Chuyên đề DÃY SỐ GIỚI HẠN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (3 tiết)

 

Chuyên đề
DÃY SỐ - GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
(3 tiết)
A. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên
dương n p, ta thực hiện như sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II. Dãy số
1. Định nghĩa  
 
u:¥*¡
  
dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … 
n a u ( n)
2. Dãy số tăng, dãy số giảm: 
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.
 un+1 – un > 0 với  n  N*
u
 n 1  1 với n  N* ( un > 0).

un

 (un) là dãy số giảm

 un+1 < un với n  N*.
 un+1 – un< 0 với  n  N*


un 1
 1 với n  N* (un > 0).
un

3. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*.
III. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N*
2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d

(d: công sai)

với n  2

1 


 
3. Tính chất của các số hạng: uk 

uk 1  uk 1
2

với k  2

4. Tổng n số hạng đầu tiên: S n  u1  u2  ...  un 

n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d 
=
2
2

IV. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N*
2. Số hạng tổng quát:
3. Tính chất các số hạng: 

 

(q: công bội)

un  u1.q n 1

với n  2

uk2  uk 1.uk 1

với k  2

 Sn  nu1

4. Tổng n số hạng đầu tiên: 
u1 (1  q n )
S 
 n
1 q

,q 1
,q 1

B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Phương pháp quy nạp toán học

1 1 1
1 2n  1
Bài 1. Chứng minh rằng:     ...  n  n , n  N *  
2 4 8
2
2
Giải
1 1
Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành    là mệnh đề đúng 
2 2
1 1 1
1 2k  1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 nghĩa là:     ...  k  k  
2 4 8
2
2
Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: 
1 1 1

1
2k 1  1
   ...  k 1  k 1  
2 4 8
2
2
   
Thật vậy 
1 1 1
1
1
VT     ...  k  k 1
2 4 8
2 2
k
2 1 1
 k  k 1
 
2
2
2k 1  1
 k 1  VP
2
Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi  n  N *  
Bài 2. Chứng minh rằng:  un  n3  3n 2  5n   chia hết cho 3 ,  n  ¥ *  
Giải
Bước 1: Với  n  1 , vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng. 
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với  n  k , tức là:  uk  k 3  3k 2  5k  chia hết cho 3. 
Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với  n  k  1:  
3

2

Ta có:  uk 1   k  1  3  k  1  5  k  1  
  k 3  3k 2  5k   3  k 2  3k  3

      

           

 uk  3  k 2  3k  3

 

2 


 
Vậy  uk 1 chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh. 
 Dãy số
Bài 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số: 
1
a )un   2
n

b)un 

2n  1
 
5n  2

Giải
1
2
n
 
1
 1
 1

un1  un  
 2    2 
 0, n  N *
 n 1   n
 n(n  1)
a ) un 

Nên là dãy số giảm. 
2n  1
5n  2
 
5n  2 2n  3 10n 2  19n  6

.

 1, n  N *
2n  1 5n  7 10n 2  19n  7

b ) un 
un 1

un

Nên là dãy số giảm. 
Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số:  U 1  3

n  N

U n1  2U n

*

 

Giải
Ta có:  U1=3 
           
U2=2U1=3.2 
           
U3=2.U2=3.22 
          
  ..................... 
Dự đoán: Un=3.2n-1. Sau đó khẳng định bằng quy nạp. 
Cấp số cộng

u1  u3  u5  10
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:  
u1  u6  17
Giải
u1  2d  10
u1  u3  u5  10

u  16

Ta có:  
 
 1
u1  u6  17
2u1  5d  17 d  3
Bài 6. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
Giải
Ta có:      un  u1   n  1 d  
u54  u1  53d

u4  u1  3d
Giải hệ phương trình , ta được:. 
143
5
u1 
,d  
2
2
33
 u23  u1  22d 
2
Cấp số nhân
Bài 7. Tìm các số hạng của cấp số nhân  (un )  có 5 số hạng, biết:  u3  3, u5  27  
 
3 


 

Giải
2

u  3
1
u q  3
Ta có:   3
  u1  , q  3  
 1 4
3
u5  27 u1q  27
1
1
Vậy có hai dãy số:   ,1,3,9,27  và  , 1,3, 9,27  
3
3
Bài 8. Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216.
Giải 
a
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là:  ; a ; aq  (với q là công bội) 
q
 
Theo giả thiết ta có: 
a
 q .a.aq  216    (1)

 

 a  a  aq  19 (2)
 q

 
 
3
2
 
Từ (1) và (2) ta có  a  6 và  q   hoÆc q   
2
3
 
Vậy 3 số hạng cần tìm là: 4, 6, 9 hay 9, 6, 4. 

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phương pháp quy nạp toán học
Câu 1. Giá trị của tổng  S n  12  22  32  ...  n 2  là: 
 

n(n  1)(n  2)
.
6
n(n  1)(2n  1)
C.
.
6

A.

B.

D. Đáp số khác. 

Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng  S n 
 

A.

1
.
n 1

n(n  2)(2n  1)
.
6

B.

n
.
n 1

1
1
1
 là: 

 ... 
1.2 2.3
n(n  1)
n
n 1
C.

D.
.
.
n2
n2

Câu 3. Với mọi số nguyên dương n, tổng  S n  n3  11n  chia hết cho: 
 
A. 6.
B. 4.
C. 9.

D. 12.

Câu 4. Với mọi số nguyên dương n thì  Sn  11n1  122n1  chia hết cho: 
 
A. 3.
B. 33.
C. 133.
D. 13.
Câu 5. Với mọi số tự nhiên  n  2 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 
 
A. 3n  4 n  1.
B. 3n  4 n  2.
C. 3n  3n  4.
D. 3n  3n  1.
Câu 6. Với mọi số tự nhiên  n  1 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 
1
1
1 13

1
1
1 13
 
A.
B.

 ... 
 .

 ... 
 .
n 1 n  2
2n 20
n 1 n  2
2n 21
1
1
1 13
1
1
1 13
C.
D.

 ... 
 .

 ... 
 .

n 1 n  2
2n 17
n 1 n  2
2n 24
Dãy số
Câu 7: Dãy số  un   xác định bởi công thức un = 2n + 1 với mọi n = 0, 1, 2, … chính là:
A. Dãy số tự nhiên lẻ. 
4 


 
B. Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17. 
C. Dãy các số tự nhiên chẵn. 
D. Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn. 

u1  2
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi:  
. Ta có u5 bằng: 
n
un 1  2 .un     ,n  1
A. 10. 
B. 1024. 
C. 2048. 
D. 4096. 
1

u 
Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi:   1 2
. Khi đó u50 bằng: 
un  un1  2n     , n  2

A. 1274,5. 
B. 2548,5. 
C. 5096,5. 
D. 2550,5. 

u1  1
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi:  
. Khi đó u11 bằng: 
un  2n.un 1    , n  2
A. 210.11!. 
B. -210.11!. 
C. 210.1110. 
D. -210.1110. 
u1  1
Câu 11: Cho dãy số (un):  
 Ta có u11 bằng: 
un 1  un  n    , n  1
A. 36. 
B. 60. 
C. 56. 
1

u1  2
Câu 12: Cho dãy số   un   với  
un  1
2  un1

3
4
A. . 

B. . 
4
5

Câu 13: Cho dãy số  (un )  với  un  (1) n1 cos

1
. 
2

 . Giá trị của u4 bằng: 
,  n = 2, 3, ...

C.

5
. 
6

2
. Khi đó  u12  bằng: 
n
1
C.  . 
2

3
. 
2
1 n

Câu 14: Cho dãy số  (un )  với  un  n1  . Khi đó  un1  bằng: 
2
1 n
2n
2n
A. un 1  n . 
B. un 1  n . 
C. un 1  n 1 . 
2
2
2

A.

B. . 

D. 44. 

D.

6
. 
7

D. 

3
. 
2

D. un 1 

n
. 
2n

u1  1
Câu 15: Cho dãy số có  
 n  N *  . Khi đó số hạng thứ n+3 là: 
u

2
u

3
u
n 1
n2
 n
A. un 3  2un 2  3un 1.    B. un 3  2un 2  3un .    C. un3  2un  2  3un1.    D. un 3  2un  2  3un1.  
Câu 16: Cho dãy số có công thức tổng quát là  un  2n  thì số hạng thứ n+3 là: 
A. un 3  23 . 

B. un 3  8.2n . 

C. un 3  6.2n . 

Câu 17: Cho tổng  Sn  1  2  3  ..........  n . Khi đó  S3  là bao nhiêu? 
A. 3. 
B. 6. 

C. 1. 

D. un 3  6n . 
D. 9. 

n

Câu 18: Cho dãy số  un   1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 
A. Dãy tăng. 
B. Dãy giảm. 
C. Bị chặn. 
D. Không bị chặn. 
1
Câu 19: Dãy số  un 
là dãy số có tính chất: 
n 1
5 


 
A. Tăng. 
B. Giảm. 
C. Không tăng không giảm. 
D. Tất cả đều sai. 
Câu 20: Trong các dãy số sau, dãy số nào thoả mãn: 
 
u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - 1 - 2un - 2 , n = 2, 3, …? 
A. 1, 2, 4, 8, 16, 32, … 
B. 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, … 
C. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n + 1 với n = 0, 1, 2, … 

D. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n  với n = 0, 1, 2, … 
Câu 21: Xét các câu sau: 
 
Dãy 1, 2, 3, 4, … là dãy bị chặn (dưới và trên) 
 
 
(1) 
1 1 1
 
Dãy  1, , ,  … là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên   (2) 
3 5 7
 
Trong hai câu trên: 
A. Chỉ có (1) đúng. 
B. Chỉ có (2) đúng. 
C. Cả hai câu đều đúng. 
D. Cả hai câu đều sai. 
n
Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng un + 1 bằng: 
A. 3n + 1. 
B. 3n + 3. 
C. 3n.3. 
D. 3(n + 1). 
n
Câu 23: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng u2n bằng 
A. 2.3n. 
B. 9n. 
C. 3n + 3. 
D. 6n. 
n

Câu 24: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng un - 1 bằng: 
3n
A. 3n – 1. 
B.
. 
C. 3n – 3. 
D. 3n – 1. 
3
Câu 25: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n - 1 bằng: 
A. 32.3n – 1. 
B. 3n.3n – 1. 
C. 32n – 1. 
D. 32(n - 1). 
Câu 26: Cho dãy số  un  sin
A. un 1  sin



n 1
C. Dãy số tăng. 

. 


n

. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? 
B. Dãy số bị chặn. 
D. Dãy số không tăng, không giảm. 

3n  1
 là dãy số bị chặn trên bởi: 
3n  1
1
1
A.
. 
B.
. 
C. 1. 
D. 0. 
2
3
Câu 28: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm? 
n2  1
n
A. un = sin n. 
B. un = 
. 
C. un =  n  n  1 .     D. un =   1  2n  1 . 
n
Câu 29: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn ? 
1
A. un =  n 2  1 . 
B. un = n +  . 
n
n
C. un  =2n + 1. 
D. un = 
. 

n 1
Câu 30: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát 
un của nó là: 

n
1
n 1
2n
A.  1 sin . 
B.  1  5n  1 . 
C.
. 
D. 2
. 
n
n 1
n 1  n
Câu 31. Đặt   S1(n) = 1 + 2 + 3 + … + n 
 
 
S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2   
Câu 27: Dãy số  un 

6 


 

S3(n) = 13 + 23 + 33 + … + n3 

 
 
Ta có : 
A. S1  n  

3n  n  1
2

B. S 2  n  

. 

n  n  1 2n  1
3

. 

2

n 2  n  1
C. S3  n  
. 
4
Câu 32: Dãy số nào sau đây là dãy tăng ? 

2n  3
A. un  (1) n 1 sin .  B. un 
. 
n
3n  2

D. Đáp án khác. 

C. un 

1
.     D. un  (1) 2 n (3n  1) . 
n  n 1

2n
9
. Số    là số hạng thứ bao nhiêu? 
n 1
41
A. 10. 
B. 9. 
C. 8. 
1 n
8
Câu 34: Cho dãy số  un 
. Số    là số hạng thứ bao nhiêu? 
2n  1
15
A. 8. 
B. 6. 
C. 5. 

Câu 33: Cho dãy số  un 

2

D. 11. 

D. 7. 

u1  5
Câu 35: Cho dãy số  
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là: 
un 1  un  n
A. un 

 n  1 n

. 

 n  1 n

. 
2
 n  1 n  2  . 
D. un  5 
2
B. un  5 

2
n  n  1
C. un  5 
. 
2

u1  1
Câu 36: Cho dãy số  
2 n  Số hạng tổng quát của dãy số trên là: 
un 1  un   1
A. un  1  n . 

B. un  1  n . 

2n

C. un  1   1 . 

D. un  n . 

u1  1
Câu 37: Cho dãy số  
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là: 
2
un 1  un  n
n  2n  1 n  1
 n  1 n  2n  2    . 
A. un  1 
. 
B. un  1 
6
6
 n  1 n  2n  1 . 
 n  1 n  2n  1  
C. un  1 
D. un 

6
6
u1  2

Câu 38: Cho dãy số  
1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là: 
un 1  2  u
n

n  1
n 1
n 1
n
A. un 
. 
B. un 
. 
C. un  
. 
D. un  
. 
n
n
n
n 1
Câu 39: Cho tổng  S  n   12  22  ...............  n2 . Khi đó công thức của S(n) là: 

n  n  1 2n  1
n 1
. 

B. S  n  
. 
2
6
n  n  1 2n  1
n 2  2n  1
C. S  n  
. 
D. S  n  
. 
6
6
Câu 40: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+………….+(2n-1)-2n+(2n+1) là: 
A. S  n  

7 


 
A. S(n)= n+1.      
Câu 41: Tính tổng  S  n  
A. S  n  

n
. 
n2

B. S  n   -n.          

C.  S  n   2n. 

   D.   S  n   n. 

1
1
1
1
. Khi đó công thức của S(n) là: 


 ......... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1

B. S  n  

n
. 
n 1

C. S  n  

2n
. 
2n  1

D. S  n  

1
. 

2n

Câu 42: Tính tổng  s(n)  1.4  2.7  ........  n(3n  1) . Khi đó công thức của  S  n   là: 
A. S  n   n  3 . 

2

B. S  n    n  1 . 

2

C. S  n   n  n  1 . 

D. S  n   4n . 

Câu 43: Tính tổng  S  n   1.1! 2.2! ...........  2007.2007! . Khi đó công thức của  S  n   là: 
A. 2007! . 

B. 2008! . 

C. 2008! 1 . 

D. 2007! 1 . 

Câu 44: Trong dãy số 1, 3, 2, … mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nó trừ đi 
số hạng đứng trước số hạng này, tức là  un  un 1  un  2  với n ≥ 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên 
của dãy số đó. Đáp số của bài toán là: 
A. 5. 
B. 4. 
C. 2. 

D. 1. 
u1  3

Câu 45: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 
 Công thức tính số hạng 
1
*
un 1  2 un n  ¥
tổng quát  un  của dãy số là: 
3
3
3
3
A. un  n . 
B. un  n 1 . 
C. un  n
. 
D. un  n
. 
2
2
2 1
2 1
u1  1
Câu 46: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 
 Công thức tính số hạng 
*
un 1  un 2 n  ¥
tổng quát  un  của dãy số là: 

A. un  2n  1 . 

B. un  2n  1 . 

C. un  2n  2 . 

D. un  2n  3 . 

u1  1
Câu 47: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 
. Hỏi số 33 là số hạng thứ mấy? 
un 1  un  2
A. u15 . 
B. u17 . 
C. u14 . 
D. u16 . 
Cấp số cộng
Câu 48: Viết 3 số xen giữa các số 2 và 22 để được CSC có 5 số hạng? 
     A .7;12;17.  
         B. 6,10,14.                       C. 8,13,18.                       D. Tất cả đều sai. 
Câu 49: Công thức nào sau đây đúng với CSC có số hạng đầu u1 ,công sai d?    
     A.un= un +d.    
         B.un= u1 +(n+1)d.            C.un= u1 -(n+1)d.             D.un= u1 +(n-1)d .    
Câu 50:  Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29,….Công sai của cấp số cộng này là: 
     A. 7. 
 
         B. 8 .        
              C. 9.   
                   D. 10. 
1

1
Câu 51. Cho cấp số cộng có u1=  ; d 
Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của của cấp số này là: 
2
2    
1
1
1 1 1
1 3 5
1 1 3
A. ;0;1; ;1.
B. ;0; ; 0; .
C. ;1; ; 2; .
D. ;0; ;1; .
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
     2
Câu 52: Nếu cấp số cộng  (un ) )  với công sai d có  u5  0  và  u10  10  thì: 
A. u1  8  và d = -2. 
B. u1  8  và d = 2. 
C. u1  8  và d = 2. 
D. u1  8  và d = -2. 
                
                
                  
 

Câu 53. Một cấp số cộng có 9 số hạng. Số hạng chính giữa bằng 15. Tổng các số hạng đó bằng: 
A. 135. 
B. 405. 
C. 280. 
Câu 54: Cho CSC : -2 ; u2 ; 6 ; u4 . Hãy chọn kết quả đúng ? 

D. đáp số khác. 
8 


 
A. u2 = -6 ; u4 = -2. 
B. u2 = 1 ; u4 = 7. 
C. u2 = 2 ; u4 = 8. 
D. u2 = 2 ; u4 = 10. 
Câu 55:  Chọn  khẳng  định  đúng  trong  các  khẳng  định:    Nếu  a,b,c  lập  thành  cấp  số  cộng  (khác 
không) thì : 
A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng. 
B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng. 
C. c,b,a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng. 
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai. 
Câu 56. Cho dãy số  un  7  2n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? 
A. Ba số hạng đầu tiên của dãy là: 5;3;1. 
B. Số hạng thứ n+1 của dãy là 8-2n. 
C. Là CSC với d=-2. 
D. Số hạng thứ 4 của dãy là -1. 
1
1
Câu 57. Cho CSC có  u1  , d   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 
4

4
5
4
5
4
A. s5  . 
B. s5  . 
C. s5   . 
D. s5   . 
4
5
4
5
Câu 58. Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? 
u1  1
u1  2
u1  3
u1  1
A. 
. 
B. 
. 
C. 
. 
D. 
. 
3
un1  un  2
un 1  un  1
un1  un  n

un1  2un  1
Câu 59. Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y. Kết quả nào sau đây là đúng? 
x  2
x  4
x  2
x  4
A. 
. 
B. 
. 
C. 
. 
D. 
. 
y  5
y  6
 y  6
 y  6
Câu 60. Xét các câu sau: 
(1) Dãy số  u1 , u2 , u3 ,...  được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như un = un - 1 + d với mọi 
n = 2, 3, … 
(2) Nếu dãy số  u1 , u2 , u3 ,...  là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như un = u1 + (n + 1)d với mọi 
n = 2, 3, … 
 
Trong hai câu trên: 
A. chỉ có (1) đúng. 
B. chỉ có (2) đúng. 
C. cả hai câu đều đúng. 
D. cả hai câu đều sai. 
Câu 61. Xét các câu sau 

u u
 
(1) Dãy  số  u1 , u2 , u3 ,...   được  gọi là cấp số  cộng  với công sai  d ≠  0 thì  uk  k 1 k 1   với 
2
mọi k = 2, 3, … 
 
(2) Nếu dãy số  u1 , u2 , u3 ,..., un  là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như  u1  un  uk  un  k  
với mọi k = 2, 3, …, n - 1 
 
Trong hai câu trên: 
A. chỉ có (1) đúng. 
B. chỉ có (2) đúng. 
C. cả hai câu đều đúng. 
D. cả hai câu đều sai. 
Câu 62. Nếu cấp số cộng   (un )  có số hạng thứ n là  un  1  3n  thì công sai d bằng: 
A. 6. 
B. 1. 
C. -3. 
D. 5. 
Câu 63: Chọn khẳng định  sai trong các khẳng định sau. Cho  CSC  un   có d khác không khi đó: 
A. u2  u17  u3  u16 . 

B. u2  u17  u4  u15 . 

C. u2  u17  u6  u13 . 

D. u2  u17  u1  u19 . 

Câu 64.  Cho  cấp  số  cộng  (un )   có  u5  12   và  tổng  21  số  hạng  đầu  tiên là  S21  504 .  Khi  đó  u1  
bằng: 

A. 4. 
B. 20. 
C. 48. 
D. Đáp số khác. 

9 


 
Câu 65. Cho cấp số cộng  (un ) . Biết  Sn  2n 2  3n , khi đó  u1  và công sai d là : 
A. u1  1; d  4 . 

B. u1  1; d  3 . 

C. u1  2; d  2 . 

D. u1  1; d  4 . 

Câu 66. Cho cấp số cộng  (un ) . Biết  u5  18; 4 Sn  S2 n , khi đó  u1  và công sai d là : 
A. u1  2; d  3 . 
B. u1  2; d  2 . 
C. u1  2; d  4 . 
D. u1  3; d  2 . 
Câu 67. Cho CSC có d=-2 và  s8  72 , khi đó số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 
1
1
A. u1  16 . 
B. u1  16 . 
C. u1 
. 

D. u1   . 
16
16
Câu 68. Cho CSC có  u1  1, d  2, sn  483 . Hỏi số các số hạng của CSC là bao nhiêu? 
A. n=20. 
B. n=21. 
C. n=22. 
D. n=23. 
Câu 69. Cho CSC có  u1  2, d  2, s  8 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 
A. S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của CSC. 
B. S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của CSC. 
C. S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của CSC. 
D. Tất cả đều sai. 
Câu 70. Ba số  1  x, x 2 ,1  x  lập thành một CSC khi: 
A. Không có giá trị nào của x. 
B. x=2 hoặc x= -2. 
C. x=1 hoặc x=-1. 
D. x=0. 
Câu 71. Ba số  1  3a, a 2  5,1  a  lập thành CSC khi: 
A. a  0 . 

C. a   2 . 

B. a  1 . 

D. Tất cả đều sai. 

Câu 72. Cho CSC có   u4  12, u14  18 . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là 
A. u1  20, d  3 . 
B. u1  22, d  3 . 

C. u1  21, d  3 . 
D. u1  21, d  3 . 
Câu 73. Cho CSC có   u4  12, u14  18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là: 
A. 24. 
B. -24. 
C. 26. 
D. – 26. 
Câu 74. Cho CSC có   u5  15, u20  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là: 
A. 200. 
B. -200. 
C. 250. 
D. -25. 
Câu 75. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? 
A. un  3n . 

B. un   3

n 1

. 

C. un  3n  1 .               D. Tất cả đều là CSC. 

Câu 76. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? 
u1  1
u1  1
A. 
. 
B. 
. 

C. un  n 2 . 
un 1  2un  1
un1  un  1

3

D. un   n  1 . 

Câu 77. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 và u3 - u15 = 84. Số hạng u17 là: 
A. 242. 
B. 235. 
C. 11. 
D. 4. 
Câu 78. Nếu cấp số cộng (un) với công sai d có u2 = 2 và u50 = 74 thì: 
A. u1 = 0 và d = 2. 
B. u1 = -1 và d = 3. 
C. u1 = 0,5 và d = 1,5. 
D. u1 = -0,5 và d = 2,5. 
Câu 79: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau? 
 x  6
x  1
x  2
x  2
A. 
. 
B. 
. 
C. 
. 
D. 

. 
 y  2
y  7
y  8
 y  10
Câu 80. Cho cấp số cộng -4; x; -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau? 
A. x = 36. 
B. x = -6,5. 
C. x = 6. 
D. x = -36. 
Câu 81. Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau ? 
10 


 
u10  u20
u .u
C. u10 .u30  u20 . 
D. 10 30  u20 . 
 u5  u10 .  B. u19  u20  2u150 . 
2
2
Câu 82. Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 và u5 = 1995. Khi đó u1001 bằng: 
A. 4005. 
B. 4003. 
C. 3. 
D. 1. 
Câu 83. Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là S10 = 100,  
S100 = 10. Khi đó, tổng của 110 số hạng đầu tiên là: 
A. 90. 

B. -90. 
C. 110. 
D. -110. 
a1  321
Câu 84. Cho dãy số (an) xác định bởi  
  
an  an 1  3     n = 2, 3, 4, ...
 Tổng 125 số hạng đầu tiên của dãy số (an) là: 
A. 16875. 
B. 63375. 
C. 635625. 
D. 166875. 
A.

u1  150
Câu 85. Cho dãy số (un) xác định bởi:  
. Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên 
un  un 1  3   , n  2
của dãy số đó bằng: 
A. 150. 
B. 300. 
C. 29850. 
D. 59700. 
Câu 86. Cho p = 1, 2, …, 10 gọi Sp là tổng 40 số hạng đầu tiên của cấp số cộng mà số hạng đầu là p 
và công sai là 2p - 1. Khi đó, S1 + S2 + … + S10 bằng: 
A. 80000. 
B. 80200. 
C. 80400. 
D. 80600. 
Câu 67. Biết  Cn1 , Cn2 , Cn3  lập thành cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng: 

A. 5. 
B. 7. 
C. 9. 

D. 11. 

2

Câu 68. Tìm tất cả các giá trị của x để  1  s inx;sin x;1  sin 3x  là 3 số hạng liên tiếp của một CSC 
A. x 


2

 k , k  Z .                                       B. x 
 k ; x  



6

 k 2 , k  Z . 

2


7
, k  Z .          D. x   k ; x    k 2 ; x 
 k 2 , k  Z . 
2

6
3
2
6
6
Câu 69. Nghiệm của phương trình  1  7  13  x  280  là: 
A. x  53  . 
B. x  55  . 
C. x  57  . 
D. x  59 . 
Câu 70. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3, các cạnh lập thành một cấp số cộng. Ba cạnh của 
tam giác đó là:
1 3
3 5
1 5
1 7
A.   ;1; . 
B.  ;1; . 
C.  ;1; . 
D.  ;1; . 
2 2
4 4
3 3
4 4

C. x  





k

Câu 71. Bốn nghiệm của phương trình  x 4  10 x 2  m  0  là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. 
Khi đó m bằng: 
A. 16. 
B. 21. 
C. 24. 
D. 9. 
Câu 72. Biết dãy số 2, 7, 12, …, x là một cấp số cộng. Biết  2  7  12  ...  x  245 , khi đó: 
A.  x  52 .                     B. x  45 .                        C. x  42 .                       D. x  47 . 
Cấp số nhân
Câu 73. Cho cấp số nhân  u1 , u2 , u3 ,..., un   với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1). Đặt:  Sn  u1  u2  ...  un . 
Khi đó ta có: 
u1  q n  1
u1  q n  1
u1  q n 1  1
u1  q n 1  1
A. Sn 
. 
B. Sn 
. 
C. Sn 
. 
D. Sn 
. 
q 1
q 1
q 1
q 1

Câu 74: Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 
A. 1,-3,9,-27,81. 
B. 1,-3,-6,-9,-12. 
C. 1,-2,-4,-8,-16. 

D. 0,3,9,27,81. 
11 


 
Câu 75. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  3, u2  6  . Lựa chọn đáp án đúng? 
A. u3  12 . 

B. u3  12 . 

C. u3  18 . 

D. u3  18 . 

Câu 76. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  3, u5  48  . Lựa chọn đáp án đúng? 
A. u3  12 . 

B. u3  12 . 

C. u3  16 . 

D. u3  16 . 

Câu 77. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  2, u 2  8  . Lựa chọn đáp án đúng? 
A. q  4 . 

B. q  4 . 
C. q  12 . 
D. q  10 . 
Câu 78. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u n  81, u n1  9  . Lựa chọn đáp án đúng? 
1
1
q  
q  
q  9 . 
q  9 . 
B.
C.
9.
9.
A.
D.
Câu 79. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  9, u 2  3  . Lựa chọn đáp án đúng? 
q

A.

1
 
3.

B. q  3 . 

C. q  3 . 

q

D.

1
 
3.

Câu 80. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  2, u2  10  . Lựa chọn đáp án đúng? 
A. q  5 . 
B. q  8 . 
C. q  12 . 
D. q  12 . 
Câu 81. Cho  cấp số nhân  un  , biết:   u1  2, u 2  8  . Lựa chọn đáp án đúng? 
 
A. u5  512 .

 
 
B. u5  256 .
C. S5  256 .
1
Câu 82. Cho  cấp số nhân  un  có  u1   , u7  32 . Khi đó q là: 
2
1
  
C. 4 . 
A.  2 . 
B. 2 .

D. q  10 . 

D. Tất cả đều sai. 

1
Câu 83. Cho CSN có  u1   , u7  32 . Khi đó q là? 
2
1
A.  . 
B.  2 . 
C. 4 . 
D. Tất cả đều sai. 
2
Câu 84. Cho CSN có  u1  1, u6  0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là: 
1
1
1
A. q  , un  n1 .   
B. q  , un  10n1 .    
10
10
10

C. q 

1
1
, un  n 1 .   
10
10

n

D. q 

 1
1
, un  n1 . 
10
10

1
1
. Số  103  là số hạng thứ bao nhiêu? 
10
10
B. Số hạng thứ 104. 
C. Số hạng thứ 105. 

Câu 85. Cho CSN có  u1  1; q 
A. Số hạng thứ 103. 

D. Đáp án khác. 

Câu 86. Cho CSN có  u1  3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu? 
A. Số hạng thứ 5. 
B. Số hạng thứ 6. 
C. Số hạng thứ 7. 
D. Đáp án khác. 
1
Câu 87. Cho CSN có  u2  ; u5  16 . Công bội q và số hạng đầu tiên của CSN là: 

4
1
1
1
1
1
1
A. q  ; u1  . 
B. q   , u1   .  C. q  4, u1 
. 
D. q  4, u1   . 
2
2
2
2
16
16
Câu 88. Cho CSN -2;4;-8….tổng của n số hạng đầu tiên của CSN này là: 
12 


 
A.



2 1   2 
1   2 

n

 . 

B.



2 1   2 
1 2

n

 . 

C.



2 1   2 
1   2 

2n

 . 

D.



2 1   2 

1 2

2n

 . 

Câu 89. Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3 ; u2 = -6. Hãy chọn kết quả đúng ? 
A. u5 = -24. 
B. u5 = 48. 
C. u5 = -48. 
D. u5 = 24. 
Câu 90. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với u1 = -3 và công bội q = -2 bằng: 
A. -511. 
B. -1025. 
C. 1025. 
D. 1023. 
Câu 91. Cho cấp số nhân (un) có: u2 = -2 và u5 = 54. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số 
nhân đó bằng : 
1  31000
31000  1
31000  1
1  31000
A.
. 
B.
. 
C.
. 
D.
. 

4
2
6
6
Câu 92. Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , … là một cấp số nhân với: 
A. công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 1. 
B. công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1. 
C. công bội là 4 và phần tử đầu tiên là  2. 
D. công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 2. 
Câu 93. Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, … Đây là một cấp số nhân với: 
A. Công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 729 . 
B. Công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 64. 
2
1
C. Công bội là   và phần tử đầu tiên là 729. 
D. Công bội là   và phần tử đầu tiên là 729. 
3
2
1
1
Câu 94. Nếu một cấp số nhân ( un ) có công bội  q    và  u6    thì: 
2
4
1
1
A. u1  8 . 
B. .  u1 
. 
C. .  u1  8 . 
D. u1  

. 
128
128
1
1
Câu 95. Cho cấp số nhân 16; 8; 4; …;  . Khi đó   là số hạng thứ: 
64
64
A. 10. 
B. 12. 
C. 11. 
D. Đáp số khác. 
1
Câu 96. Cho  cấp số nhân  un  có  u2  ; u5  16 . Công bội q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân 
4
là: 
1
1
1
                                              B. A. q  ; u1  . 
 
q  4, u1 
16 .
2
2
A.
1
1
1
                                  q  4, u1  

q   , u1   . 
2
2
16 . 
C.
D.
Câu 97. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 
1

u1  2
u1 
A. 
B. un 1  nun . 
C. 
. 
2 . 
u


5
u
2
n

1
n

u  u
n
 n 1

    

1
; b , 2 . Ba số trên lập thành CSN khi b bằng: 
2
A. b=-1. 
B. b=1. 
C. b=2. 
u
Câu 99. Cho cấp số nhân (un) có u1 = 24 và  4  16384 . Số hạng u17 là: 
u11
3
3
3
A.
. 
B.
. 
C.
. 
67108864
368435456
536870912

D. un1  un 1  3 . 

Câu 98. Cho dãy số 

D. Đáp án khác. 

D.

3
. 
2147483648

13 


 
Câu 100. Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4 là 
576 và hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9. Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này 
bằng: 
A. 1061. 
B. 1023. 
C. 1024. 
D. 768. 
Câu 101. Cho cấp số nhân  (un )  với  u1  7 , công bội q = 2 và tổng các số hạng đầu tiên  S7  889 . 
Khi đó số hạng cuối bằng: 
A. 484. 
B. 996. 
C. 242. 
D. 448. 
Câu 102. Nếu cấp số nhân  (un )  với  u4  u2  72  và  u5  u3  144  thì: 
A. u1  2; q  12 . 
B. u1  12; q  2 . 
C. u1  12; q  2 . 

D. u1  4; q  2 . 

1
1
. Số  103  là số hạng thứ bao nhiêu? 
10
10
B. Số hạng thứ 104. 
C. Số hạng thứ 105. 
D. Đáp án khác. 

Câu 103. Cho  cấp số nhân  un  có  u1  1; q 
A. Số hạng thứ 103. 

Câu 104. Trong các dãy số   un  cho bởi số hạng tổng quát  un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 
A.

un 

1
n2

3

 
.

B.

un 

1
1
3n
. 

C.

un  n 

1
 
3 .

D.

un  n 2 

1
 
3.

Câu 105. Cho  cấp số nhân  un  có  u1  3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu? 
A. Số hạng thứ 6. 
B. Số hạng thứ 5. 
C. Số hạng thứ 7. 
D. Đáp án khác. 
Câu 106. Ba số 2x-1;x; 2x+1 lập thành một cấp số nhân khi: 
1
1
 

x   . 
x
3
3.
B.
A.
C. x   3 . 

D. Không có giá trị nào của x. 

Câu 107. Cho  cấp số nhân  un  có  u20  8u17 . Công bội của  cấp số nhân là: 
A. q  2 . 
B. q  4 . 
C. q  4 . 
D. q  2 . 
Câu 108. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số 
x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Khi đó q bằng: 
1
1
1
q  
q  
q  
D. q  3 . 
3.
9.
3.
A.
B.
C.

u1  u3  3
Câu 109.  Cho  cấp số nhân  un  có   2
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của  cấp số nhân là: 
2
u1  u3  5

S10 
A.

63 2
 
32( 2  1) .

B.

S10 

63
 
32 .

S10 
C.

63 2
 
32(1  2) .

S10 

D.

63
 
32( 2  1) .

n

Câu 110. Cho  cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là:  S n 

3 1
. Số hạng thứ 5 của cấp số 
3n 1

nhân là: 
2
1
 
u5  5  
5
C.
3 .
3 .
A.
B.
Câu 111. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 
1

u1 
A. 

. 
B. un1  nun . 
C.
2
u  u 2
n
 n1
u5 

u5  35  
.

u1  2
. 

un1  5un

D.

u5 

5
 
35 .

D. un1  un 1  3 . 

14 

 
Câu 112. Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN? 
1
1
1
A. un  n  1 . 
B. un  n  2 . 
C. un  n  . 
3
3
3
Câu 113. Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y. Kết quả nào sau đây là đúng? 
 x=6
 x=-10
 x=-6
A. 
. 
B. 
. 
C. 
. 
 y=-54
 y=-26
 y=-54

1
D. un  n 2  . 
3

 x=-6

D. 
. 
 y=54
Câu 114. Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân? 
u1  2
u1  1
A. 
. 
B. 
. 
2
un1  3un
un 1  un
u1  3
C. 
. 
D. 7, 77, 777, ..., 777...7
1 2 3 . 
un 1  un  1
n
Câu 115. Dãy  u1 , u2 , u3 ,...  được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu như ta có: 
A. q là số tuỳ ý và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, … 
B. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q + un - 2q với mọi n = 3, 4, … 
C. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q  với mọi n = 2, 3, 4, … 
D. q là số khác 0 và un = un - 1 + q với mọi n = 2, 3, … 
Câu 116. Nghiệm của phương trình  1  x  x 2  x 2007  0  là: 
A. x  1 . 
B. x  1 . 
C.   x  11 . 
D. x  1  x  2 . 

------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

15 




GII HN CA DY S - GII HN CA HM S
- HM S LIấN TC
(6 tit)
A. KIN THC C BN
I. Gii hn ca dóy s
Gii hn hu hn
1. Gii hn c bit:
1
1
lim 0 ;
lim
0 (k  )
k
n n
n n
lim qn 0 ( q 1) ;

lim C C

n

n

2. nh lớ :
a) Nu lim un = a, lim vn = b thỡ

lim (un + vn) = a + b
lim (un vn) = a b
lim (un.vn) = a.b
u
a
lim n (nu b 0)
vn b
b) Nu un 0, n v lim un= a
thỡ a 0 v lim

un a

c) Nu un vn ,n v lim vn = 0
thỡ lim un = 0
d) Nu lim un = a thỡ lim un a
3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + = 1 q 1
1 q
II. Gii hn ca hm s
Gii hn hu hn
1. Gii hn c bit:
lim x x0 ; lim c c (c: hng s)
x x0

x x0

2. nh lớ:
a) Nu lim f ( x) L v lim g( x) M
x x0

x x0

thỡ: lim f ( x) g( x) L M
x x0

lim f ( x) g( x) L M

x x0

lim f ( x).g( x) L .M

x x0

f ( x) L
(nu M 0)

x x0 g( x)
M
b) Nu f(x) 0 v lim f ( x) L
lim

Gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:

lim n ;

lim nk (k  )

lim qn (q 1)

2. nh lớ:
a) Nu lim un thỡ lim

1
0
un

b) Nu lim un = a, lim vn = thỡ lim

un
vn

=0

c) Nu lim un = a 0, lim vn = 0
u

neỏ
u a.vn 0
thỡ lim n =
neỏ
u a.vn 0
vn

d) Nu lim un = +, lim vn = a

neỏ
u a0
thỡ lim(un.vn) =

neỏ
u a 0

* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ
0
nh: , , , 0. thỡ phi tỡm cỏch kh
0
dng vụ nh.

Gii hn vụ cc, gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:
neỏ
u k chaỹ
n
lim xk ; lim xk

neỏ
u
k
leỷ
x
x

c
lim
0
lim c c ;
x xk
x
1

1
lim ;
lim


x0 x
x0 x
1
1
lim lim
x0 x
x0 x
2. nh lớ:
Nu lim f ( x) L 0 v lim g( x) thỡ:
x x0

x x0

x x0

16



thỡ L 0 v lim

x x0

f ( x) L

c) Nu lim f ( x) L thỡ lim f ( x) L
x x0

x x0

3. Gii hn mt bờn:
lim f ( x) L
x x0

lim f ( x) lim f ( x) L
x x0

x x0

III. Hm s liờn tc
1. Hm s liờn tc ti mt im:

neỏ
u L vaứlim g( x) cuứ
ngdaỏ
u

x x0
lim f ( x)g( x)
u L vaứlim g( x) traự
i daỏ
u
x x0
neỏ
x x0

0 neỏ
u lim g( x)
x x0

f ( x)
lim
neỏ
u lim g( x) 0 vaứL .g( x) 0
x x0 g( x)
x x0


neỏ
u
lim g( x) 0 vaứL .g( x) 0

x x0

* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh:
0
, , , 0. thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ
0
nh.

y = f(x) liờn tc ti x0 lim f ( x) f ( x0 )
x x0

xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x0 ta thc hin cỏc bc:
B1: Tớnh f(x0).

B2: Tớnh lim f ( x) (trong nhiu trng hp ta cn tớnh lim f ( x) , lim f ( x) )
x x0

x x0

x x0

B3: So sỏnh lim f ( x) vi f(x0) v rỳt ra kt lun.
x x0

2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú.
3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v
lim f ( x) f (a), lim f ( x) f (b)
xa

xb

4. Hm s a thc liờn tc trờn R.
Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x0. Khi ú:
Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x0.
f ( x)
Hm s y =
liờn tc ti x0 nu g(x0) 0.
g( x)
6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a).f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c(a; b): f(c) = 0.
Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nht
mt nghim c (a; b).
M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi ú vi mi T
a;b

a;b
(m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c (a; b): f(c) = T.

B. K NNG C BN
I. Gii hn ca dóy s
Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s:
Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n.
Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc
Dựng nh lớ kp: Nu un vn ,n v lim vn = 0 thỡ lim un = 0
Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy:
Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0.
Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu tha
cao nht ca t v ca mu.

17


 
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
II. Giới hạn của hàm số
Một số phương pháp khử dạng vô định:
0
1. Dạng
0
P( x)
a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x x0 Q( x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

P( x)
b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x x0 Q( x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

P( x)
2. Dạng : L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x Q( x)

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc
nhân lượng liên hợp.
3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
4. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
III. Hàm số liên tục
1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
khi x  x0
 f1 ( x )
Cho h/s f ( x )  
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 ?
 f 2 ( x ) khi x  x0
Phương pháp
B1: Tính lim f ( x)  lim f1 ( x)  L
x  x0

x  x0

B2: Tính f(x0) = f2(x0)
B3: Đánh giá hoặc giải pt L= f2(x0). Từ đó đưa ra kết luận
2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
khi x  x0
 f1 ( x)
Cho h/s f ( x)  
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm x0
khi x  x0
 f 2 ( x)
Phương pháp chung:
B1: Tính f(x0) = f1(x0)
B2: (liên tục phải ) tính: lim f ( x)  lim f1 ( x)  L1
x  x0

x  x0

Đánh giá hoặc GPT L1 = f1(x0)  KL về liên tục phải
B3: (liên tục trái) tính: lim f ( x)  lim f 2 ( x)  L2
x  x0

x  x0

Đánh giá hoặc GPT L2 = f1(x0)  KL về liên tục trái
B4: Đánh giá hoặc GPT L1 = L2  KL liên tục tại x0
3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
B3: Kết luận

4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh pt có nghiệm
18 


 
Phương pháp chung: Cho pt f(x) = 0. Để chứng minh phương trình có k nghiệm trên đoạn  a; b  ta
thực hiện các bước sau
B1: Chọn số a < T1 < T2 < … < Tk-1 < b chia đoạn  a; b  thành k khoảng thỏa mãn:

 f ( x). f (T1 )  0

... ... ...
 f (T ). f (b)  0
k 1

B2: Kết luận về nghiệm của phương trình trên  a; b

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Giới hạn của dãy số
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
a)  lim

2n3  2n  3

1  4n3
Hướng dẫn giải: 
a)  lim

2n3  2n  3
1  4n3

n1

2

2
2

n
1

 lim

n3

c)  lim

d)  lim

4n1  3



 lim



3

n3   1  

2
4

2 2

n3 n4  1  
1
1 2
n

1

n4  2n  2
 lim
b)  lim
n2  1

3n1  4n

n

3 4
n4  2n  2
       c)  lim
     d) lim  n2  2n  n   
2
n1
n 1



4 3

          b)  lim

9.3n1  4.4n1
4n1  3



n2  2n  n  lim

 3
9.  
4
 lim  

2n
2

1
 lim

n1

4
 4  

3

4n1

2

 1 

2
1  1
n

n  2n  n

Giới hạn của hàm số
Bài 2: Tìm các giới hạn sau
2  x  x2
      b)  lim 2x4  3x  12  
x1
x  
x 1
Hướng dẫn giải: 

a)  lim

2  x  x2
 
x1
x 1

a)  lim

b)  lim

x  

c) lim
x3

  c) lim
x3

7x  1
 
x3

d)  lim

x3

x 1  2
9  x2

 

( x  2)( x  1)
 lim( x  2)  3  
x1
x1
( x  1)

=  lim

2x4  3x  12  

=  lim x2 2 
x

3 12

   
x x4

7x  1
 
x3

Ta có:  lim ( x  3)  0, lim (7x  1)  20  0; x  3  0  khi  x  3  nên  I    


x3

x3

19 


 
d)  lim

x 1  2
2

x3

 =  lim

x3 (3  x)(3  x)( x  1  2)
9 x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau 
x3

a) lim ( x3  x2  x  1)    b) lim 
x

x1

1

 lim

x3 ( x  3)(



x  1  2)

1
 
24

x2 2
3x  2
2x3  5x2  2x  3

    c)  lim
  d)  lim
 
x3 4x3  13x2  4x  3
x2 x  7  3
x 1

Hướng dẫn giải: 

1 1
1
a)  lim ( x3  x2  x  1)  lim x3  1  
     
2
x
x
x x
x3 

3x  2
b)  lim 
. 
x1 x  1
 lim ( x  1)  0
 x1
3x  2
   
Ta có:   lim  (3x  1)  2  0       lim 
x1 x  1
 x1

 x  1  x  1  0
c)  lim

x2

d)  lim

x22

( x  2)  x  7  3

 lim

x2 ( x  2)

x 7 3

2x3  5x2  2x  3

x3 4x3  13x2



x  2  2

x73

 lim

x2

x22



3
 
2

2x2  x  1 11
  
x3 4x2  x  1 17

 lim

 4x  3

Bài 4.
Cho hàm số  f  x   x 2  3x  x 2  1  Tìm  l im f  x  .
x 

Hướng dẫn giải: 

f  x  x2  3x 





 


x 1 
2



x2  3x  x2  1

x2  3x  x2  1

l im f  x   lim

x  

x  


x 


Bài 5: Tính các giới hạn sau

a) lim
x 3

2x  3  3
;
x3



x2  3x  x2  1





x2  3x  x2  1



x2  3x  x2  1

3x  1
x2  3x  x2  1




x 


 

1

x  3 
x


3
1 
1   1  2 
x
x 
 

1
1


x3 
3 

3
x
x


 lim

3
1  x   
3
1  2
1   1  2 
 1   1  2 
x
x 
x

x 

 

b) lim
x2

x2  4
;
x3  x2  x  2

c) lim
x 2

2 x 2  1  3x  3
.
x2

Hướng dẫn giải: 
a) Nhân lượng liên hợp tử số 
 

20 


 

lim
x3

2x  3  3
2( x  3)
 lim
 lim
x3
x 3
( x  3) 2x  3  3 x3







 

2



1
  
2x  3  3 3



b) Phân tích: 

x2  4 

x2 x2

x3  x2  x  2   x  2  x2  x  1

x2  4
x  2. x  2
lim 3
 lim
 lim
x 2 x  x 2  x  2
x 2 x  2

 x 2  x  1 x 2



x2







x  2 x2  x  1

c) Thêm vào 3 và -3 trên tử. 

 
 

2 x 2  1  3x  3
2 x 2  1  3  3  3x  3
2 x2  1  3
3  3x  3
 lim
 lim
 lim
x2
x

2
x

2
x

2
x2
x2
x2
x2
2
2  x  4
2  x  2
3(2  x )
3
 lim
 lim
 lim

 lim
x 2
x 2
( x  2) 2 x 2  1  3 x2 ( x  2) 3  3x  3
2 x 2  1  3 x 2 3  3 x  3

lim



















8 3 5
 
6 6 6

Hàm số liên tục

 x2  x  2

khi x  2
Bài 6:  Cho hàm số  f ( x)   x  2
. 
 m
khi x  2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? 
Hướng dẫn giải: 
 Ta có tập xác định của hàm số là D = R 
a) Khi m = 3 ta có 
  
 f(x) liên tục tại mọi x  2. 
Tại x = 2 ta có: f(2) = 3;   lim f ( x)  lim ( x  1)  3   f(x) liên tục tại x = 2. 
x2
x2
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 
 x2  x  2
khi x  2  x  1 khi x  2


b)  f ( x )   x  2
 
m
khi
x


2

 m
khi x  2
lim f ( x )  3  
Tại x = 2 ta có: 
f(2) = m , 
x2
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2  f (2)  lim f ( x)  m  3  
x2
 3 3x  2  2
      khi x >2 

x

2
Bài 7. Cho hàm số:  f ( x )  
 
ax  1                khi x   2

4
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. 
Hướng dẫn giải: 

21 


 
  f (2)  2a 

1
 
4


1
1
  lim f ( x)  lim  ax    2a   
4
4
x2
x2 
3

  lim f ( x )  lim
x2

x2

3x  2  2
 lim
x 2
x2
( x  2)

3( x  2)



3

(3x  2) 2  2 3 (3x  2)  4

Hàm số liên tục tại x = 2   f (2)  lim f ( x )  lim f ( x )    2a 
x2

x 2





1
 
4

1 1
  a  0 
4 4

x3
khi x  1

Bài 8. Xét tính liên tục của f ( x )   x  1
 trên tập R 
2
khi x  1
Hướng dẫn giải: 
 Tập xác định D = R \ {1} 

x3
 Với  x  1;1  hàm số  f ( x) 
 xác định nên liên tục. 
x 1
 Xét tại x = 1  D nên hàm số không liên tục tại x = 1 
 Xét tại x = –1 
x3
lim f  x   lim
 1  f  1  2  nên hàm số không liên tục tại x = –1 
x2
x2 x  1

Bài 9. Chứng minh rằng phương trình  x5  3x4  5x  2  0  có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong 
khoảng  (–2; 5). 
Hướng dẫn giải: 
Xét hàm số  f ( x)  x5  3x4  5x  2   f  liên tục trên R. 
Ta có:  f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16  
 f (0). f (1)  0   PT  f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm  c1  (0;1)  
   

     f (1). f (2)  0   PT  f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm  c2  (1; 2)  

               f (2). f (4)  0   PT  f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm  c3  (2; 4)  
 PT  f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). 

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Nhận biết
Câu 1. Dãy số  (un ) với  un 

1

1
1
1

, chọn  M 
, để 
 thì n phải lấy từ số hạng thứ bao 
2n
100
2n 100

nhiêu trở đi? 
A. 51.   

 

B. 49.   

 

 

 

 
C. 48.   
 
D. 50. 
1
1

1
1
Câu 2. Dãy số  (un ) với  un 
, chọn  M 
, để 
 thì n phải lấy từ số hạng 

2n  1
1000
2n  1 1000
thứ bao nhiêu trở đi? 
A. 498.  
 
 
B. 499.  
 
C. 500.  
 
D. 501. 
Câu 3. Chọn mệnh đề đúng? 
 1 
A.  lim 
  0.  
 10n 
n

n

 

 4
B.  lim    0.  
 3

 

 3
D.  lim    0.  
 2

n

n

3
2
C.  lim    lim    0.    
4
3

22 


 
Câu 4. Chọn mệnh đề đúng? 
A.  lim  2017  0.                           

B.  lim  2017   2017.  

C.  lim  2017  1.                           

Câu 5. Dãy số  (un ) với  un 
A. 0.     

 

1
n

, thì  lim un  bằng: 
C.  .       

 

  D.  . 

B. 9.   
 
C. 3.    
1
Câu 7. Cho dãy số  (un ) với  un  7 
, khi đó  lim un  bằng: 
n2
A. 0.     
 
 
B. 7.   
 
C.  .  
1 1 1
1

Câu 8. CSN:  , , ,...., ,....  có công bội là: 
2 4 8
2n
1
A.  q  2.  
 
 
B.  q  2.  
 
C.  q  .  
2

 

  D.  . 

 

  D.  . 

       

1
  D.  q   .  
2

       

1
  D.  q   .  

3

Câu 6. Dãy số  (un ) với  un 
A. 0.     

 

 
1

D.  lim  2017  2017.  

n2
 

B. 1.   

 

 9 , thì  lim un  bằng: 

 1
1 1 1
Câu 9. Công bội của CSN:  1,  , ,  ,....,   
3 9 27
 3

A.  q  3.  

 

B.  q  3.  

 

n1

,....  là: 

 

1
C.  q  .  
3

Câu 10. Công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn  (un ) là: 
A.  S 

1 q
.   
u1

B.  S 

 

Câu 11.   lim n2  có kết quả bằng: 
A. 0.     
 
 

1 q
.   
u1

B. 1.   

 

C.  S 

u1
.          
1 q

  D.  S 

u1
. 
1 q

C.  .       

 

  D.  .  

Câu 12. lim5  có kết quả bằng: 
A. 0.     
 

 
B. 5.   
 
C.  .       
Câu 13: Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn  lim x k  là: 

 

  D.  .  

 

  D. x. 

 

  D. x. 

n

x 

A. + .  

C. 0.   
1
Câu 14: Kết quả của giới hạn  lim k  (với k nguyên dương) là: 
x  x
A. + .  
 

 
B.  .  
 
C. 0.   
Câu 15: Khẳng định nào sau đây đúng? 
A.  lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
x  xo
x  xo
x  xo
  
 
B.  lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x).  
x  xo

 

 

B. .    

x  xo

 

x  xo

C.  lim f ( x)  g ( x)  lim [f ( x)  g ( x)].
x  xo

x  xo

 

 

 

D.  lim f ( x)  g ( x)  lim [f ( x)  g ( x)] .  
x  xo

x  xo

Câu 16: Khẳng định nào sau đây đúng? 
A.  lim 3 f ( x)  g ( x)  lim [ 3 f ( x)  3 f ( x)].  
x  xo

x  xo

23 


 
B.  lim

3

C.  lim

3

D.  lim

3

x  xo

x  xo

x  xo

x  xo

f ( x)  g ( x)  3 lim f ( x)  3 lim g ( x).  
x  xo

f ( x)  g ( x)  3 lim [f ( x)  g ( x )].  
x  xo

f ( x)  g ( x)  lim
x  xo

3

f ( x)  lim 3 g ( x).  
x  xo

Câu 17: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại? 
x 1
x 1
x 1

x 1
A. lim
B. lim
C. lim
D. lim
.
.
.
. 
  x 1 x  2  
  x 1 2  x  
  x 1  x  2  
  x 1 2  x
 
Câu 18: Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. Hàm số có giới hạn tại điểm x=a  thì liên tục tại x =a. 
B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm  x=a   thì liên tục tại  x=a  . 
C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm  x=a   thì liên tục tại  x=a  . 
D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm  x=a   thì liên tục tại  x=a  . 
Câu 19: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. Nếu f(a).f(b) thì hàm số liên tục trên (a; b). 
B. Nếu hàm số liên tục trên (a; b)  thì  f(a).f(b) < 0. 
C. Nếu hàm số liên tục trên (a; b) và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. 
D. Cả ba khẳng định trên đều sai. 
Câu 20: Cho một hàm số f(x). Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. Nếu  f(x) liên tục trên đoạn   a; b   thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng 
(a;b). 
B. Nếu  f(a).f(b) < 0 thì phương trình  f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). 
C. Nếu phương trình  f(x) = 0   có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số  f(x)  phải liên tục 
trên khoảng (a; b). 

D. Nếu hàm số  f(x)  liên tục trên đoạn   a; b và f(a).f(b) < 0 thì phương trình  f(x) = 0 có 
nghiệm trong khoảng (a; b). 
Thông hiểu
3
Câu 21.  Giới hạn  lim
 bằng: 
n2
3
A. 3.   
             B.   .  
 
           C. 0.   
          D.  .  
2
n 1
Câu 22.: Giới hạn  lim
 bằng: 
n2
A. 1.   
 
 B.  1.  
 
 
C. 0.   
          D.  .  
2
7n  3
Câu 23. Giới hạn  lim 2
 bằng: 
n 2

3
A. 7.   
 
B.   .  
 
 
C. 0.   
          D.  .  
2
2n 2  1
Câu 24. Giới hạn  lim 3
 bằng: 
n  3n  3
1
A.  .    
 
B. 2.   
 
 
C. 0.   
 
D.  .  
3
n 1
Câu 25. Giới hạn  lim
 bằng: 
n 1
1
A. 0.   
 

B. 1.   
 
 
C.  1.   
 
D.  .  
2

24 


 
1  n 2  3n 3
 có kết quả là: 
2n 3  5n  2
3
1
1
A.   .  
           B.  .                         C. 0.                           D.  .  
2
2
5
2
n  2n
Câu 27. Giới hạn  lim 3
  có kết quả là: 
n 1
A. 1.     
 

B. 0.   
 
C.  .       
 
   D.  . 
2
3
2
4n  2n  1
2n  1
10n  n  1
Câu 28. Cho  A  lim
;  B  lim
;  C  lim
  trong  các  kết quả  sau 
2
5n 3  2n
2n  3
n3
kết quả nào đúng? 
A. B = C. 
           B. A = C. 
           C. A = B = C.                D. A = B. 
2n  13
Câu 29. Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
2
 n  5
Câu 26. Giới hạn  lim

A. 0.     

 

B. 2.   

2
           C.  .        
5

3n  2 n
  có kết quả là: 
4n
5
3
A. 0.     
           B.  .    
           C.  .        
4
4
Câu 31. Giới hạn  lim(5 x 2  7 x)  có kết quả là: 

2
. 
25

 

   D. 

 

   D.  . 

Câu 30. Giới hạn  lim

x 3

A. 24.   

           B. 0.                         C. -  .                             D. 5. 
x2
Câu 32. Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
x 1 x  1
1
 
 
C.   .  
 
   D.   . 
 
A.  1.  
B.  2 .  
2
x 2  2 x  15
Câu 33. Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
x 3
x3

1
A.  .                         B. 2.                          C.  .                              D.8. 
8

x3  8
Câu 34. Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
x 2 2  x
                       
 
           A. -12.
B. 12.                             C.  5.                              D. 8.
2x  3
Câu 35.  Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
x 1 1  x
A. 2.   
 
B. -2.                        C.  .                          D.  .  
4
4
x a
Câu 36.  Giới hạn  lim
 có kết quả là: 
xa x  a
A. 2a2.  
 
B. 3a4.  
 
C. 4a3.  

 
D. 5a4. 
5x2  4 x  3
Câu 37.  Giới hạn  lim 2
 có kết quả là: 
x  2 x  7 x  1
5
A.  .    
 
B. 1.               
C. 2.               
D. -  .  
2
( x 2  1)( x  1)
Câu 38.  Giới hạn của hàm số  f ( x ) 
 khi x tiến đến -   có kết quả là: 
(2 x 4  x)( x  1)
25