Khai thác một số chuyên đề Toán tiểu học nhằm nâng cao chất lượng dạy học

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như Lê nin đã từng nói: "Học, Học nữa, Học mãi". Học tập là một quá
trình lâu dài và gắn liền với mỗi con người. Khi sinh ra mỗi người đã được
người mẹ dạy dỗ qua những bài học đầu đời. Lớn dần lên theo năm tháng, chúng
ta được đến trường học tập. Và trong quãng thời gian học tập, cấp tiểu học là
một cấp học rất quan trọng. Trong hệ thống giáo dục quốc dân, giáo dục tiểu học
được xem là nền tảng. Cũng như xây một ngôi nhà, cái nền có vững chắc thì
ngôi nhà mới đứng vững được. Cái nền không cứng, chắp vá ngôi nhà ắt xộc
xệch. Trẻ em ở lứa tuổi tiểu học được Bác Hồ ví như búp trên cành cần được
nâng niu, dạy dỗ một cách đặc biệt tạo mọi điều kiện cho các em phát triển. Ở
trường tiểu học các em được học các môn như: Toán, Tiếng Việt, Tự nhiên xã
hội, Thể dục, Âm nhạc, Đạo đức,.. Mỗi một môn học có một vị trí và ý nghĩa
riêng. Cùng với Tiếng Việt, Khoa học, Tự nhiên- Xã hội,... môn Toán trang bị
cho học sinh những kiến thức cơ bản của bậc học, góp phần bồi dưỡng phẩm
chất, nhân cách toàn diện của con người. Thông qua việc học Toán, học sinh
nhìn nhận thế giới xung quanh qua tư duy logic chặt chẽ của toán học, từ đó các
em có những ứng dụng vào thực tế cuộc sống. Để thực hiện được mục tiêu này
đòi hỏi hoạt động tổ chức, hướng dẫn của giáo viên phải hướng tới hoạt động tự
chiếm lĩnh tri thức và hình thành kĩ năng học tập của học sinh.
Dạy học ở tiểu học rất quan trọng và chịu nhiều vất vả. Người giáo viên
tiểu học không chỉ dạy kiến thức mà con đóng vai trò là người mẹ thứ hai dạy dỗ
các em mọi điều để trở thành một con người tốt. Trong dạy học giáo viên không
chỉ đơn giản là đem kiến thức sẵn có đến cho học trò, mà đó còn là việc tìm và
khơi dậy trong lòng học trò những khả năng tiềm ẩn vốn có trong tâm hồn các
em, đúng như lời của Galile vẫn nói: "Chúng ta không thể dạy bảo cho ai bất cứ
điều gì, chúng ta chỉ có thể giúp họ phát hiện ra những gì còn tiềm ẩn trong họ”.
Và có lẽ, sẽ chẳng có ai tự nhiên trở thành thiên tài, sẽ chẳng có ai tự nhiên trở
thành bậc vĩ nhân và cũng sẽ chẳng có ai tự nhiên trở nên tài giỏi nếu mỗi người
1

không biết khai thác chính khả năng tiềm ẩn của mình hoặc nhờ một động lực
nào đó thúc đẩy khả năng tiềm ẩn đó bùng phát".Cũng chính vì vậy nhiệm vụ
của những thầy cô giáo đứng trên bục giảng ngày trở nên vất vả, gian nan. Thầy
giáo, cô giáo là những người lái đò, để đưa con đò của mình chở đầy ắt những
mần xanh cập bến tương lai quả là một công việc vô vàn khó khăn. Để làm được
điều đó Người giáo viên phải không ngừng cố gắng học hỏi, bồi dưỡng tri thức,
nâng cao kiến thức của bản thân mình. Đặc biệt người giáo viên phải tiếp thu,
ứng dụng các thành tựu khoa học, áp dụng những sáng kiến khoa học, những
phương pháp dạy học hiệu quả, biết sử dụng đồ dùng dạy học vào trong quá
trình dạy học. Chúng ta từng nghe câu nói: "Cây không thể sống nếu cây thiếu
nước, trẻ không thể thành người nếu không được dạy dỗ".
Trong thực tế hiện nay, các phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy
học được đổi mới phù hợp với yêu cầu phát triển của nền giáo dục.
Trong chương trình tiểu học, môn Toán là một trong những môn chính có
vai trò rất quan trọng. Môn Toán ở chương trình Tiểu học góp phần bước đầu
phát triển tư duy, khả năng suy luận hợp lý và diễn đạt đúng (nói và viết) cách
phát hiện và giải quyết vấn đề đơn giải, cần thiết trong cuộc sống, kích thích trí
tưởng tượng, gây hứng thú với việc học tập, góp phần hình thành bước đầu
phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học, chủ động, linh hoạt,
sáng tạo.
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, thế kỉ của sự phát triển tri thức khoa
học. Việc làm chủ tri thức đối với một người giáo viên Tiểu học là một yếu tố
quan trọng, nhằm giáo dục học sinh phát triển toàn diện. Dạy và học môn Toán
chính là việc dạy và học theo các chuyên đề được sắp xếp, biên soạn thích hợp
theo yêu cầu của mỗi lớp. Đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, việc
vận dụng và khai thác chuyên đề làm giúp học sinh khai thác tốt các vấn đề là
một việc làm quan trọng nhằm đem lại kết quả cao. Xuất phát từ mục đích của
việc giáo dục học sinh tiểu học và phương hướng phát triển của nền giáo dục
Việt Nam nhằm nâng cao chất lượng dạy học chúng tôi mạnh dạn tìm hiểu

nghiên cứu đề tài: “Khai thác một số chuyên đề Toán tiểu học nhằm nâng cao
2


chất lượng dạy học” giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ động,
sáng tạo trong việc nhận thức, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học
môn Toán cho học sinh
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài tìm hiểu thực trạng dạy học toán ở tiểu học. Chúng tôi tập trung tìm
hiểu về cách nhận thức của giáo viên và học sinh về các dạng toán có trong
chương trình học tiểu học. Hiệu quả vận dụng vào thực tế giảng dạy như thế nào
để từ đó thấy được vai trò của môn học trong thực tế đời sống.
Bên cạnh đó đề tài còn thống kê các dạng bài tập cơ bản có trong chương
trình toán Tiểu học, các bài toán cụ thể và cách giải cho từng bài.
Qua đề tài này tôi muốn giúp học sinh và giáo viên hiểu và hệ thống lại
các dạng toán, khai thác các chuyên đề trong môn toán từ đó nâng cao được chất
lượng dạy và học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.
2. Tìm hiểu, khai thác các chuyên đề trong môn Toán Tiểu học.
4. Đối tượng nghiên cứu
Một số chuyên đề trong môn Toán ở tiểu học. Nội dung kiến thức trong
chương trình môn toán của tiểu học.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu việc vận dụng các chuyên đề có trong chương
trình Toán tiểu học, các dạng bài toán cơ bản và nâng cao và cách các giải một
số bài toán có liên quan.
6. Phương pháp nghiên cứu
a. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
Đọc, phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan đến môn học: SGK Toán 1,

2, 3, 4, 5, sách tham khảo, tập san, tạp chí, tài liệu điện tử, tài liệu trực tuyến.
b. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp quan sát:
3


Phương pháp này được sử dụng để thu thập các thông tin về sự hứng thú
học tập của học sinh.
- Phương pháp điều tra:
Phương pháp này được sử dụng để thu thập ý kiến của các đối tượng học
sinh thông qua việc trưng cầu ý kiến. Các nội dung trưng cầu ý kiến là các vấn
đề liên quan đến thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
- Phương pháp thống kê:
Phương pháp này được sử dụng để xử lý các số liệu đã thu thập được.
7. Giả thiết khoa học
Nếu việc tập hợp, thống kê, vận dụng và khai thác các chuyên đề về toán
tiểu học thành công sẽ giúp ích cho cả giáo viên và học sinh trong công tác dạy,
học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. Học sinh sẽ thấy được các kiến thức về
toán học dễ hiểu hơn, tích cực trọng việc giải các bài toán. Đối với giáo viên,
đây sẽ là tài liệu hỗ trợ tích cực trong quá trình dạy học, từ các dạng bài để phát
triển thêm nhiều đề hay hơn cho học sinh.
8. Đóng góp của đề tài
Qua việc nghiên cứu đề tài thành công là công cụ vững chắc cho chúng tôi
cũng như đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn giảng dạy cũng như công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi. Đồng thời nâng cao trình độ và phương pháp giảng dạy học
sinh cho bản thân, qua đó nâng cao được chất lượng dạy học
9. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận gồm có 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.

Chương 2: Khai thác vận dụng một số chuyên đề trong môn Toán
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Cơ sở lý luận của đề tài
1.1.1. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học
1.1.1.1. Đặc điểm về mặt cơ thể
- Hệ xương còn nhiều mô sụn, xương sống, xương hông, xương chân,
xương tay đang trong thời kỳ phát triển nên dễ bị cong vẹo, gẫy dập,.. Vì thế mà
trong các hoạt động vui chơi của các em, cha mẹ và thầy cô cần phải chú ý quan
tâm, hướng các em tới hoạt động vui chơi lành mạnh, an toàn.
- Hệ cơ đang trong thời kỳ phát triển mạnh nên các em rất thích các trò
chơi vận động như chạy nhảy, nô đùa. Vì vậy các nhà giáo dục nên đưa các em
vào các trò chơi từ đơn giản đến phức tạp và đảm bảo sự an toàn cho trẻ.
- Hệ thần kinh cấp cao đang hoàn thiện về mặt chức năng, do vậy tư duy
các em chuyển dần tò trực quan hành động sang tư duy hình tượng, tư duy trừu
tượng. Do đó, các em rất hứng thú với các trò chơi trí tuệ với các câu hỏi nhằm
phát triển tư duy của các em.
1.1.1.2. Đặc điểm về hoạt động môi trường sống
Hoạt động của học sinh tiểu học: Nếu như ở bậc mầm non hoạt động chủ
đạo của trẻ là vui chơi thì đến tuổi tiểu học hoạt động chủ đạo của trẻ đã có sự
thay đổi về chất, chuyển từ hoạt động vui chơi sang hoạt động học tập.
* Những thay đổi kèm theo:
- Trong gia đình: Các em luôn cố gắng là một thành viên tích cực, có thể
tham gia các công việc trong gia đình. Điều này thể hiện rõ nhất trong các gia
đình neo đơn, hoàn cảnh, các vùng kinh tế đặc biệt khó khăn,... các em phải

tham gia lao động sản xuất cùng gia đình từ rất nhỏ.
- Trong nhà trường: Do nội dung, tích chất, mục đích của các môn học
đều thay đổi so với bậc mầm non đã kéo theo sự thay đổi ở các em về phương
pháp, hình thức, thái độ học tập. Các em đã bắt đầu tập trung chú ý và có ý thức
học tập trung tốt.
5


- Ngoài xã hội: Các em đã tham gia vào một số các hoạt động xã hội
mang tính tập thể. Đặc biệt là các em muốn thừa nhận mình là người lớn, muốn
được nhiều người biết đến mình.
1.1.1.3. Sự phát triển của quá trình nhận thức
- Nhận thức cảm tính:
Các cơ quan cảm xúc: Thị giác, thính giác, khức giác, vị giác, xúc giác
đều phát triển và ưong quá trình hoàn thiện.
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết và mang
tính không ổn định: Ở đầu tuổi tiểu học tri giác thường gắn với hành động trực
quan, đến cuối tiểu học tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các
sự vật hiện tượng màu sắc sặc sỡ, hấp dẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục
đích, có phương hướng rõ ràng.
- Nhận thức lý tính:
Tư duy: Tư duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu thế ở tư duy
trực quan hành động.
Các phẩm chất tư duy chuyển dần từ tính cụ thể sang tư duy trừ tượng
khái quát.
Tưởng tượng: Tưởng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển phong phú
hơn so với trẻ mầm non nhờ có não bộ phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng
dày dạn. Tuy nhiên, tưởng tượng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật
sau:
+ Ở đầu tuổi tiểu học thì hình ảnh tưởng tượng còn đơn giản, chưa bền

vững và dễ thay đổi.
+ Ở cuối tuổi tiểu học, tưởng tượng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện, từ
những hình ảnh cũ trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới, trẻ bắt đầu khả năng
làm thơ, vẽ tranh, làm văn,...
- Ngôn ngữ và sự phát triển nhận thức của học sinh tiểu học:
Hầu hết học sinh tiểu học có ngôn ngữ nói thành thạo. Khi trẻ vào lớp 1
bắt đầu xuất hiện ngôn ngữ viết. Đến lớp 5 thì ngôn ngữ viết đã thành thạo và
bắt đầu hoàn thiện về mặt ngữ pháp, chính tả và ngữ âm. Nhờ có ngôn ngữ phát
6


triển mà trẻ có khả năng tự đọc, tự học, tự nhận thức thế giới xung quanh và tự
khám phá bản thân thông qua kênh thông tin khác nhau.
Ngôn ngữ có vai trò hết sức quan trọng như vậy nên các nhà giáo dục phải
trau dồi vốn ngôn ngữ cho trẻ trong giai đoạn này bằng cách hướng hứng thú
của trẻ vào các loại sách .
- Chú ý và sự phát triển nhận thức của học sinh tiểu học:
Ở đầu tuổi tiểu học chú ý có chủ định của trẻ còn yếu, khả năng kiểm
soát, điều khiển chú ý còn hạn chế. Ở giai đoạn này chú ý không chủ định chiếm
ưu thế hơn chú ý có chủ định. Trẻ lúc này chỉ quan tâm chú ý đến những môn
học, giờ học có đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều tranh ảnh, trò
chơi hoặc có cô giáo xinh đẹp, dịu dàng...
Ở cuối tuổi tiểu học trẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý
của mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế, ở trẻ có sự nỗ lực
về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc lòng một bài thơ, một công thức
toán... Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian,
trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố
gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định.
- Trí nhớ và sự phát triển nhận thức của học sinh tiểu học:
Loại trí nhớ trực quan hình tượng chiếm ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ - lôgic.

Giai đoạn lớp 1, 2 ghi nhớ máy móc phát triển tương đối tốt và chiếm ưu
thế hơn so với ghi nhớ có ý nghĩa. Nhiều học sinh chưa biết tổ chức việc ghi nhớ
có ý nghĩa, chưa biết dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, chưa biết cách khái quát
hóa xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu.
Giai đoạn lớp 4, 5 ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ được tăng cường.
Ghi nhớ chủ định phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ định
còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức độ tích cực tập trung trí tuệ của các
em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lý tình cảm hay hứng thú của
các em.
- Ý chí và sự phát triển nhận thức của học sinh tiểu học:
7


Ở đầu tuổi tiểu học hành vi mà trẻ thực hiện còn phụ thuộc nhiều vào yêu
cầu của người lớn. Khi đó sự điều chỉnh ý chí đối với việc thực thi hành vi ở các
em còn yếu. Đặc biệt các em chưa đủ ý chí để thực hiện đến cùng mục đích đã
đề ra nếu gặp khó khăn.
Đến cuối tuổi tiểu học các em đã có khả năng biến yêu cầu của người lớn
thành mục đích hành động của mình, tuy vậy năng lực ý chí còn thiếu bền vững,
chưa thể trở thành nét tính cách của các em. Việc thực hiện hành vi vẫn chủ yếu
phụ thuộc vào hứng thú nhất thời.
1.1.1.4. Sự phát triển tình cảm của học sinh tiểu học
Tình cảm của học sinh tiểu học manh tính cụ thể trực tiếp và luôn gắn liền
với các sự vật hiện tượng sinh động, rực rõ. Lúc này khả năng kiềm chế cảm xúc
của trẻ còn non nớt, trẻ dễ xúc động và cũng có thể nổi giận, biểu hiện cụ thể là
trẻ dễ khóc mà cũng nhanh cười, rất hồn nhiên vui tư.
Vì thế có thể nói tình cảm của trẻ chưa bền vững, dễ thay đổi. So với tuổi
mầm non thì tình cảm của trẻ tiểu học đã "người lớn" hơn rất nhiều.
Trong quá trình hình thành và phát triển tình cảm của học sinh luôn luôn
kèm theo sự phát triển năng khiếu. Trẻ nhi đồng có thể xuất hiện các năng khiếu

như thơ ca, hội họa, kĩ thuật, khoa học... khi đó cần phát hiện và bồi dưỡng kịp
thời cho trẻ sao cho vẫn đảm bảo kết quả học tập mà không làm thui chột năng
khiếu của trẻ.
1.1.1.5. Sự phát triển nhân cách của học sinh tiểu học
Nét tính cách của trẻ đang dần được hình thành, đặc biệt trong môi trường
nhà trường còn mới lạ, trẻ có thể nhút nhát, rụt rè, cũng có thể sôi nổi, mạnh
dạn. Sau 5 năm học, "tính cách học đường" mới dần ổn định và bền vững của
trẻ.
Nhìn chung việc hình thành nhân cách của học sinh tiểu học mang những
đặc điểm cơ bản sau:
Nhân cách của các em lúc này mang tính chỉnh thể và hồn nhiên, trong
quá trình phát trẻ luôn bộc lộ nhận thức, tư tưởng, tình cảm, ý nghĩ của mình
một cách vô tư, hồn nhiên, thật thà và ngay thẳng, nhân cách của các em lúc này
8


còn mang tính tiềm ẩn, những năng lực, tố chất của các em còn chưa được bộc
lộ rõ rệt, nếu có được tác động thích ứng chúng sẽ bộc lộ và phát triển.
1.1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của môn Toán trong chương trình Tiểu học
1.1.2.1 Mục tiêu
Trong nền giáo dục hiện nay mục tiêu giáo dục của bậc học tiểu học đã có
nhiều thay đổi phù hợp với xu hướng của thời đại, theo hướng “Lấy người học
làm trung tâm”. Cũng vì lẽ đó, mục tiêu dạy và học môn Toán cũng phải thay
đổi để phù hợp với xu thế chung của giáo dục. Môn Toán là môn học theo suốt
quá trình học vấn của mỗi người, chương trình học Toán ở trường được xây
dựng theo kiểu đồng tâm mở rộng, kiến thức ngày càng nâng cao, phát triển
chuyên sâu theo từng lớp học. Chương trình môn Toán được xây dựng theo các
chuyên đề phù hợp với sự phát triển tâm sinh lý của học sinh Tiểu học.
Giáo dục môn Toán ở Tiểu học thực hiện những mục tiêu cơ bản sau:
- Nhằm giúp HS có những kiến thức cơ sở ban đầu về số học các số tự

nhiên, các số thập phân, các đại lượng cơ bản và một số yếu tố hình học đơn
giản.
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng thực hành phân tích, đo lường giải bài
toán có nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống.
- Bước đầu hình thành và phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát
hoá, kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú trong học tập môn Toán, phát triển
hợp lý khả năng suy luận và biết diễn đạt đúng (bằng lời, bằng viết) các suy nghĩ
đơn giản, góp phần rèn luyện phương pháp học tập, làm việc khoa học, linh hoạt
sáng tạo.
- Ngoài các mục tiêu trên, cũng như các môn khác ở Tiểu học, môn Toán
góp phần hình thành và rèn luyện các tố chất, các đức tính cần thiết của người
lao động trong xã hội hiện đại.
1.1.2.2. Nhiệm vụ
Môn Toán ở Tiểu học có nhiệm vụ giúp HS:
- Hình thành hệ thống các kiến thức cơ bản, đơn giản có nhiều ứng dụng
trong đời sống về số học các số tự nhiên, các số thập phân bao gồm: cách đọc,
9


viết, so sánh các số tự nhiên, phân số, số thập phân, một số đặc điểm của tập số
tự nhiên, số thập phân.
- Có những hiểu biết ban đầu, thiết thực nhất về các đại lượng cơ bản như:
độ dài, khối lượng, thời gian, diện tích, dung tích, tiền Việt Nam và một số đơn
vị đo thông dụng nhất của chúng. Biết sử dụng các dụng cụ để thực hành đo
lường, biết ước lượng các số đo đơn giản.
- Rèn luyện để nắm chắc các kỹ năng thực hành tính nhẩm, tính viết về
bốn phép tính với các số tự nhiên, số thập phân, số đo đại lượng.
- Biết nhận dạng và bước đầu biết phân biệt một số các hình học thường
gặp. Biết tính chu vi, diện tích, thể tích, biết sử dụng các dụng cụ đơn giản để đo
và vẽ hình.

- Có những hiểu biết ban đầu, sơ giản về dùng chữ thay số, về biểu thức
toán học, về phương trình và bất phương trình đơn giản nhất bằng phương pháp
phù hợp với tiểu học.
- Biết cách giải và cách trình bày bài giải với những bài toán có lời văn.
Nắm chắc, thực hiện đúng quy trình bài toán. Bước đầu biết giải một số bài toán
bằng những cách khác nhau.
- Thông qua những hoạt động học tập toán để phát triển đúng mức một số
khả năng trí tuệ và thao tác tư duy quan trọng như: so sánh, phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá, lập luận có căn cứ, bước đầu làm quen
với những chứng minh đơn giản.
- Hình thành tác phong học tập và làm việc có suy nghĩ, có kế hoạch, có
kiểm tra, có tinh thần hợp tác, độc lập và sáng tạo, có ý trí vượt khó khăn, cẩn
thận, kiên trì, tự tin.
1.1.3. Vị trí của môn Toán trong công tác Bồi dưỡng học sinh Giỏi
1.1.3.1. Thế nào là bồi dưỡng học sinh giỏi toán
Khả năng tiếp thu của từng học sinh luôn có sự khác nhau, trong quá trình
giảng dạy giáo viên có thể phát hiện ra nhiều em có tố chất trong các môn học
nhất định. Từ thực tế đó đã hình thành nên công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Các em học sinh giỏi toán cũng như vậy, đó là nhóm học sinh có các tố chất bẩm
10


sinh, nhanh nhạy về tính toán, tư duy, suy luận logic.... Khi phát hiện ra các tố
chất đó thì công việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán chính là xây dựng các hệ
thống kiến thức cũng như bài tập thực hành phù hợp để rèn luyện và phát triển
khả năng của các em đó.
1.1.3.2. Tầm quan trọng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán trong
chương trình tiểu học
Trong công tác bồi dưỡng học sinh Giỏi, môn Toán có vai trò quan trọng,
giữ vai trò chủ đạo cùng với môn Tiếng Việt. Bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm

nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, hoàn thành mục tiêu: “Nâng cao dân
trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Mục đích cơ bản của việc bồi dưỡng
học sinh giỏi là phát hiện tài năng và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước, phát triển
năng lực học toán cho học sinh và đào tạo đội ngũ học sinh có đủ khả năng tham
gia vào các kì thi học sinh giỏi. Hơn nữa dạy toán khó giúp cho các em mở rộng
và khắc sâu những kiến thức toán đã được học. Từ đó bước đầu tạo cho các em
niềm say mê hứng thú, củng cố niềm tin và năng lực của mình. Thúc đẩy phong
trào dạy tốt - học tốt nhằm đạt hiệu quả giáo dục cao.
Trong chương trình các môn học ở tiểu học, môn toán chiếm số giờ rất
lớn. Cùng với Tiếng Việt, Toán học là môn học có vai trò và vị trí vô cùng quan
trọng ở bậc Tiểu học. Việc nâng cao hiệu quả của dạy và học môn toán là một
yêu cầu mang tính cấp thiết hiện nay và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi. Môn
toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận,
phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải quyết có vấn đề. Nó góp phần phát
triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo và đóng góp vào
việc hình thành các phẩm chất cần thiết, quan trọng của người lao động mới
như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp
và tác phong khoa học.
Trường tiểu học là nơi đầu tiên trẻ em tham gia vào việc học với tư cách
là hoạt động chủ đạo. Nhờ có các nội dung giáo dục toàn diện mà các em có
điều kiện bộc lộ năng khiếu, tài năng. Nếu cha mẹ, bạn bè và đặc biệt là thầy, cô
giáo cảm nhận, phát hiện, nâng đỡ, bồi dưỡng mầm móng năng khiếu, kích thích
11


niềm say mê học tập thì biểu hiện của năng khiếu ngày càng rõ hơn. Năng khiếu
được bồi dưỡng sẽ phát triển và ngược lại năng khiếu không được phát hiện, bồi
dưỡng thì sẽ mất dần. Tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường tiểu học là để
phát huy hết “Khả năng phát triển tiềm tàng” ở trẻ, là tạo nguồn học sinh giỏi
cho các cấp học tiếp theo, thực hiện chiến lược “Bồi dưỡng nhân tài” cho đất

nước. Mặt khác, kết quả học sinh giỏi là một tiêu chí để đánh giá sự phát triển
của một trường tiểu học. Thành tích học sinh giỏi khẳng định uy tín của nhà
trường. Mỗi học sinh là niềm tự hào của cha mẹ, thầy cô và của cả cộng đồng.
1.2.Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Nội dung chương trình môn Toán ở tiểu học
Chương trình toán ở tiểu học gồm có 4 mạch nội dung: Số học, Đại lượng
và đo đại lượng, Hình học, Giải toán có lời văn, xen kẽ các nội dung trên còn
một số yếu tố thống kê.
* Về số học:
- Khái niệm ban đầu về số tự nhiên, số tự nhiên liền trước, số tự nhiên liền
sau, ở giữa 2 số tự nhiên, các số từ 0 đến 9.
- Cách đọc: Ghi số tự nhiên, hệ nghi số thập phân.
- Quan hệ bé hơn, lớn hơn, bằng (=) giữa các số tự nhiên, so sánh các số
tự nhiên, xếp thứ tự các số tự nhiên thành dãy số tự nhiên. Một số đặc điểm của
dãy số tự nhiên (rời rạc, xếp thứ tự tuyến tính, có phần tử đầu, không có phần tử
cuối…)
- Các phép tính: Cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên, ý nghĩa, bảng tính
một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm, tính bằng cách thuận tiện nhất
(lớp 4 – 5) thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có nhiều dấu tính, mối
quan hệ giữa các phép tính ( +, -, x, :).
- Khái niệm ban đầu về phân số (lớp 4) cách đọc, cách viết, so sánh, thực
hành cộng, trừ, nhân, chia trong trường hợp đơn giản.
- Khái niệm ban đầu về số thập phân (lớp 5), cách đọc, cách viết (trên cơ
sở mở rộng, hệ ghi số thập phân). So sánh và sắp xếp thứ tự, cộng, trừ, nhân,
chia các số thập phân (một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm nhân).
12


* Đại lượng – Đo đại lượng.
- Khái niệm ban đầu về các đại lượng thông dụng như:

+ Độ dài, khối lượng, thời gian, diện tích, thể tích, tiền Việt Nam.
+ Chẳng hạn: Lớp 1 học về cm.
Lớp 2 học km, m, dm, cm, mm.
Lớp 3 sử dụng đo thông dụng là km, m.
Lớp 4 bảng đơn vị đo độ dài, khối lượng.
Lớp 5 hoàn thành bảng đơn vị đo độ dài ở 2 dạng: Số tự nhiên, số
thập phân.
- Khái niệm ban đầu về đo đại lượng: Một số đơn vị đo thông dụng nhất,
kí hiệu, quan hệ giữa một số đơn vị đo thông dụng nhất, kí hiệu và quan hệ giữa
một số đơn vị đo và việc chuyển đổi đơn vị đo.
- Thực hành đo đại lượng, giới thiệu dụng cụ đo, thực hành đo.
- Cộng trừ nhân chia các số đo đại lượng cùng loại.
* Yếu tố hình học.
- Các biểu tượng về hình học đơn giản:
+ Điểm, đoạn thẳng, đường thẳng.
+ Đường gấp khúc, tam giác, tứ giác.
+ Hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn.
+ Hình tam giác, hình thang, đường tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập
phương.
- Khái niệm ban đầu về chu vi, diện tích của các hình, cách tính diện tích,
chu vi một số hình:
+ Chu vi, diện tích hình vuông, chữ nhật, hình tam giác (lớp 3).
+ Chu vi, diện tích hình bình hành, hình thoi (lớp 4).
+ Chu vi, diện tích hình thang, hình tam giác, hình tròn, hình chữ nhật,
hình lập phương (lớp 5).
- Cách tính thể tích hình chữ nhật, hình lập phương (lớp 5).
* Giải toán có lời văn
- Giải các bài toán đơn (1 bước tính) bằng phép tính +, -, x, :
13

+ Những bài toán thể hiện ý nghĩa của phép tính
Ví dụ: Có bộ phận a, bộ phận b. Toàn thể c = a + b
+ Những bài toán thể hiện quan hệ giữa các thành phần và kết quả tính
chẳng hạn: a + x = b, a : x = b…
+ Những bài toán mở rộng thêm ý nghĩa mới của phép tính (loại toán tìm
số lớn số bé).
+ Những bài toán liên quan đến phân số, tỉ số:
Loại tìm một phần mấy của một số đó.
Loại tìm tỉ số của hai số…
- Những bài toán đơn được giải theo công thức: loại tìm chu vi, diện tích,
vận tốc, quãng đường.
- Giải các bài toán hợp:
+ Toán hợp giải bằng hai phép tính.
+ Toán liên quan rút về đơn vị.
+ Toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
+ Toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
+ Toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
+ Bài toán trắc nghiệm liên quan đến biểu đồ, bản đồ, tỉ lệ bản đồ.
+ Bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
1.2.2.

Thực trạng dạy và học môn toán ở trường tiểu học
* Điều tra về thực trạng dạy học số học ở Tiểu học hiện nay
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã khảo sát kết quả học tập

môn Toán lớp 4A - trường Tiểu học Yên Hóa – huyện Minh Hóa – Tỉnh Quảng
Bình cuối học kỳ I năm học 2016 – 2017 và thu được như sau:

14

Xếp loại

Số lượng Học sinh

Tỉ lệ (%)

Giỏi

8

36.3

Khá

10

45.4

Trung bình

3

13.7

Yếu

1

4.6

Tổng số

22

100

Từ kết quả khảo sát kết quả học tập của học sinh và tìm hiểu công tác dạy
học chúng tôi đưa ra những nhận xét:
Về phía HS:
- Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy
nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, nhất là chưa đồng đều.
- Có quá nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không ham
thích học Toán. Khả năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chưa linh động trong
việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn
chế.
Về phía GV:
- Trong những năm gần đây hầu hết GV đã chú trọng đổi mới phương
pháp dạy học Toán nhưng chưa đi vào thực chất và chưa có chiều sâu, chưa triệt
để, chỉ mới dừng lại ở việc cải tiến phương pháp dạy học truyền thống bằng
cách sử dụng các câu hỏi tái hiện, các câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát
tình huống thực tế.
- Trong quá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối
lượng kiến thức nhưng còn ít chú trọng đến cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá
và lĩnh hội kiến thức.
- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều GV chuẩn bị bài rất công
phu, bên cạnh đó vẫn còn một số GV chuẩn bị nội dung và bài giảng chưa đúng
với trọng tâm, chưa thật chu đáo. Trong qua trình giảng dạy chưa khơi dậy được
niềm say mê và hứng thú học tập. Chưa góp phần tích cực vào việc xác lập động

cơ học tập đúng đắn cho học sinh.
15


CHƯƠNG 2: KHAI THÁC, VẬN DỤNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TRONG
MÔN TOÁN
2.1. Bài toán về số và chữ số
2.1.1. Những kiến thức cần lưu ý
- Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết một số tự nhiên ta
sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên
khác 0.
- Phân tích cấu tạo một số tự nhiên:
ab = 10 × a + b
abc = a × 100 + b × 10 + c = ab × 10 + c = a × 100 + bc
abcd = a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d = abc × 10 + d = a × 1000 + bcd
- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên:
+ Trong hai số tự nhiên, số nào có số chữ số nhiều hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai số có số chữ số bằng nhau thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ
trái sang phải lớn sẽ lớn hơn.
- Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn.
- Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9 là số lẻ.
- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
- Hai số tự nhiên hơn (kém) nhau một đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
- Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số chẵn liên tiếp.
- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
- Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp.
2.1.2. Một số dạng toán điển hình
2.1.2.1. Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Ví dụ:

Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3.
a, Viết được bao nhiên số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?
b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn
chữ số đã cho?
16


c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau viết được
từ bốn chữ số đã cho?
Giải
Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn
vị như sau:
- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thỏa mãn điều kiện của đề bài
(vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số
hàng nghìn đã chọn).
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại khác chữ số
hàng nghìn và hàng trăm).
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác chữ số
hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục).
Vậy số các số viết được là:
3 × 3 × 2 × 1 = 18
b, Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có
chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong các chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng
nghìn của số phải tìm là 3.
- Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba chữ số còn lại. Vậy chữ số
hàng trăm bằng 2.
- Chữ số hàng chục phải là số lớn nhất trong các chữ số còn lại. Vậy chữ
số hàng chục là 1.
Vậy số phải tìm là: 3210.

Tương tự như trên ta tìm được số bé nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài
là: 1023.
c, Số lẻ lớn nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn
là số lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm
bằng 3.
- Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 3 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn
vị phải bằng 1.
17


- Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong hai số còn lại nên chữ số
hàng trăm bằng 2.
Vậy số phải tìm là số 3201.
Tương tự, số chẵn nhỏ nhất cần tìm là: 1032.
2.1.2.2. Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số
2.1.2.2.1. Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa một
số tự nhiên
Ví dụ:
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số
đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tìm số có ba chữ số đó.
Giải
Gọi số cần tìm là 𝑎𝑏𝑐. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số
𝑎𝑏𝑐2. Theo bài ra ta có:
𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐 × 10 + 2
𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐 + 4106
𝑎𝑏𝑐 × 10 + 2 = 𝑎𝑏𝑐 + 4106
𝑎𝑏𝑐 × 10 − 𝑎𝑏𝑐 = 4106 − 2
𝑎𝑏𝑐 × (10 − 1) = 4104
𝑎𝑏𝑐 × 9 = 4104
𝑎𝑏𝑐 = 4104 ÷ 9

𝑎𝑏𝑐 = 456
Thử lại: 4562 − 456 = 4106.
Vậy số cần tìm là 456.
2.1.2.2.2. Xóa đi một số chữ số của một số tự nhiên
Ví dụ:
Khi xóa đi chữ số hàng trăm của một số có ba chữ số thì số đó giảm đi 7
lần. Tìm số có ba chữ số đó.
Giải
Gọi số cần tìm là abc. Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số bc.
Cách 1. Theo bài ta có
18


𝑎00 + 𝑏𝑐 = 7 × 𝑏𝑐
𝑎00 = 7 × 𝑏𝑐 − 𝑏𝑐
𝑎00 = (7 − 1) × 𝑏𝑐
𝑎00 = 6 × 𝑏𝑐
Từ đó suy ra 𝑎 < 6 và a chia hết cho 3. Vậy 𝑎 = 3. Thay vào ta tính được
𝑏𝑐 = 50. Số cần tìm là 350.
Cách 2. Ta có:
𝑎𝑏𝑐 = 𝑏𝑐 × 7
Vì 7 × 𝑏𝑐 là số có tận cùng là c nên c bằng 0 hoặc 5.
- Nếu 𝑐 = 5, thay vào ta có:
𝑎𝑏5 = 𝑏5 × 7
Vì 7 × 5 = 35 𝑛ê𝑛 7 × 𝑏 + 3 = 𝑎𝑏.
Nếu b chẵn thì vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Nếu b lẻ thì vế trái là
số chẵn mà vế phải là số lẻ. Vậy trường hợp 𝑐 = 5 loại.
- Nếu 𝑐 = 5, thay vào ta có:
𝑎𝑏0 = 𝑏0 × 7
𝑎𝑏 = 𝑏 × 7

Suy ra 𝑏 = 0 hoặc 5, nhưng b không thể bằng 0. Vậy 𝑏 = 5 và 𝑎𝑏 = 35.
Số cần tìm là 350.
2.1.2.2.3. Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Giải
Cách 1. Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có:
𝑎𝑏 = 5 × (𝑎 + 𝑏)
10 × 𝑎 + 𝑏 = 5 × 𝑎 + 5 × 𝑏
10 × 𝑎 − 5 × 𝑎 = 5 × 𝑏 − 𝑏
(10 − 5) × 𝑎 = (5 − 1) × 𝑏
5×𝑎 =4×𝑏
19


Từ đây ta suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5.
- Nếu 𝑏 = 0 𝑡ℎì 𝑎 = 0 (loại)
- Nếu 𝑏 = 5 𝑡ℎì 5 × 𝑎 = 20 vậy a = 4
Số phải tìm là 45
Cách 2. Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có:
𝑎𝑏 = 5 × (𝑎 + 𝑏)
Vì 5 × (𝑎 + 𝑏) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b bằng 0 hoặc 5.
- Nếu 𝑏 = 0, thay vào ta có
𝑎0 = 5 × 𝑎
Vậy loại vì không có giá trị khác 0 nào của a thỏa mãn.
- Nếu 𝑏 = 5, thay vào ta có:
𝑎5 = 5 × (𝑎 + 5)
10 × 𝑎 + 5 = 5 × 𝑎 + 25
Tính ra ta được a = 4
Thử lại: 45 ÷ (4 + 5) = 5

Vậy số phải tìm là 45.
2.1.2.2.4. Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó
được thương bằng 28 dư 1.
Giải
Gọi số phải tìm là 𝑎𝑏. Theo bài ra ta có:
𝑎𝑏 = 𝑐 × 28 + 1
Vậy 𝑐 = 1; 2 hoặc 3
- Nếu 𝑐 = 1 thì 𝑎𝑏 = 29 (loại)
Thử lại: 9 − 2 = 7; 29 ÷ 7 = 4 dư 1
- Nếu 𝑐 = 2 thì 𝑎𝑏 = 57
Thử lại: 7 − 5 = 2; 57 ÷ 2 = 28 dư 1
- Nếu 𝑐 = 3 thì 𝑎𝑏 = 85
20


Thử lại: 8 − 5 = 3; 85 ÷ 3 = 28 dư 1
Vậy số phải tìm là 57 hoặc 85
2.1.2.3. Các bài toán giải bằng phương pháp thử chọn
Ví dụ:
Chữ số hàng chục của một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần
chữ số hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho
chữ số hàng trăm ta được thương bằng 8. Tìm số đó.
Giải
Số cần tìm có dạng 𝑎21; 𝑎42; 𝑎63; 𝑎84
Ta có bảng sau:
𝑎𝑏𝑐

(𝑏 + 𝑐) ÷ 8

Kết luận

𝑎21

2×1÷8

Loại

𝑎42

4×2÷8=1

Chọn

𝑎63

6×3÷8

Loại

𝑎84

8×4÷8=4

Loại

Số cần tìm là 142.
2.1.2.4. Các bài toán về chữ số tận cùng của một số tự nhiên
- Chữ số tận cùng của một tổng chính là chữ số tận cùng của tổng các chữ

số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó.
- Chữ số tận cùng của một tích chính là chữ số tận cùng của tích các chữ
số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó.
- Tổng 1 + 2 + 3 + … + 9 có chữ số tận cùng là 5.
- Tích 1× 3 × 5 × 7 × 9 có chữ số tận cùng là 5.
- Tích 𝑎 × 𝑎 không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8
Ví dụ:
Không thực hiện phép tính hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của mỗi kết
quả sau;
a. (2001 + 2002 + 2003 + ⋯ + 2009) − (21 + 32 + 43 + ⋯ + 98 + 19)
21


b. (12 + 23 + ⋯ + 89 + 91) × 91 × 73 × 55 × 37 × 19
c. 123 × 235 × 347 × 459 × 561 − 71 × 73 × 75 × 77 × 7
Giải
a. Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + ⋯ + 2009 và tổng
21 + 32 + ⋯ + 98 + 19 đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + 3 +
⋯ + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu trên có chữ số hàng đơn vị bằng 0.
b. Suy luận tương tự câu a ta có tổng 12 + 23 + ⋯ + 89 + 91 và tích
91 × 73 × 55 × 37 × 19 đều có chữ số hàng đơn vị bằng 5. Suy ra chữ số hàng
đơn vị của kết quả dãy tính bằng 5.
c. Tương tự ta có chữ số hàng đơn vị của hiệu bằng 0.
2.1.2.5. Các bài toán trắc nghiệm khách quan về cấu tạo số tự nhiên
Ví dụ:
Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:
Bài 1. Số các số tự nhiên gồm năm chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số
đó bằng 5 là:
𝐴. 12 số

𝐵. 13 số

𝐶. 15 số

𝐷. 14 số

Bài 2.
a. Số các số tự nhiên gồm hai chữ số mà trong mỗi số đó có chứa chữ số 4
là:
𝐴. 18 số

𝐵. 10 số

𝐶. 9 số

𝐷. 19 số

b. Số các số có hai chữ số viết được từ ba chữ số 0; 1; 2 là:
𝐴. 2 số

𝐵. 4 số

𝐶. 6 số

𝐷. 9 số

Bài 3.
𝐴. 0; 1; 2; 3; 4; 5; … 1000; … là dãy số tự nhiên chẵn.
𝐵. 0; 2; 4; 6; 8; … . ; 1000; … là dãy số tự nhiên chẵn.
𝐶. 1; 3; 5; 7; 9; … ; 1001; … là dãy số tự nhiên chẵn.

𝐷. 2; 6; 10; 14; 18; … là dãy số tự nhiên chẵn.
2.2. Bài toán về dãy số
2.2.1. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
22


Những quy luật thường gặp của dãy số:
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng liền
trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d;
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó
nhân với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền
trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền
trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng liền
trước nó cộng với thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên d.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền
trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền
trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền
trước nó nhân với số thứ tự của số hạng đó.
- Mỗi số hạng bằng tích của thứ tự số hạng đó nhân với số liền sau của nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền
trước nó nhân với tổng của một số tự nhiên d và thứ tự của số hạng đó.
Ví dụ:
Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a. 1, 2, 6, 24, …
b. 1, 2, 2, 4, 8, …

c. 2, 6, 12, …
Giải
a. Ta nhận xét:
- Số hạng thứ hai là: 2 = 1 × 2
- Số hạng thứ ba là: 6 = 2 × 3
- Số hạng thứ tư là: 24 = 6 × 4
23


Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số
hạng đứng liền trước nó nhân với thứ tự của số hạng đó. Áp dụng quy luật này ta
có:
Số hạng thứ năm của dãy là:
24 × 5 = 120
Số hạng thứ sáu của dãy là:
120 × 6 = 720
Số hạng thứ bảy của dãy là:
720 × 7 = 5040
Dãy số cần tìm là:
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …
b, Tương tự, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng
thứ ba, bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này ta tìm được dãy số là:
1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, …
c, Tương tự, ta tìm được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng tích của
thứ tự số hạng đó với số liền sau nó.
Áp dụng quy luật này ta được dãy số cần tìm là:
2, 6, 12, 20, 30, 42, …
2.2.2. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không
Cách giải:

- Xác định quy luật của dãy
- Kiểm tra số a có thỏa mãn quy luật đó hay không
Ví dụ:
Em hãy cho biết:
a. Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, ... hay không?
b. Số 1996 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11, ... hay không?
c. Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, ...? Giải
thích tại sao?
24


Giải:
a. Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho, vì:
- Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50;
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b. Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì các số hạng của dãy chia cho 3 đều
dư 2 mà 1996 chia cho 3 dư 1.
c. Cả ba số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy đã cho, vì:
- Các số hạng của dãy, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng liền
trước nó nhân với 2. Cho nên các số hạng của dãy, kể từ số hạng thứ ba, có số
hạng đứng liền trước nó đều là số chẵn, mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy trừ số đứng đầu tiên, đều là số chẵn mà 9999 là số
lẻ.
2.2.3. Tìm số số hạng của dãy
Cách giải:
- Đối với các bài toán dạng này, ta thường sử dụng công thức về toán
trồng cây. Cụ thể là:
Số số hạng của dãy = số khoảng cách + 1.
- Đặc biệt, nếu quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai

bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nhiên d thì:
Số hạng của dãy = (số hạng đầu – số hạng cuối) : d + 1
Ví dụ:
Trong các số có ba chữ số:
a. Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9?
b. Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?
Giải
a. Các số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số cách đều có
số hạng đầu là 108, số hạng cuối cùng là 990 và khoảng cách giữa hai số là 18.
- Số các số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 là:
( 990 − 108) ÷ 18 + 1 = 50 (số)
25