Hệ Thức Hình Học - THCS

HÌNH HỌC


I. Bất đẳng thức và cực trị

Trong chương trình trung học cơ sở thì những bất đẳng thức chúng ta gặp chỉ xoay
quanh các yếu tố của tam giác như ba cạnh ,,abc, chu vi p , bán kính đường tròn nội
tiếp, ngoại tiếp ,rR… và các yếu tố độ dài trong một đường tròn.
Để nắm bắt rõ điều này, tôi sẽ bổ sung một số hệ thức lượng trong tam giác mà một số
hệ thức mà các bạn có thể chưa gặp trong chương trình học cấp 2, tuy nhiên đây là các
hệ thức rất cơ bản trên cấp 3

i) Hệ thức về diện tích tam giác
()()()()
11
sin
224
aa
abc
SahprbcAparppapbpc
R
=====−=−−−

ii) Hệ thức về hàm số sin, cos, trung tuyến, phân giác trong, phân giác ngoài, đường
cao
()
()
222
222
2
2cos

2sin
22
1
4
2cos
2
2
1111
a
a
abc
bcbcAa
aRA
bca
m
A
bc
l
bc
hhhr
+−=
=
+−
=
=
+
++=


Trong các hệ thức trên, hầu hết là quen thuộc với các bạn nên tôi sẽ chỉ chứng minh

hệ thức (1) và (2). Chứng minh như sau
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam
giác ABM với góc B ta có
222
2
22
2cos
22cos2
2
a
acacBb
a
cacBm

+−=


+−=



Trừ hai vế đẳng thức với nhau ta có
222
2
22
4
a
bca
m
+−

=
Đối với hệ thức (2) áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác ,ABDACD ta được
1
sin
22
1
sin
22
ABDa
ACDa
A
Scl
A
Sbl

=




=



Mặt khác
()
2cos
11
2
sinsin

222
ABDACDaa
A
bc
A
SbcASSlbcl
bc
==+=+⇒=
+


a
m
a
h
a
l
a
b
c
A
C
B
M
D
iii) Một số hệ thức đặc biệt khác
Với O là điểm bất kì trên mặt phẳng thì
( )
2222222
39OAOBOCOGabc++=+++

với G là trọng tâm tam giác
Chứng minh
Áp dụng hệ thức trung tuyến cho các tam giác ,,,OADOGDOBCGBC ta được
2222
2222
2222
2222
224
422
224
422
OAODOGAD
OMGDOGOD
OBOCOMBC
GMBCGBGC
+=+
+=+
+=+
+=+

Cộng bốn đẳng thức trên lại vế theo vế ta có
2222222
3OAOBOCOGGAGBGC++=+++ (*)
Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy ra
222
222
3
abc
GAGBGC
++

++=
Thế vào (*) ta có
( )
2222222
39OAOBOCOGabc++=+++
Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau
222222222
999ROGabcRabc=+++⇒≥++ (**)

Trước hết, chúng ta có một bài toán cơ bản là điều kiện tương đương để ba số dương
là ba cạnh một tam giác. Điều kiện như sau:
,,0abc> là ba cạnh tam giác ,,0:
ayz
xyzbxz
cxy
=+


⇔∃>=+


=+


Chứng minh
Điều kiện cần:
Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC , khi đó, ,,xyz là các đoạn
được biểu diễn trên hình
Điều kiện đủ:
Với

ayz
bxz
cxy
=+


=+


=+

ta dễ dàng chứng minh ,,
abc
bcaabc
cab
+>


+>⇒


+>

là ba
cạnh tam giác

Rõ ràng điều kiện trên là rất đơn giản nhưng lại rất hữu dụng, các bạn sẽ có thể nhìn
một bất đẳng thức hình học dưới cái nhìn đại số và không bị ràng buộc bởi cái yếu tố
cạnh của tam giác nữa. Ta hãy xét một vài ví dụ

• Các bất đẳng thức chỉ chứa yếu tố các cạnh tam giác
Cho ,,abc là ba cạnh tam giác. Chứng minh
( )
()
()
()()()
222
2
222
[1] 2
[2] 2
[3] 3
111111
[4] 2
abcabbcca
abcabc
ababbcbccacaabc
papbpcabc
++<++
++<++
+++++>

++≥++

−−−



A
B C

D
O
M
G
x
x
y
y
z
z
()
()
()()()
()()()
()
222
222
[5] 2
3
[6]
2
[7] 2
[8]
3
[9] 2
1
[10] 4 1
2
[11]
abc

abc
papbpc
abc
papbpc
abbcca
abc
abcbcacab
abcabcabcabc
abcabc
bccacaabbcca
abcabcabc
ppa
++≥++
−−−
++≥
−−−
++≥++
+−+−+−
+−−+−++≤
+++<
++++++
+++<++=
<−
()()()
()()()
()()()
222
222
3
[12] 2220

[13] 0
[14] 0
[15] 1
[16]
pbpcp
ababcbcbcacacab
abcbcacab
ababbcbccaca
abcacb
bcacba
abbcca
abbcc
+−+−≤
+−++−++−≥
−+−+−≥
−+−+−≥
++−−−<
−−−
++
+++
1

8a
<



Các bất đẳng thức trên đây, phần lớn đều có thể giải được bằng cách sử dụng điều
kiện tương đương trên, các bạn có thể tự làm, chỉ trừ bất đẳng thức [9] [12] [15] [16],
trong các bất đẳng ở trên tôi chỉ giải một vài bất đẳng thức mà tôi thấy khó hơn cả

[10]
()
222
1
4 1
2
abcabcabc+++<++=
Bất đẳng thức trên tương đương (sử dụng điều kiện tương đương)
()()()()()()
222
1
4
2
xyyzzxxyyzzx+++++++++< với
1
2
xyz++=
Để cho hai vế của bất đẳng thức trên cùng bậc (*) ta nhân thêm các lượng như sau
()()()()()()() ()
()
()()
()
2223
3
222222222
1
248
2
03

xyzxyyzzxxyyzzxxyz
xyzxyzxyyzzxxyxzyxyzzxzyxyz
xyz

+++++++++++<++

⇔+++++++++++++<++
⇔<

[9]
()()()
3
2
abcabc
bccacaabbcca
+++<
++++++

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
()()()
32
0
aabacbbcbaccacbabcabbcca
bcacababc
⇔+++++++++<+++
⇔+−+−+−>

[15]
1
abcacb

bcacba
++−−−<
và
1

8
abbcca
abbcca
−−−
++<
+++

Chú ý rằng
( )( )( )
()()()
()()()
abbcca
abcacb
bcacbaabc
abbcca
abbcca
abbccaabbcca
−−−
++−−−=
−−−
−−−
++=
++++++

ta có đpcm

• Các bất đẳng thức có liên quan đến các yếu tố khác
( )
,,,,,...mlhRrS
( )
()
()
()()
222
222
2222
9 2
111111
3
2
4
23
23 ,,0 5
9
abcabc
abcabc
a
rrrhhhr
lllhhh
Rr
abc
am
pqr
abcSpqr
qrrppq

Rabc
++≥++≥
++>++
≥
++
≥
++≥>
+++
≥++


Độ mạnh của bất đẳng thức
Tại sao chúng ta phải nhắc đến điều này, thực ra có quá nhiều bất đẳng thức mà tôi
không thể liệt kê ra hết được nhưng chúng ta không cần biết hết mà chỉ cần nhớ
những bất đẳng thức mạnh mà thôi, vậy thì một bất đẳng thức A gọi là mạnh hơn bất
đẳng thức B khi nào, khi từ A có thể suy ra B.
Chẳng hạn như trong một dãy những bất đẳng thức liên quan đến ba cạnh ,,abc và
diện tích S thì bất đẳng thức
2222
9Rabc≥++ là rất mạnh, thật vậy, ta có
()
2
2222222
2
222
3
99
16
4
abc

abc
RabcabcS
S
abc
≥++⇔≥++⇔≥
++
(*)

Ta hãy so sánh (*) với các bất đẳng thức sau
()
()
222
2
3
12
4
33
abcS
abc
S
++≥
++
≥

()
()
()
()()()()()()
2
3

222
22222
3
4
2
1
43
abcS
abbccaabc
S
apbpcbpcpacpapbpR
≥
++−−−
≥
−−+−−+−−≤

Đối với ba bất đẳng thức đầu, dễ thấy vế trái của chúng lớn hơn vế trái của (*) nên (*)
mạnh hơn ba bất đẳng thức đó. Ta cũng có thể dùng (*) để chứng minh bất đẳng thức
cuối. Việc xét xem giữa (*) và (1) bất đẳng thức nào mạnh hơn là một điều khó khăn
nhưng ta có thể chứng minh (1) khá ngắn gọn bằng cách sử dụng điều kiện tương
đương. Khi đó
( ) ( )
1443xyyzzxS⇔++≥
()()
2
3xyyzzxxyzxyz⇔++≥++
()
()()()
222222
222

222
0
xyyzzxxyzxyz
xyzyzxzxy
⇔++≥++
⇔−+−+−≥


Bất đẳng thức (2) quá quen thuộc, ta sẽ không chứng minh, còn với (3) và (4) thì
chỉ cần áp dụng công thức tính ,
aa
ml ta sẽ thu được kết quả.

Bất đẳng thức 2Rr≥ là một bất đẳng thức quan trọng và chắc các bạn cũng biết
đến lời giải hình học của nó, nhưng tôi sẽ đưa ra một chứng minh khác chỉ bằng các
hệ thức lượng và các bất đẳng thức đã nêu
()
2
4
2
416
abcabc
abcS
RrS
Sabc
++
≥⇔≥⇔≥
++

Chứng minh vế trái của bất đẳng thức trên lớn hơn bình phương vế trái của (*) là đơn

giản, từ đó ta chứng minh được 2Rr≥

Xét bất đẳng thức (5)
Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta có
()()
()()
()
()
222
2
222
2
2
222222
2
1
2
2
abc
qrrppqabc
qrrppq
abc
pqrabc
qrrppq
pqr
abcabcabc
qrrppq

+++++++≥++


+++


⇒++++≥++

+++


++≥++−++

+++


Ta cần chứng minh tiếp vế phải lớn hơn 23S, chính là bất đẳng thức (1)

• Các bất đẳng thức hình học thuần túy
Trong phần này tôi sẽ trình bày những bất đẳng thức hình học “thuần túy” theo nghĩa
là khi chứng minh chúng ta hầu như chỉ cần những kiến thức đơn giản nhất về hình
học mà không phải dùng đến những thứ “cao siêu” như phương tích, hệ thức lượng…
[1] Cho đường tròn bán kính 1 và n điểm
12
,,...,
n
AAA không cùng nằm trên một
đường thẳng. Khi đó trên đường tròn có thể chọn được điểm M để
12
...
n
MAMAMAn+++≥
[2] Nếu một đa giác lồi nằm bên trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác lồi bên

ngoài không nhỏ hơn chu vi của đa giác trong.
[3] Trong một tam giác không cân, đường phân giác
a
l luôn nằm giữa đường cao
a
h
và đường trung tuyến
a
m
[4] Nếu qua trọng tâm G của tam giác ABC vẽ đường thẳng cắt các cạnh của tam
giác tại ,MN thì ta có bất đẳng thức 2OMON≥
[5] Cho tam giác ABC có cạnh abc>> và một điểm O nằm trong tam giác.
,,PQR lần lượt là giao điểm các đường thẳng ,,AOBOCO với ba cạnh tam giác. Ta
có OPOQORa++<
[6] Nếu M là điểm nằm trên đường phân giác ngoài của góc C trong tam giác
()
ABCMC≡ thì MAMBCACB+>+
[7] Nếu một tam giác nhọn đặt được vào trong một đường tròn thì bán kính đường
tròn đó không nhỏ hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
[8] Nếu các đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên các cạnh khác nhau của hình vuông
cạnh 1 thì chu vi của nó không nhỏ hơn 22

• Cực trị hình học
[1] Trong tất cả các tam giác có cạnh a và đường cao
a
h cho trước, tìm tam giác có
góc A nhỏ nhất
[2] Trong tất cả các tam giác có các cạnh ,ABAC có độ dài cho trước, tìm tam giác
có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất
[3] Tìm bên trong ABC một điểm O sao cho tổng bình phương khoảng cách từ

điểm đó đến các cạnh của tam giác là nhỏ nhất
[4] Cho góc

XAY và một điểm O nằm trong góc đó. Hãy kẻ qua một đường thẳng
cắt ra từ góc đó một tam giác có diện tích lớn nhất
[5] Bên trong góc nhọn

BAC cho một điểm M . Tìm trên các cạnh ,ABAC các điểm
,XY sao cho chu vi tam giác XYM là nhỏ nhất
[6] Từ điểm M trong tam giác ABC cho trước hạ các đường vuông góc
111
,,MAMBMC xuống các đường thẳng ,,BCCAAB . Với vị trí nào của M trong
ABC đại lượng
111
abc
MAMBMC
++ có giá trị nhỏ nhất
[7] Cho tam giác đều ABC cạnh 10 và M là điểm thỏa mãn 9MBMC+=. Tìm max
MA

II. Các bài toán “kinh điển” và bài tập

Bài toán con bướm
Qua trung điểm M của dây PQ của một đường tròn , vẽ hai dây cung AB và CD. Dây
AB và CD cắt PQ tại X và Y. Khi đó M là trung điểm của XY
Chứng minh

Cách 1. Từ O , vẽ ,OUOV
vuông góc AD và BC . Ta
có ,OXUMOMYV nội tiếp.

Ta cần có


MXMYMOXMOY=⇔=
Do ,OXUMOMYV nội tiếp
nên




, MOXAUMMOYMVC==
Vậy ta cần chứng minh


AUMCVM= .
Ta có ~ ~ ADMCBMAUMCVM⇒


AUMCVM⇒=⇒đpcm

Cách 2. Hạ các đoạn vuông góc từ ,XY xuống các đoạn như trên hình. Ta cần chứng
minh xy= . Đặt MPMQa==. Từ các cặp tam giác đồng dạng
1
Mx và
1
My ,
2
Mx
và
2

My ,
1
Ax và
2
Cy ,
2
Dx và
1
By ta có
1212
1221
, , ,
xxxxxxAXXD
yyyyyCYyYB
====
( )( )
()()
222
12
222
12
..
1
..
axax
xxxAXXDPXXQax
xy
yyyCYYBPYYQayayay
−+
−

⇒======⇒=
+−−
(đpcm)

O
Y
A
P
X
Q
D
C
B
M
V
U
O
Y
A
P
X
Q
D
C
B
M
x
2
x

y
1
x

1
y

2
y