TS 10 Chuyên Vĩnh phúc 07-08 (cho chuyên Toán và Tin)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007-2008
Môn thi: TOÁN
Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho phương trình: x
2
– mx + m – 1 = 0 (m là tham số)
1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
và tính giá trị của biểu thức
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
theo tham số m.
2) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Câu 2: Cho hệ phương trình:
2 2

ax +y=b
4 1x y


− =

(a, b là tham số)
1) Giải hệ phương trình khi a = -1, b = 2.
2) Tìm a để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) với mọi b.
Câu 3:
1) Giải phương trình:
( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x+ + + = −
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
x
2
– (2007 + y)x + 3 + y = 0
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q. Gọi F là trung điểm AC; đường thẳng FI cắt cạnh AB
tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường
trung trực cạnh AC tại N.
1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp.
2) Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng.
3) Chứng minh AE = AM.
Câu 5:
1) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +

.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC không
chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2006.MB + 2007.MC đạt giá trị lớn
nhất.
----------------------------------------------------- Hết -----------------------------------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC