Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chương 5

BÀI TỐN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN
HỒI.
5.1 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi.
5.1.1 Bài toán ứng suất phẳng.

Như đã biết trong lý thuyết đàn hồi, một vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng
thay mặt phẳng của nó thì mọi điểm của tấm đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó
trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị của mọi điểm được biểu diễn bởi các vectơ
sau đây:

x
z
y

t

Hình 5-1. Phần tử chịu ứng suất phẳng.

{δ } = [δ x , δ y , δ xy ]T

Vectơ ứng suất :
Vectơ biến dạng :

{ε } = [ε x , ε y , ε xy ]T

Vectơ chuyển vị : {u} = [u, v ]T
Các thành phần trong các vectơ này chỉ là hàm của 2 biến độc lập x,y. Phương trình

định luật Hooke ở dạng ngược là : {δ } = [D ] . {ε }
Trong đó ma trận các hằng số đàn hồi [D ] có dạng như sau :
⎡ d11
[D] = C1 ⎢d 21
⎢
⎢ 0
⎣

d 12
d 22
0

0 ⎤
0 ⎥
⎥
d 33 ⎥
⎦

( 5-1)

Ở đây trường hợp vật liệu là đẳng hướng thì :
d11 = d 22 = 1; d12 = d 21 = C 2 ; d 33 =

với C1 =

E
và C 2 = ν
1 −ν 2

E - modun đàn hồi;

ν - hệ số poison.
5.1.2 Bài toán biến dạng phẳng.

5-1

1 − C2
2


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Nếu vật thể có hình lăng trụ dài vơ hạn và chịu tải trọng phân bố không thay đổi
theo chiều dài lăng trụ (ví dụ đập trọng lực).
y
z

x

Hình 5-2. Phần tử chịu biến dạng phẳng.
Khi đó nếu chọn trục z là trục lăng trụ, thì mọi điểm của lăng trụ ở trạng thái biến
dạng phẳng và vectơ biến dạng là :

{ε } = [ε x , ε y , ε xy ]T
vectơ chuyển vị : {u} = [u, v]T
So với bài toán ứng suất phẳng, nếu bỏ qua sự khác biệt cụ thể đối với thành phần
ứng suất và biến dạng theo phương z, thì các phương trình của 2 bài tốn này rất giống
nhau. Sự khác biệt chỉ có ở nội dung các thành phần ma trận các hằng số đàn hồi [D ]
trong công thức định luật Hoooke.
Cụ thể, với vật liệu là đẳng hướng các giá trị C1 và C 2 trong ma trận [D ] được xác
định theo các công thức sau :

C1 =

ν
(1 − ν ) E
; C2 =
(1 + ν )(1 − 2ν )
1 −ν

( 5-2)

Do đó ta có thể thấy rằng trong cả 2 bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng
trường chuyển vị được xác định duy nhất bởi 2 thành phần chuyển vị u và v theo 2
phương x và y của hệ toạ độ vng góc. Các đại lượng này và cả ứng suất, biến dạng
thành phần đều chỉ là hàm của hai toạ độ điểm x, y nên bài tốn là bài tốn 2 chiều. Ta có
thể gọi chung là bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi.
Khi giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị, vật
thể được rời rạc hố bằng một tập hợp hữu hạn các phần tử phẳng liên kết với nhau tại
một số xác định các điểm nút. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị của nút
đó theo 2 phương x và y. Số lượng và hình dạng các phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết
quả tính tốn. Dạng của phần tử thường dùng là tam giác, tứ giác...
5.2 Bài toán phẳng với phần tử tam giác.
5.2.1 Các hàm dạng.

5-2


Chương 5. Bài tốn phẳng của lý thuyết đàn hồi
q6
k

q5

q2
q1
y

q4
q3

i
j
x

Hình 5-3. Phần tử tam giác.
Xét phần tử tam giác như hình bên. Đây là phần tử có 3 điểm nút i, j, k là các đỉnh
của tam giác, mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị cua nút đó theo 2 phương
x, y. Tập hợp các bậc tự do của cả 3 nút này là vectơ chuyển vị nút của phần tử {q}e .

{q}e = [q1 q2 q3 q4 q5 q6 ]T
Chuyển vị tại một điểm (x,y) được biểu diễn theo các hàm chuyển vị sau :
u ( x, y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y

v ( x, y ) = α 4 + α 5 x + α 6 y

u ( x, y ) - chuyển vị theo phương x;
v( x, y ) - chuyển vị theo phương y.

Vectơ chuyển vị tại một điểm biểu diễn dưới dạng ma trận như sau :
⎧α 1 ⎫
⎪α ⎪

⎪ 2⎪
1 x y 0 0 0 ⎤ ⎪α 3 ⎪
⎪ ⎪
{u (x, y )} = ⎡
⎢0 0 0 1 x y ⎥ ⋅ ⎨α ⎬
⎣
⎦ ⎪ 4⎪
⎪α 5 ⎪
⎪ ⎪
⎪α 6 ⎪
⎩ ⎭

( 5-3)

gọn hơn: {u (x, y )} = [P( x, y )]{α }
Trong đó :

[ p( x, y )] [0] ⎤
[P(x, y )] = ⎡
⎢ [0]
[ p( x, y)]⎥
⎣
⎦
[ p(x, y )] = [1 x y ]

( 5-4)

Nếu cho toạ độ lần lượt là toạ độ của các nút i, j, k của phần tử đang xét ta có mối
quan hệ :

5-3


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

{q}e

⎧q1 ⎫ ⎡1 xi
⎪q ⎪ ⎢
⎪ 2 ⎪ ⎢0 0
⎪ ⎪
⎪ q 3 ⎪ ⎢1 x j
=⎨ ⎬=⎢
⎪q 4 ⎪ ⎢0 0
⎪ q 5 ⎪ ⎢1 x k
⎪ ⎪ ⎢
⎪q 6 ⎪ ⎢0 0
⎩ ⎭ ⎣

yi

0

0

1

xi

yj

0

0

0
yk

1 xj
0 0

0

0 ⎤ ⎧α 1 ⎫
⎪ ⎪
y i ⎥ ⎪α 2 ⎪
⎥
⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪α 3 ⎪
⎥⎨ ⎬
y j ⎥ ⎪α 4 ⎪
0 ⎥ ⎪α 5 ⎪
⎥⎪ ⎪
y k ⎥ ⎪α 6 ⎪
⎦⎩ ⎭

0

1 xk

hay {q}e = [A]{α }
Trong đó ma trận [A] hồn tồn xác định, các hệ số được xác định như sau :

{α } = [A]−1 {q}e
Ma trận nghịch đảo có dạng:

[A]−1

⎡x j yk
⎢ y
j
⎢
1 ⎢ xk
=
⎢
2A ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

− xk y j
− yk
−xj
0
0
0

x k y i − xi y k
y k − yi

xi − x k
0
0
0

0
0
0
x j y k − xk y j
y j − yk
xk − x j

0
0
0
x k y i − xi y k
y k − yi
x j − xk

xi y j − x j y i
yi − y j
x j − xi
0
0
0

0
⎤
⎥
0

⎥
⎥
0
⎥
xi y j − x j y i ⎥
yi − y j ⎥
⎥
x j − xi ⎥
⎦

Trong đó:
⎡1 xi
1
A = det ⎢1 x j
2 ⎢
⎢1 x k
⎣

yi ⎤
1
y j ⎥ = (x j y k − x k y j + x k y i − xi y k + xi y j − x j y i )
⎥ 2
yk ⎥
⎦

A - diện tích tam giác có 3 đỉnh i, j, k của phần tử.
Ta có thể viết gọn như sau :

[A]−1

⎡ ai
⎢y
⎢ ik
1 ⎢ x kj
=
⎢
2A ⎢ 0
⎢0
⎢
⎢0
⎣

0
0

aj
y ki

0
0

ak
y ij

0

xik

0

x ji

ai

0

aj

0

y ik

0

y ki

0

x kj

0

y ik

0

0⎤
0⎥
⎥
0⎥

⎥
ak ⎥
y ij ⎥
⎥
y ji ⎥
⎦

Trong đó :
xij = xi − x j

ai = x j y k − x k y j

y ij = y i − y j

a j = x k y i − xi y k
a k = xi y j − x j y i

Suy ra : {u (x, y )}e = [P(x, y )][A]−1 {q}e
hay : {u (x, y )}e = [N (x, y )]{q}e

[N (x, y )] - ma trận các hàm dạng được xác định theo công thức sau :
5-4

( 5-5)


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi
0
N j ( x, y )
0

N k ( x, y )
0 ⎤
⎡ N i ( x, y )
N i ( x, y )
0
N j ( x, y )
0
N k ( x, y ) ⎥
⎣ 0
⎦

[N (x, y )] = ⎢
Trong đó :

[

]

1
y jk ( x − x k ) + x kj ( y − y k )
2A
1
[ y ki (x − xi ) + xik ( y − yi )]
N j ( x, y ) =
2A
1
N k ( x, y ) =
y ij (x − x j ) + x ji ( y − y j )
2A
N i ( x, y ) =

[

( 5-6)

]

Dạng rút gọn :
1
(ai + y jk x + xkj y )
2A
1
(a j + yki x + xik y )
N j ( x, y ) =
2A
1
(ak + yij x + x ji y )
N k ( x, y ) =
2A
N i ( x, y ) =

Cũng như chuyển vị, các thành phần biến dạng của phần tử được biểu diễn theo
vectơ chuyển vị nút {q}e như sau :

{ε }e = [B]{q}e
Với ma trận biến dạng [B] được xác định như sau:

[B] = [∂ ][N (x, y )]
Trong bài toán phẳng ma trận [∂ ] được cụ thể hoá:
⎡∂

⎢
⎢ ∂x
[∂ ] = ⎢ 0
⎢
⎢∂
⎢
⎢ ∂y
⎣

⎤
0⎥
⎥
∂⎥
∂y ⎥
∂⎥
⎥
∂x ⎥
⎦

Thực hiện phép đạo hàm dễ dàng nhận được:
⎡ y jk
1 ⎢
[B] = ⎢ 0
2A
⎢− x jk
⎣

0

− y ik

0

y ij

− x jk
y jk

0
xik

xik
− y ik

0
− xij

0 ⎤
⎥
− xij ⎥
y ij ⎥
⎦

( 5-7)

Theo cơng thức trên thì thành phần của ma trận [B ] là các hằng số nên các thành
phần biến dạng ứng suất có giá trị khơng đổi trong phạm vi mỗi phần tử.
5.2.2 Ma trận độ cứng phần tử.

Ma trận độ cứng phần tử được xác định bởi công thức :

[K ]e = ∫ [B]T [D][B]dv
V

5-5


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Do độ dày của tâm là khơng đổi nên tích phân trên dễ dàng thực hiện được vì ma
trận [B ] và [D ] chỉ gồm các hằng số, vì vậy :

[K ]e = [B]T [D][B]t ∫ da = t. A.[B]T [D][B]

( 5-8)

A

Khai triển các phép nhân ma trận ta được :

[k ]e

⎡k11
⎢
⎢
Ct⎢
= 1 ⎢
4A ⎢
⎢
⎢

⎢
⎣

k12

k13

k14

k15

k 22

k 23

k 24

k 25

k 33

k 34

k 35

k 44

k 45
k 55

k16 ⎤
k 26 ⎥
⎥
k 36 ⎥
⎥
k 46 ⎥
k 56 ⎥
⎥
k 66 ⎥
⎦

( 5-9)

Trong đó các thành phần k ij có giá trị trong bảng sau :
k11 = y jk + λx jk
2

2

2

k12 = −C 2 x jk y jk − λy jk x jk
k13 = − y ik y jk − λx jk xik
k14 = C 2 xik y jk + λy kj x jk
k15 = y jk y ij + λx jk xij
2

2

k 23 = C 2 x jk y ik + λy ik x jk

k 24 = − x jk xik − λy jk y ik
k 25 = −C 2 x jk y ij − λy jk xij
k 26 = xij x jk + λy jk y ij

ở đây λ =

2

k 34 = −C 2 xik y ik − λy ik xik
k 35 = − y ik y ij − λxik xij
k 36 = C 2 xij y ik + λxik y ij
k 44 = xik + λy ik
2

k16 = −C 2 y jk xij − λx jk y
k 22 = x jk + λy jk

k 33 = y ik + λxik

2

k 45 = C 2 xik y ij + λy ik xij
k 46 = − xik xij − λy ik y ij
k 55 = y ij + λxij
2

2

k 56 = −C 2 xij y ij − λxij y ij
k 66 = xij + λy ij

2

2

1 − C2
đại lượng C1 và C 2 được xác định tuỳ theo ứng suất phẳng hoặc
2

biến dạng phẳng.
5.2.3 Vectơ tải trọng nút

Vectơ tải trọng nút được xác định do các loại tải trọng sau gây ra :
⎧g x ⎫
⎬ (gx,gy là khơng đổi)
⎩g y ⎭

-Do lực thể tích : {g } = ⎨
Ta có:

5-6

( 5-10)


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

{p}e

⎧N i g x ⎫
⎧g x ⎫

⎪N g ⎪
⎪g ⎪
⎪ i y⎪
⎪ y⎪
⎪N j g x ⎪
At ⎪ g x ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
T
= ∫ [N ( x, y )] {g }dv = ∫ ⎨
⎬tda =
⎨ ⎬
N jgy ⎪
3 ⎪g y ⎪
V
A⎪
⎪N g ⎪
⎪g ⎪
⎪ k x⎪
⎪ x⎪
⎪g y ⎪
⎪N k g y ⎪
⎩ ⎭
⎩
⎭

( 5-11)

Trong đó :

A - diện tích tam giác i, j, k;
t - bề dày phần tử.
- Do lực bề mặt :
⎧ px ⎫
⎬ (giả sử px,py không đổi)
⎩ py ⎭

{p} = ⎨

Theo công thức :

{p}e = ∫ [N (x, y )]T {p}ds
S

hay :

{p}e

⎧N i px ⎫
⎧ px ⎫
⎪N p ⎪
⎪p ⎪
⎪ i y⎪
⎪ y⎪
⎪N j px ⎪
t.Lij ⎪ p x ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
= ∫⎨

⎬tdl =
⎨ ⎬
N j py ⎪
2 ⎪ py ⎪
Lij ⎪
⎪N p ⎪
⎪0⎪
⎪ k x⎪
⎪ ⎪
⎪0⎪
⎪N k p y ⎪
⎩ ⎭
⎩
⎭

( 5-12)

Trong đó L ij là chiều dài cạnh nối 2 đỉnh ij. Trong trường hợp có thêm 2 cạnh khác
nhau chịu lực tác dụng bề mặt ta làm tương tự. Vectơ lực nút sẽ là tổng lực tác dụng trên
mỗi cạnh.
-Do nhiệt độ :

{p}e = ∫ [B ]T [D]{ε 0 }e dv
V

Trong đó :
⎧1 ⎫
{ε 0 } = αT ⎪1 ⎪
⎨ ⎬
⎪0⎪

⎩ ⎭

{p}e = [B]T [D]{ε 0 }tA
Với vật liệu đẳng hướng ta có :

5-7


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

{p}e

⎧ y jk ⎫
⎪− x ⎪
⎪ jk ⎪
⎪
⎪
Eαt.T ⎪ − y ik ⎪
=
⎨
⎬
2(1 − ν ) ⎪ xik ⎪
⎪ y ij ⎪
⎪
⎪
⎪ − xij ⎪
⎩
⎭

( 5-13)

α - hệ số giãn nở vì nhiệt;

T - dộ biến thiên nhiệt độ.
5.2.4 Ma trận ứng suất.

Do hàm chuyển vị là tuyến tính nên biến dạng là hằng số trong mỗi phần tử. Từ đó
cũng thấy được ứng suất không đổi trong từng phần tử, ta có :

{σ }e

⎧σ x ⎫
⎪ ⎪
= ⎨σ y ⎬ = [D ]{ε }e = [D ][B ]{q}e = [S ]{q}e
⎪ ⎪
⎩σ xy ⎭

( 5-14)

Trong đó:

[S ] = [D][B]
[S ] - ma trận ứng suất.
Sau khi thực hiện phép nhân ma trận.

[S ]e

⎡ y jk
C1 ⎢
=

C 2 y jk
2A ⎢
⎢− λx jk
⎣

− C 2 x jk

− y ik

y ij

C 2 xik

− x jk
λy jk

− C 2 y ik
λxij

C 2 y ij
− λxij

xik
− λy ik

trong đó:
C1 , C 2 - là hằng số;

λ=

1 − C2
;
2

A - diện tích tam giác i, j, k.
5.3 Bài tốn phẳng với phần tử hình chữ nhật.
5.3.1 Các hàm dạng

5-8

− C 2 xij ⎤
⎥
xij ⎥
− λy ij ⎥
⎦

( 5-15)


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

q4

k

q3

l (0,b)

q3

k (a,b)

b

l

y

q4

q4

q4
q3

q3

i

j

x
i (0,0)

j (a,0)

a

Hình 5-4. Phần tử hình chữ nhật.

Xét phần tử chữ nhật trong mặt phẳng x, y như hình trên, phần tử có 4 điểm i, j, k
và e là các đỉnh của hình chữ nhật. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo
x và y, tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút của phần tử {q}e ta có :

{q}e

⎧q1 ⎫
⎪q ⎪
⎪ 2⎪
⎪q 3 ⎪
⎪ ⎪
⎪q 4 ⎪
=⎨ ⎬
⎪q 5 ⎪
⎪q 6 ⎪
⎪ ⎪
⎪q 7 ⎪
⎪q ⎪
⎩ 8⎭

Hai chuyển vị thành phần của một điểm bất kỳ có toạ độ x,y được biểu diễn bằng
hàm chuyển vị xấp xỉ sau:
u ( x, y )⎫ ⎧α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy ⎫
⎬ =⎨
⎬
⎩v( x, y )⎭ e ⎩α 5 + α 6 x + α 7 y + α 8 xy ⎭

{u (x, y )}e = ⎧
⎨

Hoặc

{u (x, y )}e

⎡1 x y
=⎢
⎣0 0 0

xy 0 0 0
0 1 x y

0⎤
{α }
xy ⎥
⎦

{u (x, y )} = [P(x, y )]{α }
Trong đó :

[ p( x, y)] [0] ⎤
[P(x, y )] = ⎡
⎢ [0]
[ p( x, y)]⎥
⎣
⎦
Các ma trận:

[ p(x, y )] = [1

x

y

xy ]

Thực hiện phép đồng nhất chuyển vị nút từ đó ta xác định được vectơ {α} .
5-9


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

{q}e

⎡1
⎢0
⎢
⎢1
⎢
0
=⎢
⎢1
⎢
⎢0
⎢1
⎢
⎢0
⎣

0 0

0

0 0

0

1 0 0

a 0

0

0 0 0

0 0

0

0 ⎤ ⎧α 1 ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪α 2 ⎪
⎥
0 ⎥ ⎪α 3 ⎪
⎥⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪α 4 ⎪
⎨ ⎬
0 ⎥ ⎪α 5 ⎪
⎥
ab ⎥ ⎪α 6 ⎪
⎪ ⎪

0 ⎥ ⎪α 7 ⎪
⎥
0 ⎦ ⎪α 8 ⎪
⎥⎩ ⎭

0 0 0

1 a 0

a b ab 0 0 0
0 0

0

1 a b

0 b

0

0 0 0

0 0

0

1 0 b

( 5-16)

Tức là : {q}e = [A]{α } .
Nghịch đảo của ma trận [A] ta có :

[A]−1

0 0
⎡ ab 0
⎢− b 0
b
0
⎢
⎢− a 0
0 0
⎢
0 −1 0
1 ⎢1
=
ab ⎢ 0 ab 0 0
⎢
⎢ 0 −b 0 b
⎢ 0 −a 0 0
⎢
1
0 −1
⎢ 0
⎣

0
0
0

1
0
0
0
0

0 0 0⎤
0 0 0⎥
⎥
0 a
0⎥
⎥
0 −1 0 ⎥
0 0 0⎥
⎥
0 0 0⎥
0 0 a⎥
⎥
1 0 − 1⎥
⎦

Véctơ {α } = [A]−1 .{q}e
Từ đây suy ra:

{u ( x, y )} = [P( x, y )][A]−1 .{q}e
.
Hay:

{u ( x, y )} = [N ( x, y )].{q}e
Trong đó [N ( x, y )] là ma trận hàm dạng.

⎡Ni
⎣0

[N (x, y )] = ⎢

0

Ni

Nj
0

0

Nj

Nk
0

0

Nk

Nl
0

0⎤
Nl ⎥
⎦

( 5-17)

Các hàm dạng thành phần có cơng thức như sau :
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
N i = ⎜1 − ⎟ . ⎜1 − ⎟
⎝ a⎠ ⎝ b⎠
Nj =

x ⎛
y⎞
. ⎜1 − ⎟
a ⎝ b⎠

Nk =

xy
ab

Nl =

y⎛
x⎞
⎜1 − ⎟
b⎝ a⎠

Ma trận tính biến dạng xác định theo công thức :
5-10

( 5-18)

Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

[B] = [∂] . [N (x, y )]
Cụ thể :
⎡∂
⎢
⎢ ∂x
[B] = ⎢ 0
⎢
⎢∂
⎢
⎢
⎣ ∂y

⎤
0⎥
⎥
∂ ⎥ ⎡Ni
.⎢
∂y ⎥ ⎣ 0
∂⎥
⎥
∂x ⎦
⎥

0

Nj

0

Nk

0

Ni

0

Nj

0

Nk

0⎤
Nl ⎥
⎦

Nl
0

( 5-19)

Thực hiện phép đạo hàm đơn giản, ta có :
y
0
(b − y )
0

⎡− (b − y )
1 ⎢
[B] = . ⎢ 0
− (a − x)
−x
0
0
ab
⎢− (a − x) − (b − y )
−x
(b − y ) x
⎣

−y

⎤
x
0
(a − x)⎥
⎥
y (a − x)
−y ⎥
⎦

0

0

5.3.2 Ma trận độ cứng

Ma trận độ cứng được tính theo cơng thức :

[K ]e = ∫ [B]T [D][B]dv
V

Kết quả như sau :

[K ]e

⎡k11
⎢
⎢
⎢
⎢
C1t ⎢
.
=
ab ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

k12

k13

k14

k15

k16

k17

k 22

k 23

k 24

k 25

k 26

k 27

k 33

k 34

k 35

k 36

k 37

k 44

k 45

k 46

k 47

k 55

k 56

k 57

k 66

k 67
k 77

k18 ⎤
k 28 ⎥
⎥
k 38 ⎥
⎥
k 48 ⎥
k 58 ⎥
⎥
k 68 ⎥
k 78 ⎥
⎥
k 88 ⎥

⎦

Trong đó các k ij được xác định như sau :
k11 =

b 2 + λa 2
3

k12 =

ab(λ + C 2 )
4

k13 =

k15 = −

k 66 = k 22

k 34 = k16

k 67 = k18

k 35 = k17

k 68 = k 24

ab

k 36 = k14

k 77 = k11

b 2 + λ .a 2
6

k 37 = k15

k 78 = k16

λ . a 2 − 2b 2

k14 = −

5-11

k 33 = k11

6

λ − C2
4

( 5-20)


Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

k16 = −ab

λ + C2

k 38 = k12

4

b 2 − 2.λ.a 2
k17 =
6
k18 = ab
k 22

k 44 = k 22

λ − C2

k 45 = k18

4

a 2 + λ.b 2
=
3

k 46 = k 28

k 23 = k18
k 24 =

k 47 = k12

a 2 − 2.λ.b 2
6

k 48 = k 26

k 25 = k16
k 26 = −

k 55 = k11

a 2 + λ .b 2
6

k 56 = k12

k 27 = k14
k 28 =

k88 = k 22

k 57 = k13

λ.b 2 − 2.a 2

k 58 = k14

6

5.3.3 Vectơ tải trọng nút

Vectơ tải trọng nút của phần tử được xác định tương tự như phần tử tam giác.
⎧g x ⎫
⎬
⎩g y ⎭

{g} = ⎨

- Do lực thể tích :

a

{p}e = ∫ [N (x, y )] {g}dv = ∫
T

V

0

(gx, gy không đổi)

⎧N i g x ⎫
⎧g x ⎫
⎪N g ⎪
⎪g ⎪
⎪ i y⎪
⎪ y⎪
⎪N j g x ⎪
⎪g x ⎪
⎪

⎪
⎪ ⎪
b
⎪N j g y ⎪
t.ab ⎪ g y ⎪
∫ ⎨ N k g x ⎬ . tdx.dy = 4 . ⎨ g x ⎬
0⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪g y ⎪
⎪N g ⎪
⎪ ⎪
⎪ k y⎪
⎪g x ⎪
⎪N e g x ⎪
⎪g ⎪
⎪
⎪
⎩ y⎭
⎩N e g y ⎭

( 5-21)

Do lực bề mặt: tương tự phần tử tam giác, các lực được chia đều cho hai đỉnh mà
trên đó có lực chịu tác dụng của lực phân bố.

5-12


Chương 5. Bài tốn phẳng của lý thuyết đàn hồi

p2

l

k

p1

i

j

Hình 5-5. Sơ đồ quy tải trọng về nút.

{p}e = {p}e jk + {p}e ke

⎧ 0 ⎫
⎪ 0 ⎪
⎪ p b⎪
⎪ 1 ⎪
⎪ 2 ⎪
⎪ 0 ⎪
⎪ p b⎪
=⎨ 1 ⎬
⎪ 2 ⎪
⎪ p1 a ⎪
⎪ 2 ⎪
⎪ 0 ⎪
⎪ p1 a ⎪
⎪

⎪
⎩ 2 ⎭

5.3.4 Ma trận ứng suất

Ma trận ứng suất :

{σ }e

⎧σ x ⎫
⎪ ⎪
= ⎨σ y ⎬ = [S ]e .{q}e
⎪ ⎪
⎩σ xy ⎭

trong đó : [S ]e = [D ].[B ]e công thức cụ thể như sau :
−C2x
y C2x
− y C2(a − x)⎤
⎡ − (b − y) − C2(a − x) (b − x)
C1 ⎢
[S]e = . ⎢−C2(b − y) − (a − x) C2(b − y) − x C2 y x −C2 y (a −b) ⎥
⎥
ab
⎢ − λ(a − x) − λ(b − y)
λ(b − y) λx λy λ(a − x) − λy ⎥
− λx
⎦
⎣

Như vậy với phần tử hình chữ nhật, ứng suất biến thiên theo x và theo y.

5-13

( 5-22)