Bài giảng điện tử:Phương trình mặt phẳng 2 (Hình học 12)

NhiÖt liÖt chµo Mõng
quý thÇy c« gi¸o
vÒ dù giê th¨m líp
12A5
TRêng THPT nguyÔn diªu


KiÓm tra bµi cò

r
uuuu
r uuur
�
n�
MN
,
MP
�
�

Trong kh«ng gian Oxyz
N
Cho ®iÓm
M(0;1;1),
N(1;-2;0),
P(1;0;2)
uuuu
r uuur
�
�
M

MN
,
MP
P
a) TÝnh
�
�
uuuu
r uuur
�
�
MN
,
MP
b) Cho biÕt mèi
quan
hÖ
vÒ
ph
¬ng
�
�
uuuu
r uuur
MN , MP
gi÷a
víi? c¸c vect¬
Tr¶ lêi: uuuur
�
uuuu

r uuur
�MN   1; 3; 1
�  4; 2; 2 
��
MN
,
MP
a) Ta cã�uuur
�
�
MP

1;

1;1


�
b)

uuuu
r uuur
uuuu
r
�
� MN
MN
,
MP
�

�

uuuu
r uuur
uuur
�
� MP
MN
,
MP
vµ
�
�


Tieỏt 32: PHệễNG TRèNH MAậT
PHANG
1. Phơng trình
mặt
phẳng
a. Véctơ pháp
tuyến (vtpt) của mặt phẳng:
Em có
nhận
xét
u
r
u
r
Định nghĩa: Vectơ

đợc gọi là vectơ pháp
n

0
gì về vtpt của
ur
tuyến của mặt phẳng () nếu giá của
hai mp song
rn r
vuông góc với mp ().
n 0
song ?
Chú ý:
+ Nếu u
là
vtpt
của
()
thì
cũng
là

)
r
u
r
vtpt ncủa
().mặt phẳng cho tr
Mỗi
k n (k 0)

+ Nếu () //ớc()
của mp
này cũng là vtpt
cóthì
baovtpt
nhiêu
vtpt?
của mp kia.

Các vectơ đó có quan
hệ với nhau nh thế


b) Phơng trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp () đi qua M(xo;yo;zo)
r
không gian uOxyz
chourmp()
đi 2qua
2
2
và có vtpt n ( A; B; C ), ( A B C
2 0) 2
2

;zo) và có vtpt
n ( A; B; C ),( A B C 0)
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc () là:
điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộ

o

ur uuuuur
ur uuuuur
n M o M n .M o M 0

z

A( x xo ) B( y yo ) C ( z zo ) 0 (1)
Đặt:D ( Axo Byo Czo )

(1) Ax By Cz D 0 (2)

M0


x

O

r
n

M
y

Với 2
.
2

2
A B C 0
Khi đó pt(2) gọi là phơng trình tổng quát của
mp ()


b) Phơng trình mặt phẳng
*Nhận xét:
Để viết đợc phơng trình mặt phẳng ta cần phải có:
+Tọa độ của 1 điểm thuộc mặt phẳng.
+Tọa độ 1 VTPT của mặt phẳng đó.

c) Ví dụ:
VD1: Viết phơng trình mặt phẳng () đi
qua ba điểm M(0; 1; 1), N(1;-2;0), P(1; 0;
r uuur uuur
2).
Hd: Mặt phẳng ()

n=
MN
,
MP




đi qua r điểm
M(0;
1;

N
uuuu
r uuur
M


n

MN
,
MP
4; 2; 2
1)
và
có
1
VTPT
là
P



Phơng
trình
mặt
4 x 0phẳng
2 z là:
1 0 2 x y z 0
2 y 1 ()

VD2: Cho A( 1;-2;3) và B(-5;0;1). Lập ph
ơng trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn
thẳng
. điểm của đoạn thẳng
Hd: Gọi
I là AB
trung
AB . I 2; 1; 2
uuu
r
6;là
2; 2
Mặt phẳng (P) đi qua I và có 1 AB
VTPT
Pt mặt phẳng (P) là
6 x 2 2 y 1 2 z 2 0
A

B

I

P

3 x y z 3 0


Định

lí: gian Oxyz, mọi mặt phẳng
vậy,
trong không
u có phơng trình tổng quát dạng (2): Ax+By+Cz+D
Trong
gian
Oxyz,
mỗi
ph
2
2 không
2
A B C
. 0
2
2
2
A

B

C
ơng
trình
Ax+By+Cz+D=0
h lí sau
đây
khẳng
định điều ngợc lại 0với
đều là phơng trình của một

xác
Hd:mặt
Lấy 1phẳng
nghiệm
(x0định.
;y0;z0) của pt (2), khi
đó ta có: Ax0 By0 Cz0 D 0
Gọir (P) là mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0)
AVTPT
; B; C là
vàncó
x x0 B y y0 C z z0 0
Phơng trình mp (P)A là
Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0 Ax By Cz D 0


2. C¸c trêng hîp riªng

Trong khoâng gian cho Oxyz cho
mp (α)
(A 2  B2  C2  0)
By (α)
+ Cz
D =gèc
0 (2)
TH 1: Ax+Mp
®i+qua
D=0

to¹ ®é

To¹ ®é
®iÓm O cã
tháa m·n
pt mp (α)
hay kh«ng ?

z
α

O
x

Ax+By +Cz=0

y


mp () song song hoặc chứa
TH 2: A = 0
rr
truùc
Ox.
r
Tính n.i ?

n 0;B;C

và cho nhận
z

r

xét về phơng
i

1
;
0
;
0




của 2 vectơ
z
trên?
z
r
n
j
k
k
O
y
i O
y
y
x
a)

x
b)

x
c)
Ax+By+D=0


TH 3: A = B

=0

z

z

α)

x

(α

(α

z

 mp(α) song song hoÆc trïng víi
mp (Oxy)

O

O

y
x

Cz+D=
0

By+D=0

O

y

y
x

Ax+D=0


*Nếu A , B , C , D  0 thì bằng cách
đặt như sau :
D
D
D
a 
; b 
; c 

A
B
C

A
B
C
 2 � Ax  By Cz  D � D x  D y  D z  1

x
y
z
Ta đưa pt (2) về dạng    1
a b c
:

 3

Pt (3) được gọi là phương trình của mặt
phẳng theo đoạn chắn, hay nói cách
khác pt trên là pt mặt phẳng đi qua 3
điểm lần lượt nằm trên 3 trục Ox , Oy ,
Oz và có tọa độ là M(a ; 0 ; 0) , N(0 ;
b ; 0) , P(0 ; 0 ;c).


2. Các trờng hợp riêng :
Dạng phơng
trình
Ax + By + Cz

=0
Ax + By + D =
0
Ax + Cz + D =
0
By + Cz + D =
0
Ax + D = 0
By + D = 0

Vị trí của mặt phẳng
so với các yếu tố của hệ toạ độ
Đi qua gốc toạ độ O
Song song hoặc chứa trục Oz
Song song hoặc chứa trục Oy
Song song hoặc chứa trục Ox
Song song hoặc trùng với mặt
phẳng (Oyz)
Song song hoặc trùng với mặt
phẳng (Oxz)


Ví dụ 3: Trong không giao Oxyz cho điểm
M(30;15;6)
a. Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) đi
qua các hình chiếu của M trên các trục toạ độ
z
b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm
r
C 6

OBài
trên
mp(P)
giải
:
n
a. Toạ độ hình chiếu của M trên
H
B
các trục toạ độ Ox. Oy, Oz lần lợt
z
O
15
là A(30;0;0),B(0;15;0),C(0;0;6)
A
Phơng mặt phẳng (P) qua
30
A,B,C
x ylà :z
+ + =1 hay x+2y+5z-30=0x
M
30 15 6
A
uuur
OH
b.
Quan hệ
3
r của
n

0
với vtpt
P
y
của mp (P) nh

thế nào ?

y

x


Ví dụ 3: Trong không giao Oxyz cho điểm
M(30;15;6)
a. Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) đi
qua các hình chiếu của M trên các trục toạ
z độ
b.Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm C 6
OBài
trêm
giảimp(P)
:
H
uuur r
OH =tn
b. Do H là hình chiếu của O trên
O
(P) nên
A

Gọi H(x;y;z) thì toạ độ của H thỏa mãn
3
hệ phơng trình :
t=1
x+2y+5z-30=0
x=t
x=1




y=2t
y=2




z=5t
z=5



x

0

.Vậy
H( 1;2;5)

B

15

y


Bµi tËp tr¾c nghiÖm: C¸c c©u hái sau ®Òu
xÐt
Oxyz.
C©u
1: Mpkg
(P):
x+2y-3z+4=0
cã
r trong
r
r mét vtpt lµ .r
A: n   1; 2;3 B: n   1;2;4 
C: n   2; 3;4 
D: n   2;4;6 
C©u 2: Mp (Q) ®i qua 3 ®iÓm A(0;-1;1), B(1;2;3),
C(3;0;1)
z pt
7  lµ
0 :
A: x  3 y  4cã
B:  x  3 y  4 z  7  0
C:  x  3 y  4 z  7  0
D: x  3 y  4 z  7  0
C©u 3: Mp nµo díi ®©y chøa trôc Ox ?
A:    : x  z  1  0

B:    :  x  5 y  0
C:    : 3 y  4 z  0
D:    : 3 y  4 z  1  0
C©u 4: Mp ®i qua 3 ®iÓm M(1;0;0), N(0;2;0),
z pt
6  lµ
0 :
P(0;0;3)
A
: 6 x  3 y cã
B:  x  y  z  0
C:6 x  3 y  2 z  6  0
D: 6 x  3 y  2 z  6  0
C©u 5: Mp ®i qua ®iÓm M(1;0;0) vµ song song víi
mp (P): x-y+2z=0 cã pt lµ :
A: x  y  2 z  1  0
B:  x  y  2 z  0
C:  x  y  2 z  3  0
D: x  y  2 z  1  0


Củng cố, hớng dẫn về
1-Cách tìm vtpt củanhà
mp và nhận dạng pt tổng
quát của mặt phẳng.

2-Cách viết phơng trình mp khi biết tọa độ
một điểm và tọa độ của một vtpt.
3-Các trờng hợp riêng của pt mặt phẳng.
4-Dạng pt theo đoạn chắn của mặt phẳng.

Về nhà:
1-Học kĩ các nội dung đã củng cố ở trên.
2-Xem lại lời giải các ví dụ minh họa và bài
tập.
3-Làm bài tập 15 trang 89-sgk.


Xin cảm ơn các thầy cô giáo và các em học sinh
Xin chúc các thầy cô và các em mạnh khoẻ


Ý dô 4: ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
i qua ®iÓm M0 (3;0 ;-1) vµ song song
mÆt ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh:
x -3y +7z +1 = 0
Bµi gi¶i
MÆt ph¼ng ()
Qua M0( 3;0;1)
1vtpt ( 4;3;7)
=> Ph¬ng tr×nh ():
4x-3y +7z -5 = 0

n

P
Q

( 4;-3; 7 )

cñng cè kiÕn thøc

Điền vào
dấu . . .
Ghi
nhí

một VTPT của mp( )
1. Để viết PTTQ của mp() ta phải xác . . .
một điểm mp( ) đi qua
định:
2. Hai vectơ không cùng phương a và b có giá song song
hoặc nằm
. a , b]
n. .=[
3.trong
PTTQmp()
của mp()
đi qua
thì mp()
cóđiểm
một M
VTPT
là:
0(x0;y
0;z0) và nhận n =
(A;B;C) khác 0 làm VTPT
. . . –là:
A(x
x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

4. Nếu mp() có PTTQ: Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có
một VTPT là:
.
n .=. (A;B;C)