SỐ PHỨC_TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

SỐ PHỨC
I.

Khái niệm số phức

• Tập hợp số phức: C
• Số phức (dạng đại số): z = a + bi
(a, b ∈ R, a là phần thực, b là phần ảo, I là đơn vị ảo, i2 = -1)
• z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là phần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
• Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’I  {𝑎 = 𝑎′ (a, b, a’, b’ ∈ R)
𝑏 = 𝑏′

II.

Biểu diễn hình học:

Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi 𝑢
⃗ = (a; b) trong mp
(Oxy) (mp phức)

III.

Cộng và trừ số phức:

• (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
• (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i

• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi

IV.

Nhân hai số phức:

• (a + bi).(a’ + b’i) = aa’ + ab’i + a’bi + bb’i2 = (aa’ – bb’) + (a’b + ab’)i
• k.(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R)

V.

Số phức liên hợp:

Số phức liên hợp của z = a + bi là 𝑧̅ = a – bi
̅̅̅
𝑧
𝑧
̅ ; ̅̅̅̅̅
̅ ; ̅̅̅̅̅
( 1 ) = 1 ; z. 𝑧̿ = a2 + b2
• 𝑧̿ = z; ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧 ± 𝑧′ = 𝑧̅ ± 𝑧′
𝑧. 𝑧′ = 𝑧̅.𝑧′
̅̅̅
𝑧2

• z là số thực  z = 𝑧̿; z là số ảo  z = -𝑧̿

1

𝑧2


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

Môđun của số phức: Số phức z = a + bi

VI.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
• |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑧. 𝑧̅ = |𝑂𝑀
• |𝑧| > 0, ∀𝑧 ∈ 𝐶; |𝑧| = 0  z = 0
𝑧

• |𝑧. 𝑧′| = |𝑧|. |𝑧′|

|𝑧|

| | = |𝑧′|
𝑧′

||𝑧| − |𝑧′|| ≤ |𝑧 ± 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′|

VII. Chia hai số phức:
1

• z-1 = |𝑧|2.𝑧̅ (z ≠ 0)
•
•

𝑧′
𝑧
𝑧’
𝑧

𝑧’.𝑧

= z’.z-1 = |𝑧|2 =

𝑧 ′ .𝑧̅
𝑧.𝑧̅

= w  z’ = wz

VIII. Căn bậc hai của số phức:
• z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi  z2 = w  {

𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎
2𝑥𝑦 = 𝑏

• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là w = 0
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là ±√𝑎
Hai căn bậc hai của a < 0 là ±√−𝑎𝑖
IX.

Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là số phức cho trước,
A ≠ 0)

∆ = B2 – 4AC
• ∆ ≠ 0: (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 =
• ∆ = 0: (*) có 1 nghiệm kép z1 = z2 =

−𝐵 ± √∆
2𝐴

−𝐵
2𝐴

Chú ý: Nếu zo ∈ C là một nghiệm của (*) thì 𝑧̅𝑜 cũng là một nghiệm của (*).
X.

Dạng lượng giác của số phức:

z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (z ≠ 0)
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑟
𝑏
{ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑟
2


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

𝜑 là một góc argument của z, 𝜑 = (𝑂𝑥, 𝑂𝑀)
|𝑧| = 1  z = cos𝜑 + sin𝜑. 𝑖 (𝜑 ∈ R)

Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:

XI.

Cho z = r(cos𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑖), z’ = r’(cos𝜑′ + sin𝜑′ . 𝑖)
z.z’ = rr’.[cos(𝜑 + 𝜑′) + sin(𝜑 + 𝜑′). 𝑖]
𝑧
𝑧′

𝑟

= [cos(𝜑 − 𝜑′) + sin(𝜑 − 𝜑′). 𝑖]
𝑟′

XII. Công thức Moa-vrơ:
[r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)]n = rn(cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), (n ∈ N*)
(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)n = cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑

XIII. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r >0) có hai căn bậc hai là:
𝜑

𝜑

√𝑟(cos 2 + isin 2 )
𝜑

𝜑

𝜑

𝜑

2

2

2

2

Và -√𝑟(cos + isin ) = √𝑟[cos( + 𝜋) + isin( + 𝜋)]
Mở rộng: Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) có n căn bậc n là:
𝑛

𝜑+𝑘2𝜋

√𝑟cos(

𝑛

+ isin

𝜑+𝑘2𝜋
𝑛

) k = 0, 1, 2,…, n - 1

BÀI TẬP

I.
Các phép toán trên tập số phức
1. Tìm các số thực x và y thỏa:
a. 4x + 3 + (3y – 2).i = y + 1 – (x – 3).i
1

𝑥= −
4𝑥 − 𝑦 = −2
4𝑥 + 3 = 𝑦 + 1
13
{
{
{
22
3𝑦 − 2 = −𝑥 + 3
𝑥 + 3𝑦 = 5
𝑦=
13

𝑏. 1 − 2𝑥 − √3. 𝑖 = √5 + (1 − 3𝑦). 𝑖

3


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882
1− √5

𝑥=
1 − 2𝑥 = √5

2
{
{
1+
√3
1 − 3𝑦 = − √3
𝑦=
3

2. Xác định phần thực và phần ảo của các số sau:
a. 2i – 3(5 – 4i) + 7(6 + i)
 2i – 15 – 12i + 42 + 7i
 27 – 3i
Phần thực: 27
Phần ảo: -3
b. (√5 - 3i)2 = 5 – 6i + 9i2 (i2 = -1)
 5 – 6i – 9 = -4 – 6i
Phần thực: -4
Phần ảo: -6
c. (5 – 4i).(5 + 4i) = 25 – 16i2 = 25 + 16 = 41
Phần thực: 41
Phần ảo: 0
d.

12
2 √5
− 𝑖
3 3

=

2
3

√5
𝑖)
3
4 5 2
− 𝑖
9 9

12.( +

= 8 + 4√5𝑖

Phần thực: 8
Phần ảo: 4√5
e.

2−5𝑖
3+2𝑖

=

Phần thực: Phàn ảo: -

(2−5𝑖).(3−2𝑖)
9−4𝑖 2

=

6−4𝑖−15𝑖+10𝑖 2
13

=

−4−19𝑖
13

=-

4
13

-

19
13

4
13

19
13

f. Số phức z biết 𝑧̅ = (√2 + i).(1 - √2.i) (ĐH A/2010)
4

𝑖

GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

𝑧 = √2 - 2i + i - √2.i2 = 2√2 – i => z = 2√2 + i
Phần thực: 2√2
Phần ảo: 1
𝟏

√𝟑

𝟐

𝟐

3. Cho số phức z = - 1
𝑧

𝑧̅

-1

= z = |𝑧|2 =
1

√3

2

2

𝑧̅ = - +
1

√𝟑

4

𝟐

z2 = +

1 √3
𝑖
2
2
1 3
+
4 4

− +

𝒛

1

√3

2

2

=- +

𝟏

i. Tìm ; 𝒛; z2; (𝒛)3; 1 + z +z2
𝑖

𝑖
3

1

3

√𝟑

4

4

4

𝟐

i + 𝑖2 = - +
1

√𝟑 1

√3

2

𝟐 2

2

1

√𝟑

2

𝟐

(𝑧̅)3 = (𝑧̅)2. 𝑧̅ = (- 𝟏

√𝟑

𝟐

𝟐

1 + z + z2 = 1 - -

i +

i- +

1

√𝟑

2

𝟐

i=- +

i

1

√3

2

2

𝑖=-( +

1

√3

2

2

𝑖).(− +

1

𝑖) = - ( +
4

3 2
𝑖 )
4

=

i=0

4. Tìm nghiệm của các phương trình sau:
a. (1 – i).z + 2 – i = 4 – 5i
 (1 – i).z = 2 – 4i
z=

2−4𝑖
1−𝑖

=

(2−4𝑖).(1+𝑖)
1−𝑖 2

=

2+2𝑖−4𝑖−4𝑖 2
2

=

6−2𝑖
2

=3–i

b. [(2 + i)z – 3i].(4 – 5iz).(2𝑧̅ − 2 + 3𝑖) = 0
(2 + 𝑖)𝑧 − 3𝑖 = 0
 { 4 − 5𝑖𝑧 = 0 
2𝑧̅ − 2 + 3𝑖 = 0

𝑧=
𝑧=
{𝑧̅ =

3𝑖
2+𝑖
4
5𝑖
2−3𝑖
2

𝑧=

3𝑖(2−𝑖)

4− 𝑖 2



=

6𝑖−3𝑖 2
5
4

=

𝑧= − 𝑖
5

𝑧 =1−

{

c. (2 – 3i).z + (4 + i). 𝑧̅ = −(1 + 3𝑖)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R => 𝑧̅ = x – yi
 (2 – 3i).( x + yi) + (4 + i).(x – yi) = - (1 – 9 + 6i)
 2x + 2yi – 3xi + 3y + 4x – 4yi + xi + y = 8 – 6i
5

3
2

𝑖

3
5

+

6
5

𝑖

1
2


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

 6x + 4y – 2xi – 2yi = 8 – 6i
 6x + 4y – 2(x + y)i = 8 – 2.3i
{

6𝑥 + 4𝑦 = 8
𝑥 = −2
{
𝑦=5
𝑥+𝑦=3

Vậy z = -2 + 5i
d. z4 + 9 = 0
2

𝑧 = ±√3𝑖
 { 𝑧2 = 3𝑖  {
𝑧 = −3𝑖
𝑧 = ±√−3𝑖

e. z2 + |𝑧| = 0
Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R
 x2 – y2 +2xyi + √𝑥 2 + 𝑦 2 = 0
{

x 2 – y 2 + √𝑥 2 + 𝑦 2 = 0
𝑥𝑦 = 0

TH1: x = 0
 √𝑦 2 = y2
 y2 = y4
 y2.(y2 – 1) = 0
𝑦=0
𝑦2 = 0
{ 𝑦=1
{ 2
y – 1 = 0 𝑦 = −1
TH2: y = 0
 x2 + √𝑥 2 = 0
 x2 = -√𝑥 2 (VL)
𝑧=0
Vậy phương trình có nghiệm khi x = 0 => { 𝑧 = 𝑖
𝑧 = −𝑖
6

GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

f. z2 + 𝑧̅ = 0
Đặt: z = x + yi ; x, y ∈ R => x2 + y2 + x – yi = 0
{

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 = 0
𝑥=0
 x2 + x = 0  x.(x + 1) = 0  {
𝑦=0
𝑥 = −1

Vậy: {

𝑧=0
𝑧 = −1
g. {|𝑧 − 2 − 𝑖| = √10
𝑧. 𝑧̅ = 25

Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R
 {

{

|𝑥 + 𝑦𝑖 − 2 − 𝑖| = √10
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25

|𝑥 − 2 + (𝑦 − 1)𝑖| = √10

𝑥 2 + 𝑦 2 = 25

 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 10
 x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 10
 25 – 4x + 4 – 2y + 1 – 10 = 0
 -4x – 2y + 20 = 0
 4x + 2y – 20 = 0
 y = 10 – 2x (x, y ∈ R)
Lấy x = 1 => y = 8 . Vậy z = 1 + 8i

5. Xác định các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức thỏa đk sau:
a. |2𝑧 − 2𝑖| = 2
Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R => |2𝑥 + 2𝑦𝑖 − 2𝑖| = 2
 |2𝑥 + 2(𝑦 − 1)𝑖| = 2

7


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

 √4𝑥 2 + 4(𝑦 − 1)2 = 2
 4x2 + 4y2 – 8y + 1 = 4
 x2 + y2 – 2y – 3 = 0
Vậy các điểm thuộc mp phức thuộc đường tròn tâm I(0; 1) và bk R = √12 + 3 = 2
b. |

𝑧−3𝑖
𝑧+3𝑖

| = 1 => |𝑧 − 3𝑖| = |𝑧 + 3𝑖|

Đặt: z = x + yi => |𝑥 + 𝑦𝑖 − 3𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 + 3𝑖|
 |𝑥 + (𝑦 − 3)𝑖| = |𝑥 + (𝑦 + 3)𝑖|
 x2 + (y – 3)2 = x2 + (y + 3)2
 x2 + y2 – 6y + 9 = x2 + y2 + 6y + 9
 12y = 0  y = 0
Vậy các điểm thuộc mp phức là đường thẳng // trục Oy.
c. |𝑧̅| = |𝑧 − 3 + 2𝑖|
Đặt: z = x + yi => 𝑧̅ = x – yi; x, y ∈ R
 |𝑥 − 𝑦𝑖 | = |𝑥 + 𝑦𝑖 − 3 + 2𝑖|
 |𝑥 − 𝑦𝑖 | = |𝑥 − 3 + (𝑦 + 2)𝑖|
 x2 + y2 = (x – 3)2 + (y + 2)2
 x2 + y2 = x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4
3

13

2

4

 -6x + 4y + 13 = 0  y = x -

3

13

2

4

Vậy các điểm thuộc mp phức thỏa đường thẳng y = x d. z2 là số thực dương
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
 z2 =x2 – y2 + 2xyi

8

.


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

Để z2 là số thực dương thì {

𝑥2 − 𝑦2 > 0
𝑥𝑦 = 0

TH1: x = 0
 - y2 > 0 (VL)
TH2: y = 0
 x2 > 0  x > 0
Vậy các điểm thuộc mp phức // trục Oy sao cho x > 0.
e. z2 là số ảo
𝑥2 − 𝑦2 = 0
Tương tự câu d để z2 là số ảo thì {
𝑥𝑦 ≠ 0
𝑦=𝑥
 y2 = x2  {𝑦 = −𝑥

𝑦=𝑥
Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức thuộc đt {𝑦 = −𝑥 sao cho 𝑥𝑦 ≠ 0.
f.

5
𝑧−𝑖

là số ảo

Đặt z = x + yi; x, y ∈ R


5
𝑧−𝑖

=

5

=

𝑥+𝑦𝑖−𝑖

5
𝑥+(𝑦−1)𝑖

=

(1−𝑦)

Để

5
𝑧−𝑖

là số ảo thì {

𝑥 2 + (𝑦−1)2
5

𝑥 2 + (𝑦−1)2

5[𝑥−(𝑦−1)𝑖]
𝑥 2 + (𝑦−1)2

≠0

= 0 (𝑉𝐿)

=

5
𝑥 2 + (𝑦−1)2

+

(1−𝑦)
𝑥 2 + (𝑦−1)2

i

=> 1 – y ≠ 0  y ≠ 1

Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức thuộc đường thẳng y = 1, // với trực hoành.
g. 𝑧2 = (𝑧̅)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
 x2 – y2 + 2xyi = x2 – y2 - 2xyi
 4xy = 0  xy = 0
{

𝑥=0
𝑦=0
9


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường thẳng // trục hoành hoặc trục tung.
h. |𝑧 2 − (𝑧̅)2 | = 8
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
 |𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑖 | = 8
 |4𝑥𝑦𝑖 | = 8
 |𝑥𝑦𝑖 | = 2
 xy = 2
Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường Hyperbol (H) xy = 2.
i. (3 − z). (i + z̅)là số thực  3i + 3z̅ - zi - zz̅
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
 3i + 3x – 3xyi – xi + y – x2 – y2 = – x2 – y2 + 3x + y + (3 – x – 3xy).i
Để (3 − z). (i + z̅)là số thực thì {

– x 2 – y 2 + 3x + y ≠ 0
3 – x – 3xy = 0

1

1

𝑥

𝑥

 y = – 3. Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường thẳng y = – 3.
j. (3 – z).(i + z̅) là số ảo
Tương tự câu I ta có {

– x 2 – y 2 + 3x + y = 0
3 – x – 3xy ≠ 0

 – x 2 – y 2 + 3x + y = 0  x2 + y2 – 3x – y = 0. Vậy tập hợp các điểm thuộc mp
3 1

3 2

1

2 2

2

4

phức là đường tròn tâm I( ; ) và bk R = √( ) +

6. Mỗi số sau là số thực hay số ảo ?
a. z2 + (𝑧̅)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
 x2 – y2 + 2xyi + x2 – y2 - 2xyi = 2.(x2 – y2)
 Số thực

10

9

1

4

4

=√ +

=

√10
2


GV: NGUYỄN NGỌC THẮM
SĐT: 01217558882

b.

𝑧− 𝑧̅
𝑧 3 + (𝑧̅ )3

Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
𝑧 − 𝑧̅ = x + yi – x + yi = 2yi
𝑧 3 + (𝑧̅)3 = 𝑧 2 .z + (𝑧̅)2 . 𝑧̅ = (x2 – y2 + 2xyi).(x + yi) + (x2 – y2 - 2xyi).(x – yi) = x3 + x2yi
– xy2 – y3i + 2x2yi + 2xy2i2 + x3 – x2yi – xy2 + y3i – 2x2yi + 2xy2i2 = 2x3 – 2xy2 – 4xy2
𝑧− 𝑧̅
𝑧 3 + (𝑧̅ )3

=

2𝑦𝑖
2𝑥 3 − 2𝑥𝑦 2 − 4𝑥𝑦 2

=> Số ảo

11