SKKN: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH...

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã
được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ
VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
Kiến thức Trang
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài 4
Mục đích nghiên cứu 5
Đối tượng ngiên cứu 5
Giới hạn của đề tài 5
Nhiệm vụ của đề tài 5
Phương pháp nghiên cứu 5
Thời gian nghiên cứu 6
NỘI DUNG
Cơ sở lí luận 7
Cơ sở triết học 7
Cơ sở tâm lí học 7
Cơ sở giáo dục học 8
Thực trạng của đề tài 8
Thời gian và các bước tiến hành 8
Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học 8
Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 8

Giải quyết vấn đề 9
Định nghĩa phép biến hình 9
Một số tính chất của phép biến hình 11
Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình 11
Các dạng bài tập cơ bản 12
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 25
Kết quả 25
Kết luận 25
Khuyến nghị 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO 27
3
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo
gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn
hoá mới và con người mới…”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi
dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng
là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với
phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học
khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường phổ
thông.
Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng
học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương

trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi,
học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học
sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy
học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học
sinh vùng sâu vùng xa.
Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên đang trực tiếp giảng dạy,
các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là
vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp
hợp lí.
Qua một năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến
hình rất khó tiếp thu và áp dụng
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
4
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài
“ Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú
học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng
của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong
các tiết học.
3.Đối tượng ngiên cứu:
Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giải toán hình học lớp 11.
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11, là năm đầu tiên đổi mới phương
pháp dạy học đối với khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học
sinh học tốt các phép biến hình, ứng dụng của nó trong chương trình hình học lớp
11”.

5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11(Các phép biến hình,
ứng dụng các phép biến hình vào giải toán)
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông
qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
5
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm học 2007-2008.
NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lí luận:
1 Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết
với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
6
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt
hơn.
2.Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần
phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã
biết với tri thức của nhân loại.
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có
khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình,
các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói
cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không
muốn học chương này.Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh
ứng dụng các phép biến hình vào giải toán.
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát
triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng
đối tượng học sinh.
Chương II: Thực trạng của đề tài:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
7
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2007-2008.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến
hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải kiến thức tới
các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học
tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến
thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,
chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống.
Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên phương tiện
dạy học chưa đầy đủ.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
8
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chương III: Giải quyết vấn đề:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh
nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí
quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy
học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của
học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng
dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11:
1: Định nghĩa phép biến hình:
1.1: Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng:
1.2.1: Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ
v
r
≠
0
r
, phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M’ sao cho
'MM

uuuuur
=
v
r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
Kí hiệu:
v
T
r
.
Vậy:
v
T
r
(M) = M’
⇔
'MM
uuuuur
=
v
r
.
1.2.2: Phép đối xứng trục:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng trục d.
Kí hiệu: Đ

d
.
Vậy: Đ
d
(M) = M’
⇔
0 0
'M M M M= −
uuuuuur uuuuuur
(M
0
là giao điểm của d với đoạn thẳng
MM’).
1.2.3: Phép đối xứng tâm:
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
9
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M
khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối
xứng tâm I.
Kí hiệu: Đ
I
.
Vậy: Đ
I
(M) = M’
⇔
'IM IM= −

uuuur uuur
.
1.2.4: Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác
α
, phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) =
α
gọi là phép quay tâm O, góc quay
α
.
Kí hiệu: Q
(O,
α
)
Vậy: Q
(O,
α
)
(M)=M’
⇔
'
( , ')
OM OM
OM OM
α
=



=

1.2.5: Phép đồng nhất:
Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép
đồng nhất.
1.2.6: Phép vị tự:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k
≠
0, phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
'OM kOM=
uuuuur uuuur
, gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V
(O,k)
Vậy: V
(O,k)
(M)=M’
⇔
'OM kOM=
uuuuur uuuur
1.2.7: Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kì gọi là phép dời hình.
1.2.8: Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu
với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN.
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
10

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2: Một số tính chất của phép biến hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay
đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc
thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR).
3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình:
3.1: Phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )v a b
r
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó
nếu
v
T
r
(M) = M’ thì
'
'
x x a
y y b
= +


= +


3.2: Phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu
+) Đ
Ox
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
=


= −

+) Đ
Oy
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
= −


=

3.3: Phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )I a b
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó

nếu Đ
I
(M) = M’ thì
' 2
' 2
x a x
y b y
= −


= −

4: Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình:
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
11
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phương pháp chung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ
( 2;3)v −
r
, đường thẳng d có
phương trình: 3x-5y+3=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
tịnh tiến theo vectơ
v

r
.
Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T
v
r
(M) =(-3;3). M’ thuộc d’.Vì d’//d nên
d’ có phương trình 3x-5y+C=0. M’ thuộc d’C=24.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T
v
r

' 2 ' 2
' 3 ' 3
x x x x
y y y y
= − = +
 
⇔
 
= + = −
 
thay vào phương
trình của d ta được: 3x’ -5y’+24=0.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua
phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương
trình x
2
+y
2
-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0.
a)Tìm ảnh của m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
Giải:
a) Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có M’ (1;-5).
(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=Đ
Ox
(I)=(1;2) và
bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)
2
+(y-2)
2
=9.
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------
Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
12