XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG của kết cấu KHUNG PHẲNG NHIỀU TẦNG CHỊU CHUYỂN vị của đất nền với THAM số đầu vào KHÔNG CHẮC CHẮN DẠNG KHOẢNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

PHAN ĐÌNH THOẠI

XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA KẾT CẤU
KHUNG PHẲNG NHIỀU TẦNG CHỊU CHUYỂN VỊ
CỦA ĐẤT NỀN VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO KHÔNG
CHẮC CHẮN DẠNG KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH XDDD&CN

Đà Nẵng - Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

PHAN ĐÌNH THOẠI

XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA KẾT CẤU KHUNG
PHẲNG NHIỀU TẦNG CHỊU CHUYỂN VỊ CỦA ĐẤT NỀN VỚI
THAM SỐ ĐẦU VÀO KHÔNG CHẮC CHẮN DẠNG KHOẢNG

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình DD&CN
Mã số

: 60.58.02.08

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH XDDD&CN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ CÔNG DUY

Đà Nẵng - Năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với TS. Lê Công Duy, người thầy đã tận tình
hướng dẫn và chỉ bảo, thường xuyên động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi đê
tôi hoàn thành luận văn cao học và nâng cao kiến thức của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Lê Đức Toàn cùng các thầy cô giáo, cán bộ
của Khoa Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Duy Tân đã tạo điều kiện thuận lợi đê
tôi hoàn thành các môn học cũng như luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô giáo, cán bộ của Khoa Xây dựng
Trường Đại học Duy Tân và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi đê tôi hoàn
thành các môn học cũng như luận văn của mình.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn đối với gia đình đã hỗ trợ, động viên về vật chất
và tinh thần đê tôi hoàn thành luận văn của mình.

Học viên

Phan Đình Thoại


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng ai công bố trong bất kỳ các công trình

khác

Tác giả luận văn

Phan Đình Thoại


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU CƠ BẢN
*
x = inf( x)

x = inf( x)
(
x = mid ( x)

rad ( x)
(
ω
(
ωc
(

{ ϕi }
(
φ 
 
(
ξ

ck

(
Ci
(
C 
 

kk
(
 K 
(
Ki
mk
(
 M 
(
Mi
(
Fi

(
a
(
ui

Là một toán tử số học đại diện cho (+, -, x, /)
Giá trị cận dưới của số khoảng
Giá trị cận trên của số khoảng
Giá trị điêm giữa của số khoảng
Bán kính của số khoảng
Tần số giao động riêng khoảng

Tần số dao động khoảng kê đến cản
Ma trận dạng rêng thứ i
Ma trận chứa các dạng chính khoảng
Tỷ số cản tới hạn dạng khoảng của mô hình kết cấu
Độ cản nhớt của hệ kết cấu tại tầng thứ k
Độ cản chính dạng khoảng trong dạng dao động thứ i
Ma trận cản nhớt khoảng
Tổng độ cứng đàn hồi theo phương ngang của hệ kết cấu
Ma trận độ cứng dạng khoảng
Độ cứng chính trong dạng dao động thứ i
Khối lượng của tầng thứ k tập trung ở mức sàn tầng thứ k
Ma trận khối lượng khoảng
Khối lượng chính trong dạng dao động thứ i
Lực tác động chính trong dạng dao động thứ i
Chuyên vị của đất nền dạng khoảng
Tọa độ chính của dạng dao động thứ i


(
xk

Chuyên vị tương đối của khối lượng thứ k so với móng công trình

(
x&k

Vận tốc tương đối của khối lượng thứ k so với móng công trình

(
&

x&
k

Gia tốc tương đối của khối lượng thứ k so với móng công trình
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Ký hiệu
Hình 1.1
Hình 1.2
Hình 1.3
Hình 1.4
Hình 2.1
Hình 2.2
Hình 2.3
Hình 3.1
Hình 3.2
Hình 3.3
Hình 3.4
Hình 3.5
Hình 3.6
Hình 3.7
Hình 3.8
Hình 3.9.a
Hình 3.9.b
Hình 3.9.c
Hình 3.9.d
Hình 3.9.e
Hình 3.9.f

Tên hình

Phân tích dao động theo dạng chính (PTDĐ)
PTDĐ theo dạng chính khi tải trọng không đặt trên khối
lượng
Mô hình tính kết cấu khung phẳng chịu tải trọng động
Mô hình tính kết cấu khung phẳng chịu chuyên vị đất nền
Vectơ khoảng
Gia tốc động đất dạng số khoảng
Sơ đồ các bước giải phương trình vi phân dao động
Sơ đồ kích thước khung
Sơ đồ tải trọng
Mô hình tính kết cấu khung phẳng chịu chuyên vị đất nền
Sơ đồ xác định phản lực đơn vị tại các khối lượng
Sơ đồ các bước phân tích dao động của kết cấu
Đồ thị chuyên vị đỉnh theo thời gian
Mô men theo thời gian tại chân cột A,D
Mô men theo thời gian tại chân cột B,C
Dao động của khung ứng với mode 1
Dao động của khung ứng với mode 2
Dao động của khung ứng với mode 3
Dao động của khung ứng với mode 4
Dao động của khung ứng với mode 11
Dao động của khung ứng với mode 12

Trang
14
15
18
20
27
30

39
40
42
45
49
52
53
54
54
57
57
58
58
59
59


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Ký hiệu

Tên bảng

Trang

Bảng 2.1

Chuyên đổi từ đỉnh gia tốc nền sang cấp động đất

30

Bảng 3.1

Tĩnh tải và hoạt tải tác dụng lên sàn

41

Bảng 3.2

Bảng tính khối lượng tập trung của mỗi tầng

43

Bảng 3.3

Bảng tính độ cứng ngang tương đối của mỗi tầng

48

Bảng 3.4
Bảng 3.5

Bảng kết quả chuyên vị và mômen ứng với từng cấp động
đất
Bảng so sánh kết quả tần số dao động riêng giữa Maple và
Etabs

55
56

MỤC LỤC


9

MỞ ĐẦU
1. Cơ sở khoa học và thực tiễn của việc chọn đề tài
Cơ sở thực tiễn của đề tài
Trong thực tế, phần lớn các công trình xây dựng đều chịu tác dụng của tải trọng
động. Việc tính toán và thiết kế các công trình nói chung (nhất là công trình cao tầng)
phải đảm bảo điều kiện bền, ổn định. Ngoài ra còn phải phân tích phản ứng của công
trình khi chịu các nguyên nhân tác dụng động (gió bão, động đất). Xác định phản ứng
động của kết cấu chịu chuyên vị của đất nền với tham số đầu vào không chắc chắn
dạng khoảng trên cơ sở sử dụng lý thuyết khoảng là vấn đề quan trọng và cần thiết đối
với người làm công tác thiết kế kỹ thuật. Hiện nay trên thế giới cũng như ở Việt Nam
thì việc nghiên cứu các phương pháp tính toán dao động cho các kết cấu nói chung và
khung nhà nhiều tầng nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng và cần thiết .
Cơ sở khoa học của đề tài:
Các đại lượng không chắc chắn có thê là đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng mờ hay
đại lượng có dạng khoảng. Phân tích và tính toán kết cấu có đại lượng không chắc
chắn dạng ngẫu nhiên đã có mô hình phân tích ngẫu nhiên, phân tích kết cấu với tham
số không chắc chắn dạng mờ thì sử dụng mô hình phân tích mờ, phân tích kết cấu với
tham số không chắc chắn dạng khoảng thì sử dụng mô hình phân tích khoảng.Trong
luận văn thì tác giả sử dụng mô hình phân tích khoảng đê xác định phản ứng động của
kết cấu.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài:
Nghiên cứu xác định phản ứng động của kết cấu khung phẳng nhiều tầng chịu
chuyên vị của đất nền trong trường hợp xét đến các tham số đầu vào dạng khoảng như
là đặc trưng vật liệu, tỷ số cản nhớt và chuyên vị của đất nền ảnh hưởng đến kết cấu
khung phẳng nhiều tầng.

3. Nội dung nghiên cứu của đề tài:
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết toán học số khoảng.
- Tìm hiêu về phương trình vi phân dao động có tham số khoảng.
- Tìm hiêu chuyên vị của đất nền do các nguyên nhân gây ra.
- Tìm hiêu phương pháp tính dao động của khung phẳng nhiều tầng chịu chuyên
vị của đất nền trong trường hợp có tham số khoảng.


10

-

Đưa ra ứng dụng tính toán cho khung phẳng 3 nhịp 15 tầng chịu chuyên vị của
đất nền trong trường hợp tham số đầu vào như đặc trưng vật liệu, chuyên vị đất
nền dưới dạng số khoảng.

4. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý thuyết về vấn đề tính toán dao động của kết cấu khung phẳng theo
mô hình khoảng. Kết hợp phần lý thuyết tính toán với phần mềm Maple đê đưa ra
cách giải phương trình vi phân dao động chịu chuyên vị của đất nền với tham số
khoảng. Một ứng dụng tính toán trên máy tính được trình bày chi tiết trong chương 3
của luận văn.
5. Cấu trúc của đề tài:
Đề tài gồm có: Phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham
khảo, danh mục các bài báo liên quan và phụ lục tính toán.
Trong phần mở đầu của đề tài trình bày cơ sở khoa học và cơ sở thực tiễn của
đề tài nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu và cấu trúc của đề tài.
Chương 1 trình bày tổng quan về bài toán động lực học kết cấu, phân tích một
số mô hình tính dao động của kết cấu công trình trong trường hợp có tham số không

chắc chắn đã được công bố trong và ngoài nước. Các phương pháp xây dựng phương
trình vi phân dao động và một số phương pháp giải phương trình vi phân dao động
được trình bày một cách tổng quát. Từ đó giới hạn phạm vi nghiên cứu đê giải quyết
các mục tiêu đã xác định trong đề tài.
Chương 2 trình bày nội dung cơ bản về số học khoảng, các phép toán của số
học khoảng được sử dụng đê tính toán các số khoảng. Mô hình tính dao động của kết
cấu khung phẳng chịu chuyên vị của đất nền với tham số khoảng cũng được trình
bày, từ đó đưa ra một cách giải phương trình vi phân dao động có tham số khoảng và
sơ đồ thuật toán được trình bày trong chương hai này.
Chương 3 trình bày một ứng dụng thuật giải phương trình vi phân dao động có
tham số khoảng đê tính toán xác định nội lực và chuyên vị đầu ra cho kết cấu khung
phẳng ba nhịp, 15 tầng chịu chuyên vị của đất nền có các tham số đầu vào là đặc
trưng vật liệu, tỷ số cản nhớt và chuyên vị của đất nền là các tham số dạng số
khoảng.


11

Trong phần kết luận nêu lên các kết quả chính của đề tài. Cuối kết luận nêu lên
định hướng nghiên cứu tiếp theo.
Phần phụ lục giới thiệu chương trình và phần mềm máy tính bổ trợ cho việc
tính toán và các kết quả trong đề tài.

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Tổng quan về bài toán động lực học kết cấu
Bài toán động lực học kết cấu là bài toán nghiên cứu trạng thái dao động của kết
cấu dưới tác dụng của các loại tải trọng như tải trọng động, tải trọng tĩnh và cả trạng
thái dao động tự do của kết cấu. Ta có thê hiêu “động lực học kết cấu” đơn giản là sự
thay đổi có tính chất cơ học của kết cấu theo thời gian. Vậy tải trọng động là bất cứ tải

12

trọng nào mà độ lớn, phương, chiều hoặc vị trí thay đổi theo thời gian. Trong quá trình
đó, gia tốc truyền lên các khối lượng trên công trình nên phát sinh lực quán tính đặt tại
các khối lượng. Lực quán tính tác dụng lên công trình gây ra hiện tượng dao động.
Dao động đó được biêu thị dưới dạng chuyên vị của kết cấu. Giải bài toán dao động
công trình là tính toán công trình có xét đến lực quán tính xuất hiện trong quá trình dao
động.
Phản ứng của kết cấu đối với tải trọng động, nghĩa là các thành phần nội lực và
độ võng xuất hiện biến thiên theo thời gian. Thông thường, phản ứng của kết cấu đối
với tải trọng động được biêu diễn thông qua chuyên vị của kết cấu, sau khi xác định
được chuyên vị của hệ kết cấu thì các đại lượng có liên quan như nội lực, ứng suất,
biến dạng….đều được xác định.
Việc giải quyết bài toán động lực học kết cấu còn được tiến hành bằng việc đưa
vào các hệ số động. Khi đó, các đại lượng có liên quan như nội lực, chuyên vị và mọi
tham số của hệ đều được tính thông qua hệ số động với các kết quả tính toán tĩnh. Tất
cả các đại lượng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một thời điêm xác định, không
phải là các hàm theo biến thời gian.
Tuy nhiên, nghiên cứu và tính toán dao động cho kết cấu có xét đến các tham số
đầu vào không chắc chắn dưới dạng các số mờ, số khoảng là một vấn đề còn rất mới
và đang được nhiều nhà nghiên cứu trong nước và ngoài nước quan tâm. Theo tác giả
được biết từ trước đến nay đã có một số công bố[3], [4], [5], [8], [13], [14], [15], [16],
[17], [18], [19], [20], [21] nghiên cứu tính toán dao động của kết cấu trong trường hợp
có kê đến các tham số không chắc chắn ảnh hưởng đến bài toán kết cấu.
Trong [3] tác giả trình bày phương trình vi phân dao động mờ của hệ hữu hạn
bậc tự do khai triên dưới dạng hệ phương trình đại số đối với chuyên vị cần tìm được
giải bằng thuật toán tối ưu mức α và trình bày một ví dụ áp dụng tính tần số dao động
riêng và chuyên vị của kết cấu khung phẳng 1 nhịp 3 tầng với các đại lượng mờ là tải

trọng, đặc trưng hình học và cơ tính vật liệu.
Trong [13] trình bày cách tính dao động tự do của kết cấu trong trường hợp kê
đến có tham số mờ, một ứng dụng tính toán dao động tự do cho kết cấu khung phẳng 1
nhịp 3 tầng lần lượt với các trường hợp đặc trưng vật liệu mờ, độ cản mờ của kết cấu,
tuy nhiên bài toán không trình bày thuật giải mà chỉ nêu cách giải lặp với 28 bước thời


13

gian kết hợp với thuật toán tiến hóa (evolution strategy), kết quả tính toán được tính
trực tiếp trên máy tính.
Trong [14] tác giả giới thiệu chung về phương trình cơ bản của phương pháp
phần tử hữu hạn mờ và trình bày ví dụ tính tần số dao động riêng của dầm phẳng có 27
bậc tự do với các đại lượng mờ cho trước là đặc trưng tiết diện và khối lượng của kết
cấu, trong [14] tác giả nêu lên phép toán phân tích khoảng của lý thuyết tập mờ kết
hợp với cách sử dụng tập cắt -α đê giải bài toán nhưng không trình bày thuật giải cho
bài toán đê có kết quả tính toán.
Trong [15] tác giả nêu phương trình vi phân dao động của hệ kết cấu dạng tất
định, sử dụng tập cắt -α cho các số mờ và áp dụng tính toán tần số dao động riêng cho
hệ kết cấu khung phẳng 2 nhịp 4 tầng với dữ liệu đầu vào là vật liệu được mờ hóa với
độ rộng 10%.
Đã có một số công trình nghiên cứu giải quyết bài toán dựa trên phương pháp
PTHH khoảng – mô hình EBE áp dụng phương pháp hàm phạt [4], [5], [17]. Theo
[17], mô hình kết cấu sẽ được tách rời thành các phần tử độc lập đê tránh sự mở rộng
“tự nhiên” của số học khoảng trong quá trình ghép ma trận độ cứng các phần tử, đồng
thời xử lý các ràng buộc (sự tương thích chuyên vị các nút) bằng phương pháp hàm
phạt. Phương pháp tính toán này đặt ra vấn đề khó khăn là việc giải quyết khối lượng
công việc khá lớn do số lượng nút lớn hơn nhiều so với phương pháp PTHH thông
thường và việc lựa chọn số phạt η dựa nhiều vào kinh nghiệm, dẫn đến kết quả theo
phương pháp tính có sai khác đáng kê so với nghiệm giải tích. Trong [16] các số

khoảng và hàm số khoảng được tính toán theo phép toán phân tích khoảng cổ điên dựa
trên luật “min-max” đê xác định đầu ra cho kết cấu, đồng thời tác giả trình bày một
cách tính dao động của kết cấu có kê đến tham số không chắc chắn dưới dạng số
khoảng. Phần ứng dụng tính toán phân tích kết cấu dàn phẳng tĩnh định với các tham
số E, A là số khoảng cho trước, xác định tần số dao động riêng và chuyên vị đầu ra
dưới dạng các số khoảng.
Trong [8], [18] với trường hợp có tham số đầu vào không chắc chắn dạng số
khoảng thì tác giả trình bày một cách phân tích bài toán tĩnh và bài toán xác định phản
ứng động của kết cấu trên cơ sở sử dụng phép toán “Khai triển Taylor” các hàm số


14

chứa tham số khoảng quanh giá trị trung tâm của các biến khoảng đê giải phương trình
vi phân dao động chứa tham số khoảng xác định phản ứng đầu ra dạng khoảng cho kết
cấu.
Trong [19] với các tham số khoảng là tải trọng tác động, đặc trưng hình học và
cơ tính của vật liệu, tác giả đã trình bày một phương pháp phân tích khoảng xác định
phản ứng động của kết cấu. Tác giả đã chuyên hệ phương trình vi phân dao động về
dạng hệ phương trình đại số tuyến tính bằng cách sử dụng hàm truyền Laplace và kết
hợp với phép tính số khoảng đê giải hệ phương trình dao động có tham số khoảng.
Một ứng dụng tính toán xác định chuyên vị dưới dạng khoảng cho kết cấu 1 nhịp 4
tầng được trình bày.
Trong [20] với kết cấu khung phẳng bằng thép 2 nhịp 2 tầng trong trường hợp có
các tham số đầu vào không chắc chắn dạng khoảng, tác giả sử dụng phương pháp PBox (Probability Box) đê phân tích dao động tự do của kết cấu. Tác giả trong [21] thì
sử dụng kỹ thuật mạng nơ ron nhân tạo(ANN) đê xác định các thông số kết cấu dao
động dưới lực cưỡng bức khi các tham số đầu vào có tính không chắc chắn dạng
khoảng, bài báo đã đưa ra mô hình tính cho kết cấu có n bậc tự do và ứng dụng tính
toán xuất kết quả cho một kết cấu 2 tầng.
Trong đề tài, tác giả sử dụng phép toán “Tối ưu hàm số khoảng” kết hợp với sự

hỗ trợ của phần mềm Maple.17 trình bày một cách giải phương trình vi phân dao động
của kết cấu hữu hạn bậc tự do chịu chuyên vị của đất nền, trong trường hợp các tham
số đầu vào là các số khoảng như độ cứng của kết cấu, đặc trưng của vật liệu, hệ số cản
của kết cấu và chuyên vị của đất nền. Bài toán được áp dụng phân tích dao dộng cho
kết cấu khung phẳng 3 nhịp 15 tầng chịu chuyên vị của đất nền dạng điều hòa đê xác
định nội lực và chuyên vị của kết cấu theo thời gian.
1.2. Một số phương pháp xây dựng và giải bài toán động lực học kết cấu.
1.2.1. Các phương pháp xây dựng phương trình vi phân chuyển động [1], [6], [7],
[8].
Phương trình dao động của hệ có thê xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp
tĩnh hoặc các nguyên lý biến phân năng lượng. Các biêu thức toán học đê xác định các


15

chuyên vị động được gọi là phương trình chuyên động của hệ, nó có thê được biêu thị
dưới dạng phương trình vi phân.
1.2.1.1. Phương pháp tĩnh – động học
Nguyên lý D’Alembert được phát biêu đối với cơ hệ: trong chuyên động cơ hệ,
các lực thực sự tác dụng lên chất điêm của hệ gồm nội lực và ngoại lực cùng với các
lực quán tính lập thành hệ lực cân bằng.
→
e
k

F

Hệ có n chất điêm, ta xét chất điêm thứ k chịu tác dụng

→

i
k

F

,

→
qt
k

F

,

→ →
N F
k k
(
,

→

được coi như ngoại lực

Fk
).
→

→

→

Fke Fki Fkqt :
Áp dụng nguyên lý Đalămbe cho chất điêm thứ k ta có: ( ,
,
) 0

 →e →i →qt   n →e n →i n →qt 
∑
 Fk , Fk , Fk ÷ :  ∑ Fk , ∑ Fk , ∑ Fk ÷ : 0
k =1 
k =1
k =1
  k =1

n

Với toàn hệ ta có:

Biêu thức này tương ứng với các biêu thức sau:
 n →e n →i n →qt 
 ∑ Fk + ∑ Fk + ∑ Fk ÷ = 0
k =1
k =1
 k =1


nên

và

 n →e n →qt 
 ∑ Fk + ∑ Fk ÷ = 0
k =1
 k =1


n

→
i
k

∑F
vì

k =1

=0
(1.1)

(1.2)

→  → 
→  → 
e
m
F
+

m
∑ 0  k ÷ ∑ 0  Fkqt ÷ = 0

( vì

→  → 
m
∑ o  Fki ÷ = 0

(1.3)

Nguyên lý: Tại mỗi thời điêm khảo sát, các lực tác dụng lên hệ và lực quán tính
của hệ lập thành một hệ lực cân bằng.
Theo nguyên lý Đalămbe ta có:


16

 n →e n →qt
∑ Fk + ∑ Fk = 0
k =1
 k =1
 n → →
→
n →
 m  F e  + m  F qt  = 0
0 k ÷ ∑ 0 k ÷
∑
k =1
  k =1 



(1.4)

Chiếu (1.4) lên các trục tọa độ ta có:
 n e n qt
∑ Fkx + ∑ Fkx = 0
k =1
 k =1
n
n

e
qt
∑ Fky + ∑ Fky = 0
k =1
 k =1
n
n

e
qt
F
+
∑ kz ∑ Fkz = 0
k =1
 k =1
 n
 → n
 → 

∑ mox  Fke ÷+ ∑ mox  Fkqt ÷ = 0
 k =1
  k =1


 n
→
→
n
 m  F e  + m  F qt  = 0
oy  k ÷ ∑ oy  k ÷
∑
k =1
  k =1



 →e  n
 →qt 
 n
m
F
+
m
∑ oz  k ÷ ∑ oz  Fk ÷ = 0
  k =1


 k =1

(1.5)

Các phương trình của (1.5) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh động.
1.2.1.2. Phương pháp năng lượng.
Dựa trên định luật bảo toàn năng lượng, trường hợp bỏ qua các lực ngăn cản
chuyên động, ta có: K + U = const.
Trong đó:
K - động năng của hệ khi dao động:
2

v( z )
mi vi2
K= ∑
+∑ ∫ m( z ) dz
2
2

(1.6)

U – thế năng của hệ, có thê được hiêu thông qua công của các ngoại lực hoặc
công của các nội lực (trường hợp hệ phẳng):


17

U=

1
1
PΔ

∑
∑ dP.Δcos ( dP,Δ )
i icos ( Pi ,Δ i ) +
2
2 ∫

(1.7)

hoặc:

1
M 2ds
N 2ds
Q 2ds 
U=  ∑ ∫
+∑ ∫
+μ∑ ∫
2
EJ
EF
GF 

(1.8)

1.2.1.3. Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo.
Nội dung của nguyên lý: điều kiện cần và đủ đê một cơ hệ liên kết lý tưởng giữ
và dừng được cân bằng tại một vị trí đã cho là tổng công ảo của tất cả các lực tác dụng
n

→

→

∑ Fk δ rk = 0
lên hệ đều bằng không trong di chuyên ảo bất kỳ từ vị trí đã cho:
Nguyên lý được áp dụng như sau:
trong đó:

δU i

δUi +δTi =0 ( i=1÷n )

k =1

(1.9)

- công khả dĩ của nội lực.

δTi

- công khả dĩ của ngoại lực (gồm lực kích thích, lực cản, lực quán

tính).
Trong ba phương pháp đã giới thiệu ở trên, phương pháp tĩnh động đưa ra cách
giải quyết đơn giản cho hệ một bậc tự do. Sự cần thiết phải xem xét các lực liên kết và
các biêu đồ vật thê tự do trong phương pháp này dẫn đến những khó khăn đối với
những hệ có bậc tự do lớn hơn.
Phương pháp năng lượng thì khắc phục được những khó khăn của phương pháp
tĩnh động. Tuy nhiên, nguyên lý năng lượng cùng các các tọa độ vật lý chỉ đưa được
một phương trình nhưng nó cũng chỉ giới hạn sử dung cho hệ một bậc tự do.

Nguyên lý công ảo thì khắc phục được những hạn chế của hai phương pháp trên
và nó giúp giải cho hệ nhiều bậc tự do. Tuy nhiên, trong phương pháp công ảo thì việc
xem xét vectơ lực là cần thiết trong việc xác định công ảo.


18

1.2.1.4. Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2)
Phương trình Lagrange là một thủ tục hoàn toàn có tính vô hướng, xuất phát từ
các đại lượng vô hướng của động năng, thế năng và công được biêu diễn thông qua các
tọa độ suy rộng. Ưu điêm nổi bật của các phương trình Lagrange là dạng và số lượng
của chúng không phụ thuộc vào số vật thê thuộc cơ hệ và sự chuyên động của các vật
thê đó. Hơn nữa, nếu liên kết là lý tưởng thì trong các phương trình Lagrange không
có mặt các phản lực liên kết chưa biết.
Giả sử hệ có n bậc tự do và các tọa độ suy rộng của hệ là q 1, q2, …, qn. Phương
trình chuyên động Lagrange được viết như sau:



d  ∂T ÷ ∂T ∂U
−
+
= Qi
dt  ∂ q. ÷ ∂q i ∂q i
 i

(với i = 1

÷

n)

(1.10)

trong đó: - U và T lần lượt là thế năng và động năng của hệ.
- Qi là các lực suy rộng tương ứng với các lực không có thế.
Phương trình chuyên động Lagrange được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa học và kỹ thuật, nó được áp dụng với tất cả hệ tuyến tính và phi tuyến.
1.2.1.5. Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton.
Nguyên lý Hamilton có nội dung như sau: một hệ cơ học chịu tác động của các
lực đã biết sẽ có chuyên động (trong tất cả các chuyên động có thê và cùng điều kiện ở
hai đầu của khoảng thời gian) sao cho biến thiên động năng, thế năng và công cơ học
của các lực không bảo toàn trong khoảng thời gian đang xét bằng không.
Nội dung nguyên lý có thê biêu thị:
t2

∫ ( δ T + δ U − δ R ) dt = 0
t1

trong đó:

-

(1.11)

δ T ,δ U

lần lượt là biến phân động năng và thế năng của hệ.

19

-

δR

là biến phân công do các lực không bảo toàn (lực kích thích, lực

cản) tác dụng lên hệ.
Từ các phương trình chuyên động Lagrange sẽ xây dựng nguyên lý biến phân
động học Hamilton và ngược lại. Vì vậy có thê dùng nguyên lý Hamilton đê làm cơ sở
cho động lực học các hệ holonom.
Theo ngôn ngữ của G.Herzt: hệ cơ học nào chỉ có những liên kết được biêu diễn
dưới dạng liên kết hình học gọi là hệ holonom, nếu hệ đó chịu những liên kết biêu diễn
bằng phương trình vi phân không khả tích thì gọi là hệ không holonom.
1.2.2. Một số phương pháp tính trong động lực học công trình [1], [4], [5], [6], [7],
[8].
Các phương pháp này dựa trên cơ sở tìm tần số dao động riêng theo phương trình
đường đàn hồi được giả định trước hoặc thay hệ có số bậc tự do lớn bằng hệ có số bậc
tự do ít hơn. Các phương pháp cho kết quả tương đối chính xác đối với tần số cơ bản

ω1

. Thực tế khi tính toán các công trình, thường người ta chỉ quan tâm đến tần số cơ

bản

ω1

đê kiêm tra điều kiện cộng hưởng.

1.2.2.1. Phương pháp năng lượng (phương pháp Rayleigh).
Phương pháp này giả thiết trước các dạng dao động và dựa trên cơ sở định luật
bảo toàn năng lượng đê xác định tần số và dạng dao động riêng tương ứng. Khi hệ dao
động tự do không kê đến lực cản, trên cơ sở quy luật bảo toàn năng lượng, có thê thiết
lập được mối quan hệ: Umax = Kmax.
Động năng của hệ tại thời điêm t bất kỳ:

K = ∑∫

m( z ) v 2z
2

dz +

mi vi2 ω 2 
∑ 2 = 2  ∑ ∫ m( z) y 2k ( z,t ) dz +

∑m y (
i

2
k zi ,t )

Thế năng của hệ (khi chỉ xét đến ảnh hưởng của mômen uốn):



(1.12)

20

2
M dz
EJ  ∂ y k ( z ,t )
U = ∑∫
= ∑ ∫ −
2 EJ
2 
∂z 2
2

2


 dz


(1.13)

Sau khi xác định được Umax và Kmax, ta rút ra được:
2

 ∂ 2 y k ( z,t ) 
∑ ∫ EJ  ∂z2  dz


ω2 =
∑ ∫ m( z) y k2( z,t ) dz + ∫ mi y k2( zi ,t )

(1.14)

Nếu biêu thị chuyên vị của hệ khi dao động tự do dưới dạng ma trận:
Y(t) = L.Z(t) = L.Z0sinωt

(1.15)

trong đó: L – vectơ dạng giả định
Z(t) – biên độ dạng giả định
ω2 =

thì:

LT KL
LT ML

(1.16)

1.2.2.2. Phương pháp Bupnop – Galoockin.
Phương pháp Bupnop – Galoockin được xây dựng dựa trên cơ sở nguyên lý
Hamilton hoặc nguyên lý chuyên vị khả dĩ.
Với bài toán dao động tự do của dầm, phương trình vi phân của dạng dao động
chính thứ j:
∂2
∂z 2


∂ 2 y j( z,t ) 
 EJ ( z )

 − ω j2 m( z ) y j( z,t ) = 0
2
∂z 


(1.17)

Giả thiết nghiệm của (1.17) đã biết và có thê biêu diễn như sau:
n

y j( z ) = ∑ aφ
i i (z
i-1

)
(1.18)

Trong đó, ai là các hằng số chưa biết, các hàm φi(z) cần phải chọn sao cho thỏa
mãn toàn bộ (hoặc một phần) điều kiện biên (động học và tĩnh học) của bài toán.


21

1.2.2.3. Phương pháp Lagrange – Ritz.
Phương pháp Lagrange – Ritz được xây dựng trên cơ sở nghiên cứu thế năng
toàn phần của hệ.
Nội dung nguyên lý Lagrange được phát biêu như sau: trong tất cả các trạng thái
khả dĩ, trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các lực có thê tương ứng với trạng thái
mà theo đó, thế năng toàn phần của hệ sẽ có giá trị dừng: δU = 0
Thế năng biến dạng được biêu diễn dưới dạng công ngoại lực và công nội lực của

hệ khi chuyên từ trạng thái biến dạng về trạng thái không biến dạng:
2

1
EJ ( z )  ∂ 2 y( z,t ) 
U= ∫

 dz − ∫ q ( z,t ) y( z,t ) dz-∑ Pi( t ) y( zi ,t )
2  ∂z 2 
0
0
1

(1.19)

trong đó: q(z,t) và Pi(t) bao gồm các lực kích thích và lực quán tính do các khối
lượng phân bố và tập trung gây ra khi hệ dao động.
Với bài toán dao động riêng, giả thiết dạng chính của dao động:
n

y j ( z ) = ∑ aφ
i i (z
i=1

)
(1.20)

Trong đó, các hàm φi(z) thỏa mãn điều kiện biên động học (còn điều kiện tĩnh
học đã tự thỏa mãn trong các biêu thức thế năng).
Từ điều kiện thế năng của hệ có giá trị dừng, ta có:

∂U
=0
∂a k

(với k =

1..n

)

(1.21)

Từ đó nhận được n phương trình chính tắc chứa a1, a2, …, an.
1.2.2.4. Phương pháp thay thế khối lượng.
Phương pháp này dựa trên cơ sở đơn giản hóa sơ đồ khối lượng: thay thế các
khối lượng phân bố và tập trung trên kết cấu thành các khối lượng tập trung với số
lượng ít hơn đặt tại một số điêm đặc biệt.


22

Có thê chia các khối lượng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lượng
phân bố trên mỗi khoảng về trọng tâm của nó hoặc phân bố các khối lượng theo
nguyên tắc đòn bẩy: khối lượng phân bố trên mỗi đoạn được thay thế bằng hai khối
lượng đặt ở hai đầu đoạn đó.
1.2.2.5. Phương pháp khai triển theo các dạng riêng:
Xét hệ hữu hạn bậc tự do chịu cưỡng bức và không kê đến lực cản. Giả sử lực
Pk(t) với một giá trị nào đó (bao gồm cả giá trị 0) tác dụng lên khối lượng m k bất kỳ,
lực Pk(t) được khai triên theo các dạng dao động chính dưới dạng các thành phần P ki(t).
n

n

n

Pk ( t ) = ∑ Pki ( t ) = ∑ mφ
H i (t
k ki
k=1

k=1

Hi ( t ) =

)

∑ P ( t ) .φ
k

k=1
n

∑ mφ
k

ki

2
ki

k=1

với

(1.22)

Tải trọng khai triên theo dạng chính thứ i viết dưới dạng ma trận:

Pi =

φiT P
T
Mφ i =φ i,ch
PMφ i,ch
T
φi Mφi

(1.23)

Phương pháp này tìm được n hệ lực P ki(t) thay cho hệ lực Pk(t). Tương ứng với
dạng chính có tần số ωi, ta có các lực P1i(t), P2i(t), …, Pni(t) được thê hiện như hình
(1.1).
Các lực này sẽ gây ra các chuyên vị tỉ lệ với các chuyên vị dạng chính thứ i. Vì
vậy, hệ chịu tải trọng như thế có thê xem như hệ với một bậc tự do.

P11

P21

Pk1

Pn1

P1i

P2i

Pki

Pni

P1n

P2n

Pkn

Pnn

ω1

ωi


23

ωn

Hình 1.1. Phân tích dao động theo dạng chính
Nếu có một số lượng bất kỳ các lực P i(t) được đặt không phải lên các khối lượng

thì phải cần thay thế chúng bằng các tải trọng Pi*(t) như trên hình (1.2).

P1(t) P2(t)
m1

Pn(t)

m2

mk

P*(t)
P*(t)
2
1

mn

P*(t)
P*(t)
k
n

Hình 1.2. PTDĐ theo dạng chính khi tải trọng không đặt trên khối lượng
Các lực Pi*(t) tác dụng tại khối lượng sao cho: chuyên vị tĩnh của các khối lượng
do chúng gây ra giống như các chuyên vị do các lực P i(t) đã gây ra. Các tải trọng thay
thế dựa trên cơ sở các phương trình:
n

δ k1P1* (t)+δ k2 P2* (t)+...+δ kn Pn* (t)= ∑ δ kPi Pi* (t)

i=1

(1.24)

Gọi Pkh là ma trận bao gồm các tải trọng khai triên theo các dạng chính.


24

 P11 P12 ..........P1n 
 P P ..........P 
2n 
Pkh = [ P1 ,P2 ,....,Pn ] =  21 22
 ....................... 


 Pn1 Pn2 ..........Pnn 

(1.25)

1.2.2.6. Các phương pháp số trong động lực học công trình.
1.2.2.6.1. Phương pháp sai phân:
Là phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân của dao động bằng giải hệ
phương trình sai phân. Chia hệ thành n phần tử, tại mỗi điêm chia, thay đạo hàm bằng
các sai phân đê lập phương trình sai phân tương ứng. Kết quả thu được là hệ phương
trình đại số tuyến tính với các ẩn số là giá trị nghiệm của phương trình vi phân tại
điêm chia và các giá trị nghiệm tại một vài điêm chia lân cận. Phương pháp này cho
phép dễ dàng giải bài toán dao động của hệ có các thông số thay đổi: khối lượng, tiết
diện, tải trọng …
1.2.2.6.2. Phương pháp phần tử hữu hạn:

Cơ sở của phương pháp này là hệ được rời rạc hóa thành các phần tử hữu hạn,
sau đó xem các phần tử hữu hạn được nối lại với nhau tại một số điêm quy định
(thường là đỉnh của mỗi phần tử) gọi là nút và tạo thành lưới phần tử hữu hạn. Tính
liên tục về biến dạng của hệ được thê hiện qua chuyên vị, đạo hàm của chuyên vị tại
các nút của lưới phần tử hữu hạn.
Số phần tử hữu hạn (hay số lượng ẩn số) là các chuyên vị tại nút của lưới phần tử
hữu hạn. Lưới phần tử hữu hạn càng mịn thì càng làm việc sát với hệ thực và mức độ
của kết quả tính càng cao.
Vectơ chuyên vị nút của lưới phần tử hữu hạn:

{ Y} = { y1 y 2 ......y n }

Hệ phương trình vi phân biêu thị dao động của lưới phần tử hữu hạn có kê đến
lực cản đàn nhớt tại thời điêm t bất kỳ:


25

[ M]

{ } { }
..

.

Y (t) + [ C] Y (t) + [ K ] { Y(t)} = { P(t)}
(1.26)

1.2.2.6.3. Phương pháp tích phân trực tiếp:
Phương pháp tích phân trực tiếp không những cho phép giải các bài toán dao

động tuyến tính mà còn cho phép giải các bài toán dao động phi tuyến phức tạp. Gồm
có các phương pháp sau:
+ Phương pháp gia tốc tuyến tính (Phương pháp Wilson): phương pháp này xem
rằng sự thay đổi của gia tốc chuyên động trong mỗi bước thời gian từ t đến (t+Δt) là
tuyến tính.
+ Phương pháp sai phân trung tâm: thực chất của phương pháp này là chia bước,
tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân trong từng khoảng chia Δt (giải bài toán
tĩnh trong từng bước chia thời gian Δt nhưng có kê đến lực quán tính và lực cản, đồng
thời phương trình cân bằng được giải nhiều lần đối với các điêm chia trong khoảng
thời gian dao động).
Giá trị gia tốc của chuyên vị được xem là không đổi trong phạm vi hai bước chia
thời gian và được xác định:

{ }
..

Y (t) =

1
{ Y ( t-Δt ) } -2{ y(t)} +{ Y ( t+Δt ) } 
Δt 2 
(1.27)

+ Phương pháp gia tốc trung bình không đổi (phương pháp Neimark):
Phương pháp này giả thiết rằng: ở mỗi bước thời gian Δt, gia tốc chuyên động
bằng hằng số và được tính bằng giá trị trung bình của hai giá trị đầu và cuối của
khoảng thời gian Δt:

{

..

{
}

Y (t + τ ) =

..

}{ }
..

Y (t+Δt) + Y (t)
2

(với

0Δt
≤τ ≤

)

(1.28)