Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học

Những bài toán Hình phẳng chọn lọc qua kì thi
Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán 2017-2018
Phúc Tăng - Việt Hưng
Kỉ yếu cuối cấp - Mùa hè 2017

1

Lời nói đầu:

ôm nay chúng tôi viết bài viết này nhằm tổng hợp và chọn lại các bài hình
học phẳng hay qua kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán 2017-2018. Vẫn
còn nhiều bài hình rất hay nhưng chúng tôi không đưa vào vì lí do những bài đó
đã từng xuất hiện ở rất nhiều đề thi từ các năm trước. Các bài toán ở đây đều là
những bài toán mới và một số còn khá lạ lẫm với học sinh. Chúng tôi hi vọng bài
viết này sẽ hữu ích cho bạn đọc. Dù đã rất cố gắng cẩn thận như sai sót là điều
không thể tránh khỏi, mọi ý kiến đóng góp xin gửi về email:


H

Nhóm tác giả

2

Các bài toán Hình phẳng và lời giải:
Bài 1

Đề vòng 2 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018 Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
IA ∩ (O) = J A; JO ∩ (O) = K J; JO ∩ BC = E.
a) Chứng minh: J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và JE.JKJI2 .

b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại S. Chứng minh rằng:
SJ.EK = SK.EJ
c) SA ∩ (O) = D A; DI ∩ (O) = M D. Chứng minh rằng: JM đi qua trung
điểm của đoạn thẳng IE.

1


Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018

2

Lời giải: Câu a, b khá dễ xin nhường lại cho bạn đọc tự giải.
c) Gọi T là tâm đường tròn bàng tiếp góc A . Dễ dàng thấy J là trung điểm IT.
Ta có: ∠BAI = ∠IAC; ∠ACT = 90 + ∠ACI = ∠AIB (biến đổi góc )
⇒ ATC ∼ BAJ(g − g) ⇒ AI.AT = AB.AC (1)
Lại chứng minh được: AEC ∼ ABD Suy ra AB.AC = AE.AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI.AT = AE.AD suy ra AID ∼ AET(c − g − c)
⇒ ∠ATE = ∠ADI = ∠AJM ⇒ JM//ET mà J là trung điểm IT Nên JM đi qua trung
điểm IE. ❑
Nhận xét: Mấu chốt của bài toán này là nằm ở điểm T. Bài toán này thực sự rất
hay vì đòi hỏi học sinh phải vận dụng thành thạo tam giác đồng dạng. Với áp lực
thời gian thi đây thực sự là 1 thử thách lớn đối với học sinh làm bài.
2

Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng


3

Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018

Bài 2
Đề vòng 2 Sư Phạm Hà Nội 2017-2018
Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các
tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Trên AB lấy điểm
C(C khác A, B) . Gọi I, K lần lượt là trung điểm MA, MC . KA ∩ (O) = D. Chứng
minh rằng:
a) Chứng minh: KO2 − KM2 = R2
b) Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi E = MD ∩ (O) và N là trung điểm của KE.KE ∩ (O) = F. Chứng minh
rằng: Bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải: a) Bổ đề: Từ A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Từ điểm M bất kỳ thuộc cạnh PQ kẻ tiếp tuyến MD của đường tròn. Chứng minh
rằng: MA = MD.
Chứng minh:

Gọi H là giao điểm của OA và BC.
Ta có:
OD2 = OB2 = OH.OA ⇒ OD là tiếp tuyến đường tròn (O)
⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADH
⇒ MA = MD. Bổ đề đã được chứng minh.

Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng

3


Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018

4

Quay trở lại bài toán. Từ bổ đề ta có được: KO2 − KM2 = R2
b) Từ Bổ đề ta có: KC2 = KD.KA ⇒ KCD ∼ KAC ⇒ ∠KCD = ∠KAC hay
∠MCD = ∠BAD = ∠DBM
⇒ MDCB là tứ giác nội tiếp
c) Gọi L là trung điểm của KD.
∠AEM = ∠MAK = ∠EMK ⇒ AE KM KF.KE = KD.KA
⇒ KF.KN = KL.KA ⇒ ANKL nội tiếp ⇒ ∠LAF = ∠LNF = ∠MEK = ∠FMK hay
∠KAF = ∠KMF
⇒ MKFA nội tiếp ⇒ ∠AFN = ∠AMK = ∠AIN ⇒ I, A, N, F cùng thuộc một đường
tròn. ❑
Bài 3
Vòng 2 Chuyên Trần Hưng Đạo Bình Thuận
Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) có AD là đường cao, H là trực tâm của tam
giác ABC. Tia BH cắt đường tròn đường kính AC tại E, F sao cho BE < BF, tia
CH cắt đường tròn đường kính AB tại G sao cho CG < CK, (EDG) ∩ BC = P.
a) Chứng minh rằng : A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF.
b) Chứng minh P, E, K thẳng hàng.
c) Chứng minh K, D, P, F cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải:
a) Theo hệ thức lượng: AE2 = AJ.AC = AI.AB = AG2 ⇒ AE = AG
A thuộc đường trung trực của EF ⇒ AE = AF Chứng minh tương tự ta thu được:
AG = AK
⇒ AE = AG = AK = AF ⇒ A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF.

4

Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng

5

Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018

b)
∠PEG = ∠PDG = ∠BAG =
∠KEG = ∠AEK + ∠AEG = 180◦ −

∠KAG
2

∠KAG
= 180◦ − ∠PEG ⇒ ∠KEG + ∠PEG = 180◦
2

⇒ P, E, K thẳng hàng
c) ∠KEG + ∠BAK = ∠KEG + ∠KFG = 180◦ ⇒ ∠KFG = ∠BAK = ∠BDK ⇒ K, D, P, F
cùng thuộc một đường tròn. ❑
Bài toán này tuy không quá khó nhưng hay và rất có giá trị mở rộng đã từng xuất
hiện trong Olympic Trại hè Vinh 2015.
Bài 4
Vòng 2 Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM 2017-2018
Cho tam giác ABC có góc B tù. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp
xúc với các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại L, H, J.
a) Các tia BO, CO cắt LH lần lượt tại M, N . Chứng minh bốn điểm B, C, M, N
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với AJ, d cắt AJ và đường trung
trực của cạnh BC tại D và F. Chứng minh bốn điểm B, D, F, C cùng thuộc một

đường tròn.
Lời giải:

Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng

5


Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018

6

a) Câu này là một kết quả quen thuộc bạn đọc tự chứng minh. (Gợi ý: ∠BNC =
∠BMC = 90◦ )
b) Gọi FD ∩ CB = P. Ta dễ dàng chứng minh : P, L, H, M thẳng hàng (Chứng minh
bằng hệ thức lượng đường tròn)
Gọi Z là trung điểm BC.
Ta có:
∠NJB = ∠NOB = ∠MHC
Mà
180◦ − ∠NZM 180◦ − 2∠OCM
∠NMZ =
=
= 90◦ − ∠OCM = ∠MOC
2
2
⇒ ∠NJB = ∠NMZ ⇒ Tứ giác NMZJ nội tiếp
Áp dụng hệ thức lượng đường tròn cho các tứ giác nội tiếp: BNMC, NMZJ:
PM.PN = PJ.PZ = PB.PC
Từ đó suy ra : DFCB là tứ giác nội tiếp.

Bài 5
Đề vòng 2 chuyên Lê Qúy Đôn - Quảng Trị 2017-2018
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm BC . Kẻ BH ⊥ AC(H ∈ AC).
Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt BH tại E. Gọi F là điểm đối xứng của
E qua A , K = CF ∩ AB. Chứng minh rằng: M là tâm (CHK)
6

Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng


7

Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018

Lời giải:

Ta quy về chứng minh Bài Toán sau: Cho tam giác ABC nhọn. M là trung điểm của
BC. Đường cao BH, CK lần lượt cắt đường thẳng vuông góc với AM tại E, F. Chứng
minh rằng: AE = AF.
Gọi CK ∩ BH = I, CK ∩ AM = J, BH ∩ AM = G
Ta có:∠JAC = ∠AEB (cùng phụ với ∠AGE). Lại có ∠ABE = ∠JCA ⇒ ABE ∼ JCA
JC
AJ
=
. Áp dụng định lý Menelaus vào BCK với 3 điểm A, J, M thẳng hàng
⇒
AE AB
ta có:
JC
KJ

AJ
AK BM JC
AK KJ
.
.
=1⇒
=
⇒
=
=
AB MC KJ
AB
JC
AB AK AF
AJ
JC
AJ
⇒
=
=
⇒ AE = AF
AE AB AF
BC
⇒ KM = HM = CM =
⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.
2
Bài 6
Đề vòng 2 Chuyên Lê Qúy Đôn Đà Nẵng 2017-2018
Cho tam giác nhọn ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi
I = BC ∩ AD. Gọi M là điểm thuộc CI (M C, I). Đường thẳng qua M song

song với BD cắt CD tại K. Đường thẳng qau M song song với CD cắt BD tại Q.
Chứng minh rằng: AM vuông góc với QK.
Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng

7


Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018

8

Lời giải:

Gọi H = DM∩QK. Vì QMKD là hình bình hành ⇒ HD = HM. Mà OA = OD ⇒ OH
là đường trung bình tam giác MAD
Ta có:
OB = OD; ∠OBD = ∠ODC; BQ = QM = DK ⇒ OBQ = ODK(c − g − c)
⇒ OQ = OK mà HQ = HK ⇒ OH ⊥ QK
Lại có: OH là đường trung bình tam giác DAM ⇒ OH AM ⇒ AM ⊥ QK. ❑
Bài 7
Đề vòng 2 Chuyên Khoa học tự nhiên 2017-2018
Cho tam giác ABC với AB < AC. E, F lần lượt là trung điểm các cạnh CA, CB.
Trung trực của đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Gỉa sử có điểm P nằm trong ∠EAF
và nằm ngoài tam giác EAF sao cho ∠PEC = ∠DEF; ∠PFB = ∠DFE. PA∩(PEF) =
Q P.
a) Chứng minh rằng: ∠EQF = ∠BAC + ∠EDF.
b) Tiếp tuyến tại P của (PEF) cắt CA, AB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng
bốn điểm C, M, B, N cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn này gọi là đường
tròn (K).
c) Chứng minh rằng (K) tiếp xúc với (AEF).

Lời giải:
8

Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng


9

Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018

a) ∠EQF = ∠BAC + ∠AFQ + ∠AEQ = ∠BAC + ∠EDF
b)Gọi R là giao điểm của PF và BC ∠PEM = ∠DEF = ∠DFE = ∠RFB và ∠EPM =
∠EFP = ∠FRB ⇒ PEM = RFB(g.g) ⇒ ∠FBR = ∠EMP hay ∠NBC = ∠NMC
⇒ NBMC nội tiếp.
c) Theo bạn Lê Hoàng Bảo 11 Toán 1 Chuyên Tiền Giang:
Gọi T là giao điểm thứ hai của AP với (AEF). Chứng minh được tứ giác: FTPN và
TPME nội tiếp.
Ta có: ∠PFE = ∠DFB, ∠PEC = ∠DEF ⇒ ∠BAD = ∠PAC (Bổ đề đẳng giác)
⇒ ∠FAT = ∠DAC . Mặt khác ∠ATF = ∠AEF = ∠ACD.
Nên tam giác FQT đồng dạng tam giác DEC, mà E là trung điểm AC. Do đó: Q là
Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng

9


Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018

10

trung điểm AT.

Suy ra: FQ//BT. Nên: ∠TBC = ∠QFE = ∠TPE = ∠TME. Suy ra: tứ giác BTMC nội
tiếp. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.❑
Bài 8
Đề vòng 2 chuyên Thái Bình 2017-2018
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).BA ∩ CD = E; AD ∩ BC = F.M, N
lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác trong của ∠BEC, ∠BFA cắt nhau
tại K. Chứng minh rằng: K, M, N thẳng hàng.
Lời giải:

Gọi EK ∩ MN = K Ta có: EBD ∼ ECA ⇒

EB
EC
EB
EC
=
⇒
=
BD AC
BN MC

⇒ EBN ∼ ECM(c − g − c) ⇒ ∠BEN = ∠MEC ⇒ ∠NEK = ∠MEK
NE
NK
=
EM K M
Mà ta chứng minh được:
Gọi EK ∩ MN = K . ⇒

NE

NF
NF
KN
=
⇒
=
⇒K≡K
EM MF
MF K M
10

Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng


11 Những bài toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018

Vậy K, M, N thẳng hàng. ❑
Nhận xét: Nếu gọi P là trung điểm EF thì 4 điểm P, N, K, M thẳng hàng và đường
thẳng đi qua 4 điểm này được gọi là đường thẳng Gauss.

3

Tài liệu tham khảo:
1. World of Geometry blog
2. Blog Hình học Nguyễn Quang Trung
3. Blog hình học thầy Trần Quang Hùng
4. Topic ôn thi hình học vào cấp 3 của thầy Trần Quang Hùng
5. Tổng hợp các đề thi vào lớp 10 năm 2017-2018
6. 10 bài toán hình học chọn lọc

Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng

11