Đề thi học kỳ 2 toán 9

ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 9 NĂM 2015-2016
Thời gian: 45 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
c)
d)
Cho phương trình (x là ẩn số)
Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .

Bài 1:
a)
b)
Bài 2:
a)
b)
Bài 3:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
b) Tìm những điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ.

c) “Cặp lá yêu thương – Trao cơ hội đi học – Cho cơ hội đời đời” Trung tâm tin tức VTV24 chủ trì, phối
hợp cùng Văn phòng Bộ - Bộ lao động – Thương binh và Xã hội. Ngân hàng Chính sách xã hội thực
hiện chương trình ”Cặp lá yêu thương”
Hướng tới hỗ trợ các hoàn cảnh khó khăn, với trọng tâm là học sinh nghèo học giỏi. Đồng hành với
chương trình này vào ngày 4/10/2015, cô hiệu trưởng trường THCS Nguyễn A đến ngân hàng gửi tiết
kiệm số tiền là 40.000.000 đồng, cô hiệu trưởng sẽ nhận được cả tiền gốc lẫn lãi là 44.100.000 đồng, số
tiền này được chuyển đến chương trình “Cặp lá yêu thương”. Hỏi lãi suất mỗi năm là bao nhiêu phần
trăm?
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn
(O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm
giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO.

a) Chứng minh rằng: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE
c) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp.
d) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và O).
Chứng minh rằng:

1


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) (1)
Giải:
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm
b) (2)
Giải:
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm
c) (3)
Giải:
Đặt
Phương trình (3) trở thành: (*)
Do ∆ > 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
(loại); (nhận)
Với thì
Vậy phương trình (3) có tập nghiệm
d) (4)
Giải:
Vậy hệ phương trình (4) có nghiệm là
Bài 2: Cho phương trình (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

Giải:
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .
Giải:
Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:
Ta có:

Vì nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
Vậy
Bài 3:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
Giải:
Bảng giá trị
x

0

2

4

0
2


Vẽ đồ thị

b) Tìm những điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ.
Giải:
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ.

Vì hoành độ bằng 2 lần tung độ nên
Mà
Với thì
Với thì
Vậy có 2 điểm thỏa mãn là:
c) “Cặp lá yêu thương – Trao cơ hội đi học – Cho cơ hội đời đời” Trung tâm tin tức VTV24 chủ trì, phối
hợp cùng Văn phòng Bộ - Bộ lao động – Thương binh và Xã hội. Ngân hàng Chính sách xã hội thực
hiện chương trình ”Cặp lá yêu thương”
Hướng tới hỗ trợ các hoàn cảnh khó khăn, với trọng tâm là học sinh nghèo học giỏi. Đồng hành với
chương trình này vào ngày 4/10/2015, cô hiệu trưởng trường THCS Nguyễn A đến ngân hàng gửi tiết
kiệm số tiền là 40.000.000 đồng, cô hiệu trưởng sẽ nhận được cả tiền gốc lẫn lãi là 44.100.000 đồng, số
tiền này được chuyển đến chương trình “Cặp lá yêu thương”. Hỏi lãi suất mỗi năm là bao nhiêu phần
trăm?
Giải:
Số tiền lãi cô hiệu trưởng nhận được sau 1 năm là: 4410000 – 40000000 = 4100000 (đồng)
Lãi suất mỗi năm là: /năm
Vậy lãi suất mỗi năm là: 10,25%/năm
Chú ý: Tiền lãi = Số tiền gửi x Lãi suất (%/năm) x Số tháng gửi/12
Hoặc Tiền lãi = Số tiền gửi x Lãi suất (%/năm) x Số ngày gửi/360
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn
(O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm
giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO.
a) Chứng minh rằng: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.
Giải:
3


Ta có (tính chất tiếp tuyến)
B thuộc đường tròn đường kính AO (1)
Ta có (tính chất tiếp tuyến)

C thuộc đường tròn đường kính AO (2)
Từ (1) và (2) 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO
Gọi I là tâm của đường tròn trên thì I là trung điểm của AO
b) Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE
Giải:

Xét ∆ABD và ∆AEB có:
: chung
(hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
∆ABD ∽ ∆AEB (g.g)
c) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp.
Giải:
4


Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OB = OC (bán kính)
AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC
tại H
Ta có ∆ABO vuông tại B có BH là đường cao
AB2 = AH.AO (hệ thức lượng)
Mà AB2 = AD.AE (do trên)
AH.AO = AD.AE
Xét ∆AHD và ∆AEO có:
: chung
(do trên)
∆AHD ∽ ∆AEO (c.g.c)
(2 góc tương ứng)
Xét tứ giác DEOH có:
(do trên)

Tứ giác DEOH nội tiếp (góc trong bằng góc đối ngoài)
d) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và O).
Chứng minh rằng:
Giải:

5


Ta có tứ giác DEOH nội tiếp
(1) (cùng chắn cung OE)
Vì OD = OE (bán kính) nên ∆ODE cân tại O
(2)
Gọi K là giao điểm của EH và AC
(3) (2 góc đối đỉnh)
Mà (4) (do trên)
Từ (1), (2), (3) và (4)
AH là phân giác ngoài của
(i)
Ta có ∆AHD ∽ ∆AEO (do trên)
(ii)
Ta có AN.MH = (AO + ON).(OM – OH)
= (AO + R).(R – OH)
= AO.R – AO.OH + R2 – OH.R
= R.(AO – OH) – AO.OH + R2
= R.AH – AO.OH + R2 (5)
∆ABO vuông tại O có BH là đường cao
AO.OH = OB2 (hệ thức lượng)
= R2 (6)
Từ (5) và (6) AN.MH = R.AH – R2 + R2 = R.AH
Hay AN.MH = AH.OE (iii) (vì OE = R)

Từ (i), (ii) và (iii) AD.HE = AN.MH

6