HƯỚNG dẫn TÍNH TÍCH PHÂN, NGUYỄN HỒNG điệp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (817.8 KB, 83 trang )
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ai
H
oc
01
NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
nT
hi
D
ÔN THI TỐT NGHIỆP QUỐC GIA
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
u
v
w
w
w
a
Gò Công Tây, năm 2018
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ )
2nd −LATEX−201401.1
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Copyright © 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Tài liệu được tổng hợp từ nhiều nguồn khác nhau, trình bày theo hình thức tự luận.
Các em học sinh khi tham khảo nên nắm chắc các phần cơ bản trước, có 1 vài dạng
tương đối phức tạp và ít phù hợp với hình thức trắc nghiệm.
— Vĩnh Bình, ngày 11, tháng 01, năm 2018.
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
iii
oc
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
nT
hi
D
ai
H
Mục lục
TÍCH PHÂN
1
Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . .
1.2
Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . .
4
Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . .
4.1
Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . .
4.3
Dạng phân thức 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác
7.5
Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . .
8.2
Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
I
iv
uO
MỤC LỤC
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iv
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
4
6
6
8
8
9
10
10
11
13
14
16
17
17
17
18
19
21
21
23
24
30
35
36
36
42
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
45
45
50
55
55
58
60
62
.
.
.
.
.
.
65
65
65
66
69
69
70
III Bài tập tổng hợp
1
Các đề thi tuyển sinh 2002-2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
72
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D
.
.
.
.
.
.
hi
.
.
.
.
.
.
nT
.
.
.
.
.
.
uO
.
.
.
.
.
.
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1
Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . .
1.1
Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . .
2.1
Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . .
2.2
Hình phẳng quay quanh Oy - Nâng cao
.
.
.
.
.
.
.
.
.
oc
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai
H
9
8.3
Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . .
Tính tính phân bằng tính chất . . . . . .
9.1
Tích phân có cận đối nhau . . . .
9.2
Tích phân có cận là radian . . . .
Phương pháp tính tích phân từng phần
10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Phương pháp hằng số bất định .
Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . .
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
v
ai
H
oc
I
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
uO
Bảng các nguyên hàm thông dụng
x α dx =
om
/g
0d x = C
ro
up
s/
1.1
Các công thức
Ta
iL
ie
1
nT
hi
D
TÍCH PHÂN
x α+1
+C
α+1
.c
1
dx = ln |x| +C
x
ok
e x dx = e x +C
w
w
w
.fa
ce
bo
a x dx =
ax
+C
ln a
cos x dx = sin x +C
sin x dx = − cos x +C
1
dx = tan x +C
cos2 x
1
dx = − cot x +C
sin2 x
dx = x +C
(ax + b)α dx =
1 (ax + b)α+1
·
+C
a
α+1
1
1
dx = · ln |ax + b| +C
ax + b
a
1
e ax+b dx = · e ax+b +C
a
u
a
u a u dx =
+c
ln a
1
cos(ax + b)dx = · sin(ax + b) +C
a
1
sin(ax + b)dx = − · cos(ax + b) +C )
a
1
1
dx = · tan(ax + b) +C
2
cos (ax + b)
a
1
1
dx = − · cot(ax + b) +C
2
a
sin (ax + b)
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
1.2
Chương I. TÍCH PHÂN
Tích phân xác định
Định nghĩa
oc
b
ai
H
f (x)d x = F (b) − F (a)
D
a
uO
f (x) dx = 0
a
0
b
k f (x)d x = k
a
Ta
iL
ie
b
•
nT
a
f (x) dx = 0,
•
hi
Tính chất
0
f (x)d x
a
b
a
a
f (x)d x
b
b
b
a
b
c
f (x)d x =
•
b
f (x)d x +
a
f (x)d x
c
ok
.c
a
a
om
/g
a
g (x)d x
ro
f (x)d x ±
f (x) ± g (x) d x =
•
b
up
s/
f (x)d x = −
•
b
bo
• Nếu f (x) ≥ 0 trên [a; b] thì
f (x)d x ≥ 0
a
b
ce
• Nếu f (x) ≥ g (x) trên [a; b] thì
b
f (x)d x ≥
a
g (x)d x
a
.fa
w
w
2
Phương pháp phân tích
w
Ví dụ 1.
Tính các tích phân sau:
2
(a) I 1 =
1
2
x 2 − 2x
dx
x3
01
Cho y = f (x) là một hàm số liên tục trên [a, b] và y = F (x) là một nguyên hàm của
nó. Tích phân xác định từ a đến b được định nghĩa và kí hiệu như sau:
3
(b) I 2 =
x2 − 1
1
x
2
dx
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
0
2
(e) I 5 =
0
6x − 3
x2 − x + 5
0
2
e x − 1 dx
(d) I 4 =
dx
01
(c) I 3 =
1
ex + 1
dx
e 2x
oc
1
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
2
1
2
2
− 2 dx = ln |x| +
x x
x
x 4 + 2x 2 + 1
dx =
x
(b) Ta có: I 2 =
1
1
1
1
+ 2x dx =
x
e
e
(c) Ta có: I 3 =
0
D
3
x 3 + 2x +
1
1
1
e −x + e −2x dx = −e −x − e −2x
2
0
1
1
x
e − 2 e x + 1 dx =
0
2
(e) Ta có: I 5 = 3
= 28 + ln 3.
1
0
2x − 1
dx = 3 ln x 2 − x + 5
x2 − x + 5
2
0
= 3 ln
7
(dạng
5
1
0
3 1
1
− − 2.
2 e 2e
= e − 4 e + 4.
u
dx )
u
ro
0
=
x
up
s/
0
1
e x − 2e 2 + 1 dx e x − 4e 2 + x
x
(d) Ta có: I 4 =
3
1
1
dx = x 4 + x 2 + ln |x|
x
4
hi
3
nT
1
= ln 2 − 1.
1
uO
(a) Ta có: I 1 =
Ta
iL
ie
2
ai
H
Giải
om
/g
Ví dụ 2.
Tính các tích phân sau:
.c
1
2004
(a) I 1 =
(b)I 2 =
0
bo
0
dx
ok
x(1 − x)
1
ce
.fa
w
w
w
x −2− x −3
dx
Giải
1
1
[(x − 1) + 1](x − 1)2004 dx =
(a) Ta có: I 1 =
1
0
[(x − 1)2005 + (x − 1)2004 ] dx
0
1
1
(x − 1)2005 dx +
=
0
(x − 1)2004 dx
0
(x − 1)2006 (x − 1)2005
=
−
2006
2005
1
=−
0
1
.
4022030
(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu.
1
Ta có: I 2 =
x − 1 − x dx =
0
3
3
2
(x + 1) 2 − x 2
3
4
= ( 2 − 1)
3
3
4
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX
3
Chương I. TÍCH PHÂN
Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max
b
| f (x)| dx ta xét dấu f (x) trên [a, b] để khử dấu giá trị tuyệt đối.
01
1. Tính I =
a
max f (x), g (x) dx, I =
a
min f (x), g (x) dx ta xét dấu hàm
ai
H
2. Tính I =
b
a
D
h(x) = f (x) − g (x)
nT
hi
trên [a, b] để tìm min f (x), g (x) , max f (x), g (x) .
uO
Ví dụ 3.
x 2 − x dx
0
x =1
∨
ro
Cho x 2 − x = 0 ⇔ x = 0
Bảng xét dấu
up
s/
Giải
0
x2 + x
0
1
−
2
+
0
2
2
x 2 − x dx = 1
−x + x dx +
.c
Khi đó: I =
x
om
/g
1
Ta
iL
ie
2
Tính I =
1
ok
0
bo
Ví dụ 4.
2π
ce
Tính I =
1 + sin x dx
.fa
0
w
w
w
Giải
2π
2π
2π
x
x
x 2
x
Ta có: I =
1 + sin x dx =
sin + cos
dx = sin + cos dx
2
2
2
2
0
0
0
x
x
x
π
Cho sin + cos = 0 ⇔ tan = −1 ⇔ x = − + k2π
2
2
2
2
3π
Do x ∈ [0, 2π] ta có x =
2
Bảng xét dấu
4
oc
b
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX
x
sin + cos
x
x
sin + cos dx +
2
2
Khi đó: I =
0
x
x
+ sin
2
2
3π
2
2π
− sin
3π
2
+ 2 cos
0
+
0
2π
−
0
x
x
+ cos dx
2
2
x
x
− sin
2
2
2π
3π
2
= 4 ln 2.
ai
H
= 2 − cos
x
2
01
x
2
3π
2
3π
2
0
oc
Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 5.
(|x| − |x − 1|) dx
hi
Tính I =
D
2
nT
−1
uO
Giải
x
x
−
x −1
−
1
(x + x − 1) dx +
0
0
+
(x − x + 1) dx
ro
2
(2x − 1) dx +
dx = 0.
1
om
/g
0
−1
+
1
1
dx +
=−
+
−
2
2
(−x + x − 1) dx +
−1
0
0
1
up
s/
0
Khi đó: I =
0
−1
Ta
iL
ie
Bảng xét dấu chung
Ví dụ 6.
.c
2
bo
0
ok
max{x 2 , 3x + 2} dx
Tính I =
Giải
w
w
w
.fa
ce
Xét hàm số h(x) = x 2 − 3x + 2 trên [0, 2]
Bảng xét dấu
x
0
h(x)
0
1
+
0
2
−
Do đó:
• Với x ∈ [0, 1] thì max[x 2 , 3x + 2] = x 2 .
• Với x ∈ [1, 2] thì max[x 2 , 3x + 2] = 3x − 2.
1
2
2
Khi đó: I =
x dx +
0
(3x − 2) dx =
1
17
.
6
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
4
Chương I. TÍCH PHÂN
Phương pháp đổi biến số đơn giản
Thông thường khi gặp:
01
• Một căn thức ta đặt t là căn thức.
oc
• Một phân thức ta đặt t là mẫu.
• Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.
D
hi
Dạng căn thức
f (x) ta đặt t =
n
f (x)
Ta
iL
ie
Ví dụ 7.
1
Tính
n
uO
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng
nT
4.1
ai
H
• Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ.
x 2 + 1 dx
x
up
s/
0
Giải
om
/g
ro
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t 2 − 1 ⇒ xd x = t d t
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2
1
Khi đó: I
2
x 2 + 1.x dx
=
t 2 dt =
t .t dt =
1
1
t3
3
2
=
0
1
2 2−1
3
.c
0
=
2
bo
ok
Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t . Bài này ta còn có thể giải
theo cách khác như ở Ví dụ 5.3 trang 15.
ce
Ví dụ 8.
x3
x 2 + 1 dx
0
w
.fa
Tính I =
3
w
w
Giải
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xd x = −t d t
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 3 ⇒ t = 2
3
Khi đó: I
=
x
0
6
2
2
x 2 + 1.x dx
=
2
(t 3 − t 2 ) dx=
(1 − t )t (−t ) dx =
0
0
t4 t3
−
4
3
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
=
0
4
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
Nhận xét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân
xd x là x 3 d x = x 2 .xd x và ta thấy cần chuyển x 2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành
công.
3 − 2 ln x
x 1 + 2 ln x
1
dx
oc
Tính
ai
H
3
01
Ví dụ 9.
D
Giải
1
x
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 2 ⇒ t = 2
1
· dx =
1 + 2 ln x x
1
1
(3 − t 2 + 1)
· t dt =
t
Ví dụ 10.
Tính I =
x 4 + x2
dx (A-2003)
ro
5
1
(4 − t 2 ) dt =
10 2 11
−
3
3
1
up
s/
2 3
2
uO
Khi đó: I =
2
3 − 2 ln x
Ta
iL
ie
3
nT
hi
Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ 2 ln x = t 2 − 1 ⇒ t d t = d x
Giải
2 3
Khi đó: I
dx
x 4 + x2
ok
5
4
2 3
.c
=
1
om
/g
Đặt t = 4 + x 2 ⇒ x 2 = t 2 − 4 ⇒ xd x = t d t
Đổi cận: x = 5 ⇒ t = 3 ; x = 2 3 ⇒ t = 4
5
4
bo
1
· t dt
2
(t − 4)t
=
=
=
=
=
.fa
ce
3
4
3
1
dt
(t − 2)(t + 2)
3
1
4
1
x2 4 + x2
· x dx
1
· t dt =
2
t −4
4
3
4
3
1
t2 −4
dt
1
1
1
1
5
−
dt = (ln |t − 2| − ln |t + 2|)|43 = · ln
t −2 t +2
4
4
3
w
w
w
Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân x dx ta thấy hàm ban đầu chưa có kết
quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x . Sau đó ta cần
chuyển x 2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.
✜ Bài toán tương tự
ln 8
1.
ln 3
1
1 + ex
Đáp số: ln 32
dx .
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
Chương I. TÍCH PHÂN
ln 2
e x − 1 dx
2.
0
r
s
ta đặt
,
ax + b)
= t k với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ
cx + d
nT
hi
D
ax + b)
...,
cx + d
r
m
,..., .
n
s
m
n
ai
H
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng
ax + b)
cx + d
01
Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau
oc
4.2
Tính I =
1
3
x +1+ x +1
0
dx
Đặt x + 1 = t 6 ⇒ x = t 6 − 1 ⇒ d x = 6t 5 d t
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 63 ⇒ t = 2
=
1
Nhận xét: do
3
2
1
t3
dt
t +1
2
ro
Khi đó: I
6t 5
dt = 6
t3 + t2
om
/g
2
up
s/
Giải
Ta
iL
ie
63
uO
Ví dụ 11.
t2 − t +1−
=
1
1
1
2
dt = 11 + 6 ln
t +1
3
1
x + 1 = (x + 1) 3 , x + 1 = (x + 1) 2 và mẫu số chung của các số mũ
.c
nên ta đổi biến x + 1 = t 6 .
ok
Dạng phân thức 1
bo
4.3
ce
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng
w
w
.fa
chung trong nhiều trường hợp ta đặt t = g (x).
Ví dụ 12.
4
w
Tính I =
0
2x + 1
1 + 2x + 1
dx
Giải
1 Phương pháp giải tổng quát xem mục 6 trang 17
8
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
f (x)
nói
g (x)
1 1
, là 6
3 2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
Đặt t = 1 + 2x + 1 ⇒ t − 1 = 2x + 1
4
Khi đó: I
=
2
t −1
· (t − 1) dt =
t
4
2
(t − 1)2
dt
t
4
=
2
1
t − 2 + dt = 2 + ln 2
t
ai
H
oc
Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức t = 2x + 1 nhưng sẽ phức tạp hơn,
cách đổi biến t = 1 + 2x + 1 là phù hợp.
01
⇒ 2x + 1 = (t − 1)2 ⇒ d x = (t − 1)d t
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 4 ⇒ t = 4
1
D
Ví dụ 13.
uO
nT
0
hi
x3
dx
x2 + 1
Tính I =
dt
2
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t − 1 ⇒ xd x =
Khi đó: I
=
0
x2
· x dx =
x2 + 1
2
1
t −1 1
· dt
t
2
1
=
2
2
1−
up
s/
1
Ta
iL
ie
Giải
1
1
1 ln 2
dx = −
t
2
2
4.4
om
/g
ro
Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2 ở đây đưa
ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân.
Dạng biểu thức lũy thừa
bo
1
ok
Ví dụ 14.
.c
Thông thường ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.
x 3 (x 4 − 1)5 dx.
ce
Tính I =
.fa
0
w
w
w
Giải
1
4
Đặt t = x 4 − 1 ⇒ d t = 4x 3 d x ⇒ x 3 d x = x 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1 ; x = 1 ⇒ t = 0
1
Khi đó: I =
4
0
t 5 dt =
−1
1 6
t
24
0
=−
−1
1
.
24
Nhận xét: do (x 4 ) = 4x 3 nên ta khử được x 3 trong đề bài.
2 Xem mục 6 trang 17
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
4.5
Chương I. TÍCH PHÂN
Biểu thức có logarit
Dạng thường gặp là biểu thức chứa
1
và ln x . Ta thường đổi biến t = ln x hoặc t =
x
01
biểu thức chứa ln x .
oc
Ví dụ 15.
1
(b) I 2 =
1
3
1 + ln2 x
dx
x
1
x
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2
1
2
7
= .
3
1
1 + ln2 x ⇒ t 3 = 1 + ln2 x ⇒ 3t 2 d t = 2 ·
ro
3
Ta
iL
ie
Khi đó: I 1 =
(b) Đặt t =
t3
t dt =
3
2
up
s/
2
uO
Giải
(a) Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t =
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 3 2
1
2
1
3 3
= ( 16 − 1)
8
ok
ce
.fa
w
w
w
3
ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Hàm dưới dấu tích phân
Đổi biến
Điều kiện
1
a2 − x2
x = a sin t
x = a cos t
t ∈ − π2 , π2
t ∈ [0, π]
2
x2 − a2
a
x = sin
t
a
x = cos
t
t ∈ − π2 , π2 \ {0}
t ∈ [0, π] \ { π2 }
x = a tan t
x = a cot t
t ∈ − π2 , π2
t ∈ (0, π)
x = a cos 2t
t ∈ 0, π2
x = a + (b − a) sin2 t
t ∈ 0, π2
3
a2 + x2
4
a+x
a−x
5
10
3
t dt = · t 4
8
3
Đổi biến sang lượng giác
bo
5
2
ln x
ln x
3
dx ⇒
d x = · t 2d t
x
x
2
.c
3
Khi đó: I 2 =
2
om
/g
3
D
(a) I 1 =
ln x.
hi
e
(1 + ln x)2
dx
x
nT
e
ai
H
Tính các tích phân sau:
k
hoặc
(x − a)(b − x)
a−x
a+x
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
5.1
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Dạng 1
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
dạng này ta đặt
a 2 − x 2 , a > 0, với bài tập có
ai
H
oc
01
π π
• x = a sin t , t ∈ − ,
2 2
• x = a cos t , t ∈ [0, π]
Ví dụ 16.
D
3
hi
4 − x 2 dx
Tính I =
uO
nT
−1
−π π
,
2 2
⇒ d x = 2 cos t d t
−π
Đổi cận: x = −1 ⇒ t =
;x=
6
Ta
iL
ie
Giải
Đặt x = 2 sin t , t ∈
π
3
Khi đó: I
π
3
4 − 4 sin2 t · 2 cos t dt = 4
=
− π6
cos t = cos t
π
3
4 cos2 t dt = 2
π
3
dt + 2
ok
=2
π
3
.c
− π6
bo
− π6
cos2 t dt
om
/g
3
=
cos t
ro
− π6
π π
⇒ cos t > 0 ⇒
Do t ∈ − ,
6 3 π
I
π
3
up
s/
3⇒t =
(1 + cos 2t ) dt
− π6
cos2 t dt = π + 3
− π6
w
w
w
.fa
ce
Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t = 4 − x 2 thì
sẽ gặp khó khăn do:
1. Từ t 2 = 4 − x 2 ⇒ t d t = −xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuất hiện
vi phân xd x thì ta phải chia cho x . Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến 3 có
chứa x = 0 khi đó phép chia không hợp lệ.
2. Khi đổi sang biến t cần tính t theo x lại xuất hiện dấu căn mới, bài toán sau phức
tạp hơn bài toán trước. (∗.∗)
Đây là Ví dụ chứng tỏ không phải cứ thấy
thành công.
f (x) là đổi biến t =
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
f (x). Có thể không
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 17.
1
Tính I =
3
9 − x2
−322
dx
01
3
2
oc
Giải
ai
H
Đặt x = 3 cos t với t ∈ [0, π]
π 3π
3, 4
Do t ∈
9 sin2 t
3π
4
3
dt =
π
3
hi
3 sin t
33 · | sin3 t |
nT
−3 sin t
=
dt
⇒ sin t > 0 ⇒ | sin3 t | = sin3 t
3π
4
=
π
3
3π
4
3 sin t
1
1
1
d
t = − cot t
d
t=
3
2
9 sin t
9
33 · sin t
π
3
9 − x2
3
π
3
=
3+3
27
là không thích hợp.
up
s/
Nhận xét: trong bài này nếu đặt t =
3π
4
Ta
iL
ie
Khi đó I
3π
4
uO
π
3
D
⇒ d x = −3 sin t d t
3π
3
π
3 2
⇒t =
;x= ⇒t =
Đổi cận: x = −
2
4
2
3
ro
Dạng tổng quát
om
/g
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
dạng này ta đặt
a 2 − b 2 x 2 , a > 0, với bài tập có
π π
a
sin t , t ∈ − ,
b
2 2
a
• x = cos t , t ∈ [0, π]
b
ce
bo
✜ Bài tập
ok
.c
• x=
1
2 3π
27
1
+ 12
w
1
−x 2 + 2x + 3
0
Đáp số:
3−1
3.
−1
12
dx .
π
6
1
x 2 + 2x + 2
Đặt x − 1 = 2 sin t
w
2.
dx
.
4−(x−1)2
1
dx .
1
0
w
0
. Hd: I =
.fa
Đáp số:
2
sin t
3
4 − 3x 2 dx .
. đặt: x =
x2
1.
Đáp số:
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
π
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
5.2
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Dạng 2
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
dạng này ta đặt
x 2 − a 2 , a > 0, với bài tập có
a
π
, t ∈ 0,
sin t
2
π
a
cos t , t ∈ 0,
• x=
cos t
2
ai
H
oc
01
• x=
3 2
hi
1
dx
x x2 − 9
nT
Tính I =
uO
6
D
Ví dụ 18.
Giải
Ta
iL
ie
3
π
với t ∈ 0,
sin t
2
3 cos t
⇒ dx = −
dt
sin2 x
π
π
Đổi cận: x = 3 2 ⇒ t = ; x = 6 ⇒ t =
4
6
π
6
π
4
1
3
π
4
π
6
9
sin2 t
−9
π
3
3 sin t ·
π
4
sin2 t
x 2 + 9 sẽ xuất hiện tích phân có dạng
dt ta áp dụng phương pháp giải ở mục 5.3 trang 14.
bo
1
t2 +9
cos t
ce
3
ok
Nhận xét: bài này ta còn có thể đổi biến t =
3 3
dt
2
cos t
1
π
d
t=
d
t=
cos t
3
36
sin t ·
π
6
sin t
.c
=
3
sin x ·
·
sin t
2
cos t
dt =
ro
=
π
4
−3 cos t
om
/g
Khi đó: I
up
s/
Đặt x =
2
2
Tính
w
w
.fa
Ví dụ 19.
4x 2 − 1
dx
w
1
1
Giải
1
π
, t ∈ 0,
2 cos t
2
sin t
⇒ dx =
dt
2 cos2 t
Đặt x =
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
π
2
π
;x=
⇒t =
3
2
4
Đổi cận: x = 1 ⇒ t =
π
4
Khi đó: I =
π
3
Chương I. TÍCH PHÂN
1
dt
cos t
2
2
=
1
1
d
u
=
u2 − 1
2
3
2
=
2
2
ai
H
π
3
sin2 t − 1
· cos t dt
D
π
3
1
hi
=
π
4
1
1
−
du
u −1 u +1
nT
Khi đó: I
1
· cos t dt =
cos2 t
3
2
1
ln
2
uO
π
4
oc
π
3
π
2
⇒u=
; t = ⇒u=
3
2
4
2
2+1
3+1
Ta
iL
ie
Đổi cận: t =
01
Đặt u = sin t ⇒ d u = cos t d t
ro
Dạng 3
om
/g
5.3
up
s/
Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợp nhưng đây chưa phải
là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theo hướng khác t = 2x + 4x 2 − 1 thì bài giải
gọn hơn nhiều. Qua đó cho thấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìm
được lời giải đẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người.
k
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a 2 + x 2 , a > 0, với bài tập có
dạng này ta đặt
bo
ok
.c
π π
• x = a tan t , t ∈ − ,
2 2
• x = a cot t , t ∈ (0, π)
ce
Ví dụ 20.
3 3
3
1
x2 + 9
dx
w
w
w
.fa
Tính
Giải
π π
2 2
3
⇒ dx =
dt
cos2 t
π
π
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = ; x = 3 3 ⇒ t =
4
3
Đặt x = 3 tan t , t ∈ − ,
14
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
Khi đó: I
=
π
4
1
3
π
3
π
4
1
1
2
·
cos
t
d
t
=
cos2 t
3
π
3
1
1 + tan2 cos2 t
π
4
dt =
π
4
dt
π
36
oc
=
3
1
1
·
dt =
2
2
9 tan t + 9 cos t
3
π
3
01
π
3
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
0
1
dx
x2 + 4
D
Tính
hi
2
ai
H
Ví dụ 21.
nT
Giải
Đặt x = 2 cot t , t ∈ (0, π)
uO
2
dt
cos2 t
π
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t =
2
4
Khi đó: I
=
0
1
2
π
4
1
2
0
sin t
1
x
1
2
1
1 + cot2 sin2 t
0
dt =
0
dt
π
8
om
/g
Ví dụ 22.
Tính
· sin2 t dt =
π
4
π
4
ro
=
1
2
1
·
d
t
=
4 cot2 t + 4 sin2 t
2
up
s/
π
4
Ta
iL
ie
⇒ dx =
1 + x 2 dx
ok
.c
0
Giải
w
.fa
ce
bo
π π
Đặt x = tan t , t ∈ − ,
2 2
1
⇒ dx =
dt
cos2 t
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t =
4
w
tan t
=
w
Khi đó: I
π
4
0
=
0
π
4
1 + tan2 t ·
1
dt =
cos2 t
π
4
0
sin t
1
1
·
·
dt
cos t cos t cos2 t
sin t
1
dt = · · · = 2 2 − 1
4
cos t
3
Nhận xét: đây là cách giải đúng và dĩ nhiên có thể chấp nhận được nhưng ta còn có
cách giải khác ngắn gọn hơn ở Ví dụ 4.1 trang 6. Phép đổi biến x = tan t có thể dùng
được nhưng không thích hợp trong trường hợp này.
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Chương I. TÍCH PHÂN
Dạng tổng quát
k
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a 2 + b 2 x 2 , với bài tập có dạng
này ta đặt
01
a
π π
tan t , t ∈ − ,
b
2 2
a
• x = cot t , t ∈ (0, π)
b
ai
H
oc
• x=
1 + 3x 2
0
2
hi
1
dx
nT
Tính I =
uO
1
D
Ví dụ 23.
Đặt x =
Ta
iL
ie
Giải
π π
2 2
1
,t ∈ − ,
3
⇒ dx =
1
1 + tan2 t d t
=
1 + tan2
=
1
3
π
3
cos2 t dt =
0
1
2 3
π
3
1
3
0
(1 + cos t ) dt =
0
ok
Dạng 4
3
bo
5.4
π
3
1 + tan2 t dt =
om
/g
0
·
2
1
1
dt
1 + tan2 t
π
6 3
+
1
8
.c
Khi đó: I
1
ro
π
3
up
s/
3
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t =
3
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
π
2
a−x
, với bài tập
a+x
w
w
.fa
ce
có dạng này ta đặt x = a cos 2t , t ∈ 0,
a+x
hoặc
a−x
Ví dụ 24.
1
w
Tính I =
−1
1+x
dx
1−x
π
2
⇒ dx = −2 sin 2t dt
π
π
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t =
2
4
Đặt x = cos 2t , t ∈ 0,
16
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
Khi đó: I
1 + cos 2t
· (−2 sin 2t ) dt =
1 − cos 2t
=
π
4
π
2
π
2
π
4
π
2
π
4
(1 + cos 2t ) dt = −2 −
π
4
π
2
Dạng 5
D
5.5
ai
H
oc
π
4
cot2 t · (−2 sin 2t ) dt
−4 cos2 t dt = −2
cot t (−2 sin 2t ) dt =
=
π
2
01
π
2
6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
hi
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng (x − a)(b − x), với bài tập có
π
dạng này ta đặt x = a + (b − a) sin2 t , t ∈ 0,
uO
nT
2
Ví dụ 25.
Tính I =
Ta
iL
ie
3
2
(x − 1)(x − 2) dx
up
s/
5
4
π
2
om
/g
Đặt x = 1 + sin2 t , t ∈ 0,
ro
Giải
ok
.c
⇒ d x = 2 sin t d t
π
3
π
5
Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t =
4
6
2
4
bo
1
2
π
4
=
π
6
sin2 2t dt =
1
4
1 − cos 4t dt =
π
6
π
3
+
48 32
.fa
ce
Khi đó: I
π
4
w
w
w
6
6.1
Tích phân hàm hữu tỉ
Tích phân chứa nhị thức
Dạng I =
1
dx ta đổi biến t = ax + b
(ax + b)n
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
6.2
Chương I. TÍCH PHÂN
Tích phân chứa tam thức
ai
H
1. ∆ > 0
3. ∆ < 0
Khi đó: I =
hi
1
a
1
dx (tích phân hàm chứa nhị thức).
(x − x 0 )2
1
a
1
dx (đổi biến sang lượng giáca xem mục 5 trang
(x + A)2 + B 2
uO
Khi đó: I =
Ta
iL
ie
2. ∆ = 0
1
1
−
dx
x − x1 x − x2
nT
1
a(x 1 − x 2 )
=
D
1
dx
a(x − x 1 )(x − x 2 )
Khi đó: I =
up
s/
10).
ro
a Dạng 3
1
dx
x 2 + 2x + 2
bo
ok
.c
−1
om
/g
Ví dụ 26.
Tính I =
.fa
ce
Giải
1
dx
(x + 1)2 + 1
−1
π π
Đặt x + 1 = tan t , t ∈ − , ⇒ d x = (1 + t 2 )d t
2 2
π
Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0 ; x = 3 − 1 ⇒ t =
3
π
π
w
w
w
3−1
Ta có: I =
3
Khi đó: I =
0
18
oc
1
dx , xét các trường hợp của ∆ = b 2 − 4ac
2
ax + bx + c
I=
3−1
01
✸ Dạng 1
(1 + t 2 )
dt =
(1 + t 2 )
3
π
3
dt = .
0
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chương I. TÍCH PHÂN
6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
✸ Dạng 2
mx + n
dx ta phân tích
ax 2 + bx + c
01
Tích phân có dạng I =
oc
mx + n = A(ax 2 + bx + c) + B
ai
H
từ đó ta đưa được về các dạng tích phân biết cách giải.
hi
nT
4
2x + 3
dx
x 2 − 3x + 2
Giải
up
s/
Phân tích: 2x + 3 = A(2x − 3) + B = 2Ax − 3A + B
Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
2A
=2
4
2x − 3
x 2 − 3x + 2
4
3
dx = ln |x 2 − 3x + 2| 4 = ln
=1
B
=6
3
4
1
x 2 − 3x + 2
dx
5
6
bo
4
= I1 + I2
.c
• I1 =
2x − 3
dx + 6
2
x − 3x + 2
A
ok
3
3
om
/g
Khi đó: I =
(2x − 3) + 6
dx =
x 2 − 3x + 2
=3
⇔
ro
−3A + B
3
uO
Tính I =
Ta
iL
ie
3
D
Ví dụ 27.
6.3
Dạng tổng quát
w
w
w
.fa
ce
✸ Phân tích phân thức
Cho f (x) là đa thức bậc bé hơn n khi đó ta có phân tích
f (x)
A1
A2
A n+1
=
+
+···+
n
n
n−1
(x − a)
(x − a)
(x − a)
a−a
A
A1
f (x)
A1
A2
A m+1
•
=
+
+···
+
+ · · · + n+1
m
n
m
m−1
n
(x − a) (x − b)
(x − a)
(x − a)
x − a (x − b)
x −b
Ta qui đồng, khử mẫu và xác định các hệ số A i bằng phương pháp đồng nhất thức
•
hoặc trị số riêng.
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 28.
A − 2B
=2
A
=4
⇔
A
=4
B
=1
01
x +2
A
B
A + B (x − 2)
=
+
=
2
2
(x − 2)
(x − 2)
x −2
(x − 2)2
Cho x + 2 = A + B (x − 2). Lần lượt cho x = 0, 2 ta được hệ phương trình:
oc
1.
ai
H
x 2 − 4x
x 3 − 4x 2 + 5x − 2
Ta có: x 3 − 4x 2 + 5x − 2 = (x − 1)2 (x − 2)
A
B
C
x 2 − 4x
=
=
=
Do đó: f (x) =
2
2
(x − 1) (x − 2) (x − 1)
x −1 x −2
hi
D
2. f (x) =
nT
Qui đồng mẫu số và khử mẫu hai vế ta được:
uO
x 2 − 4x = A(x − 2) + B (x − 1)(x − 2) +C (x − 1)2
B +C
Ta
iL
ie
Lần lượt cho x = 1, 2, 0 ta được hệ phương trình:
=1
=4 ⇔
=5
= −4
.c
om
/g
✸ Dạng tổng quát
B
C
=3
ro
up
s/
A − 3B − 2C
−2A + 2B +C = 0
A
bo
bước:
ok
Để tính bài toán tích phân có dạng phân thức a I =
w
w
.fa
ce
1. Xét xem
f (x)
dx ta thực hiện theo các
g (x)
f (x)
đã là phân thức thực sự chưa. Cụ thể:
g (x)
(a) Nếu bậc f (x) nhỏ hơn bậc của g (x) ta đã có phân thức thực sự.
(b) Nếu bậc của f (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g (x) ta chia f (x) cho g (x)
để làm xuất hiện phân thức thật sự.
w
2. Căn cứ vào dạng tích của mẫu thức mà ta phân tích thành tổng các phân
thức đơn giản.
a Ta chỉ xét trường hợp mẫu có nghiệm
20
Nguyễn Hồng Điệp
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
