Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác (Khóa luận tốt nghiệp)

M CL C
Trang
Trang ph bìa ............................................................................................................... i
L
L ic

............................................................................................................... ii
................................................................................................................. iii

M c l c ....................................................................................................................... 1
Các kí hi u s d ng trong lu
M

.............................................................................. 3

U .................................................................................................................... 4

N TH C CHU N B
1.1. M t s công th

ng giác .................................................................... 6

1.1.1. Các h th

n.......................................................................... 6

1.1.2. Công th c c ng ............................................................................... 6
1.1.3. Công th

......................................................................... 6

1.1.4. Công th c nhân ba.......................................................................... 7
1.1.5. Công th c h b c ............................................................................ 7
1.1.6. Công th c bi

i tích thành t ng ................................................ 7

1.1.7. Công th c bi

i t ng thành tích ................................................ 7

1.2. Các hàm s

ng giác ............................................................................. 7

1.2.1. Hàm s tu n hoàn ........................................................................... 7
1.2.2. Hàm s y = sinx và y = cosx ............................................................ 8
1.2.3. Hàm s y = tanx và y = cotx............................................................. 9
1.3. Cách th c xây d ng h th ng bài t

ng giác .......... 10


NG H TH NG BÀI T P
NG GIÁC
2.1.

n ........................................................... 12

2.2.

c nh

i v i m t hàm s

ng giác ........................ 24

2.3.

c nh

i v i sin(x) và cos(x) ..................................... 29

2.4.

i v i m t hàm s

2.5.

i v i hàm sin(x) và cos(x) ............................... 43

2.6.

i x ng......................................................... 53

2.7. M t s d

ng giác........................... 36

ng giác khác .......................................... 64

2.8. Bài t p t ng h p ..................................................................................... 81
2.9. Bài t p tr c nghi m................................................................................ 96
K t lu n khóa lu n ............................................................................................... 105
Tài li u tham kh o................................................................................................. 106


CÁC KÍ HI U S

1. HS

D NG TRONG LU

: H c sinh.

2. PT
3. PTLGCB

n.

4. VD

: Ví d .

5. (n)

: Nh n.

6. (l)

: Lo i.

7. VN

: Vô nghi m.

8.
9.
10.

u ki n
?

nh.

t câu h i.
:

nh h

ng gi i

.


M

I. Lý do ch

U

tài

Toán h c là m t ngành khoa h

t n n t ng cho các ngành khoa h c

khác. Môn toán là môn h c có th giúp h c sinh rèn luy n và phát tri n nh ng
n nh t c

c

p lu

Trong gi i tích toán h c, ch

v p

ng giác là m t ch

ng nhi u ki n th c mang tính tr

: các khái ni m v

ch a
ng

ng giác, các hàm s
gi

i h c sinh c n rèn luy n

bi

c

ng cùng v

t ng h p, khái quát hóa, tr

c bi

ng giác n
tr

ng giác

i tích

11 ti p n

H c k 2 l p 10, chi m m t t tr
ng ki n th c khá l n cùng v i nhi u công th c và các d ng bài t p
c n m v ng lý thuy t và v n d ng làm bài t

th c s r

ng g p không ít lung túng, sai sót khi gi i bài t p.

này không

do tính

phong phú

chính

khi các giáo viên
sinh

D a vào

nh ng lý do trên cùng v i s
nh ch

ng tìm l i gi

bài

này mà còn do
phân

và

i m i giáo d c trong nh

tài nghiên c

Rèn luy n k

nh

ng giác
nc u

Xây d ng h th ng bài t
rèn luy n k

công

bài

g

II. M

i v i h c sinh

ng tìm l i gi

ng giác nh m giúp h c sinh THPT
ng giác.


III.

ng và khách th nghiên c u
a.

ng nghiên c u

Nghiên c u cách xây d ng bài t
THPT rèn luy n k

ng giác nh m giúp h c sinh

ng tìm l i gi

ng giác .

b. Khách th nghiên c u
H th ng bài t

ng giác.

IV. Gi thuy t nghiên c u
N u xây d

c m t h th ng bài t

phân hóa khi d y h c

l

ng giác có tính ch t

ng THPT thì s góp ph n nâng cao ch

h c và phát huy tính tích c c, ch

ng d y

ng và sáng t o trong vi c gi i bài t

ng giác cho t ng h c sinh.
V. Nhi m v nghiên c u
Nghiên c u v v

xây d ng h th ng bài t p

giúp h c sinh THPT rèn luy n k

ng giác nh m

ng tìm l i gi

giác

ng

p 11.

VI.

u
u tài li

tài.

VII. Ph m vi nghiên c u
T th

n tháng 05/2017.

VIII.
-

a lu
V m t lý lu n: Khóa lu n t ng h p các ki n th c v ch

ng giác .
-

V m t th c ti n: Khóa lu

tài tham kh o cho giáo viên và h c sinh trong

gi ng d y và h c t p v ch

ng giác .

PH N N I DUNG: g
1: KI N TH C CHU N B .
2: XÂY D NG H TH NG BÀI T

NG GIÁC.


N TH C CHU N B
1.1. M t s công th

ng giác

Trong ph n này, chúng tôi ch trình bày công th c mà không ch ng minh. Các
ch ng minh xem trong [1].
V

u ki n bi u th c th

1.1.1. Các h th

n

sin
;
cos

tan

1 tan 2

cos
sin

cot

1
; 1 cot 2
2
cos

1
sin 2

1.1.2. Công th c c ng
sin(

) sin .cos

cos .sin

sin(

) sin .cos

cos .sin

cos(

)

cos .cos

sin .sin

cos(

)

cos .cos

sin .sin

tan(

)

tan(

tan
1 tan
tan
)
1 tan

tan
tan
tan
tan

1.1.3. Công th

sin 2

2sin .cos

cos2

cos 2
sin 2
2 tan

1 tan 2

tan2

2cos 2

1 1 2sin 2


1.1.4. Công th c nhân ba

sin 3

4sin 3

3sin
4cos3

cos 3

3cos

1.1.5. Công th c h b c

sin 2

1 cos 2
2

1.1.6. Công th c bi

cos 2

1 cos 2
1 cos 2

tan 2

i tích thành t ng

1
cos(
2
1
cos(
2
1
sin (
2

cos cos
sin sin
sin cos

1.1.7. Công th c bi

1.2. Các hàm s

1 cos 2
2

) cos(

)

) cos(

)

) sin (

)

i t ng thành tích

sin

sin

2sin

sin

sin

2cos

cos

cos

cos

cos

cos

2

2cos
2sin

sin

2
2
2

cos
sin

2
2
2
2

ng giác

1.2.1. Hàm s tu n hoàn
Hàm s

f ( x) xác

sao cho v i m i

nh trên t p h p

g i là tu n hoàn n u t n t i m t s

ta có

( x T ) D và f ( x T )

f ( x ).


1.2.2. Hàm s y = sinx và y = cosx
Hàm s y = sinx
nh: D

T

Hàm s y = cosx

.

nh: D

T

.

T p giá tr :

T p giá tr :

Là hàm s l .

Là hàm s ch n.

Là hàm s tu n hoàn v i chu k

Là hàm s tu n hoàn v i chu k

ng bi n trên m i kho ng

ng bi n trên m i kho ng

2

k2 ;

2

k2

,k

.

Ngh ch bi n trên m i kho ng
Ngh ch bi n trên m i kho ng

2

k2 ;

3
2

k2

,k

th hàm s nh n g c t

.

k2 ;

làm

i x ng.

,k

.

th hàm s nh n tr c tung làm
tr

Hình 1.1.

k2

th hàm s

i x ng.

y

sin x.


Hình 1.2.

th hàm s

y cos x.

1.2.3. Hàm s y = tanx và y = cotx
Hàm s y = tanx
T

nh: D

\

Hàm s y = cotx

k ,k

2

.

T

nh:

T p giá tr :
T p giá tr :

.

.
Là hàm s l .

Là hàm s l .
Là hàm s tu n hoàn v i chu k
Là hàm s tu n hoàn v i chu k
Ngh ch bi n trên m i kho ng
ng bi n trên m i kho ng

k ;
2

k ;

2

k

,k

th hàm s nh n g c t
i x ng và nh n m

k

c n.

2

k ,k

làm tâm

ng th ng

làm m

.

.
th hàm s nh n g c t
i x ng và nh n m
làm m

x

,k

ng ti m

làm tâm

ng th ng
ng ti m c n.


Hình 1.3.

th hàm s

y

tan x.

Hình 1.4.

th hàm s

y

cot x.

1.3. Cách th c xây d ng h th ng bài t
-

M

ng h th ng bài t p khoa h c, l y rèn luy n k

tìm l i gi
-

ng

ng giác cho HS làm tr ng tâm.

Ki n th c: H th ng ki n th c v

ng Giác

i s 10 và 11.
-

ng:
Xây d ng h th ng bài t p t lu n và tr c nghi m.
H th ng bài t p t lu
Ví d m

u

Ví d t ng quát

Bài t p t rèn luy n
+ Ví d m

c xây d

:
Ví d minh h a

Ví d nâng cao

Bài t p t ng h p.

u có m

gi i t ng quát cho t ng d

ng ti p c n giúp HS xây d ng cách
ng giác.

+ Ví d minh h a v i bài t p có m

n (6 thang nh n th c c a

giúp HS c ng c , rèn luy n và nâng cao k
+ Ví d nâng cao giúp HS nâng cao kh

i PTLG.

ng phân tích, t ng h

.

+ Bài t p t rèn luy n giúp HS rèn luy n k
+ Bài t p t ng h p giúp HS phân bi

i PT và tinh th n t h c.

c các d ng c a PTLG.

Trong các ví d bao g m 2 ph
chi ti

ng tìm l i gi i và l i gi i
ng tìm l i gi i bao g m:

m c a PT, các câu h i g

d nd

m t cách t nhiên nh t. Nh ng câu h i hay g
cho HS gi i quy t và t

t ra s là nh ng v

n cách gi i.

xu t cách gi i: D a vào nh

xu t cách gi
th ng ki n th c và h th

n cách gi i PT

xu t m t cách gi i h p lý.

d

c sinh d dàng h
i.


XÂY D NG H TH NG BÀI T P
NG GIÁC

2.1.

N (PTLGCB)
2.1.1. Nh c l i ki n th c

sin x

a

nghi m

x
x

k2
k2

v i

Công th c

arcsin a ;

(k

x
x

),

;

2

2

,

x

b

0

k 360

b0

x

0

k 3600

(k

).

0;

,

k 3600

b0

x

k 3600

(k

)

v i

v i

arcsin a ; bo

sin u

T ng quát

),

ho c

x 1800 b0

bo

(k

arccos a ;

v i

ho c

nghi m

k2
k2

u
u

90o ;90o .

sin v
v k2
v k2

(k

).

bo

arccos a ; bo
cos u

cos v

u
u

v k2
v k2

0o ;180o

(k

).


x

k

(k

)
x

v i
Công th c

arctan a ;

ho c x b0

nghi m

;

2

k1800 (k

2

,

)

k

(k

v i

arccot a ;

ho c x

b0

)
0;

k1800 (k

,

)

v i
v i

bo

arctan a ; bo

90o ;90o

cos u 0 (hay cos v
u v k (k

)

T ng quát

bo

arccot a ; bo

0)

0o ;180o

sin u 0 (hay sin v
u v k (k
)

.

.
2.1.2.

Các ví d minh h a

Ví d 2.1.2.1: Gi

2
2

a )sin x
c)sin 2 x

3

1
3

b)sin2x
1
d ) sin 2 x
2

2
2

3
cos 2 x
2

2
2

ng tìm l i gi i
-

câu a,b: PT có d ng PTLGCB, ta áp d ng công th

-

câu c: ? PT có d ng nào?
PTLGCB (hàm sin có góc là m t bi u th c theo x) (gi i

-

cos

câu d: ? Nh n xét h s

3

1
và sin
2
3

3
.
2

gi i.

a).

c sinx và cosx?
bài

sin(a b)

0)

2

2

c).


Bài gi i

a)sin x

2
2

x
sin x sin

4

x

V y t p nghi m c

b)sin2x

S

2x

1
3

2x

3
cos 2 x
2

k2

4

x
x

3
4

sin 2 x

3

S
2
2

sin 2 x.cos

3

x

k ;

13
12

3

V y t p nghi m c

S

3

12

sin

k ;

4
5
12

x
k k

)

1
1

arcsin
k k
2
3

(k

k k

x
sin 2 x

.

7
k
24
13
k
12

cos 2 x.sin

)

k2

1
1
arcsin

k
2
3
(k
1
1
arcsin
k
2 2
3

4

7
24

(k

k2 k

1
1
arcsin
k ;
2
3
2

sin

k2

4
3
4

x

x

V y t p nghi m c

1
d ) sin 2 x
2

x

k2 ;

1
k2
3
1
arcsin
k2
3

S

2
2

3

4

arcsin

V y t p nghi m c

c)sin 2 x

k2

4

)

.

2
2
12
5
12

k
(k
k

.

)

.


Nh n xét: Trong VD
xu

d

ng gi

câu a,b

câu c,d là s phân tích và t ng h p các ki n th
xu

ng gi i.

Ví d 2.1.2.2: Gi

a)cos 2 x
c) t an2x

5

cos

tan x

b)cos3x sin

5

d )cot 3x

4

10

tan

2
5

ng tìm l i gi i
-

câu a: PT có d ng
V n d ng công th

-

câu b: VT ch a hàm cos và VP ch a hàm sin .
i sin thành cos

Bi
-

gi i.

d

câu c và câu d, gi

câu a.

câu a và b.
Bài gi i

a)cos 2 x

cos

5

x
5

x

k

5
k

V y t p nghi m c

(k

S

)

5

k ;k k
2
2
k
15
3
2
2
k
15
3

x
b) cos3x

sin

10

V y t p nghi m c

cos3x

cos

2

10

S

x

2
15

k

2
2
;
3 15

k

(k

2
k
3

)

t


cos x
c) t an2x

tan x

4

2x

V

x

0

4
4

x
x

k

k

4

(k

)

k

4

m.

d )cot 3 x

2
tan
5

cot 3 x cot

sin 3 x

2
5

2

3x
x

V y t p nghi m c

S

k

30

k

10
30

3

0

k

k

3

(k
(k

)
)

.

Ví d 2.1.2.3: Gi

a)cos x 150

cos 45o

b)sin 2 x cos 2 ( x 45o )
c)cos( x 300 ) 2cos 2 150 1
ng tìm l i gi i
-

câu a: PT có d ng
Bi

-

.
d ng

.
ng giác b c 2 .

câu b: c hai v c
V n d ng công th c h b

-

d ng

(cùng góc).

câu c: PT có hàm cos b c 2 và b c 1 .
câu b.

Nh n xét: B
th c h b c
trên.

m PT và t ng h p các ki n th c liên quan (công
quy v

c. T

ng gi i VD


Bài gi i

cos 45o

a)cos x 150

cos( x 150 ) cos1350
x 150

1350

k 3600

x 150

1350

x 1500

k 3600

1200

x

(k

k 3600

(k

k 3600

)

)

V y t p nghi m c

S

150o

k 360o ; 120o

k 360o k

cos 2 ( x 30o )

b) sin 2 x

1 cos 2 x 1 cos(2 x 60o )
2
2
o
cos(2 x 60 )
cos 2 x
cos(2 x 60o )
2 x 60o

180o

2 x 60o
30o

x

cos(180o

2 x)

2 x k 360o

180o

2 x k 360o

k 90o (k

(k

)

)

V y t p nghi m c

c) cos( x 300 ) 2cos 2 150
cos( x 300 ) cos300

S

30o

S

120o

k 90o k

1
0

cos( x 300 ) cos1500

x 1200
x

1800

k 3600
k 3600

V y t p nghi m c

(k

)

k 360o ; 180o

k 360o k

.


2.1.3 Bài t p ng d ng
Ví d 2.1.3.1: Tìm t

a) y

1
sin x

u ki

nh c

nh c a các hàm s sau:

1
cos x

1 cos x
2sin x
2

b) y

c) y

tan x
1 tan x

ng tìm l i gi i
- Câu a, b, c: hàm s

nh khi m u th c khác 0.

V n d ng ki n th c gi

gi i.
Bài gi i

a) y

Hàm s

V yt

b) y
Hàm s

1
sin x

1
cos x
x

sin x 0
nh khi:
cos x 0

x

nh c a hàm s : D

R\

2

k2

(k1 , k2

k1 k1

2

)

\ k2 k2

.

1 cos x
2sin x
2
nh khi: 2sin x

2

x
x

0

2
2

sin x

V yt

k1

4
5
4

nh c a hàm s : D

sin

4

k1 2
(k1 , k2

)

k2 2

R\

4

k1 2 k1

\

5
4

k2 2 k2

.


tan x
1 tan x

c) y

cos x
nh khi:
tan x

Hàm s

V yt

x

0
1

nh c a hàm s : D

2.1.4.

x

R\

k1

2

(k1 , k2
k2

4

k1 , k1

2

)

\

4

.

k2 , k 2

Bài t p nâng cao

Ví d 2.1.4.2: Gi

a)cos 2 2 x sin 2 ( x

3

b)sin 4 x cos 4 x

)

5
8

ng tìm l i gi i
-

u có b c 2.

câu a: 2 v c

V n d ng công th c h b
-

bi

i PT v d

câu b: VT PT có các hàm sin và cos
V n công th

h b

v d

a) .

a trên khai tri n nào?

ng th c s 1.
Bài gi i

a)cos 2 2 x sin 2 x

3

cos 4 x
x
x

V y t p nghi m c

cos
k

18

3

2x

3

(k

)

k

6

S

.

d ng b c b n.

? Ngoài ra, ta có th h b c VT PT
Khai tri n h

n

18

k

3

;

6

k k

5
(1)
8

b)sin 4 x cos 4 x
C1: PT (1)

1 cos 2 x
2
1
cos 4 x
2
x

k

6

x

2
k

6

2

1 cos 2 x
2

(k

5
8

)

2

V y t p nghi m c

C 2 : PT (1)

2

S

6

k

k

6

2

k

.

k

.

1
2

cos 4 x
k

6

x

;

5
8

(sin 2 x cos 2 x) 2 2sin 2 x.cos 2 x

x

2

6

2
k

(k

)

2

V y t p nghi m c

S

6

k

2

;

k

6

2

Ví d 2.1.3.3: Gi

1

3

a)cos x cos 2 x sin x sin2x

b)sin x cos x

c)2sin 3x.sin x cos 2 x 1

d )sin x.cos x.cos3x sin3x.cos 2 x sin x 0

ng tìm l i gi i
-

câu a: ? Hai v PT có d ng công th c nào?

2


và sin A sin B .

VT và VP c a PT có d ng

Áp d ng công th c t ng thành tích tìm nhân t chung.
-

câu b: ? Nh n xét gì v h s
VP có sin

1
;cos
2

6

6

VP?

3
2
câu a.

-

câu c: ? Nh n xét gì v cung trong tích này ?
Ta th y 3x

x = 2x.

V n d ng công th c tích thành t ng ta tri t tiêu cos2x.
-

ng giác (có cung x và 3x).

câu d: VT có hai h ng t là tích c a
V n d ng công th

câu c.
Bài gi i

a) cos x cos 2 x
cos

sin x s in2x

3x
x
cos
sin
2
2

x
2

3x
0 (1)
2
x
x
cos
sin
(2)
2
2
cos

PT (1)

PT (2)

x

sin

3
x
2

V y t p nghi m c

k

2
3

2

(k

sin

)
x
2
x
2

x
2

S

x
k2
2
x
k2
2

2
2
3

k

2
;
3 2

x

k2 k

k2

2

.

(k

)


1

b)sin x cos x
sin x sin
2cos

3
2
cos x cos

6

6

x
x
.sin
2 12
2 12

2sin

x
x
. cos
2 12
2 12

sin
sin

x
2 12

0 (1)

cos

x
2 12

sin

PT (1)

x

PT (2)

k2

6

cos

x
2 12

(k

x
2 12

sin

cos

x
x
.sin
2 12
2 12

x
2 12

0

(2)

)

x
2

x
2 12

x
2 12

7
12

2
3

x

S

V y t p nghi m c

x
2

2
3

7
k2
12
x 7
k2
2 12

k2

k2 ;

(k

k2 k

6

c)2sin 3x.sin x cos 2 x 1
cos 2 x cos 4 x cos 2 x 1
cos 4 x
1
x

4

k

2

(k

V y t p nghi m c

)
S

4

k

2

k

.

(k

)
.

)


d )sin x.cos x.cos3 x sin3x.cos 2 x sin x 0
1
1
cos x.(sin 4 x sin 2 x)
cos x.(sin 4 x+sin2x) sin x 0
2
2
1
cos x.( 2sin 2 x) sin x 0
2
sin x.(1 2cos 2 x) 0
sin x.cos 2 x 0
x

sin x 0

cos 2 x 0

x

k
4

k

V y t p nghi m c
2.1.5.

1/ sin

3 / sin 2 x

)

2
S

k

4

2

;k k

Bài t p t rèn luy n: Gi

x

2 / cos x

(k

5
18

1
,0
2

1
2

S

2
5

S
x

S

4 / cos3x sin 2 x 0

S

x
x
5 / 4sin .cos .cos x 1
2
2

S

6 / 3 cos x sin x 2cos 2 x

S

7 / cos(2 x 100 ) sin(800 2 x) 1 0

S

11
6
18

12

k10 ;

29
6

k10 k

arccos

2
k2 k
5

k2 ;

k

2
k
5

k

2
k
3

10

k k

4

6
55o

k2 ;

18

k180o ; 65o

k180o k


8 / cot

2x 1
6

tan

1
3

9 / tan(2 x 30o ) tan10o

3
2

S

0

x
10 / cot x sin x(1 tan x.tan )
2

2.2.

20o

S
4

S

C NH

12

3
k3 k
2

k 90o k
k ;

5
12

k k

I V I M T HÀM S

NG GIÁC

2.2.1. Nh c l i ki n th c

i v i hàm s

c nh t

ng:

at b 0 (2.2)
a, b là các h ng s (a

0) và t là m t trong các hàm s

ng giác.

2.2.2. Các ví d minh h a
Ví d 2.2.2.1: Gi

a)sin x

6

3
2

b)2sin x

d ) 3 tan x 45o

c)2cos 2 x 3 0
ng tìm l i gi i
-

câu a: PT có d ng PTLGCB.

-

câu b, c, d: PT có d ng PT (2.2).
Bi

iv d

câu a (PTLGCB).
Bài gi i

a)sin x

6

3
2

6

3

0

3 0


x

sin x

sin

6

3

6

x

k2

3

6

S

3

6

sin x

0

x

6

x

V

k2 ;

2

k2
(k
k2
.

k2 k

2

)

3
2
k2

3

6

x

x

k2

3

5
6

S
cos 2 x

6

x

6

6

V y t p nghi m c

c)2cos 2 x 3 0

k2

3

V y t p nghi m c

b)2sin x

x

k2 ;

2

2
5
6

k2
(k

)

k2

k2 k

3
2

m.

d ) 3 tan x 45o

3 0

tan x 45o
x 45o

60o

x 105o
V y t p nghi m c

S

3
tan 60o
3
k180o (k
)

k180o (k

105o

)

k180o k

.

Ví d 2.2.2.2: Gi

a)2sin x.cos x 1 0

b)8sin x.cos x.cos 2 x

ng tìm l i gi i
-

câu a: VT có h ng t ch a 2sinx.cosx.
V n d ng công th c ta có th bi

-

i h ng t này v sin2x.

câu b: VT có h ng t ch a sinx.cosx.cos2x.

2

0