Đề cương học kỳ 2 toán 9

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 CẢ NĂM
CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
LÝ THUYẾT
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI
a 2 ≥ 0, ∀a ∈ R
a2 > 0 ⇔ a ≠ 0
1)
*
*
a2 < 0 ⇔ a = φ
a2 ≤ 0 ⇔ a = 0
*
*
a = b
a 2 = b2 ⇔ 
a 2 = b2 ⇔ a = b
a = − b
2)
hoặc
4x 2 = 25
Ví dụ 1. Tìm x, biết:
5

2
2
x
=

25
5  5

2
⇔ x2 =
⇔ x2 =   = −  ⇔ 
5
4
2  2
x = −
2


3)

a = 0
a 2 + b2 = 0 ⇔ 
b = 0

x 2 − 2xy + 2y 2 − 2y + 1 = 0
Ví dụ 2. Tìm x, y biết:

x = y
x = 1
x − y = 0
2
2
⇔ ( x − y ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 
⇔
⇔

y = 1
 y =1

 y −1 = 0
a 2 > b 2 ⇔ a > b ; ∀a, b ∈ R

4)
Đặc biệt:
a 2 > b2 ⇔ a > b

* Nếu a, b cùng dương thì:
a 2 > b2 ⇔ a < b
* Nếu a, b cùng âm thì:

Ví dụ 3.

7 2 > 52 ⇔ 7 > 5

(do 7; 5 > 0)
( − 7 ) > ( − 5) ⇔ −7 < −5
− 7; − 5 < 0
(do
)
∀a, b, c ∈ R
; ta có:
2

5)

2

2

( abc) 2 = a 2 b 2 c 2

;

a2
a
  = 2 ( b ≠ 0)
b
b

II. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
Ở lớp 7 ta đã biết:
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho

x2 = a


a
* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là
0 =0
* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
1) Định nghĩa
a
Với số dương a (a > 0), số
được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
16 = 4
4≥0
4 2 = 16
Ví dụ 4. CBHSH của 16 là

(vì
và
)
1,44 = 1,2
1,2 2 = 1,44
1,2 ≥ 0
CBHSH của 1,44 là
(vì
và
)

CBHSH của

9
25

9 3
=
25 5

là

(vì

3
≥0
5

2

và

9
3
  =
25
5

)

2) Chú ý

a≥0
a) Với
, ta có:
x= a
x≥0
x2 = a
Nếu
thì
và
2
x= a
x≥0
x =a
Nếu
và
thì
x ≥ 0
x= a ⇔ 2

2
x = a = a

( )

a
Khi viết

ta phải có đồng thời

(− a ) = ( a )
2

b) Ta có

Với

a>0

thì

2

a≥0

và

a ≥0

=a

x = a
x2 = a ⇔ 
x = − a

(− 5 ) = ( 5 )
2

2

x = 5
= 5; x 2 = 5 ⇔ 
x = − 5

Ví dụ 5.
c) Số âm không có căn bậc hai số học

d) Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số

a≥0

gọi là phép khai phương

III. SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
* Với các số a, b không âm
3>2⇔ 3 > 2
Ví dụ 6.
BÀI TẬP

( a ≥ 0, b ≥ 0)

ta có:

a 2 > b2 ⇔ a > b ⇔ a > b

và số âm ký hiệu là

− a


16;

9
36
; 0; 25; ;19; − 2
64
49

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của các số:
2
4
9
49; 0,01;
; 1 ; 3 ; ( − 9 )( − 36)
25
16
Bài 2. Tính:
2
9
− 7 ; 0,81 +

; 412 − 402 ; 582 − 422
16

( )

(

)

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

x 2 − 10 = 0

b)

c)

x 2 − 4x + 4 = 1

5x + 125 = 0
2

d)

2x 2 − 6 = 0

e)

13

36

f)

x2 − 5 = 0
x 2 − 6x = 6

x − 2 3x + 2 = 0
2

x + 2 2x + 2 = 1
2

g)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
( x − 3) 2 = 11 + 6 2
a)
4x 2 + 4x = 27 − 10 3
c)
x 2 + 4 3x = 1 − 4 3
e)

h)

b)
d)
f)

x 2 − 10x + 25 = 27 − 10 2
x 2 + 2 5x = 16 − 4 5

4x 2 − 12 2 x − 33 + 10 2 = 0
3x 2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

2x − 12x + 9 + 4 2 = 0
2

g)
h)
Bài 5. Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

6 5
a)

2 3

5 6
và

b)

3 2
và

c)

d)

80 − 59

và

5 + 10 + 1

35

e)

13 − 12
15 − 2 10
3

và

f)

5 +1
2
và

31− 19
c)

12 − 11

15

và 6

3+ 5

2 5 −5
5 −3
3 −3
2 −2
d)
và
e)
và
Bài 6. Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:
17 + 26
48
13 − 35
a)
và 9
b)
và
9 − 58

8 +3

và

6 − 17

7 − 21 + 4 5
f)

và

5 −1

4 + 4 + 4 + ... + 4
        

g)
và
h)
và
i)
Bài 7. Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)
2− 3
4 − 15
a)
b)
3 2 − 2 5 +1
11 − 26 − 37
d)
e)

100

và 3

c)
f)

2 3 − 6 −1

26 + 17 + 1 − 99

A2 = A

BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC


LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi
dưới dấu căn

A

là căn thức bậc hai; A là biểu thức

3x + 2 ; 4x 2 + y ; 9 − 2 3
Ví dụ 1.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ

A

CÓ NGHĨA
A
⇔A≥0
xác định (hay có nghĩa)
(A không âm)
Ví dụ 2. Tìm điều kiện có nghĩa của:
C = − 3( 4 − 3x)
B = − 2x − 8
a)
b)

Giải
a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ:

d)

− 2x − 8 ≥ 0 ⇔ −2x ≥ 8 ⇔ x ≤ −4

− 3( 4 − 3x) ≥ 0 ⇔ 4 − 3x ≤ 0 ⇔ −3x ≤ −4 ⇔ x ≥

1)

2)

3
4

b) ĐKXĐ:
2
x 2 + 2x + 2 = ( x 2 + 2x + 1) + 1 = ( x + 1) + 1 ≥ 1 > 0, ∀x
∀x ∈ R
c) Vì
nên ĐKXĐ:
* Chú ý
Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A( x )
⇒ A( x )
a)
là biểu thức nguyên
luôn có nghĩa

A( x )
⇔ B( x ) ≠ 0
B( x )
b)
có nghĩa
A( x )
⇔ A( x ) ≥ 0
c)
có nghĩa
1
A( x )
⇔ A( x ) > 0
d)
có nghĩa
A>0
Với
; ta có:
X = A
X2 = A2 ⇔ X = A ⇔ 
X = −A
X 2 ≤ A 2 ⇔ X ≤ A ⇔ −A ≤ X ≤ A

X ≥ A
X2 ≥ A2 ⇔ X ≥ A ⇔ 
X ≤ − A
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của:
1
E=
x2 − 3
a)

Giải

D = x 2 + 2x + 2

F=

b)

1
5 − x2


x2 − 3 > 0 ⇔ x2 > 3 ⇔ x2 >

( 3)

2

a) ĐKXĐ:

b) ĐKXĐ:

x > 3
⇔
x < − 3

1
> 0 ⇔ 5 − x2 > 0 ⇔ x2 < 5 ⇔ x2 <
2
5− x

( 5)

2

⇔− 5
A2 = A
III. HẰNG ĐẲNG THỨC
 A khi A ≥ 0
A2 = A = 
− A khi A < 0
Ví dụ 4. Tính:
a)

x6

b)

(

5 −2

)

2

4+2 3
c)

Giải

a)

x6 =

(x )

(

)

 x 3 khi x ≥ 0
= x3 =  3
− x khi x < 0

3 2

2

5 −2 = 5 −2 = 5 −2

b)

4+2 3 =

( 3)

(vì
2

+ 2 3 + 12 =

5 −2= 5 − 4 >0

(

)

2

3 +1 = 3 +1

c)
BÀI TẬP
Bài 8. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
− 5x + 2
1
4
3x + 1
a)
b)
1
d)

− 5x

3

e)

)

−x

1
x −2 +
x −3

3x + 2 + − 2x + 3
g)
h)
Bài 9. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
3x + 4
( 2x − 3)( 3x − 2)
x−2
a)
b)

(vì

3 +1 > 0

c)

f)

)

−3

− 2x + 15
8−x
x

7x 2 + 4
12
i)
1

c)

x 2 − 8x + 15
1

d)
g)

j)

35 − x 2 + 2x
x 2 − 8x + 18

2 − x −1

e)
h)

k)

− x 2 + 4x − 4

− x 2 − 2x − 1

− 2x 2
3x + 2

f)
i)

l)

9x 2 − 6x + 1
5x 2 − 4x − 8

3x − 2 + 3 − 2x


x−2 −4

2− x −3

m)
Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(3 − 5 )
(3

n)

o)

(

2

− 1− 5

3−2 7

)

b)

(3 − 7 )

2

d)
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

e)

7−4 3 + 4−2 3
a)

32 − 10 7 − 43 − 12 7

với

5 ( x − 3)

c)

với
2

với

9 ( x + 1) + 3( x + 1)
4

với

x < −5

với

với
6

với
− 4x 2 + 4x − 1

d)

9x 2 − 12x + 4
3x − 2

x 4 ( x − 1)
f)

với

a= 2

x = 1 − 3; y = 1 − 5

với

x − 2y − x − 4xy + 4y2
2

x = 5 − 1; y = 2 − 1

với
x − 8x + 16 − x − 4x + 4
2

tại

x = 3 2 −1

x 2 − 4x + 4
x−2

2

(với

x −1
y −1

4a 4 − 4a 2 + 1 − a 4 − 6a 2 + 9

x≥2

3

h)

x + y + x 2 − 2xy + y 2

e)

(2

x<0

( x + 5) 2

g)
h)
Bài 14. Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
1
x=
2
9x − 12x + 4 − 6x − 1
2
a)
với

2

6

( x − 2) 2 +

d)

2

c)

5 4( x − 4) − 3( x − 4)

2

b)

c)

2

3 −3 2

9 − 4 5 − 14 − 6 5

f)

x 2 − 2x + 1
x + 2 x +1

b)

f)

)

)

2− 3 −

2

x − 10x + 25
x −5

e)

(

2

2− 5

25( x − 2 ) + 3x − 6

x <1

3x − 9x 2 − 6x + 1

( 3x − 2) 2 +

)

d)

2

c)

7 −6

−2

g)
Bài 13. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(2

b)

x≥3

e)

−

c)

− 5 ( − 4x)

2 ( x − 1) − 5x + 5

(

−

e)

x≥0

2

2

2

13 − 4 3 − 16 − 8 3

d)
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

)

3− 2 2 + 6−4 2

b)

5 25x 6

− x +1 − 3

(y − 2

x<0

)

y +1

( x − 1)

4

2

)

x<4

)

2


f)

tại

BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT
A ≥ 0; B ≥ 0
1)
Nếu
thì

Nếu
Ví dụ 1. Tính:

A.B = A . B
A
A
=
B
B

A ≥ 0; B > 0

2)

x = 2 7 +9

x + 2 x −1 + x − 2 x −1

thì
1

121.16.0,25

a)

9
16

b)

Giải
121.16.0,25 = 121. 16 . 0,25 = 11 .4.0,5 = 22

a)

1

9
25
25 5
=
=
=
16
16
16 4

b)
Ví dụ 2. Phân tích thành tích:

21 + 14

a)

b)

Giải

(

( a − b )( a + b) =

a + b − a 2 − b2 = a + b −

(ĐK:

a≥b≥0

)

)

21 + 14 = 7 . 3 + 7 . 2 = 7 . 3 + 2

a)

a + b − a 2 − b2

(

a + b − a − b. a + b = a + b 1 − a − b

b)

)

A = 38 − 12 10 − 22 − 4 10
Ví dụ 3. Tính:
Giải

A = 38 − 12 10 − 22 − 4 10

(2 5 ) − 2.2
(2 5 − 3 2 )
2

=
=

(

(

)
2)

5.3 2 + 3 2
2

−

(2

) (

5−

= 2 5 −3 2 − 2 5 − 2

)

2

(do

2

−

(2 5 )

2

− 2.2 5. 2 +

( 2)

2

= 2 5 −3 2 − 2 5 − 2

2 5 − 3 2 > 0 ⇔ 2 5 > 3 2 ⇔ 20 > 18

và

= −3 2 + 2 = −2 2
BÀI TẬP
Bài 15. Phân tích thành nhân tử:
11 − 33
a)
4x 2 − 7
c)
ax − by + bx − ay ( a, b, x, y ≥ 0 )
e)

b)
d)
f)

2 15 − 3 5

2 + x 2 − 2x 2
7 ab + 7b − a − b ( a, b ≥ 0 )

2 5− 2 >0

)


g)

a b − b a + a − b ( a, b ≥ 0 )

( a)

3

x 2 − 25y2 − x − 5y ( x ≥ 5y ≥ 0)
h)

− 3a + 3 a − 1 ( a > 0)

i)
Bài 16. Tính (rút gọn):

(

)

3 7 2 7 −3
a)
c)
e)

(

3− 2

(1 −

)(

2

6+2

b)

)

 2
3 

−
 3
2 


2

3 2 + 2 3. 3 2 − 2 3
d)

)(

2 + 3 1+ 2 − 3

)

f)

(5 + 4 2 ). 3 + 2

47 + 5 . 7 − 2 + 5 . 7 + 2 + 5

4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2

g)

1 + 2  3 − 2 1 + 2 



h)

2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3
i)

31+ 2 . 6 + 5 + 2 . 3 + 3 + 5 + 2 . 3 − 3 + 5 + 2
j)
Bài 17. Rút gọn các biểu thức sau:
3 7 +7 3

2 5 − 4 10
3 10

21
a)

c)

b)

3− 7 3+ 7
−
3+ 7 3− 7

(

2 2− 7
e)

)

d)

3 3 − 11

)(

2 + 2 5 3 −3 2
30

(

)

6 3 − 11

)

g)

f)

2

)

5 7 − 4 35 + 7 5
35
h)

6 6 − 2 12 + 3 − 2
2 6 +1

i)
Bài 18. Rút gọn các biểu thức sau:

10 18 + 5 3 − 15 27
3 6 −4

a)

b)

5 + 2 6 + 14 − 4 6
c)

(

j)

13 + 6 4 + 9 − 4 2

(

)

)

3 − 1 . 2 19 + 8 3 − 4

5 − 2 6 + 11 − 4 6
d)

23 + 6 10 + 47 + 6 10
e)

(

2

56 − 4

(5

 2 +5
2 −5 2


 2 − 5 − 2 + 5  : 23




21 − 6 10 + 21 + 6 10
f)


49 − 20 6 + 106 + 20 6

83 − 20 6 + 62 − 20 6

g)

h)

302 − 20 6 + 203 − 20 6

601 − 20 6 − 154 − 20 6

i)
Bài 19. Rút gọn các biểu thức sau:

j)

6−3 3 + 2− 3

15 + 5 5 − 3 − 5

a)

b)

24 − 3 15 − 36 − 9 15

2− 3 − 2+ 3

c)

d)

3− 5 − 3+ 5

9 − 17 + 9 + 17

e)

f)

7 + 13 − 7 − 13
g)
Bài 20. Tính (rút gọn):
 3 + 5 . 10 + 2 3 − 5


a)

(

c)

(

6+ 2

)(

)(

3−2

)

12 − 3 7 − 12 + 3 7
h)

)
b)

3+2
d)

3− 5
2− 3

f)

g)

(4 +

15

)(

)

10 − 6 4 − 15

(



 2 4 + 6 − 2 5 . 10 − 2



2+ 3
3+ 3

)

4 − 15 + 4 + 15 − 2 3 − 5
h)

Bài 21.

A = 8 + 2 10 + 2 5 + 8 − 2 10 + 2 5
a) Thu gọn biểu thức

M = 4+ 7 − 4− 7

b) So sánh

N = 2+ 3 − 2− 3
và

C = 45 + 2009
c) Cho

E = 45 − 2009
và

D=
d) Thu gọn biểu thức
E=

. Chứng minh rằng:

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11
2 +2−2

C+E = 7 2

− 3− 2 2

2 +1 +1

e) Thu gọn biểu thức
F = 3+ 2 − 8 2 +8 −

2 +1

f) Thu gọn biểu thức
G=

1 + 2 27 2 − 38 − 5 − 3 2

3 2 −4
g) Thu gọn biểu thức
Bài 22. Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):
ab + 2 b
3 b
:
2
2
4
2
2
a + b − 2ab a + b − 2a b
3 b
ab − 2 b
a)
b)

(

)(

)

x 2 + y 4 − 2xy 2
2

d)

A = x −2+2 x −3 − x −3
a)
c)
e)

b)
C = 4x2 − 12x + 9 + 2x − 1

4 + xy − 4 xy
9x 2 y 2

3y.

x x +x−y x −y
c)
Bài 23. Rút gọn các biểu thức sau:
2

với

x< 2

E = x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1

với

d)

B = 2x − 2 x 2 − 4 + x − 2

D= x−4 x−4

4≤x ≤5

2
F = 2x − 1 − x ( 3x − 2 ) + 6x − 1 + 3 x ( 3x − 2)

f)

với

A=

với

2
< x <1
3

)

x −1− 2 x − 2
x − 2 −1

Bài 24. Cho
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Tính A2 và rút gọn A
1+ 5
1− 5
a=
b=
a 5 + b5
2
2
Bài 25. Cho
và
. Tính
B=

x+4 x−4 + x−4 x−4
8 16
1− + 2
x x

Bài 26. Cho
a) Tìm x để B có nghĩa
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
BÀI 4. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
LÝ THUYẾT
I. ĐƯA MỘT THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

A 2 .B = A . B

với

B≥0

Ví dụ 1.
•

17.51 = 17.17.3 = 17 2.3 = 17 3

 4x y khi
16x 2 y = 4 2 x 2 y = 4 x y = 

− 4x y khi

•
II. ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN
A ≥ 0; B ≥ 0
A B = A 2 .B
(nếu
)
2
A < 0; B ≥ 0
A B =− A B
(nếu
)
Ví dụ 2.
•
•

3 5 = 32.5 = 45

− 2 5 = − 2 2.5 = − 20

x≥0
x<0


( x − y)

1
x−y

•

=

x−y>0⇔x >y

(điều kiện:

( x − y) 2

)

1
= x−y
x−y

III. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN
A
AB 1

=
= . AB
B
B2
B
A.B ≥ 0; B ≠ 0
(với
)
Ví dụ 3.
2
2.3
6
=
=
2
3
3
3
•
a
ab
ab a ab khi b > 0
ab
= ab 2 = ab
=
b
b
b
− a ab khi b < 0
•

IV. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
Tùy trường hợp, ta dùng một trong những cách sau:
1) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn nhân tử giống nhau:
Ví dụ 4.
2− 6
2 1− 3
=
= 2
1− 3
1− 3
•
2) Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:
A A B
=
( B > 0)
B
B
B
(nhân tử và mẫu với
)
Ví dụ 5.
2
2 3
2 3 2 3
=
=
=
15
5 3 5 3 . 3 5 .3
•

3) Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu
( A − B)( A + B) = A 2 − B 2
, trong đó A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với nhau
1
A− B
A− B
A− B
=
=
= 2
2
A −B
A + B A + B A − B A2 − B

(

(

)

)(

)

Ví dụ 6.

1
=
2− 5

(

(

( )

)(

•
V. MỘT SỐ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
A, B ≥ 0
Với
; ta có:
1)

A = A. A

)

1 2+ 5
2+ 5
2+ 5
=
=−
2−5
3
2− 5 2+ 5

)

A± A = A

2)

(

)

A ×1


A B ± B A = A. B

3)

A + B ± 2 A.B =
5)

(

(

A± B

A± B

)

)

A−B=

4)

(

A− B

( A ) + ( B) = (

A + B A − A.B + B

A A −B B =

( A) − ( B) = (

A − B A + A.B + B

6)

A+ B

)

2

A A +B B =

3

)(

3

3

3

)(

)

)(

)

BÀI TẬP
Bài 27. Viết biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

− 288x 4 y 3

125.96a 4 b 3

a)

(

− 10x 2 y 3 − 2

)

− 8x 6 y 5 z 8

b)
2

c)

− 9a 5 ( a − 7 )

3x 2 − 6xy + 3y2

d)
e)
Bài 28. Đưa các thừa số vào trong dấu căn:

f)

x−y
x
x
x−y

a b3
b a
a)

với a, b cùng dấu; a, b ≠ 0
x+y x−y
x−y x+y

c)
với x > 0 và x > y
x.

−2 −a

b)

d)

với x > 0 và x > y
x2
x −5
x − 5 3x

(2 − 5 )

2
x

2

y
5x3

8

a)

x >5

với
( x − 5) 2 5( y − 5)
5− y
g)

e)
f)
Bài 29. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

b)

− 4x
7x 2 y
c)

với x < 0, y > 0
a.

4
a

f)
Bài 30. Trục căn thức ở mẫu:
2− 3

với x, y cùng dấu; x ≠ 0
5
x −1
x. 1 − 2

2. x − 1
d)
với x < 0
e)
với x > 1
2
1
1
−
2.
( x − 1) ( x − 1) 2
−a
g)
h)

(

2 3
b)

a)

e)

2

1− 2
2 3 −3 2
x−y
x+ y

f)

)

15 − 5
1− 3
4− 3
5 2 −2 5
a b −b a
b− a

i)
j)
Bài 31. Các số thực sau đây có căn bậc hai không? (giải thích)

(

c)

2 3− 6
8− 2

)

d)

x+a x
a x
g)

k)

h)

a
a −2 b

2+ 3
2− 3
a−2 a
a −2
x
2 x −3 y

l)


a)

b = 2 56 −

a = 12 18 − 4 50 − 2 98

b)

4 7 30 + 2 45
−
2
15 + 3

c = 2 501 − 3 11 − 20 5 + 10

c)
Bài 32. Tính (rút gọn)
20 + 2 45 − 3 80 + 125
a)

162 −
c)

b)

9
8 − 2 15
−
2
10 − 6

d)

2 27 − 2 5 + 243 + 2 125
 1 1

1 4
5

 5 − 20 20 + 4 5 + 2 5  : 2 5 + 1



3

2
3  2



 2 6 − 2 3 − 4 2  3 3 − 12 − 6 




e)
Bài 33. Tính:

a)

c)

g)

3 −1

2 − 10

+

d)

5 2 −2 5
5− 2

f)

5
4
7
−
−
2 −7 3 2 +5 4−5 2
1
12 − 140

−

1
8 − 60

−

h)

2

3
3 +1

 5− 3   5− 3 


 

 5 + 3 + 1 :  5 + 3 − 1

 


−2 3 +5 2 5 2 +2 3
+
5 2 +2 3 −2 3 +5 2

(

 4
12
15 
−
+

 6 + 11
6 +1
 6 −2 3− 6

j)


1
1

23

−

3+ 2+ 6
 3+ 2− 6

5 2 + 10
9 + 3 5 + 2 14 + 6 6

l)

2 3 − 3 + 13 + 48
6− 2
m)
Bài 34. Rút gọn các biểu thức sau:
2+ 3
2− 3
+
2 + 2+ 3
2 − 2− 3
a)

45 + 27 2 + 45 − 27 2
c)

5+3 2 − 5−3 2

−

)

1
2
3
2 2
−
−
+
3− 2
7+ 5
7 − 40
5 + 21

10 + 84

i)

k)

−

b)


5 − 5 
5 +5
1 +
1 +


5 − 1 

5 + 1 


6
e)

3

1
1
−
3− 2 2 3+ 2 2

3+ 5
2 + 3+ 5

b)

3+ 2 + 3− 2
3+ 2 − 3− 2

+

3− 5
2 − 3− 5


d)

(2 − 3 )

(

)

26 + 15 3 − 2 + 3 26 − 15 3
2

e)

f)


5 
3
 + 2− 3 + 3+ 5 −

5 2 + 3 + 3 − 5 −


2 
2 


(

)




3 − 2  8 − 5 + 2 12 − 2 5 + 3 − 6 − 5 



(

)

(

8 − 3 7 8 2 + 3 14 + 9,5 + 2 21 2 6 − 14
g)
Bài 35. Tính giá trị của biểu thức sau:
1 + 2x
1 − 2x
3
A=
+
x=
1 + 1 + 2x 1 − 1 − 2x
4
biết
Bài 36. Rút gọn rồi tính:

A=
a)

c)

d)

a b −b a
− ab
a− b

b)

a− a

a +a 

C = 
+ 2  2 −

a
−
1
1
+
a




với

a + b − 2 ab
a−b
D=
−

a− b
a+ b
F=

(

)(

a + 1 a − ab

( a − b) (

f)

G=
g)

2

)(

a+ b

a3 + a

)

)
với

)

 a − a  a + 2 a 
1 −

B = 1 +
a − 1 
2 + a 


a 2 = 19 − 8 3

e)
a = 2000

b = 2001

a b +b a a b −b a
+
a b −b a a b +b a

a a +b b
 a + b 

E = 
− ab 

a
−
b

a
+
b




G=

a2 − a
a2 + a
−
+ a +1
a + a +1 a − a +1

h)
 2+ a
a − 2  a a + a − a − 1 


I = 
−


a
−
1
a
+
2

a
+
1
a


 a > 0; a ≠ 1
i)
(
)
Bài 37. Chứng minh:

a)

A∈Z

A=
biết:

2

(với a > 0)

2 3+ 2 3 − 2 + 3+ 2 2
−2 3
3 −1

10 + 60 + 24 + 40 = 5 + 3 + 2
b)

với

a2 = 3− 2 2

c)

C∈Z

C=

(5 + 2 6 )(49 − 20 6 )

9 3 − 11 2

5−2 6

biết:

1
1
x 2 + 1  1 
 1+ 
D = 
+
−
2 
x > 0; x ≠ 1
 2 + 2 x 2 − 2 x 1 − x  x 
d) Biểu thức D không phụ thuộc vào với
:

x > 0; y > 0; x ≠ y
e) Biểu thức E không phụ thuộc vào biến x, y với


 2 xy
x− y  2 x
.
E=
+
+
 x−y 2 x + y  x + y



(

)

y−2
g)

y− x

 x −1 x x −1 
:
F = 
+

1
−

x
x
−
1



F ≥ 0 ∀x ∈ R +
x ≠1
f)
(
và
), biết:
2 − 4y − y 2

y

(

)

4 + 2 4y − y 2 = 55 + 109 − 55 − 109

2− x 
1 
x + 1 3( x − 3) + 9x
2
+
= 1+
1 +

−
x 
x −1 
x +2
x −1 x + 2
x +2

(

)(

)

h)
Bài 38. Rút gọn các biểu thức:
2
 a −1
a +1 
2 


A=
+
.1 −

a − 1   a + 1  ( a > 0; a ≠ 1)
 a +1
a)
 a a +1
2a + a + 1

a
 : ( a − 1) +
B = 
−

a −1
a +1
 a +1 
b)
với a > 1

C=
c)

(x

(

(

)

)(

)(

)(

)

D=
(với x > 1)

)

d)

2
(với

(với

)

x>0

và

x ≠1

)

x + 2 x −1 + x − 2 x −1
x + 2x − 1 − x − 2x − 1

(

x≥2

x + 4 − 2 x + x +1 x + 4 + 2 x − 2 x +1
x x x −1

Bài 39. Cho
a) Rút gọn A
Bài 40.

)(

x + 4x + 3 x x x − 1
( x − 1) x x + x + x x + 3

A=

2

x −1 + x
x +1

2

(

2

)

b) Hãy tìm tất cả giá trị của x để

(

A≥0

)

 a a −3
2 a −3
a +3  a +8
:
B = 
−
+

a +1
3 − a   a − 1 
 a − 2 a −3

a) Thu gọn biểu thức sau:
a
2 a −1
C=
−
a > 0; a ≠ 1
a −1 a − a
b) Thu gọn
với
. So sánh C và
3x + 9x − 3
x +1
x −2

A=
−
−
x+ x −2
x +2
x −1
Bài 41. Cho biểu thức:

a ≥ 0; a ≠ 9; a ≠ 1

với

C

x = 3+ 2 2

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi
 x −3 x  x −3
x −2
9−x 
P = 1 −
+
−
:

x − 9   2 − x 3 + x x + x − 6  ( x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 )

Bài 42. Cho biểu thức:
a) Thu gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P = 1

)


A=

2 x −9
2 x +1
x +3
−
−
x −5 x + 6 3− x
x −2

Bài 43. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A

R=
Bài 44. Xét biểu thức sau:

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
x +2
x + 3 3x + 4 x − 5
−
−
x +1 5 − x x − 4 x − 5

R > −2

a) Rút gọn R
b) Tìm số thực x để
c) Tìm số tự nhiên x là số chính phương sao cho R là số nguyên
x +2
x +1
x −1
Q=
−
−3
x −3
x −2
x −5 x +6
Bài 45. Cho biểu thức:
a) Rút gọn Q

b) Tìm các giá trị x để

2Q ∈ Z

x∈Z

c) Tìm các giá trị
sao cho
Bài 46. Tính:
1
1
1
+
+ ... +
1+ 2

2+ 3
99 + 100
a)
So sánh
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
1
2
3
100
c)
và B = 10
Bài 47.

a) Với mỗi số tự nhiên

k ≥1

Q < −1

b)

C=

1
2 1

+

1
3 2

+

1
4 3

+ ... +

1
2005 2004

d)

và D = 2

1
1
1
=
−
( k + 1) k + k k + 1 k k + 1

, chứng minh rằng:

1

b) Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau:

1
1
1
1
−
+
−
1− 2
2− 3
3− 4
50 − 51

2 1 +1 2

+

1
1
+ ... +
3 2+2 3
100 99 + 99 100

Bài 48.
a) Cho

16 − 2x + x 2 − 9 − 2x + x 2 = 1

B=

. Tính

3 − 3 + 3 + 3 + ... + 3
6 − 3 + 3 + 3 + ... + 3

A = 16 − 2x + x 2 + 9 − 2x + x 2

<

1
5

b) Chứng minh
Bài 49.

(x +
a) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức
(x

(tử số có 2011 dấu căn, mẫu số có 2010 dấu căn)

)(

)

x 2 + 2007 y + y 2 + 2007 = 2007
2

+4 −x

)(

)

. Tính x + y

y +4 −y =4
2

b) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức
. Tính x + y
Bài 50. Chứng minh:
a+b
≥ ab
a, b, c > 0
a + b + c ≥ ab + bc + ca
2
a)
với (Bất đẳng thức Cauchy) b)
với


1 1 1
1
1
1
+ + ≥

+
+
a b c
ab
bc
ca

a, b, c > 0

c)

e)

với
ab bc ca
+ + ≥a +b+c
c
a
b

d)

a + bc 4
≥ ab
2c 2
a +b
≥2 2
a−b
2

a, b, c > 0

với

f)

a, b, c > 0

với

2

với

a>b

và ab = 1

Bài 51.
a) Tìm GTNN của

A = x 2 − 6x + 5

b) Tìm GTNN của

C = − x − 2x + 8
2

c) Tìm GTLN của

E=

e) Tìm GTLN của

D = −5 + 1 − 9x 2 + 6x

1
x2 − x +1

G=

g) Tìm GTNN và GTLN của
i) Tìm GTNN của

d) Tìm GTLN của

f) Tìm GTNN và GTLN của

k) Tìm GTNN và GTLN của

2 + 2x − x 2 + 7

h) Tìm GTNN của
j) Tìm GTLN của

x − 2x + 1 = 4x + 4x + 1
2

( x − 2)( 6 − x )

l) Tìm GTNN của
BÀI 5. MỘT SỐ CÔNG THỨC
(dùng để giải phương trình)

c)
Giải

b)

2

d)

H = 4x 2 − 12x + 9 + 4x 2 + 4x + 1

J = x−2 + 4−x
L=

LÝ THUYẾT
I. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
B ≥ 0 ( A ≥ 0 )
A = B⇔
A = B
1)
B ≥ 0
A =B⇔
2
A = B
2)
B = 0

A + B =0⇔
A = 0
3)
(nghiệm chung)
II. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH “CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”
A = B
A =B⇔
A = − B
1)
B ≥ 0
A =B⇔
A = B hay A = −B
2)
Ví dụ. Giải các phương trình:
1 − x = x 2 − 3x − 7

F = − x 2 + 4x + 5 + 6

3

I = x + 2 x −1 + x − 2 x −1
K=

a)

B = x 2 − 6x + 13

2x 2 − 11x + 13 = x − 3

x 2 − 2x + 1 = 2x − 5

8
( x + 3)( 5 − x )

với

−3< x < 5


a)

x ≤1
1 − x ≥ 0
x ≤1
1 − x = x 2 − 3x − 7 ⇔ 
⇔ 2
⇔
2
1 − x = x − 3x − 7
x − 2x − 8 = 0 ( x + 2 )( x − 4 ) = 0

 x ≤1
⇔
⇔ x = −2
x = −2 hay x = 4

S = { − 2}

Tập nghiệm của phương trình là


x ≥ 3
x ≥ 3
x − 3 ≥ 0
2x 2 − 11x + 13 = x − 3 ⇔  2
⇔ 2
2 ⇔ 
2
2

x − 5x + 4 = 0
2x − 11x + 13 = x − 6x + 9
2x − 11x + 13 = ( x − 3)
b)
x ≥ 3
x ≥ 3
⇔
⇔
⇔x=4
(
x
−
1
)(
x
−
4
)
=
0
x

=
1
hay
x
=
4


Tập nghiệm của phương trình là

S = { 4}

x 2 − 2x + 1 = 4x 2 + 4x + 1 ⇔
c)
Tập nghiệm của phương trình là

d)

( x − 1) 2

=

( 2x + 1) 2

 x − 1 = 2x + 1
 x = −2
⇔ x − 1 = 2x + 1 ⇔ 
⇔
x = 0
 x − 1 = −( 2x + 1)

S = { − 2; 0}

(có thể giải như ví dụ a)
 2x − 5 ≥ 0
2
x 2 − 2x + 1 = 2x − 5 ⇔ ( x − 1) = 2x − 5 ⇔ x − 1 = 2x − 5 ⇔ 
x − 1 = 2x − 5 hay x − 1 = 5 − 2x

5

x ≥
⇔
⇔x=4
2
x = 4 hay x = 2

Tập nghiệm của phương trình là
(có thể giải như ví dụ b)
BÀI TẬP
Bài 52. Giải các phương trình:

S = { 4}

2

2−

( 3x + 1) 2

= 35

1

8 −  x − 3  = 12
2


a)
b)
Bài 53. Giải các phương trình:
1
1
18x − 9 −
2x − 1 +
25( 2x − 1) + 49( 2x − 1) = 24
2
2
a)

1
x2 −5
4x 2 − 20 + 2
−3 x2 −5 = 2
3
9
b)
1
1
9

16
1
−
+
−5
=1
3x + 2 2 3x + 2
3x + 22
12x + 8

c)
Bài 54. Giải các phương trình:


x + 2 = 2x − 4
a)

b)

x2 − x − 6 = x −3