Chuyên đề nhị thức newton hay

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú Thọ
Trường THPT Hùng Vương
---------------------------------

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

Thực Hiện:
Vũ Hoàng (Chuyên toán niên khóa 2014-2017)
Năm 2015

1

1


Lời Nói Đầu
Chuyên đề này được biên soạn với mục đích giúp các bạn học sinh hoàn thiện
kiến thức về Nhị thức Niu-tơn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia. Với những ví
dụ cụ thể, bài tập phong phú, phương pháp đa dạng, lập luận dễ hiểu với 3 dạng
chính:
- Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn
- Nhị thức Niu-tơn với các bài toán chứng minh đẳng thức , tính tổng
- Nhị thức Niu-tơn với các bài toán bất đẳng thức và giải phương trình
hy vọng rằng tập chuyên đề sẽ giúp ích cho các bạn học sinh gần xa.
Mặc dù đã rất cố gắng xong cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót mong
nhận được sự góp ý của quý bạn đọc để chyên đề ngày càng hoàn thiện!
Xin chân thành cảm ơn!
Các tác giả

2

2


Phụ Lục:
A.Kiến thức cần nhớ………………………………………………………………1
B.Các dạng bài tập…………………………………………………………….1-16
Dạng 1: Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn………………………………………………………………………...............1-7
Dạng 1.a: Tìm hệ số , số hạng………………………………………………….1-5
Dạng 1.b: Tìm hệ số lớn nhất…………………………………………………...5-7
Góc vui: Thơ tình toán học………………………………………………………7-8
Dạng 2 : Chứng minh đảng thức, tính tổng……………………………………..…8
Dạng 2.a: Chứng minh đẳng thức ……………………………….....................8-10
Dạng 2.b: Tính tổng………………………………………………………….10-13
Góc vui: Tìm con đường mới cho toán họ……………………………………….13
Dạng 3: Nhị thức Niu-tơn và các bài toán bất đẳng thức ,giải phương
trình…………………………………………………………………………....13-16
Đọc thêm: Niu-tơn-nhà bác học vĩ đại, Tam giác Pascal……………………..16-19

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Công thức nhị thức Niu-tơn:
n

(a + b)n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnnb n = ∑ Cnk a n − k b k
k =0

2. Nhận xét:
Công thức nhị thức Niu tơn có:
- (n+1) số hạng
k n −k k
- Số hạng thứ k+1 là Tk +1 = Cn a b .

k
n−k
- Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Cn = Cn .
3
3


- Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a,b luôn bằng n.
3. Các công thức liên quan:
-Tổ hợp :

Cnk =

-Chỉnh hợp :

n!
k !( n − k )!

Ank =

n!
(n − k )!

-Hoán vị Pn = n !
k
k +1
k +1
- Cn + Cn = Cn+1 công thức này chứng minh bằng cách khai triển.

x =1
(1 + x)n = Cn0 + xCn1 + ... + x nCnn →
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n
x =1

- (1 − x) = Cn − xCn + ... + (− x) Cn → Cn − Cn + ... + (−1) Cn = 0
Giờ chúng ta sẽ đi đến các dạng bài tập!
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm hệ số, số hạng, Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn:
Dạng 1.a : Tìm hệ số, số hạng :
Đây là dạng toán khá đơn giản yêu cầu mọi người phải nắm vững!
Ta cần chú ý các dạng sau:
1)Khai triển :
n

0

1

n

n

0

1

n

n

n

(a + bx p + cx q ) n =  a + (bx p + cx q )  = ∑ Cnk a n −k (bx p + cx q ) k
n

k =0

n

k

k =0

i =0

= ∑ Cnk a n − k ∑ Cki (bx p ) k −i .(cx q )i
p
q n
p
q n
2)Khai triển ( ax + bx ) ;( a + bx + cx ) kết hợp tính tổng đơn giản
n −1

n −1

n −1

Khai triển NewTon : (a + b) = Cn a + Cn a b + ... + Cn ab + Cn b với :
− Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần . Nếu trong biểu thức

không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b ) có thể bằng 1 .
− Nếu dấu của biểu thức đan nhau khai triển sẽ có dạng (a-b)n.
n

−

0

n

1

n n

0
2k
4k
Trong biểu thức có Cn + Cn + Cn ….. ( toàn chẵn hoặc toàn lẻ ) thì
n
đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a − b) và

( a + b) n khi chọn a,b rồi cộng lại ( khi toàn chẵn ) hoặc trừ đi (khi toàn

lẻ ) theo từng vế .
Ví dụ Cn + 2Cn + ... + 2 Cn = 3
Loại này sẽ áp dụng cho bài 9,10 ở dưới!
0

4

1

n

n

n

4


3)Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên ) trong khai triển (a+b)n.
m

r

Cnk a n− k b k = Cnk .a p .β q

n

Xét khai triển (a+b) có số hạng tổng quát:
các số hữu tỉ . Số hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ :

với α và β là

m
 p ∈N

( k ∈ N , 0 ≤ k ≤ n)


r ∈N
 q
k
n −k k
=> k0 => Cn a b
0

0

0

là số hạng cần tìm.
Ví dụ 1:
101 99
200
Tìm hệ số của x y trong khai triển (2 x − 3 y ) .
Giải
200

k
(2 x − 3 y ) 200 = ∑ C200
(2 x) 200−k ( −3) k x 200− k y k
k =0

Ta có
101

99

Số hạng chứa x y ứng với giá trị k thỏa mãn

101 99
101
99
Vậy hệ số của x y là 2 (−3)
Ví dụ 2:
11
7
Tìm số hạng chứa x trong khai triển (1 + x)
Giải

200 − k = 101

k = 99
=> k=99.

11

(1 + x)11 = ∑ C11k x k

k =0
Ta có
7
Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn k=7
7 7
7
Vậy số hạng chứa x là C11 x
Ví dụ 3:

1
( x + )n

x hệ số của số hạng thứ 3 lơn hơn của số hạng thứ 2 là 35.
Trong khai triển

Tính số hạng không chứa x.
Giải
Ta có
5

n
n
1 n
k n−k 1 k
C
x
(
)
Cnk x n −2 k
(x + ) ∑ n
∑
x
x = k =0
= k =0

5


Mà theo đề bài ta có : Cn − Cn = 35 <=> n − 3n − 70 = 0 <=> n = 10; n = −7 (loại)
 n=10. Để số hạng không chứa x => 10-2k=0  k=5
2

1

2

5
Vậy số hạng cần tìm là C10
Ví dụ 4:

2
n −1
n
2
2n
5
Tìm hệ số của x trong khai triển x(1 − 2 x) + x (1 + 3x) biết rằng An − Cn+1 = 5 .
Giải
2
n −1
2
Ta có An − Cn +1 = 5  n − 3n − 10 = 0 <=> n = 5; n = −2 (loại)
Với n=5 ta có

5

10

5

10

k =0

i =0

k =0

i =0

x(1 − 2 x)5 + x 2 (1 + 3 x)10 = x∑ C5k ( −2 x) k + x 2 ∑ C10i (3 x)i = ∑ C5k ( −2)k ( x) k +1 + ∑ C10i 3i ( x)i + 2
5

số hạng chứa x thì k+1=5,i+2=5k=4,i=3
4
4
3 3
5
Vậy hệ số của số hạng chứa x là C5 (−2) + C10 3 = 21360 .
Bài Tập:
5 8
13
1 a)Tìm hệ số của x y trong khai triển ( x + y )
8
ĐS: C13

11
9
b)Tìm hệ số của x trong khai triển (2 − x)
9 10
ĐS: −C19 2
3

c). Tìm số hạng chứa x trong khai triển

(x +

2 6
)
x2
1 3
ĐS: 2C6 x

2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
12

5

1

x+ ÷
a)  x 

 3 1 
x + ÷
x 
b) 

, ∀ x ≠ 0 ĐS: 924
10

12

1

 2x − ÷
x


 x 3
 + ÷
d)  3 x 

c)
, ∀ x ≠ 0 ĐS: -8086
3. . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
1

 + x÷
x


, ∀ x > 0 ĐS: 495

1 

 2x + 5 ÷
x
b) 

7

c)

6

ĐS: 924

18

12

a)

ĐS: -10

1 
3
 x+4 ÷
x


, ∀ x > 0 ĐS: 35

6

, x > 0 ĐS: 6528

Để


17

 1 4 3
3 + x ÷

d)  x

, ∀ x ≠ 0 ĐS: 24310

4.(ĐH Khối D-2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển
ĐS: 35
1 + x 2 (1 − x) 
8
5. (ĐH khối A-2004) Tìm hệ số của x trong khai triển 

(3 x +

1
4

x

)7

8

ĐS: 238
n

1
2 

 x − ( x + x ) 
6.a)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
biết n thỏa mãn
3
2
Cn + 2n = An+1

ĐS: -98
.b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

(3

2 n
x+
)
x . Biết số nguyên dương n

6
7
8
9
8
thỏa mãn Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn + 2

ĐS: 320320
4

7. a)Tìm hệ số của x trong khai triển

(3 nx 5 +

1 n
)
x 3 biết n thỏa mãn

2Cn1 + Cn2 = n2 − 20

(

ĐS: 1792

8
x2 + 2
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức:
A3n − 8C 2 n + C 1n B 49

)

n

, biết rằng số

nguyên dương n thỏa mãn phương trình:

ĐS: 280
3 n+1

 1 3 
+ 5


2


8. a)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển :
n
n −1
n− 2
2 n −3
Cn + 2Cn + Cn = Cn + 2

dương thỏa mãn điều kiện :

.

Biết rằng n là số nguyên

.

C100 C106 .23.52
;
32 .
ĐS : 32
n
3
b) Tìm số hạng thỏa mãn là số nguyên trong khai triển nhị thức : ( 3 + 2) , biết
3
n
n
n
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện : ( Pn ) .Cn .C2 n .C3 n = P27 .

3 3 1
9 3
ĐS: C9 .3 .2 và C9 .2 .

2
+ x5 )n
3
x
x
9. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
biết
1
2
n −1
n
Cn + Cn + ... + Cn + Cn = 4095
(

8

.

7

7


ĐS: 7920
10. Tìm hệ số của x trong khai triển (2 − 3 x) biết C
n

7

1
2 n +1

+C

3
2 n +1

+ ... + C22nn++11 = 1024
7 3
7
ĐS: C10 2 (−3)

Dạng 1.b: tìm hệ số lớn nhất
Dạng toán này yêu cầu một chút kĩ năng giải bất phương trình đơn giản!
Chú ý: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)
n
Xét khai triển nhị thức NewTon (a + bx) có số hạng tổng quát :
n

Tk +1 = Cnk a n −k b k x k

k n−k k
Đặt ak = Cn a b , 0 ≤ k ≤ n thì dãy hệ số là { ak } . Khi đó hệ số lớn nhất trong

khai triển này thỏa mãn hệ phương trình :

ak ≥ ak +1
⇒ k0 ⇒ ak0 max = Cnk0 a n − k0 b k0

a
≥
a
k −1
 k

Ví dụ 1:
10
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: (1 + 2 x)
Giải
10

Ta có

(1 + 2 x)10 = ∑ C10k 2k .x k
k =0

Gọi Tk = C .2 . Giả sử Tk là hệ số lớn nhất trong khai triển
k
10

k

2
 1
≥


C10k .2k ≥ C10k +1.2k +1
Tk ≥ Tk +1
19
22
10 − k k + 1
<=>  k k
<=> 
<=> ≤ k ≤

k −1 k −1
3
3
C10 .2 ≥ C10 .2
Tk ≥ Tk −1
2 ≥ 1
 k 11 − k
=>
Mà k ∈ N => k = 7

Vậy hệ số lớn nhất là 15360
Ví dụ 2:
Giả sử (1 + 2x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
Biết a0 + a1 + a2 + … + an =729
Tìm n và hệ số lớn nhất trong các số a0,a1,a2,…,an
Giải
6

Do a0 + a1 + a2 + … + an =729

<=> (1 + 2) n = 729 <=> n = 6 => (1 + 2 x)6 = ∑ C6k (2 x) k

k =0

Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,… an
Ta có
8

8


C6k .2 k ≥ C6k +1.2 k +1
ak ≥ ak +1
⇔

 k k
k −1 k −1
C6 .2 ≥ C6 .2
ak ≥ ak −1
6!
6!.2

2
 1
≥
 (6 − k )!.k ! ≥ (5 − k )!( k + 1)!


6 − k k +1
⇔
⇔
6!

 6!.2 ≥
2 ≥ 1

 (6 − k )!.k ! (7 − k )!( k − 1)!
k 7 − k
k + 1 ≥ 12 − 2k
3k ≥ 11
⇔
⇔
14 − 2k ≥ k
3k ≤ 14
11
14
⇔ ≤k≤
3
3
Mà k ∈ N ⇒ k = 4
4 4
n
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2) với n=6 là : C6 .2 = 240 .
Ví dụ 3:
0
1
2
2 n
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( x + 2 x ) biết Cn + Cn + Cn = 16
Giải

Ta có Cn + Cn + Cn = 16
2

 n + n − 30 = 0 =>n=5
0

1

2

5

Xét khai triển

( x + 2 x 2 )5 = ∑ C5k x5 −k 2k x 2 k
k =0

Giả sử ak = 2 .C là hệ số lớn nhất
k

k
5

2
 1
≥

a
≥
a
 k
5 − k k +1
k +1

<=> 
=> 3 ≤ k ≤ 4

 ak ≥ ak −1
2 ≥ 1
 k 4 − k
=>

Vậy hệ lớn nhất là 80
Bài tập :
1
( x + )10
x
1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

ĐS: 252
2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

(3

1
+ x )7
x2

ĐS:35
3. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

(3 x3 −

2 5

)
x2

ĐS: 1080
9

9


(

4. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

1
3

x

2

+ 4 x 3 )17

ĐS:24310
1 2
( + x)10
5. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức 3 3

1 7 7
.C10 .2
10

ĐS: 3

6. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

(x −

2 n
)
2
n− 2
n −1
x biết An = Cn + Cn + 4n + 6

ĐS: 59136
A +C
= 35
3
2 n
(
n
−
1)(
n
−
2)
7.Cho
tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức ( x + x )
3
n

3
n

ĐS:155117520
8. Cho C + C
n
n

n −1
n

n−2
n

+C

1
( x + )2 n
= 79
x
tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

ĐS:2704156
9. Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển

(x +

2 n
)
x 2 biết

Cn0 + 2Cn1 + ... + 2n −1 Cnn −1 + 2n Cnn = 243

ĐS: 80
1
( x3 + )n
x biết
10. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức
C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn++11 236

=

ĐS:48620
Góc vui:

Thơ tình TOÁN HỌC
"Phương trình" nào đưa ta về chung lối
"Định lý" nào sao vẫn mãi ngăn đôi
"Biến số" yêu nên tình mãi hai nơi
Điểm "vô cực" làm sao ta gặp được
"Đạo hàm" kia có nào đâu nghiệm trước
Để "lũy thừa" chẳng gom lại tình thơ
"Gia tốc" kia chưa đủ vẫn phải chờ

10

10


"Đường giao tiếp" may ra còn gặp gỡ

Nhưng em ơi! "Góc độ" yêu quá nhỏ !
Nên vẫn hoài không chứa đủ tình ta
Tại "nghịch biến" cho tình mãi chia xa
"Giới hạn" chi cho tình yêu đóng khép
"Lục lăng" kia cạnh nhiều nhưng rất đẹp
Tại tình là "tâm điểm" chứa bên trong
Nên "đường quanh" vẫn mãi chạy lòng vòng
Điểm " hội tụ" vẫn hoài không với tới
Em cũng biết "tung, hoành" chia hai lối
Để tình là những đường thẳng "song song"
Điểm gặp nhau "vô cực" chỉ hoài công
Đường "nghịch số" thôi đành chia hai ngả
(nguồn : sưu tầm)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức , Tính tổng
Dạng 2.a: Chứng minh đẳng thức
Chú ý: Chứng minh hoặc tính tổng . ( Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính
k

k

chất , công thức An , Cn , Pn ).
• Trong khai triển (a-b)n thì dấu đan nhau , nghĩa là + , rồi - , rồi + ,…..
• Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a
và b bằng n .
• Vận dụng linh hoạt tính chất :
k +1
n

C +C

k
n

k +1
k +1

=C

n−k
n

,C = C
k
n

1
1
.Cnk =
Cnk++11
k
+
1
n
+
1
và
.

Khi gặp tổng giữa các tích của 2 công thức tổ hợp (.... + Cn .Cn + ....) , lúc đó thường so
sánh hệ số của biến cùng bậc với nhau , chẳng hạn so sánh hai hệ số của số mũ

2 n
cùng bậc của hai khai triển (1 − x ) với (1-x)n(x+1)n……
Đây là dạng toán khá thú vị với nhiều bài tập khó đòi hỏi sự tinh vi và kĩ năng biến
đổi cao. Giờ chúng ta hãy xét qua một số ví dụ đặc trưng của nó!
Lưu ý: các bài toán đều xét trên TXĐ của nó nên tôi sẽ không viết ĐK
i

11

11

j


*
Ví dụ 1: (n ∈ N )
0 n
1 n −1
n
0
1
n
Chứng minh : Cn 3 − Cn 3 + ... + ( −1)Cn = Cn + Cn + ... + Cn
Giải
n
0 n
1 n −1
n n
Ta có: (a + b) = Cn a + Cn a b + ... + Cn b (*)

0 n
1 n −1
n
n
n
-Với a=3, b=-1 thay vào (*) ta có Cn 3 − Cn 3 + ... + (−1)Cn = (3 − 1) = 2
0
1
n
n
n
-Với a=1,b=1 thay vào (*) ta có Cn + Cn + ... + Cn = (1 + 1) = 2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
*
Ví dụ 2 : (n, k ∈ N ; n ≥ k )

k 0
k −1 1
k −m m
k
Chứng minh: Cn Cm + Cn Cm + ... + Cn Cm = Cn + m
Giải
Để ý thấy có tích của các tổ hợp nên có lẽ chúng ta sẽ dùng nhiều khai triển.

(1 + x) m = Cm0 + Cm1 x + ... + Cmm x m

n
0
1
n n

(1 + x) = Cn + Cn x + ... + Cn x

(1 + x) m + n = Cm0 + n + Cm1 + n x + ... + Cmm++nn x m + n

Ta có
k 0
k −1 1
k −m m
m
n
k
=>Hệ số của x trong khai triển (1 + x) (1 + x) là Cn Cm + Cn Cm + ... + Cn Cm
k
m+ n
k
Hệ số của x trong khai triển (1 + x) là Cn+ m

 đpcm.
*
Ví dụ 3 (n ∈ N )
0
1
n
n −1
Chứng minh: Cn + 2Cn + ... + (n + 1)Cn = (n + 2)2
Giải
Đây là một câu khá hay, có lẽ có nhiều bạn đọc biết dùng đạo hàm để giải những
câu như thế này. Thế nhưng ở đây tôi muốn giải quyết bài toán theo cách làm đại
số chứ không trên quan điểm giải tích. Nào hãy cùng tôi đi tìm bí ẩn đằng sau bài
toán:

Ta sẽ xét số hạng

(k + 1)Cnk = kCnk + Cnk =

k .n !
(n − 1)!
+ Cnk = n.
+ Cnk = nCnk−−11 + Cnk
k !(n − k )!
(k − 1)![ (n − 1) − (k − 1) ] !

(k>0)
Thành quả đã có giờ thử áp dụng công thức đó cho các số hạng ở vế trái (trừ số
hạng đầu giữ nguyên vì k>0) xem sao:
0
1
n −1
0
1
n
n −1
n
n−1
VT  n(Cn −1 + Cn −1 + ... + Cn −1 ) + (Cn + Cn + ... + Cn ) = n.2 + 2 = 2 ( n + 2) = VP
 đpcm.
k
k −1
 Nhận xét ta có công thức khá hay: kCn = nCn−1
Ta sẽ áp dụng công thức trên cho ví dụ sau:

12

12


*
Ví dụ 4: (n ∈ N )
1 n −1
2 n− 2
n
n −1
Chứng minh : Cn 3 + 2.Cn 3 + ... + n.Cn = n.4
Giải
n−k

k −1

n−k

Xét k .Cn .3 = nCn −1 .3
Áp dụng công thức trên cho vế trái ta có;
k

VT = n(Cn0−1.3n −1 + Cn1−1.3n −2 + ... + Cnn−−11 ) = n.(1 + 3) n −1 = n.4 n −1 = VP

=> đpcm
Bài tập:
*
1.Chứng minh: (n ∈ N )
Cn0 − 3Cn1 + ... + (−3) n Cnn = (−2)n

*
2.Chứng minh: (n ∈ N )

C20n + C22n .32 + ... + C22nn .32 n = 22 n −1 (22 n + 1)
*
3. Chứng minh: (n ∈ N )

C21n + C23n + ... + C22nn −1 = C20n + C22n + ... + C22nn
*
4. Chứng minh: (n, k ∈ N ; n ≥ k )

Cn0Cnk − Cn1 Cnk−−11 + ... + (−1) k Cnk Cn0− k = 0
*
5. Chứng minh: ( n, k ∈ N ; n ≥ k + 2015)
0
1
2015 k + 2015
2015
C2015
Cnk + C2015
Cnk +1 + ... + C2015
Cn
= Cnk++2015

*
6.Chứng minh: (n ∈ N )

Cn1 − 2.Cn2 + ... + (−1) n −1.n.Cnn = 0
*
7. Chứng minh: (n ∈ N )

2n −1 Cn1 + 2n −1.Cn2 + 3.2n −3.Cn3 + ... + nCnn = n.3n −1
*
8. Chứng minh: (n ∈ N )

(Cn0 ) 2 − (Cn1 ) 2 + ... + (C22nn ) 2 = (−1) n C2nn
*
9. Chứng minh: (n, k ∈ N ; n ≥ k )

a)

Cn1 + 2.

Cn2
Cnn
+
...
+
n
.
= Cn2+1
1
n −1
Cn
Cn

0
k
1
k −1

k
0
k
k
b) Cn .Cn + Cn .Cn −1 + ... + Cn .Cn −k = 2 .Cn
*
10. Chứng minh: (n ∈ N )

n.Cn0 − (n − 1)Cn1 + ... + 2.(−1) n −2 Cnn −2 + (−1)n −1 Cnn −1 = 0

Dạng 2.b: Tính tổng:
Dạng toán này thực ra không khác gì dạng chứng minh đẳng thức
.Ví dụ 1:
13

13


0
2
2n
Tính C2 n + C2 n + ... + C2n .

Giải
n 2n
2n
0
1
2n
2n

Ta có (1 + x) = C + xC + ... + x C2 n , (1 − x) = C2 n − xC2 n + ... + (− x) C2 n
2n

Chọn x=1 =>

0
2n

1
2n

0
1
2n
2n
C2 n + C2 n + ... + C2 n = 2
 0
1
2n
C2 n − C2 n + ... + C2 n = 0

0
2
2n
2 n−1
Cộng 2 phương trình lại ta có C2 n + C2 n + ... + C2 n = 2
Ví dụ 2

2
3

2015
Tính tổng: S = 1.2.C2016 + 2.3.C2016 + ... + 2015.2016.C2016
Giải
Với những bài kiểu này ta xét số hạng tổng quát. Các bạn còn nhớ công thức ở
phần trên chứ? . Giờ ta sẽ áp dụng nó:
k
k −1
k −2
Ta có : (k − 1)kCn = ( k − 1).n.Cn −1 = n.(n − 1).Cn−2

=> S = 2015.2016.(C2014 + C2014 + ... + C2014 ) = 2015.2016.2
Ví dụ 3
0

1

2014

2014

2 1
2
2
2 2015
Tính tổng: S = 1 C2015 + 2 C2015 + ... + 2015 C2015
Giải
Câu này có vẻ khoai nhỉ? Nhưng không cần biết Tổ quốc nơi đâu đâm đầu vào số
hạng tổng quát của nó đã:

2 k

k
k
k
k −2
k −1
Ta có k Cn = k (k − 1 + 1)Cn = k (k − 1)Cn + kCn = n(n − 1)Cn −2 + nCn −1 .
Vậy là vấn đề chính đã xong!
Giờ ta sẽ áp dụng công thức trên cho S:
0
1
2013
0
1
2014
S = 2014.2015.(C2013
+ C2013
+ ... + C2013
) + 2015.(C2014
+ C2014
+ ... + C2014
) = 2014.2015.22013 + 2015.22014

Ví dụ 4
Tính tổng: S=

S=

0
C2015
C1

C 2015
+ 2015 + ... + 2015
1
2
2016 .

Giải
Lại một bài toán khá thú vị!
Theo cách cổ điển, xét số hạng tổng quát
Cnk
C k +1
n!
( n + 1)!
=
=
= n+1
k + 1 (k + 1)k !(n − k )! (n + 1)(k + 1)!((n + 1) − (k + 1))! k + 1

Áp dụng công thức trên cho S ta có:
S=

1
1
1
2
2016
(C2016
+ C2016
+ ... + C2016
)=

(22016 − 1)
2016
2016

P/s: bài này có một cách giải khác là sử dụng tích phân nhưng như tôi đã nói ở trên
chuyên đề này được biên soạn chủ yếu theo quan điểm đại số chứ không phải giải
tích nên tôi sẽ không đưa vào.
14

14


Bài Tập
1.Tính tổng:
0
1
n
n
a. Cn + 4Cn + ... + 4 Cn
0
1
n
n
b. Cn − 5Cn + ... + (−5) Cn

a )5n

ĐS: b)(−4)
2. Tính tổng:
n

a. C100 + C100 + ... + C100
1

3

99

0
2
2
2000 2000
b. C2015 + C2015 .3 + ... + C2015 .3

a)299
2014

ĐS: b)4
3. Tính tổng:
0
1
2015
a )C2015
+ 2C2015
+ ... + 2016C2015

b) 1.2C2016 − 2.3.C2016 + ... + 2015.2016.C2016
2

3

2016

a )2017.2 2014
ĐS: b)0

Hướng dẫn b)
k
k −1
Áp dụng công thức kCn = nCn −1 2 lần
4. Tính tổng:

0
1
2015 2
a )(C2015
) 2 + (C2015
) 2 + ... + (C2015
)
0
1000
1
999
1000 0
b)C1000
C2000
+ C1000
C2000
+ ... + C1000
C2000

2015
a)C4030
2000

ĐS: b)C6000
5.Tính tổng:
a.C20n − 11C21n + ... + C22nn .112 n
1
3
199
b.C200
+ 3.C200
+ ... + 199.C200

a )100n
198

ĐS: b)200.2
6. Tính tổng:

3
4
a )1.2.3.C2015
+ 2.3.4.C2015
+ ... + 2013.2014.2015.Cnn

1 0
1 1
1

2015
b) C2015
− C2015
+ ... −
.C2015
1
2
2016

ĐS:
15

15


a )2013.2014.2015.2 2012
1
b)
2016
k
k −1
Hướng dẫn a) Áp dụng công thức kCn = nCn −1 3 lần
7.Tính tổng:

1 0
1 1
1
2015
C2015 +
C2015 + ... +

C2015
1.2
2.3
2016.2017
1
1
1
0
1
2015
b.)
C2015
+
C2015
+ ... +
C2015
1.2.3
2.3.4
2016.2017.2018
1
a)
(2 2017 − 2012)
2016.2017
ĐS:
a)

22019 − 20152 − 7.2015 − 14
22016.2017.2018
b)

Hướng dẫn:
Dùng các công thức :
1
1
.Cnk =
Cnk++22
(k + 1)( k + 2)
( n + 1)(n + 2)
1
1
.Cnk =
.Cnk++33
( K + 1)(k + 2)(k + 3)
( n + 1)(n + 2)(n + 3)

8. Tính tổng:
12
12
C12
C2014
C2015
C1212
+ 13 + ... +
+
11.12 12.13
2013.2014 2014.2015

1 11
C2014
ĐS: 132

Hướng dẫn:
Cn12
1
=
.Cn10−2
(n − 1)n 11.12

9. Tính tổng:
22013 − 1
ĐS: 2014!

1
1
1
1
+
+ ... +
+
2!.2012! 4!.2010!
2012!.2! 2014!

Hướng dẫn:
Nhân 2 vế với 2014!
*
10. Tính tổng: (n ∈ N )
−Cn1 2Cn2 3Cn3
( −1) n nCnn
+
−

+ ... +
2.3 3.4 4.5
( n + 1)( n + 2)

−n
ĐS: (n + 1)(n + 2)

Hướng dẫn :
1
1
Cnk =
Cnk++11
n +1
Áp dụng công thức k + 1

Góc vui:
16

16


Tìm con đường mới trong Toán học
(TrầnQuốcToàn-Admin:dienantoanhoc.net)
Một nhà Vật lý đi qua hành lang thì thấy một nhà toán học đang lúi húi bò đi bò lại
trên sàn. Nhà vật lý tò mò mới lên tiếng hỏi:
- Ông làm gì ở đây đấy?
- À, tôi đang tìm một cái kim, tôi vừa mới đánh rơi.
Nhà vật lý hỏi tiếp:
- Thế ông đánh rơi ở chỗ nào.
- Ở trong phòng tôi thôi.

Nhà vật lý ngạc nhiên quá mới hỏi:
- Đánh rơi ở trong phòng sao ông lại ra đây tìm.
Nhà toán học mới đáp:
- Ừ, nhưng trong phòng tối quá, tôi ra ngoài này tìm cho sáng!
Nguồn: VMF
P/s: Toán học nhiều khi là như vậy. Khi gặp vấn đề hóc búa ta hay nghĩ đến
một con đường mới đi đến lời giải, đề ra những định nghĩa mới. Số ảo i, hay hàm
Dirac-delta là hai trong số vô vàn ví dụ.
Dạng 3 Nhị thức Niu-tơn và các bài toán bất đẳng thức, giải phương trình.
Bất đẳng thức là một vấn đề rộng và khó, để có thể làm được một bài toán bất
đẳng thức cần một sự nhạy bén rất cao và một kĩ năng tốt. Ở đây tôi sẽ nêu ra một
số bài toán bất đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton. Cũng phải chú ý rằng bất
đẳng thức mà chúng ta hay gọi là Cô-si thực ra có tên chuẩn là AM-GM, còn bất
đẳng thức Bunhiacopxki có tên thật là B.C.S. Và trong chuyên đề này các bất đẳng
thức sẽ được gọi theo đúng tên chuẩn của nó.
Ví dụ 1: Chứng minh :
x 2 n .C20n + x 2 n −1.C21n + ... + C22nn ≥ (4 x) n

Giải
Tacó : (1 + x)

2n

= x .C + x
2n

0
2n

2 n −1

.C21n + ... + C22nn ≥ (4 x) n ( BDT : AM − GM )

 đpcm
Dấu = xảy ra khi x=1.
Ví dụ 2: Chứng minh:
1
1
1
(1 + ) n < 1 + + ... + ( n > 1, n ∈ N )
n
1!
n!

Giải
n

1
1
(1 + ) n = ∑ Cnk . k
n
n
k =0
Xét

17

17

Cnk .

1
1
n!
1
n!
= (
)<
<1
k
k
n
k ! (n − k )!.n
k ! do (n − k )!.n k

Mà
 đpcm
Nếu như bất đẳng thức mang vẻ đẹp của một ông hoàng uy nghi thì các bài toán
phương trình mang vẻ duyên dáng của một cô thôn nữ làm say đắm bao gã suy tình
:v . Và sau đây chúng ta hãy cùng tìm hiểu vẻ đẹp quyến rũ ấy
:-D !
Ví dụ 3: Giải phương trình :
C20n + 32 C22n + ... + C22nn .32 n = 215.(216 + 1)

Giải
Ta có
42 n = (1 + 3) 2 n = C20n + C21n .3 + ... + C22nn .32 n
22 n = (1 − 3) 2 n = C20n − C21n .3 + ... + C22nn .32 n
2n

2n
=> 4 + 2 = 2.VT
42 n + 22 n = 2.215 (216 + 1) <=> (216 ) 2 + 216 = (2 2 n ) 2 + 2 2 n

=> => 2 = 2
<=>n= 8
Vậy n=8
Giờ chúng ta sẽ làm bài tập!
Bài tập
1. Giải phương trình:
16

2n

(chuyển vế)

0
1
n n
100
a) Cn + 5Cn + ... + 5 Cn = 5
0
0
n n
n
50
b) C2 n − 5C2 n + ... + (−1) .5 Cn = (−4)

c) Cn + 2Cn + ... + 2 Cn = 243
ĐS a) n=100

b)n=25
c)n=5
2. Giải phương trình :
0

1

n

n

Cn1 + 2.Cn2 + ... + nCnn = 4n

Đs: n=3
3. Giải phương trình:
1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + ... + n(n − 1)Cnn = 8n 2 − 8n

Đs: n=5
4. Chứng minh:
Cn1 .Cn2 ...Cnn −1 ≤ (

2n − 1 n
) (n ∈ N * , n ≥ 2)
n

5.Chứng minh:
C2nn + k .C2nn− k ≤ (C2nn ) 2 ( n, k ∈ N , k ≤ n)

18

18


Gợi ý: Dùng phương pháp quy nạp
6.Chứng minh:
Cn2 + 2.Cn3 + ... + (n − 1)Cnn > (n − 2).2n −1 (n ∈ N , n ≥ 2)
k
k −1
Gợi ý :xét hiệu 2 khai triển và dùng công thức kCn = nCn−1
7. Giải phương trình:

2.Cn0 + 5.Cn1 + ... + (3n + 2)Cnn = 1600

Đs: n=7
k −1
n −1

Gợi ý dùng công thức kC = nC
8. Giải sử n là số nguyên dương và:
k
n

(1 + x) n = a0 + a1 x + ... + an x n

Biết rằng tồn tại số nguyên k thỏa mãn (1 ≤ k ≤ n − 1) sao cho:
ak −1 ak ak +1
=
=
2
9

24 . Tìm n

ĐS: n=10
9.Giải phương trình:
1
1
1 89
+ 3 + ... + 3 =
3
C3 C4
Cn 30

ĐS n=10
Hướng dẫn :
1
6
=
(k ≥ 3)
3
Ck k ( k − 1)( k − 2)
k∈N

10. Giải phương trình
1
1
( n + 1)(Cn0 + Cn1 + ... +
Cnn ) = 1023
2
n +1

ĐS n=9

Hướng dẫn áp dụng công thức
1
1
Cnk =
Cnk++11
k +1
n +1

Đọc thêm

Newton- Nhà bác học vĩ đại

Isaac Newton (1642 - 1727) - nhà vật lý, toán học nước Anh, người được thế giới
tôn là "người sáng lập ra vật lý học cổ điển"
Niutơn xuất thân gia đình quý tộc nông thôn. Cha của Niutơn mất trước khi ông ra
đời. Lúc mới sinh Niutơn ốm yếu, quặt quẹo. Bà mẹ quan tâm chăm sóc sức khỏe
cho Niutơn nhiều hơn đường học vấn. Năm 12 tuổi, bà mới cho con trai đi học. Vì
sức yếu, cậu thường bị các bạn bắt nạt. Cậu bèn nghỉ ra cách trả thù thú vị, là quyết
tâm học thật giỏi để đứng đầu lớp. Năm 17 tuổi, Niutơn vào học ở trường Đại học
19

19


tổng hợp Kembritgiơ. Thời gian còn là sinh viên, Niutơn đã tìm ra nhị thức trong
toán học giải tích, được gọi là "nhị thức Niutơn". Năm 19 tuổi bắt đầu vào Đại học
Cambirdge, bắt đầu nghiên cứu rộng rãi khoa học tự nhiên.
Năm 27 tuổi, ông được cử làm giáo sư toán ở trường Đại học nơi ông học; năm 30

tuổi, ông được bầu làm hội viên Hội khoa học hoàng gia Anh (Viện hàn lâm) và 23
năm cuối đời, ông làm chủ tịch Hội khoa học hoàng gia Anh. Ông còn là hội viên
danh dự của nhiều Hội khoa học và viện sĩ của nhiều Viện hàn lâm. Thành tựu
khoa học của ông trên nhiều lĩnh vực, tích vi phân ông sáng lập là một cột mốc
trong lịch sử toán học; giải thích về các loại màu sắc của vật thể đã mở đường sáng
lập khoa học quang phổ. Cống hiến lớn khiến tên tuổi ông trở thành bất tử là Ba
định luật về chuyển động đặt cơ sở lý luận cho lực học kinh điển, quan trọng nhất
là "Nguyên lý vạn vật hấp dẫn". Đây là nguyên lý cơ sở cho những phát minh vật
lý học, cơ học, thiên văn học trong nhiều thế kỷ. Một lần, Newton trông thấy quả
táo rụng từ trên cây xuống, ông liền nghĩ đến những nguyên nhân về sự rơi của các
vật và tìm ra sức hút của quả đất.
Những phát kiến về thiên văn học của Niutơn dựa vào định luật vạn vật hấp dẫn đã
giáng đòn chí mạng vào uy tín của giáo hội. Bọn bảo vệ tôn giáo đã phản ứng lại
một cách quyết liệt đầy căm phẫn trước những phát minh về thiên văn học của
Niutơn. Do ảnh hưởng của giáo hội, nhiều trường đại học ở châu Âu đến tận thế kỷ
XIX vẫn cấm dạy môn cơ học, những vấn đề có liên quan đến định luật vạn vật hấp
dẫn của Newton. Niutơn sống cuộc đời độc thân và hết sức đãng trí. Tính đãng trí
của ông đã trở thành những giai đoạn như chuyện mời cơm khách, chuyện luộc
đồng hồ, chuyện đục hai lỗ cho chó và mèo ... Newton mất năm 84 tuổi. Ông được
mai táng ở Đài kỷ niệm quốc gia Anh trong tu viện Oetminxtơ - nơi an nghỉ của
các vua chúa và các bậc vĩ nhân của nước Anh.
Lúc nhỏ Newton là đứa trẻ ít nói nhưng ông rất thích thủ công nghệ, thường xuyên
tự thiết kế và làm ra các đồ chơi tinh xảo. Mọi người đều rất thích chúng, đặc biệt
là diều của ông làm, nó vừa đẹp vừa bao nhanh và bay cao. Vào một chiều nọ ông
buộc một chiếc đèn lồng xinh xẻo vào chiếu diều của mình và thả lên trời, trông
giống như một ngôi sao trên trời. Mọi người trong thôn đều chạy ra xem cho rằng
xuất hiện sao chổi. Khi biết đó là diều của Newton thả thì mọi người đều tấm tắc
khen. Những thứ Newton làm ra đều rất lạ và cũng rất đẹp. Ông tự tay làm chiếc
chong chóng đặt ở đầu nhà, khi ông đi xem chiếc chong chóng lắp ở thôn bên, về
nhà ông mô phỏng làm một chiếc như vậy. Để cho nó quay cả được khi không có

gió, ông đặt trong lồng của cánh quạt một con chuột, khi con chuột động đậy là
chong chóng quay liên tục.
20

20


Học xong tiểu học, Newton còn làm ra chiếc "đồng hồ nước". Ông dùng một chiếc
thùng đựng nước nhỏ, dưới đáy có một lỗ nhỏ có nút, tháo nút ra nước sẽ nhỏ giọt
xuống. Mặt nước trong thùng dần dần hạ thấp, chiếc phao trong thùng hạ thấp theo.
Chiếc phao đồng thời kéo theo chiếc kim chỉ di động tý một trên mặt chiếc mâm có
khắc vạch, một vạch khắc chỉ một đơn vị thời gian. trong phòng của mình Newton
lắp một chiếc đồng hồ nước, ông cũng lắp cho hàng xóm một chiếc như vậy. Thú
vị hơn là Newton còn lắp cho bà con trong thôn một chiếc "đồng hồ mặt trời". Lúc
hơn mười tuổi Newton quan sát thấy buổi sáng đi học bóng của mình bên trái,
chiều tan học về bóng lại nằm sang phía bên kia. Mấy ngày liền đều như vậy, ông
cảm thấy mặt trời chuyển động có quy luật. Như vậy chẳng phải có thể lợi dụng
quy luật này làm một chiếc "Đồng hồ mặt trời" chính xác hơn sao. Thế là ông bắt
đầu làm thí nghiệm, hàng ngày ông "đuổi theo" bóng nắng khắp nơi, ghi lại thay
đổi vị trí từng nửa giờ, một giờ. Cuối cùng ông cũng làm xong chiếc đồng hồ bóng
nắng tròn. Nó là một dụng cụ đo thời gian dựa vào bóng nắng mặt trời. Xung
quanh mâm tròn của đồng hộ mặt trời ông khắp các vạch dấu đều đặn, lợi dụng sự
xê dịch của bóng nắng mặt rời có thể biết được chính xác thời gian. Sau khi làm
được đồng họ mặt trời Newton đặt nó ở giữa làng để nó báo giờ cho mọi người.
Mọi người trong thôn gọi là "Đồng hồ Newton", nó còn được sử dụng khá lâu sau
khi ông mất. Mỗi lần nhìn thấy "Đồng hồ Newton" là mọi người lại nhớ đến cậu bé
khéo tay thông minh của ngày ấy.
Newton đối với khoa học thì chuyên cần nhưng trong sinh hoạt lại là người vô tâm,
hay quên, ông thường làm việc quên cả ăn. Có một lần Newton mời bạn đến nhà ăn
cơm. Bạn đến cơm canh đã bày ra, nhưng Newton vẫn miệt mài trong phòng thí

nghiệm, bạn ông không quấy rầy ông, đợi lâu mà vẫn chưa thấy ông ra, liền tự
động ăn một chú gà quay trước, bỏ xương trong mâm rồi ngồi vào ghế thiu thiu
ngủ. Mãi sau Newton bước ra, mồ hôi nhễ nhại, gọi bạn dậy và xin bạn lượng thứ;
rồi đi tới bà ăn chuẩn bị ăn. Khi nhìn thấy xương để trong mâm và bát đã dùng,
ông vò đầu cười nói: - "Ôi thì ra mình đã ăn rồi, tôi vẫn cứ tưởng là mình chưa ăn!"
Đứng bên cạnh, thấy vậy bạn ông đã cười vang. Có một lần Newton xuống bếp tự
làm bữa sáng, ông đun một nồi nước chuẩn bị luộc trứng. Nước vẫn chưa sôi, xem
ra Newton có phần sốt ruột, rồi bắt đầu nghĩ đến một vấn đề khoa học, quá trình
tập trung ông quên luôn chuyện đang đun nước. Lúc này nước đã sôi sùng sục,
nước bốc hơi mù mịt, thuận tay ông thả luôn vật để bên cạnh vào nồi. Nửa tiếng
sau ông mới bừng tỉnh, nhớ việc đang làm trong bếp: "Trứng gà chắc đã chín rồi".
Ông mở vung nồi thì thấy trong nồi không phải là trứng mà là chiếc đồng hộ đeo
tay của ông. Một buổi chiều đẹp trời, Newton định cưỡi ngựa vào rừng có việc,
ông lấy yên ngựa và đi dắt ngựa. Vừa dắt ngựa bỗng nghĩ đến một vấn đề khoa
học. Dây ngựa trong tay, ông buông ra lúc nào cũng không hay, cứ thế vác yên
ngựa vừa đi vừa nghĩ. Lúc thì cúi đầu im lặng, lúc thì giơ tay vẽ vẽ vào không
21

21


trung, cứ như người lẩn thẩn vậy. Khi ông đi đến đỉnh núi thì bỗng cảm thấy mệt
quá và muốn cưỡi ngựa, nhưng lúc này ngựa không biết đã chạy đi chốn nào rồi.
Một ngày mùa nọ, Newton ngồi gần lò sưởi suy nghĩ vấn đề gì đó. Vì quá tập
trung, nóng quá cũng không biết nữa, tay áo bên phải của ông đã có mùi khét, bốc
khói đen, mùi nồng nặc mà ông vẫn không phát hiện ra có chuyện gì xảy ra. Người
nhà chạy vào sợ quá hét toáng lên, lúc đó Newton mới biết tay áo mình bị cháy. Tại
sao Newton lại đãng trí thế? Vì ông quá say sưa với khoa học, tất cả dành cho công
việc, quên hết mọi việc quanh mình. Không có tinh thần nghiên cứu khoa học say
sưa như vậy thì làm sao có thể trở thành nhà khoa học lớn được?

Chuyện về quả táo chín
Đây là câu chuyện thú vị và đầy ý nghĩa về nhà khoa học vĩ đại Newton. Vào một
ngày mùa thu, Newton ngồi trên chiếc ghế trong vườn hoa đọc sách, bỗng nhiên
một quả táo từ cây rơi xuống "bịch" một tiếng trúng đầu Newton. Ông xoa đầu,
nhìn quả táo chín lăn xuống vũng bùn. Quả táo đã cho ông một gợi ý làm ông nghĩ
miên man. Quả táo chín rồi, tại sao lại rơi xuống đất? Tài vì gió thổi chăng? Không
phải, khoảng không rộng mênh mông, tại sao lại phải rơi xuống mà không bay lên
trời? Như vậy trái đất có cái gì hút nó sao? Mọi vật trên trái đất đều có sức nặng,
hòn đã ném đi rốt cuộc lại rơi xuống đất, trọng lượng của mọi vật có phải là kết
quả của lực hút trái đất không? Sau này Newton nêu ra: Mọi vật trên trái đất đều
chịu sức hút của trái đất, mặt trăng cũng chịu sức hút của trái đất, đồng thời trái đất
cũng chịu sức hút của mặt trăng; Trái đất chịu sức hút của mặt trời, mặt trời đồng
thời cũng chịu sức hút của trái đất. Nói một cách khác là vạn vật trong vũ trụ đều
có lực hấp dẫn lẫn nhau, vì có loại lực hấp dẫn này mà mặt trăng mới quay quanh
trái đất, trái đất mới quay quanh mặt trời. Chuyện quả táo rơi xuống đất chứng tỏ
trái đất có lực hút quả táo, đương nhiên quả táo cũng có lực hút của quả đất, nhưng
lực hút của trái đất đối với quả táo lớn nên quả táo rơi xuống đất. Nếu ta coi mặt
trăng là một quả táo khổng lồ, như vậy trái đất cũng có lực hút nó, vậy tại sao nó
không rơi xuống mặt đất? Vì mặt trăng là một quả táo lớn, sức hút của trái đất đối
với nó không đủ để làm nó rơi xuống đất, chỉ có thể làm nó quay quanh trái đất mà
thôi. Đối với mặt trời thì trái đất cũng là một quả táo khổng lồ, nó quay quanh mặt
trời. Vào buổi tối khi nhìn lên bầu trời thấy vô vàn những vì sao đang nhấp nháy,
giữa chúng đều có lực hút lẫn nhau. Đây chính là định luật "Vạn vật hấp dẫn" nổi
tiếng của Newton.
(Nguồn: sưu tầm)

22

22