khi hai vecto u, v cựng phng

C. c vuụng gúc vi hai vect a v b .



C. u, v vuụng gúc vi hai vecto u, v


D. C A v B u ỳng.
Cõu 58. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect a 1;2; 1 , b 3; 1;0 v c 1; 5;2 .


D. u, v l mt vect


Cõu 54. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect a, b v c khỏc 0 . iu kin cn v ba

vect a, b, c ng phng l:

A. a.b.c 0
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

B. a, b .c 0


- 0946798489

Khng nh no sau õy l ỳng?


A. a cựng phng vi b .

B. a , b , c khụng ng phng.

Page | 11


Tài liệu toán 12

năm học 2018




C. a , b , c ng phng. D. a vuụng gúc b .

Cõu 59. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect a 3; 1; 2 , b 1;2; m v c 5;1;7 . Giỏ tr

ca m c a , b l:
B. 0

A. 1

C. 1

A 1;2; 1 , B 5;0;3 v C 7,2,2 . Ta giao im M

ca trc Ox vi mt phng i qua im A, B, C l:
A. M 1;0;0 . B. M 1;0;0 .C. M 2;0;0 . D. M 2;0;0 .
Cõu 66. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn
im

D. 2 .

A 0;2; 1 , B 3;1; 1 , C 4;3;0 v D 1;2; m .

Cõu 60. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect =
, v ( m;3; 1) v w = (1;2;1) . ba
u ( 2; 1;1)=

Tỡm m bn im A, B, C , D ng phng. Mt hc

vect ó cho ng phng khi m nhn giỏ tr no sau

sinh gii nh sau:

õy?




Bc1: AB 3; 1;1 , AC 4;1;2 , AD 1;0; m 2
B. 4

A. 8

C.

7
3

D.

8
3

.

Cõu 61. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect a 1; m;2, b m 1;2;1 v c 0; m 2;2 . .

ba vect ó cho ng phng khi m nhn giỏ tr no
sau õy?
A. m

2
5

B. m

5
2

C. m 2 . D. m 0 .

Cõu 62. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba



vect a 2,0,3, b 0, 4, 1 v c m 2, m 2 ,5 .
ba vect ó cho ng phng khi m nhn giỏ tr no

1 1 1 3 3 1
3;10;1
;
;
Bc2: AB, AC

1 2 2 4 4
1

Suy ra AB, AC . AD 3 m 2 m 5.



Bc3: A, B, C , D ngphng

AB, AC . AD 0 m 5 0 m 5 .


ỏp ỏn: m 5 .
Bi gii trờn ỳng hay sai? Nu sai thỡ sai bc no?

sau õy?

A. ỳng

B. Sai Bc 1.

A. m 2 hoc m 4 B. m 2 hoc m 4

C. Sai Bc 2.

D. Sai Bc 3.

C. m 1 hoc m 6

D. m 2 hoc m 5

Cõu 67. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam

im A 1; 2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 v D 0; m; p .

giỏc ABC . Tp hp cỏc im

MA
MB , AC 0 l:



H thc gia m v p bn im A, B, C , D ng

A. ng thng qua C v song song vi cnh AB .

Cõu 63. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn



M

tha món



phng l:

B. ng thng qua trung im I ca AB v song
A. 2m p 0 B. m p 1 C. m 2 p 3 D. 2m 3 p 0 song vi cnh AC .
Cõu 64. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im
A 0;0;4 , B 2;1;0 , C 1;4;0 v D a; b;0 . iu kin

cn v ca a, b hai ng thng AD v BC
cựng thuc mt mt phng l:
A. 3a b 7 . B. 3a 5b 0 . C. 4 a 3b 2 . D. a 2b 1 .

C. ng thng qua trung im I ca AB v vuụng
gúc vi cnh AC .
D. ng thng qua B v song song vi cnh AC .
Cõu 68. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam
giỏc ABC cú A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . Din tớch
ca tam giỏc ABC bng:

Cõu 65. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 12


Tài liệu toán 12

A.

7
2

B.

năm học 2018

5
2

C.

6
2

11
2

D.

Cõu 69. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam
giỏc ABC cú A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 . di
ng cao k t A ca tam giỏc ABC bng:
30
A.
5

15
B.
5

ABCD vi A 2;1; 1 , B 3;0;1 , C 2; 1;3 , im D

thuc Oy v th tớch ca t din ABCD bng 5 . Ta
ca nh D l:
A. D 0; 7;0

B. D 0;8;0

C. D 0; 7;0 hoc D 0;8;0 .
C. 2 5

D. 3 6

Cõu 70. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
im C 4;0;0 v B 2;0;0 . Tỡm ta im M thuc
trc tung sao cho din tớch tam giỏc MBC bng 3 .
A. M 0;3;0, M 0; 2;0 . B. M 0;3;0, M 0; 3;0 .
C. M 0;4;0, M 0; 3;0 . D. M 0;3;0, M 0; 1;0 .

D. D 0;7;0 hoc D 0; 8;0 .
Cõu 76. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din
ABCD vi A 1; 2;4 , B 4; 2;0 , C 3; 2;1 v
D 1;1;1 . di ng cao ca t din ABCD k t

nh D bng:
A. 3

B. 1

C. 2

D.

Cõu 71: Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba

Cõu 77. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn

im A 1;2; 1, B 2;1;1, C 0;1;2 .

im A 2;2;0 , B 2;4;0 , C 4;0;0 v D 0; 2;0 .

Gi H a; b; c l trc tõm ca tam giỏc ABC . Giỏ tr
ca a b c bng:
A. 4

B. 5

D. 6

B. Bn im A, B, C , D to thnh hỡnh vuụng.

hnh ABCD . Bit A 2;1; 3 , B 0; 2;5 , C 1;1;3 . Din
tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD l:
B. 349

Mnh no sau õy l ỳng?
A. Bn im A, B, C , D to thnh t din.

C. 7

Cõu 72. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh bỡnh

A. 2 87

1
2

C. Bn im A, B, C , D to thnh hỡnh chúp u.
D.Din tớch ABC bng din tớch DBC .

C. 87

349
2

D.

Cõu 73. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh

Cõu 78. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho bn
im A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 v D 1;1;1 . Trong
cỏc mnh sau, mnh no sai?

bỡnh hnh ABCD vi A 1;0;1 , B 2;1;2 v giao im

A. Bn im A, B, C , D to thnh mt t din.

3 3
ca hai ng chộo l I ;0; . Din tớch ca hỡnh
2 2

B. Ba im A, B, D to thnh tam giỏc u.

bỡnh hnh ABCD bng:
A.

5

B.

6

C. AB CD .
C.

2

D.

3

Cõu 74. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din
ABCD vi A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 2;1; 1 .

Th tớch ca t din ABCD bng:
A. 1

B. 2

C.

1
2

D.

1
3

D. Ba im B, C , D to thnh tam giỏc vuụng.
Cõu 79. Cho hỡnh hp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Hóy xỏc nh ba
vect no sau õy ng phng?

A. AA ', BB ', CC '


B. AB, AD, AA '


C. AD, A ' B ', CC '


D. BB ', AC , DD '

Cõu 75. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din Cõu 80. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 13


Tài liệu toán 12

hp

năm học 2018

ABCD. A ' B ' C ' D '

A 1;1; 6 ,

cú

B 0;0; 2 ,

C 5;1;2 v D ' 2;1; 1 . Th tớch ca khi hp ó cho

bng:
A. 36

B. 38

C. 40

D. 42

C. S3 : x 2 y 2 z 2 2 x 6 z 2 0
D. S 4 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0
Cõu 85. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu
tõm I 6,3, 4 tip xỳc vi Ox cú bỏn kớnh R bng:

Vn 4. PHNG TRèNH MT CU
Cõu 81. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Trong
khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
2

2

2

S : x 1 y 2 z 1 9 . Tớnh ta tõm I
v bỏn kớnh R ca S .

A. R 6

B. R 5

C. R 4

D. R 3

Cõu 86. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , Cho mt

S

cu

cú

phng

trỡnh

x y z 2x 4 y 6z 5 0 .
2

2

2

Trong cỏc s di õy, s no l din tớch ca mt cu

A. I 1;2;1 v R 3 .

B. I 1; 2; 1 v R 3 .

C. I 1;2;1 v R 9 .

D. I 1; 2; 1 v R 9 .

S ?
A. 12

B. 9

C. 36

D. 36

Cõu 87: Trong cỏc phng trỡnh sau, phng trỡnh no l
Cõu 82. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

S cú phng trỡnh x y z 2 x 4 y 6 z 2 0
2

2

phng trỡnh ca mt cu:

2

. Tớnh ta tõm I v bỏn kớnh R ca S .
A. Tõm I 1;2; 3 v bỏn kớnh R 4 .
B. Tõm I 1; 2;3 v bỏn kớnh R 4 .

A. x 2 + y 2 + z 2 10 xy 8 y + 2 z 1 =
0
B. 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 x 6 y + 4 z 1 =
0
C. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2 x 6 y + 4 z + 9 =
0

0
D. x 2 + ( y z ) 2 x 4 ( y z ) 9 =
2

C. Tõm I 1;2;3 v bỏn kớnh R 4 .
D. Tõm I 1; 2;3 v bỏn kớnh R 16 .
Cõu 83. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu no

Cõu 88. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , gi s tn
ti

mt

cu

S

cú

phng

x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2az 6a 0 .

Nu

trỡnh

S

cú

sau õy cú tõm nm trờn trc Oz ?

ng kớnh bng 12 thỡ a nhn nhng giỏ tr no?

A. S1 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 0 .

a 2
a 2
A.
B.
a 8
a 8

B. S2 : x 2 y 2 z 2 6 z 2 0 .
C. S3 : x y z 2 x 6 z 0 .
2

2

2

Cõu 84. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu
no sau õy cú tõm nm trờn mt phng ta Oxy ?
A. S1 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 0
B. S2 : x 2 y 2 z 2 4 y 6 z 2 0
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

a 2
D.
a 4


Cõu 89. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , gi s tn
ti

mt

cu

S

cú

phng

trỡnh

x y z 4 x 2 y 2az 10a 0 . Vi nhng giỏ
2

D. S 4 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 .

a 2
C.
a 4


2

2

tr no ca a thỡ S cú chu vi ng trũn ln bng 8
?
A. 1; 11 B. 1;10

C. 1;11

D. 10;2

Cõu 90. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

S

cú

phng

trỡnh
Page | 14


Tài liệu toán 12

năm học 2018

x 2 y 2 z 2 2m 2 x 3my 6m 2 z 7 0 . Gi

2

2

2

2

2

2

C. x 1 y 4 z 2 9

R l bỏn kớnh ca S , giỏ tr nh nht ca R bng:

D. x 1 y 4 z 2 81
A. 7

377
7

B.

C.

377

D.

377
4

Cõu 91. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

S cú phng trỡnh x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 .
Mt phng Oxy ct S theo giao tuyn l mt ng
trũn. ng trũn giao tuyn ny cú bỏn kớnh r bng:
A. r 5

B. r 2

C. r 6

D. r 4

Cõu 95. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S
cú tõm I 2;1; 1 , tip xỳc vi mt phng ta Oyz .
Phng trỡnh ca mt cu S l:
2

2

2

A. x 2 y 1 z 1 4
2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. x 2 y 1 z 1 1
C. x 2 y 1 z 1 4

Cõu 92. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S cú
tõm I 1; 2;0 , bỏn kớnh R 5 . Phng trỡnh ca mt
cu S l:

D. x 2 y 1 z 1 2
Cõu 96. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S

2

2

2

2

A. S : x 1 y 2 z 2 25 .

i qua A 0,2,0 , B 2;3;1 , C 0,3;1 v cú tõm trờn
mt phng Oxz . Phng trỡnh ca mt cu S l:

B. S : x 1 y 2 z 5 .
2

2

2

A. x 2 y 6 z 4 9
2

2

C. S : x 1 y 2 z 2 25 .

2

B. x 2 y 3 z 2 16
2

2

D. S : x 1 y 2 z 2 5 .

2

2

C. x 2 y 7 z 5 26
Cõu 93. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai
im A 2;4;1, B 2;2; 3 . Phng trỡnh mt cu
ng kớnh AB l:

2

Cõu 97. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S

2

2

2

2

A. x y 3 z 1 9
2

2

D. x 1 y 2 z 3 14

cú bỏn kớnh bng 2 , tip xỳc vi mt phng Oyz v
cú tõm nm trờn tia Ox . Phng trỡnh ca mt cu S

B. x 2 y 3 z 1 9
2

2

2

2

l:

C. x 2 y 3 z 1 3

2

A. S : x 2 y 2 z 2 4 .

D. x 2 y 3 z 1 9

2

B. S : x 2 y 2 z 2 4 .

Cõu 94. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S

2

C. S : x 2 y 2 z 2 4 .

cú tõm I 1;4;2 v cú th tớch V 972 . Khi ú
phng trỡnh ca mt cu S l:
2

2

2

2

2

2

A. x 1 y 4 z 2 81

2

D. S : x 2 y 2 z 2 4 .
Cõu 98. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im
A 2,0,0, B 0, 4,0, C 0,0, 4 . Phng trỡnh no sau

B. x 1 y 4 z 2 9

õy l phng trỡnh mt cu ngoi tip t din OABC (
O l gc ta ).

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 15


Tài liệu toán 12

năm học 2018

O 0;0;0, A 2;2;3, B 2; 1; 1 , cú bao nhiờu im nm

A. x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 0

2

2

trong mt cu S ?

2

B. x 1 y 2 z 2 9
2

2

A. 0

2

C. x 2 y 4 z 4 20
2

2

A 1; a;1

M x , y, z tha món: MA 2 MB 2 MC 2 l mt cu cú

bỏn kớnh l:
C. R 3

D. R 3

S

cu

cú

phng

trỡnh

A. 1;3

B. 1;3

C. 3;1

D. ; 1 3;

2

2

S : x 2 y 4 z 1 36 . V trớ tng i ca

phng trỡnh no sau õy i qua gc ta ?

mt cu S vi mt phng Oxy l:

A. S1 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 0

B. S2 : x y z 4 y 6 z 2 0
2

mt

Cõu 106. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

Cõu 100. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu cú

2

v

im A nm trong khi cu l?

im A 1,0,0 , B 0,2,0, C 0,0,3 . Tp hp cỏc im

B. R 2

D. 3

x 2 y 2 z 2 2 y 4 z 9 0 . Tp cỏc giỏ tr ca a

Cõu 99. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba

A. R 2

C. 2

Cõu 105. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im

D. x y z 2 x 4 y 4 z 9
2

B. 1

A. Oxy ct S .

B. Oxy khụng ct S .

C. Oxy tip xỳc S .

D. Oxy i qua tõm S .

2

C. S3 : x 2 y 2 z 2 2 x 6 z 0

Cõu 107. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt

D. S 4 : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0

2

2

2

cu S : x 1 y 2 z 3 9 .
im no sau õy nm ngoi mt cu S ?

A. Oxy .

B. Oyz .

C. Oxz .

D. C A, B, C.

Cõu 108. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu
no sau õy tip xỳc vi mt phng ta Oxy ?

A. M 1;2;5 .B. N 0;3;2 . C. P 1;6; 1 .D. Q 2;4;5 .

2

2

A. S1 : x 1 y 2 z 2 2

Cõu 102. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

S : x 2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 0 . im no sau õy

2

2

2

2

2

B. S2 : x 1 y 3 z 1 2

thuc mt cu S ?

C. S3 : x 1 y 1 z 2 1

A. M 0;1; 1 .B. N 0;3;2 . C. P 1;6; 1 . D. Q 1;2;0 .

2

D. S 4 : x 2 y 2 z 4 16

Cõu 103. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
2

2

Mt phng no sau õy ct mt cu S ?

Cõu 101. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
2

2

cu S : x 1 y 2 z 5 4 .

2

S : x 2 y 1 z 2 25 . im no sau õy nm
bờn trong mt cu S .

Cõu 109. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
2

2

S : x 3 y 2 z 2 m 2 4 . Tp cỏc giỏ tr ca

A. M 3; 2; 4 .B. N 0; 2; 2 . C. P 3;5;2 .D. Q 1;3;0 .
Cõu 104. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu

m mt cu S tip xỳc vi mt phng Oyz l:

A. m 5 . B. m 5 . C. m 0 .

D. m 2 .

S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0 . Trong ba im
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 16


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 110. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt

S

cu

cú

phng

2

B. S2 : x 1 y 2 z 2 1

trỡnh
2

2

x 2 y 5 z 2 m 2 2m 6 . Tp cỏc giỏ tr

C. S3 : x 1 y 1 z 2 1

ca m mt cu S ct trc Oz ti hai im phõn

D. S 4 : x 1 y 3 z 1 2

2

2

2

2

2

bit l:
A. m 1 .

B. m 3 .

Cõu 113. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
C. 3 m 1 . D. m 3 hoc m 1 .
2
2
2
v
im
cu S : x 1 y 2 z 3 14

Cõu 111. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
2

2

cu S cú phng trỡnh x 1 y 3 z 9 .

2

Mnh no sau õy ỳng ?
A. S tip xỳc vi trc Ox B. S khụng ct trc Oy
C. S tip xỳc vi trc Oy D. S tip xỳc vi trc Oz

A 1; 1; 6 . Tỡm trờn trc Oz im B sao cho ng

thng AB tip xỳc vi S .




19
3
19
3
A. B 0;0; . B. B 0;0; .C. B 0;0; .D. B 0;0; .







19
3
3
19

Cõu 114. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt
cu

Cõu 112. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu
no sau õy tip xỳc vi hai trc ta Oy v Oz ?
2

2

A. S1 : x 1 y 2 z 2 2

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

S : x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0

v

im

A 4;4;0 .Tỡm ta im B thuc S sao cho tam

giỏc OAB u (O l gc ta ).
B 0; 4;4
. B.
A.
B 4;0;4

B 0;4; 4

B 4;0;4 .C.



B 0; 4; 4

.D.
B 4;0;4



B 0;4;4

B 4;0;4 .



Page | 17


Tài liệu toán 12

năm học 2018

1. H TO TRONG KHễNG GIAN
Dạng toán 1: Ta ca im, vect v cỏc yu t liờn quan
Phng phỏp
S dng cỏc kt qu trong phn:
Ta ca vect.

Ta ca im.
Liờn h gia ta vect v ta hai im mỳt.
Tớch cú hng ca hai vect v cỏc ng dng

Thí dụ 1. Cho ba im A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).
a. Chng minh A, B, C l ba nh ca mt tam giỏc.
b. Tớnh chu vi, din tớch ca ABC.


c. Tỡm to im D ABCD l hỡnh bỡnh hnh v tớnh cụsin gúc gia hai vect AC v BD .
d. Tớnh di ng cao h A ca ABC k t A.
e. Tớnh cỏc gúc ca ABC.
f. Xỏc nh to trc tõm H ca ABC.
g. Xỏc nh to tõm ng trũn ngoi tip ABC.

Gii

a. Ta cú:




AB (2; 3; 1) v AC (2; 2; 2) AB v AC khụng cựng phng.
Vy, ba im A, B, C khụng thng hng.
b. Ta ln lt cú:
CV ABC = AB + AC + BC =

2 2 + 32 + 12 + 2 2 + (2)2 + 2 2 + (5)2 + 12

= 14 + 12 + 26 .

S ABC =

1 1
1
AB, AC = |(8; 2; 10)| =

2
2
2

82 + (2)2 + (10)2 = 42 .

c. Gi s
y; z), ABCD l hỡnh bỡnh hnh iu kin l:
D(x;
AB = DC (2; 3; 1) = (3 x; y; 5 z)
2= 3 x
x = 1


3 = y y = 3 D(1; 3; 4).
1= 5 z
z = 4




AB.BD
51
12

cos( AC , BD ) = =
=
.
17
12. 68
AB . BD
d. Ta cú:
S ABC =

2S
2 42
2 273
1
h A .BC h A = ABC =
=
.
13
2
BC
26

e. Ta ln lt cú:
AB.AC
cosA = = 0 A = 900,
AB . AC

BA.BC
51
v cosC = sinB = 1 cos2 B =
cosB = =

13
BA . BC

118
.
13

f. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi s H(x; y; z) l trc tõm ABC, ta cú iu kin:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 12

năm học 2018


AH BC
AH BC


BH AC BH AC


H (ABC)
Ba

vectơ
AB,
AC, AH đồng phẳng



AH.BC = 0
0
(x 1; y 2; z 3).(0; 5; 1) =


BH.AC = 0
(x 3; y 5; z 4).(2; 2; 2) =
0
(8; 2; 10).(x 1; y 2; z 3) =

0

AB, AC .AH = 0
0
7
5y z =
5(y 2) + z 3 =
x = 1



2(x 3) 2(y 5) + 2(z 4) =
y = 2
2

0 x y + z =
8(x 1) 2(y 2) 10(z 3) =
0 4x y 5z =13

z = 3

Vy, ta c trc tõm H(1; 2; 3).
Cỏch 2: Vỡ ABC vuụng ti A nờn trc tõm H A, tc l H(1; 2; 3).
g. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi s I(x; y; z) l tõm ng trũn ngoi tip ABC, ta cú:
AI 2 = BI 2
AI 2 = BI 2
AI = BI
2
2

2
2


AI
CI
=
=
AI
CI

AI = CI

I (ABC)


AB, AC, AH đồng phẳng
AB, AC .AI = 0
(x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = (x 3)2 + (y 5)2 + (z 4)2

(x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = (x 3)2 + y 2 + (z 5)2
4x y 5z =13

18
x = 3
2x + 3y + z =


x y + z =
y = 5 / 2 .
5
4x y 5z =13
z = 9 / 2



5 9
Vy, ta c tõm ng trũn ngoi tip l I 3; ; .

2 2

Cỏch 2: Vỡ ABC vuụng ti A nờn tõm I ca ng trũn ngoi tip ABC chớnh l trung im ca BC, tc l
5 9
I 3; ; .
2 2

F Nhn xột:

Nh vy, vi bi toỏn trờn (tam giỏc trong khụng gian) cỏc em hc sinh cú th ụn tp c hu
ht kin thc trong bi hc "H ta trong khụng gian", v trong ú vi cỏc cõu f), g):
cỏch 1, chỳng ta nhn c phng phỏp chung thc cỏc yờu cu ca bi toỏn.
cỏch 2, bng vic ỏnh giỏ c dng c bit ca ABC chỳng ta nhn c li gii
n gin hn rt nhiu.

Thí dụ 2. Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2).
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 2


Tài liệu toán 12

Gii

năm học 2018

a. Tỡm ta cỏc im A 1 , A 2 theo th t l cỏc im i xng vi im A qua mt phng

(Oxy) v trc Oy.
b. Chng minh rng A, B, C, D l bn nh ca mt hỡnh t din.
c. Tớnh th tớch khi t din ABCD.
d. Chng minh rng hỡnh chúp D.ABC l hỡnh chúp u.
e. Tỡm ta chõn ng cao H ca hỡnh chúp D.ABC.
f. Chng minh rng t din ABCD cú cỏc cnh i vuụng gúc vi nhau.
g. Tỡm ta im I cỏch u bn im A, B, C, D.

a. Ta ln lt:
Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mt phng (Oxy) l im E(5; 3; 0). T ú, vỡ E l trung im ca
AA 1 nờn A 1 (5; 3; 1).
Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn trc Oy l im F(0; 3; 0). T ú, vỡ F l trung im ca AA 2 nờn
A 2 (5; 3; 1).
b. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch sau:


Cỏch 1: chng minh bn im A, B, C, D khụng ng phng ta s i chng minh ba vect DA (2; 2; 1), DB

(1; 2; 2), DC (2; 1; 2) khụng ng phng.

Gi s trỏi li, tc l ba vect DA , DB , DC ng phng, khi ú s tn ti cp s thc , sao cho:
2 = 2




DA = DB + DC 2 = 2 + , vụ nghim
1 = 2 + 2

Ba vect DA , DB , DC khụng ng phng.
Vy, bn im A, B, C, D l bn nh ca mt hỡnh t din.



Cỏch 2: Ta cú DA (2; 2; 1), DB (1; 2; 2), DC (2; 1; 2), t ú suy ra:

2 1
1 2
2 2
DA, DB .DC =
.(2) +
.1 +
.2 = 27 0


2 2
2 1
1 2


Ba vộct DA , DB v DC khụng ng phng.
Vy, bn im A, B, C, D l bn nh ca mt hỡnh t din.
1
9
c. Th tớch V ca t din ABCD c cho bi V = DA, DB .DC = .
6
2
d. Ta ln lt cú:
DA = 22 + 22 + 12 = 3

2
2
2
DB = (1) + 2 + (2) = 3 DA = DB = DC.

2
2
2
DC = (2) + 1 + 2 = 3
Tng t, ta cng cú AB = BC = CA = 3 2 .
Vy, hỡnh chúp D.ABC l hỡnh chúp u.
e. Ta cú th trỡnh by theo hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi s H(x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn mt phng (ABC), ta cú iu kin:




DH
AB

DH.AB
=0
DH AB



DH.AC = 0
DH AC DH AC

H (ABC)
AB, AC .AH = 0
Ba
vectơ
AB,
AC,
AH
đồng
phẳng





Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 12

năm học 2018

1
x = 8 / 3
x + z =

8 8 5


4x + y z =
15 y = 8 / 3 H ; ; .
3 3 3
z = 5 / 3
x 5y z =9



8 8 5
Vy, ta c H ; ; .
3 3 3
Cỏch 2: Da theo kt qu cõu d), ta suy ra chõn ng cao H ca hỡnh chúp D.ABC chớnh l trng tõm ca
ABC, do ú:
1
OH=
OA + OB + OC
3
x + xB + xC y A + y B + yC z A + z B + zC 8 8 5
H A
=
;
;
3; 3; 3 .
3
3
3

(

)

f. Vi cp cnh AD v BC, ta cú:



DA (2; 2; 1), BC (1; 1; 4) DA . BC = 0 AD BC.
Chng minh tng t, ta cng cú AB CD v AC BD.
Vy, t din ABCD cú cỏc cnh i vuụng gúc vi nhau.
D
g. Ta cú th trỡnh by theo hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi s I(x; y; z) l tõm mt cu ngoi tip t din ABCD, ta cú:
AI 2 = BI 2
AI = BI
2

2
AI = CI AI = CI
AI 2 = DI 2
AI = DI



I

A

B

H

C
(x 5)2 + (y 3)2 + (z + 1)2 = (x 2)2 + (y 3)2 + (z + 4)2

(x 5)2 + (y 3)2 + (z + 1)2 = (x 1)2 + (y 2)2 + z 2
(x 5)2 + (y 3)2 + (z + 1)2 = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 2)2

1
x + z =

4x + y z =

15
4x + 4y + 2z =
21


x = 5 / 2
5 7 3

y = 7 / 2 I ; ; .
2 2 2
z = 3 / 2

Cỏch 2: Da theo kt qu cõu d), ta suy tõm I(x; y; z) thuc DH sao cho ID = IB, tc l ta cú:
(x 3)2 + (y 1)2 + (z + 2)2 = (x 2)2 + (y 3)2 + (z + 4)2
2
2

DI = BI
x 3 y 1 z + 2
= =
DI // HI
x 8 y 8 z + 5

3
3
3
15
x = 5 / 2
2x 4y + 4z =
5 7 3


y = 7 / 2 I ; ; .
5x + y =
16
2 2 2

x + z =
1
z = 3 / 2

F Nhn xột:

Nh vy, vi bi toỏn trờn (khi a din) cỏc em hc sinh ó ụn tp c cỏc kin thc trong
bi hc "H ta trong khụng gian", v trong ú:
cõu b), chỳng ta nhn c hai phng phỏp chng minh bn im khụng ng
phng (tng ng vi ba vect khụng ng phng) v thụng thng chỳng ta s dng

cỏch 2 trong bi thi. V c bit giỏ tr DA, DB .DC c xỏc nh rt nhanh v chớnh
xỏc vi cỏc em hc sinh bit s dng mỏy tớnh Casio fx 570MS.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 4


Tài liệu toán 12

năm học 2018

cõu e), cỏch 1 trỡnh by phng phỏp chung cho mi dng t din v cỏch 2 c
xut da trờn dng c bit ca t din ABCD. V cỏc em hc sinh cn nh thờm rng
chỳng ta cũn cú mt cỏch chung khỏc bng vic thc hin theo cỏc bc:
Bước 1: Vit phng trỡnh mt phng (ABC).
Bước 2: Vit phng trỡnh ng thng (d) qua D v vuụng gúc vi mt phng (ABC).
Bước 3: Khi ú, im H chớnh l giao im ca ng thng (d) vi mt phng (ABC).
Hai cỏch s dng trong cõu g) vi ý tng tng t nh cõu e). Tuy nhiờn, cỏc em hc
sinh cng cú th thc hin nh sau:
Bước 1: Vit phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip t din ABCD (phng trỡnh mt cu

i qua bn im).
Bước 2: T kt qu bc 1, chỳng ta nhn c ta tõm I.


Dạng toán 2: Phng trỡnh mt cu

Phng phỏp
Vi phng trỡnh cho di dng chớnh tc:
(S): (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = k, vi k > 0
ta ln lt cú:

Bỏn kớnh bng R = k .
Ta tõm I l nghim ca h phng trỡnh:
0
x = a
x a =


0 y = b I(a; b; c).
y b =
z = c
z c =
0


Vi phng trỡnh cho di dng tng quỏt ta thc hin theo cỏc bc:
Bước 1: Chuyn phng trỡnh ban u v dng:
(S): x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0.
Bước 2: (1) l phng trỡnh mt cu iu kin l:
a2 + b2 + c2 d > 0.

Bước 3: Khi ú (S) cú thuc tớnh:
Tâm I(a;b;c)
.

2
2
2
Bán kính R = a + b + c d

(1)

Thí dụ 1. Cho h mt cong (S m ) cú phng trỡnh:
(S m): (x 2)2 + (y 1)2 + (z m)2 = m2 2m + 5.
a. Tỡm iu kin ca m (S m ) l mt h mt cu.
b. Tỡm mt cu cú bỏn kớnh nh nht trong h (S m ).
c. Chng t rng h (S m ) luụn cha mt ng trũn c nh.

Gii

a. (S m ) mt h mt cu iu kin l:
m2 2m + 5 > 0 (m 1)2 + 4 > 0, luụn ỳng.
Vy, vi mi m thỡ (S m ) luụn l phng trỡnh ca mt cu vi:
Tâm I(2;1;m)
.

2
Bán kính R = (m 1) + 4
b. Ta cú:
R2 = (m - 1)2 + 4 4 R min = 2, t c khi m = 1.

Vy, trong h (S m ) mt cu (S 1 ) cú bỏn kớnh nh nht bng 2.
c. Gi s M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) l im c nh m h (S m ) luụn i qua, ta cú:
(x 0 2)2 + (y 0 1)2 + (z 0 m)2 = m2 2m + 5, m
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tài liệu toán 12

năm học 2018

2(1 z 0 )m + (x 0 2)2 + (y 0 1)2 + z 20 5 =0, m
0
1 z 0 =


2
2
2
0
(x 0 2) + (y 0 1) + z 0 5 =

z 0 = 1
.

2
2

4
(x 0 2) + (y 0 1) =

Vy, h (S m ) luụn cha ng trũn (C) cú tõm I 0 (2; 1; 1) v bỏn kớnh R 0 = 2 nm trong mt phng (P 0 ): z = 1.

F Chỳ ý: Thụng qua li gii cõu c) cỏc em hc sinh hóy tng kt cú c phng phỏp thc hin yờu cu
"Chng t rng h mt cu (S m ) luụn cha mt ng trũn c nh".
Thí dụ 2. Cho h mt cong (S m ) cú phng trỡnh:
(S m ): x2 + y2 + z2 - 2m2x - 4my + 8m2 - 4 = 0.
a. Tỡm iu kin ca m (S m ) l mt h mt cu.
b. Chng minh rng tõm ca h (S m ) luụn nm trờn mt Parabol (P) c nh trong mt phng
Oxy, khi m thay i.
c. Trong mt phng Oxy, gi F l tiờu im ca (P). Gi s ng thng (d) i qua F to vi
chiu dng ca trc Ox mt gúc v ct (P) ti hai im M, N.
Tỡm to trung im E ca on MN theo .
T ú suy ra qu tớch E khi thay i.

Gii
a. Ta cú th trỡnh by theo hai cỏch sau:
Cỏch 1: Bin i phng trỡnh ban u v dng:

(x m2)2 + (y 2m)2 + z2 = m4 4m2 + 4.
T ú, phng trỡnh ó cho l phng trỡnh ca mt cu iu kin l:
m4 4m2 + 4 > 0 (m2 2)2 > 0 m2 2 0 m 2 .
Vy, vi m 2 thỡ (S m ) l phng trỡnh ca mt cu cú:
Tâm I(m 2 ;2m;0)
.

R m2 2
Bkính=

Cỏch 2: (S m ) l mt h mt cu iu kin cn v l:
m4 + 4m2 - 8m2 + 4 > 0 (m2 - 2)2 > 0 m2 2 0 m 2 .
Vy, vi m 2 thỡ (S m ) l phng trỡnh ca mt cu cú:
Tâm I(m 2 ;2m;0)
.

R m2 2
Bkính=

b. Ta cú:

x = m2
y 2 = 4x

.
I m : y = 2m
z = 0
z = 0

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 6


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Vy, trong mt phng Oxy tõm I m luụn nm trờn Parabol (P): y2 = 4x.
c. Trong mt phng Oxy, xột Parabol
(P): y2 = 4x, cú tiờu im F(1; 0).



Phng trỡnh ng thng (d) i qua F to vi chiu dng ca trc Ox mt gúc cú dng:
qua F(1;0)
(d): y = (x - 1)tan.
k tan
hệ số góc=

(d):


To giao im M, N ca (P) v (d) l nghim ca h phng trỡnh:
y 2 = 4x
x2tan2 - 2(tan2 + 2)x + tan2 = 0. (1)

=


y
(x
1)
tan


Ta cú:

' = (tan2 + 2)2 - tan4 = 4tan2 + 4 > 0,
do ú (1) luụn cú 2 nghim phõn bit.
Vy (P) v (d) luụn ct nhau ti hai im phõn bit M(x M ; y M ), N(x M ; y M ) cú honh tho món:
2(tan 2 + 2)
xM + xN = 2
.
tan
Gi E(x E , y E ) l trung im ca on MN, ta cú:

tan 2 + 2
x
=
1

E
tan 2
=
(x M + x N )

x E

2



1 2(tan 2 + 2)
y
y E =(x E 1) tan =
2 tan
E

2

2 tan


tan 2 + 2
x E =
tan 2 .

y = 2
E
tan


(I)

Kh t h (I) ta c y 2E = 4x E - 2
Vy, qu tớch trung im E ca on MN thuc Parabol (P1) cỳ phng trỡnh y2 = 4x - 2 trong mt phng Oxy.

F Nhn xột:

Nh vy, vi bi toỏn trờn:




cõu a), vic trỡnh by theo hai cỏch ch cú tớnh minh ha, bi trong thc t chỳng ta
thng s dng cỏch 2.
cõu b), chỳng ta s dng kin thc v tam thc bc hai.

cõu c), cỏc em hc sinh ó thy c mi liờn h gia hỡnh hc gii tớch trong mt
phng vi hỡnh hc gii tớch trong khụng gian.

Dạng toán 3: Vit phng trỡnh mt cu

Phng phỏp
Gi (S) l mt cu tho món iu kin u bi. Chỳng ta la chn phng trỡnh dng tng quỏt hoc dng chớnh
tc.
Khi ú:
1. Mun cú phng trỡnh dng chớnh tc, ta lp h 4 phng trỡnh vi bn n a, b, c, R, iu kin R > 0. Tuy
nhiờn, trong trng hp ny chỳng ta thng chia nú thnh hai phn, bao gm:
Xỏc nh bỏn kớnh R ca mt cu.
Xỏc tõm I(a; b; c) ca mt cu.
T ú, chỳng ta nhn c phng trỡnh chớnh tc ca mt cu.
2. Mun cú phng trỡnh dng tng quỏt, ta lp h 4 phng trỡnh vi bn n a, b, c, d, iu kin a2 + b2 + c2
d > 0.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 7


Tài liệu toán 12

F Chỳ ý: 1.

năm học 2018

Cn phi cõn nhc gi thit ca bi toỏn tht k cng la chn dng phng trỡnh thớch hp.

2. Trong nhiu trng hp c thự chỳng ta cũn s dng phng phỏp qu tớch xỏc nh
phng trỡnh mt cu.
Thí dụ 1. Vit phng trỡnh mt cu trong cỏc trng hp sau:
a. ng kớnh AB vi A(3; 4; 5), B(5; 2; 1).
b. Tõm I(3; 2; 1) v i qua im C(2; 3; 1).

Gii

a. Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Mt cu (S) cú:
Tâm I là trung điểm AB
Tâm I(1; 1; 3)

(S):
(S):
AB
R = 29
Bán kính R = 2
(S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 3)2 = 29.
Cỏch 2: Ta cú:

M(x; y; z) (S) MA MB AM.BM = 0
(x 3; y + 4; z 5).(x + 5; y 2; z 1) = 0
(x 3)(x + 5) + (y + 4)(y 2) + (z 5)(z 1) = 0
x2 + y2 + z2 + 2x + 2y - 6z 18 = 0.
ú chớnh l phng trỡnh mt cu (S) cn tỡm.
Cỏch 3: Ta cú:
M(x; y; z) (S) MAB vuụng ti M AM2 + BM2 = AB2
(x 3)2 + (y + 4)2 + (z 5)2 + (x + 5)2 + (y 2)2 + (z 1)2 = 116

x2 + y2 + z2 + 2x + 2y - 6z 18 = 0.
ú chớnh l phng trỡnh mt cu (S) cn tỡm.
b. Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Mt cu (S) cú:
Tâm I
Tâm I(3; 2;1)
(S):
(S):
= IC
= 5 2
Bán kính R
Đ i qua C
2
2
2
(S): (x 3) + (y + 2) + (z 1) = 50.
Cỏch 2: Mt cu (S) cú tõm I(3; 2; 1) cú phng trỡnh:
(x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = R2.
im C(2; 3; 1) (S) iu kin l:
(2 3)2 + (3 + 2)2 + (1 1)2 = R2 R2 = 50.
Vy, phng trỡnh mt cu (S) cú dng:
(x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = 50.
Cỏch 3: Mt cu (S) cú tõm I(3; 2; 1) cú phng trỡnh:
(S): x2 + y2 + z2 6x + 4y 2z + d = 0.
im C(2; 3; 1) (S) iu kin l:
4 + 9 + 1 + 12 + 12 2 + d = 0 d = 36.
Vy, phng trỡnh mt cu (S): x2 + y2 + z2 6x + 4y 2z + 36 = 0.
Cỏch 4: Ta cú:
M(x; y; z) (S) IM = IA IM2 = IA2
(x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = 50.

ú chớnh l phng trỡnh mt cu (S) cn tỡm.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8