Trắc nghiệm nâng cao toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

MỤC LỤC
NGUYÊN HÀM NÂNG CAO ........................................................................................................... 3
A – LÝ THUYẾT CHUNG............................................................................................................ 3
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 4
TÍCH PHÂN NÂNG CAO .............................................................................................................. 15
A – LÝ THUYẾT CHUNG.......................................................................................................... 15
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................... 16
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO ........................................................................................ 55
A – LÝ THUYẾT CHUNG.......................................................................................................... 55
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................... 55
ỨNG DỤNG THỰC TẾ .................................................................................................................. 87

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

NGUYÊN HÀM NÂNG CAO
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số

F  x  xác định trên K sao cho F '  x   f  x  thì F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x 
trên K.
Định lí 1. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K.
Định lí 2. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x 
trên K đều có dạng G  x   F  x   C với C là hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất:

 f '  x  dx  f  x   C

với C là hằng số.

 kf  x  dx  k  f  x  dx

với k là hằng số khác 0.

  f  x   g  x  f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
Bảng nguyên hàm
Chú ý: công thức tính vi phân của f  x  là d  f  x    f '  x  dx
Nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm hợp

 0dx  C

 0du  C

 dx  x  C

 du  u  C

x



1

dx 

1  1
x  C   1
 1

 x dx  ln x  C

u



du 

1  1
u  C   1
 1

1

 u du  ln u  C

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x

 e dx  e
x
 a dx 

x

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

u

C

 e du  e

ax
C
ln a

u
 a dx 

u

C

au
C
ln a

 cos xdx  sin x  C

 cos udu  sin u  C

 sin xdx   cos x  C

 sin udu   cosu  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

1

dx  tan x  C

 cos

dx   cot x  C

 sin

2

u

2

u

1

du  tan u  C

du   cot u  C

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
1
và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S
e 3
3
x

của phương trình 3F  x   ln  x3  3  2 là:
A. S  2 .

B. S  2; 2 .

C. S  1; 2 .

D. S  2;1 .

Hướng dẫn giải:

dx
1 

ex 
1
x
Ta có: F  x    x
  1  x
 dx  x  ln  e  3  C .
e 3 3  e 3
3





1
1
Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3  .
3
3





Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2
Chọn A.
Câu 2:

Cho F ( x)  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f ( x)e2 x .
A.

 f ( x)e

2x

dx   x 2  2 x  C

B.

 f ( x)e

2x

dx   x 2  x  C

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

 f ( x)e

2x

dx  2 x 2  2 x  C

D.

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

 f ( x)e

2x

dx  2 x 2  2 x  C

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết  F '  x   f  x  .e 2 x   x 2  '  f  x  .e 2 x  2 x  f  x  .e 2 x (1)
Đặt A   f '  x  .e 2 x dx . Đặt u  e 2x  du  2e 2 x dx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)
 A  e 2 x . f  x   2 f  x  .e 2 x dx  2 x  2 F  x   C  2 x 2  2 x  C

Chọn D.
Câu 3:

Cho F ( x)  ( x  1)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f ( x)e2 x .
2x

A.

 f ( x)e

2x

dx  (4  2 x )e x  C

B.

 f ( x)e

C.

 f ( x)e

2x

dx  (2  x )e x  C

D.

 f ( x)e

dx 

2x

2 x x
e C
2

dx  ( x  2)e x  C

Hướng dẫn giải:
/

Từ giả thiết  F '  x   f  x  .e 2 x   x  1 .e x   f  x  .e 2 x
/

x

 x.e  f  x  .e

2x

1 x
x.e x
x
 x
 f  x   2 x  x  f '  x    x   ...  x
e
e
e
e 

Đặt A   f '  x  .e 2 x dx  

1  x 2x
.e dx   1  x  e x dx
ex

u  1  x  du  dx
Đặt 
 A  1  x  e x   e x dx  1  x  e x  e x  C  e x  2  x   C
x
x
dv  e dx choïn v  e
Chọn C.

Câu 4:

Cho F ( x )  

1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
3x
x

f ( x) ln x .

A.

 f ( x) ln xdx 

ln x 1

C
x3 5 x5

B.

 f ( x) ln xdx 

ln x 1

C

x3 5 x 5

C.

 f ( x) ln xdx 

ln x 1

C
x3 3 x 3

D.

 f ( x) ln xdx  

ln x 1

C
x 3 3 x3

Hướng dẫn giải:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Từ giả thiết  F '  x  
 f '  x   3.

f  x
x

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

/

f  x
f  x
1
1
 1 
  3  
 4 
 f  x  3
x
x
x
x
 3x 

1
x4

Đặt A   f '  x  .ln x.dx  

3ln x
ln x
dx  3 4 dx

4
x
x

1

u
ln
x
3
du
dx




1 1
1
x
 1
 ln x
Đặt 
 A  3   3 ln x   4 dx   3  3  C
3 x
3x
 3x
 x
dv  1 dx choïn v   1
4
3


x
3x
Chọn C.
Câu 5:

Cho F ( x ) 

1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2x
x

f ( x) ln x
1 
 ln x
 2 C
2
x
2x 

B.

 f ( x) ln xdx 

ln x 1
 C

x2 x 2

 ln x 1 
 C
x2 x 2 

D.

 f ( x) ln xdx 

ln x
1
 2 C
2
x
2x

A.

 f ( x) ln xdx   

C.

 f ( x) ln xdx   

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết  F '  x  

f  x
x

/

f  x
f  x
1
1
 1 
 2 
 3 
 f  x   2
x
x
x
x
 2x 

/

2
 1 
 f ' x    2   3
 x  x

Đặt A   f '  x  .ln x.dx  

2
ln x
.ln x.dx  2  3 dx
3

x
x

1

u  ln x  du  x dx
Đặt 
dv  1 dx choïn v   1

x3
2x2
1
1 
1 
 ln x

 ln x
 ln x
 A  2   2   3 dx   2   2  2   C    2  2   C
2x
2x 
 2x

 2x 4x 
 x

Chọn A.
Câu 6:

Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
1  x2

trên khoảng  ;   ?

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A





Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng





A. F  x   ln x  1  x 2  C .

B. F  x   ln 1  1  x 2  C .

C. F  x   1  x 2  C .

D. F  x  

2x
1  x2

C

Hướng dẫn giải:
Ta có bài toán gốc sau:
Bài toán gốc: Chứng minh

dx



2

x a

 ln x  x 2  a  c  a   


2x 
x  x2  a
Đặt t  x  x 2  a  dt  1 
dx  dt 
dx  dt 

2
x2  a
 2 x a 

dt
dx
 
t
x2  a
Vậy khi đó



dx
2

x a



tdx
x2  a

dt
 ln t  c  ln x  x 2  a  c ( điều phải chứng minh).
t

Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có
1





Cho F(x) là một nguyên hàm của f  x  

tan x

F  x  

1 x

2

dx  ln x  1  x 2  c  ln x  1  x 2  c .

Chọn A.

Câu 7:

cos x 1  a cos 2 x

 
F   1
, biết F  0   0 ,  4  .

 
 
F F 
 4 ?
Tính  3 

A.

5 3.

5 1.

B.

C.

3 5.

D.

5 2

Hướng dẫn giải:

4


4

 f  x dx   cos x
0

 tan 2

0


4

tan x
2

1  a cos x

dx  
0

tan x
2

2

cos x tan x  1  a


4

dx  
0

1
2

d tan 2 x  1  a

2 tan x  1  a



 1  a  tan 2 0  1  a  3  2 .
4

 a  2  a 1  3  2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 a  2  a 1 2 a 1




Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng



3  2 52 6

3 6
 a 1  a  1
3 2


3
tan x
 

 
dx 
Do đó F    F    
3
 4   cos x 1  cos2 x

tan 2



 2  tan 2  2  5  3 .
3
4

4

Chọn A.
Câu 8:

Biết

5

2
2
  cos x  sin x  .sin 4 xdx  

A. a  6.

cos 7 2 x

 C . Với a là số nguyên. Tìm a?
a

B. a  12.

C. a  7.

D. a  14.

Hướng dẫn giải:
5

Đặt f  x     cos2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx , Ta có:
5

5

f  x     cos 2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx    cos 2 x  .2 sin 2 x.cos 2 x
 2 cos 6 2 x.sin 2 xdx

Đặt t  cos 2 x  dt  2sin 2 xdx
Vậy F  x     t 6 dt 

cos 7 2 x
t 7
C  
C
7
7

Chọn C.
Câu 9:

Biết

sin x  cos x

 sin x  cos x dx  a ln sin x  cos x  C . Với a là số nguyên. Tìm a?

A. a  1.

B. a  2.

C. a  3.

D. a  4.

Hướng dẫn giải:
sin x  cos x  sin x  cos x


Vì  a ln sin x  cos x  C  

nên
sin x  cos x
sin x  cos x

Nguyên hàm của:

sin x  cos x

là: ln sin x  cos x  C .
sin x  cos x

Chọn A.

tan 2
Câu 10: Tìm một nguyên hàm của: 1  4.

x
2

 2x 
 tan 2  1



2

biết nguyên hàm này bằng 3 khi x 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

.
4

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

1
 3.
cos 2 x

B.

1
 3.
sin 2 x

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

C. tan x  2 .

D. cot x  2 .

Hướng dẫn giải:
2

x
x 

tan
2 tan

2
2   1  tan 2 x  1
f  x   1  4.

1




2
cos 2 x
2 x
 2x 


1
tan

 tan  1
2

2 

2

Nguyên hàm của F  x   tan x  C


 
Ta có: F    3  tan  C  3  C  2  F  x   tan x  2
4
4
Chọn C.
Câu 11:

F  x   x  ln 2sin x  cos x
A.

sin x  cos x
.
sin x  3cos x

B.

là nguyên hàm của:
sin x  2cos x
.
2sin x  cos x

sin x  cos x
.
sin x  3cos x

C.

D.

3sin x  cos x
.
2sin x  cos x

Hướng dẫn giải:
Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng.
Ta có: F '  x   1 

 2 sin x  cos x  '  1  2sin x  cos x  3sin x  cos x
2sin x  cos x

 F  x  là một nguyên hàm của

2 sin x  cos x

2 sin x  cos x

3sin x  cos x
.
2sin x  cos x

Chọn D.
Câu 12: Biết

  25x

2

1
1
dx  
 C . Với a là số nguyên. Tìm a?
5
 20 x  4 
a 5 x  2

A. a  4.

B. a  100.

C. a  5.

D. a  25.

Hướng dẫn giải:
Chú ý nếu chúng ta biến đổi:



1

 25x

2

dx    25 x  20 x  4 
2

3

 20 x  4 

Điều sau đây mới đúng:

  25x

2

3

3

 25x
dx 

2

 20 x  4 
4

 20 x  4  d  25 x  20 x  4 
2

3

4

 C . Là sai

 25 x


2

 20 x  4 
4

4

C

n

Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức  25 x 2  20 x  4  về dạng  ax  b  như sau:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A



1

 25x

2

 20 x  4 

3

dx  

1

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

6

 5x  2 

6

dx    5 x  2  dx

5

1  5x  2 
1

C  
C
5
5
5
25  5 x  2 
Chọn D.
Câu 13: Biết

 2x

2

1 x
a

dx  ln 2 x  7  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
 5x  7
b

A. S  4.

B. S  2.

C. S  3.

D. S  5.

Hướng dẫn giải:
Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương
trình bậc 2:
2 x 2  5 x  7  0 thấy có hai nghiệm là: x  1, x 

7
.
2

Áp dụng công thức ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 là hai nghiệm ta có:

2 x 2  5 x  7   x  1 2 x  7 
Do đó:

 2x

2

1 x
x 1
1
1
dx  
dx  
dx  ln 2 x  7  C
 5x  7
2x  7
2
 x  1 2 x  7 

Chọn C.
Câu 14: Biết

  sin 2 x  cos 2 x 

2

A. S  4.

a
dx  x  cos 4 x  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
b

B. S  2.

C. S  3.

D. S  5.

Hướng dẫn giải:
Nếu áp dụng ngay:  t n dt 
2

  sin 2 x  cos 2 x  dx 

t n 1
 C thì ta có:
n 1

 sin 2 x  cos 2 x 
3

3

 C . Là sai.

2

Ta phải khai triển  sin 2 x  cos 2 x  để xem thử

  sin 2 x  cos 2 x 

2

1
dx   1  sin 4 x  dx  x cos 4 x  C
4

Chọn D.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 15: Biết

1

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

x

 1  cos x dx  a.tan b  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A. S  4.

B. S  2.

C. S  3.

D. S  5.

Hướng dẫn giải:
Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có
x
1  cos 2

thể biến đổi 1  cos x  2cos 2 dựa trên công thức hạ bậc: cos 2  
. Do đó:
2
2

1

 1  cos x dx  

1

x
dx  tan  C .
x
2
2 cos 2
2

Ta thấy rằng a  1, b  2 do đó S=3.
Chọn C.
Câu 16: Biết

1

a





 1  sin 2 x dx  b tan  x  4   C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?

A. S  4.

B. S  2.

C. S  3.

D. S  5.

Hướng dẫn giải:

1

 1  sin 2 x dx  

1
1
dx  
dx 



2 
1  cos   2 x 
2cos   x 
2

4


1
1




  tan   x   C  tan  x    C
2
2
4
4


Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3
Chọn C.

 

Câu 17: Cho f  x   8sin 2  x   . Một nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa F  0   8 là:
 12 


A. 4 x  2sin  2 x    9 .
6




B. 4 x  2sin  2 x    9 .

6




C. 4 x  2sin  2 x    7 .
6




D. 4 x  2sin  2 x    7 .
6


Hướng dẫn giải:
Ta cần phải tính

 f  x  dx   8sin

2

 

 x   dx . Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi
 12 

f  x  như sau:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng


 

1  cos  2 x   

 

6

f  x   8sin 2  x    8 
12 
2













f  x   4  4 cos  2 x    F  x   4 x  2sin  2 x    C
6
6


 
f  0   8  2sin    C  8  C  9
6
Chọn B.
Câu 18: Cho f  x   1  x . Một nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa F 1  1 là:

A. x 2  x  1


x2 1
x

 khi x  0

2 2
B. 
.
2
x
 x   C khi x  0
2

2

 x2
  x  C1 khi x  0
C.  2 2
.
x
 x   C khi x  0
2

2

 x 2  x  C1 khi x  0

.
D. 
x2
x
C
x


khi

0

2

2

Hướng dẫn giải:


x2
 x   C1 khi x  0
1  x khi x  0
2
Ta có: f  x   
 F  x  
.
2
1  x khi x  0
 x  x  C khi x  0
2

2

x2 1
 x   khi x  0
1
2 2
Theo đề F 1  1  C1   do đó: 
.
2
2
 x  x  C khi x  0
2

2

Chọn B.
Câu 19: Biết F ( x) là nguyên hàm của



5 x2  8x  4
2

x 1  x 

2

1
dx với 0  x  1 và F    26 . Giá trị nhỏ
2

nhất của F ( x) là:
A. 24.

B. 20.

C. 25.

D. 26.

Hướng dẫn giải:
Ta có:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
F  x  

5x 2  8x  4
x 2 1  x 

2

9 x 2  4  x 2  2 x  1

dx  

x 2 1  x 2 

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

dx

 9
4
4
9
 dx  


C
2
2
x 1  x 
 1  x  x 

4
9
1
 C  26  C  0
Vì F    26 nên 
1
 1
2
1
2  2 
Lúc này F  x  

4
9

với 0  x  1 . Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1
x 1  x 

Step 0.1:
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4
Chọn C.
Câu 20: Khi tính nguyên hàm

1



 2 x  1 x  1

3

dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo
3
, giá trị của g  0   g 1 là:
5

biến x) thì nguyên hàm trở thành  2dt . Biết g  4  
A.

3 6
.
2

B.

1 6
.
2

C.

2 6
.
2

D.

23 6
.

2

Hướng dẫn giải:
Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm. Hs cần phải
dự đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành:



1

 2 x  1 x  1

3

dx  

1

 x  1

2

2x 1
x 1

dx

Do đó ta đặt:
t

2x  1
 dt 
x 1

Vì vậy suy ra



dx
2  x  1

2

2x  1
x 1

1

 2 x  1 x  1

3

dx

 2dt 

 x  1

2

2x 1
x 1

dx   2dt

Tuy nhiên đây là lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
t

2x 1
 C  dt 
x 1

dx
2  x  1

2x 1
x 1

2

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng
dx

 2dt 

 x  1

2

2x 1
x 1

Với C là hằng số, kết quả không thay đổi. Vì vậy chính xác ở đây là:

t

2x  1
3
 C  g  x  . Theo đề g  4  
n33n suy ra C=0.
x 1
5
2x  1
2 6
vì vậy g  0   g 1 
x 1
2

Cuối cùng ta được g  x  
Chọn C.

Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

 2dt 
 g  x 

1
3

dx  t 

 2 x  1 x  1
1
2

1

 2 x  1 x  1

3

0

1
2
4

1

 2 x  1 x  1

3

dx

dx

Do đó g  x  là nguyên hàm của

g  0   g  4  

1
2

1
2

1

 2 x  1 x  1

3

. Suy ra:

0

1

1
2
4

3

dx  g  0   

3

dx  g 1  

 2 x  1 x  1

1

 2 x  1 x  1

3

dx  g  4 

Và:
1

1
2
4

g 1  g  4   

1

1

 2 x  1 x  1

1
2
4

1

 2 x  1 x  1

3

dx  g  4 

Sử dụng MTCT bấm:
0

1
4 2

1

1

 2 x  1 x  1

3

1

2
4

dx  g  4   

1

 2 x  1 x  1

3

dx  g  4 

Là kết quả C.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

TÍCH PHÂN NÂNG CAO
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  thỏa:
+ Liên tục trên đoạn  a; b .
+ F  x  là nguyên hàm của f  x  trên đoạn  a; b .

b

Lúc đó hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu

 f  x  dx  F  b   F  a 
a

Chú ý:
+ a, b được gọi là 2 cận của tích phân.
b

+ a = b thì

 f  x  dx  0.
a
b

+ a > b thì



a

f  x  dx    f  x  dx .

a

b
b

+ Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là



b

f  x  dx   f  t  dt  F  b   F  a  .

a

a

2. Tính chất
b

+

c

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx,  a  c  b  .
a

a

b

c
b

+  kf  x  dx  k  f  x  dx, với k là hằng số khác 0.
a

a

b

+

b

b

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .
a

a

a

Chú ý:
Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức
b

 f  x  dx  F  b   F  a  .
a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

4

Câu 1:

Xét tích phân A 

 3sin
0

2

1
dx . Bằng cách đặt t  tan x, tích phân A được
x  2cos 2 x  2

biến đổi thành tích phân nào sau đây.
1

1

1

A.  2
dt .
t

4
0

1
B.  2
dt .
t

4
0

1

1
C.  2
dt .
t

2
0

1

D.

t

0

2

1
dt .
2

Hướng dẫn giải:




Ta có: 3sin 2 x  2cos 2 x  2  cos 2 x  3tan 2 x  2 

2 

cos 2 x 

 cos 2 x 3tan 2 x  2  2 1  tan 2 x    cos 2 x  tan 2 x  4 

4

Vậy: A 

1

 cos x  tan
2

0

2

x  4

dx , lúc này đặt t  tan x và đổi cận ta đc:

1

dt
dx .
t

4
0

A

2

Chọn A.

2

Câu 2:

Đặt t  tan

1

1
x
thì I  
dx được biến đổi thành 2  f  t dt . Hãy xác định f  t  :
2
6 x
0 cos
0
2

A. f  t   1  2t 2  t 4 . B. f  t   1  2t 2  t 4 . C. f  t   1  t 2 .

D. f  t   1  t 2 .

Hướng dẫn giải:
2




2
 1 
1
x 1

I  
dx

dx
.

1  tan 2  .



2 x
2 x
2
2 x


0  cos
0
 cos
cos
2
2
2


2

1
1

dx
 dt  2 .
2 x
cos
x


Đặt t  tan  
2
2


 x  0  t  0; x   t  1
2


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1



Vậy: I   1  t

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

1

2 2

 .2dt  2 1  2t

0

2

 t 4  dt  f  t   1  2t 2  t 4

0

Chọn B.
Câu 3:

Biết rằng

1

 3e
0

1 3 x

dx 

b c
a 2 b
e  e  c  a, b, c    . Tính T  a   .
5
3
2 3

A. T  6.

B. T  9.

C. T  10.

D. T  5.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt t  1  3x  t 2  1  3x  2tdt  3dx
Đổi cận: + x  0  t  1
+ x 1 t  2
1

  3e

1 3 x

0



2

2

2

 

2

2

1

1

dx  2  tet dt  2 tet   et dt  2 tet  et
1

1

1

  2  2e  e  e  e  2e .
2

2

2

a  10

 T  10 nên câu C đúng.
b  c  0
5

Câu 4:

Biết I  

1

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số nguyên. Tính S  a  b.
x

A. S  9.

B. S  11.

C. S  5.

D. S  3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
5

2
5
2 x  2 1
2 x  2 1
2 x  2 1
Ta có: I  
dx  
dx  
dx
x
x
x

1
1
2
2
5
2 5  2x
5 2x  3
2 2  x 1
2  x  2 1

dx  
dx  
dx  
dx
1
2
x
x
x
x
1
2
2 5
5
2
5
3

    x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x 
1

2
1
2
x
x


a  8
 8ln 2  3ln 5  4  
 a  b  11.
b  3
4

Câu 5:

a
b
ln 3  c, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và là phân
b
c
0
số tối giản. Tính S  a  b  c.

Biết I   x ln  2 x  1 dx 

A. S  60.

B. S  70.

C. S  72.

D. S  68.

Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Chọn B.

2

du 
dx

u  ln  2 x  1 
2x 1
Ta có I   x ln  2 x  1 dx . Đặt 

2
dv  xdx
0
v  x


2
4

4

4
x 2 ln  2 x  1
x2

I   x ln  2 x  1 dx 
dx
2
2x 1
0
0
0
4

4

4

x 1

 x2 1

1
1
63
 8 ln 9     

 dx  16 ln 3    x  ln 2 x  1   ln 3  3
2 4 4  2 x  1 
8
 4 4
0 4
0
a  63
63
a

 ln 3  c  ln 3  3  b  4  S  70 .
b
4
c  3

1

Câu 6:

Giả sử tích phân

 x.ln  2 x  1
0

A. b  c  6057.

2017

b
b

dx  a  ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đó
c
c

B. b  c  6059.

C. b  c  6058.

D. b  c  6056.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1

1

Ta có I   x.ln  2 x  1

2017

dx  2017  x.ln  2 x  1 dx .

0

0

2

du 
dx


u  ln  2 x  1 
2x  1

Đặt 
2
dv  xdx
v  x  1

2 8
1

1

1
  x2 1  2 
 x2 1 
Do đó  x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1          
 dx
 2 8  0 0   2 8  2x 1 
0
1

 x2  x 
3
3
 ln 3  
  ln 3
8
 4 0 8

1

 I   x.ln  2 x  1

2017

0

3
 6051
dx  2017  ln 3  
ln 3.
8
8


Khi đó b  c  6059.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
6 2
3

Câu 7:

Tính tích phân

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

4 x 4  x 2  3
2
dx 
a 3  b  c  4 . Với a , b , c là các số
4
x 1
8




1



nguyên. Khi đó biểu thức a  b 2  c 4 có giá trị bằng
B. 241 .

A. 20 .

D. 48 .

C. 196 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
6 2

2

Ta có

4

2

4 x  x  3
dx 
x4 1


1

6 2
2

Tính I  4



dx  4 x 1

6 2
2

6 2
2


1

2


x 1 
 4  4
 dx  4
x 1 


6 2
2



6 2
2

dx 

1


1

x2  1
dx  I  J .
x4  1

 2 6  2 2  4 .

1

6 2
2

Tính J 


1

2

x 1
dx 
x4  1

6 2
2


1

1
x 2 dx 
1
x2  2
x

1

1
1 

Đặt t  x   dt   1  2  dx . Khi
x
 x 
2

Khi đó J 


0


4

Suy ra J  
0

6 2
2

Vậy


1

dt

t2 

6 2
2


1

1
x2
dx.
2
1

x x 2


1

x  1  t  0

.

6 2
x


t

2



2

t  0  u  0

. Đặt t  2 tan u  dt  2 1  tan u  du . Khi 
.
t

2

u


4
2

 2

2

2 1  tan 2 u 
2 1  tan u 
2


4



4

2
2
2
du 
u 
.

2 0
2 0
8

du 

a  b  16
4 x 4  x 2  3
2
.
dx 
16 3  16    4  
4
x 1
8
c  1





Vậy a  b 2  c 4  241 .

4

Câu 8:

Tích phân

x

 1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a  8b
0

A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Chọn A
u  x
 du  dx


Đặt 

. Ta có
dx
1
d

v

v
tan
x

1  cos 2 x

2



 1
 1
1
1 4

1  1
1
1
I  x tan x 4   tan xdx   ln cos x 4   ln
  ln 2  a  , b  
0
2
2
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0
Do đó, 16a  8b  4 .
e

Câu 9:

Cho biết tích phân I   x  2 x 2  ln x  dx 
1

a.e 4  b.e 2  c
với a, b, c là các ước nguyên của 4.
4

Tổng a  b  c  ?
A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1

Hướng dẫn giải
e

e

e

I   x  2 x  ln x  dx  2  x dx   x ln xdx .
2

3

1

1

1

e

e

2 x3dx 
1

1 4
1
x   e4  1
2 1 2

e

Ta có

 x ln xdx 
1

e e 21  1 2 1 2
1 2
 x ln x   x dx    e  x
1 1 x  2 
2 
2

e  e2  1

1
4

e

1 4
e 2  1 2e 4  e 2  1
I   x  2 x  ln x  dx   e  1 


2
4
4
1
Chọn A.
2

ln 2

Câu 10: Tích phân


0

e2 x 1  1
a
dx  e  . Tính tích a.b .
x
e
b

A. 1.

B. 2.

C. 6.

D. 12.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
ln 2


0

e2 x 1  1
dx 
ex

 e x 1

ln 2
0

 e x

ln 2

ln 2

e
0

ln 2
0

x 1

dx 

e
0

ln 2
x

dx 

e
0

ln 2
x 1

d  x  1 

x

 e d x
0

1
1 
  2e  e     1  e   a  1, b  2  ab  2 .
2
2 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

3

sin x



Câu 11: Biết



1  x6  x3


3

dx 

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

3
3 2

 c  d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính
a

b

abcd .
B. a  b  c  d  16 .

A. a  b  c  d  28 .
a  b  c  d  22 .

C. a  b  c  d  14 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

3

I





3


3

sin x
6

1 x  x

3

dx 





3






3

1  x 6  x 3 sin x
6

1 x  x

dx 

6







1  x 6  x 3 sin xdx .


3




x



t


3
3
Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận 
.


x   t  

3
3



I


3




3



1  t 6  t 3 sin  t  dt    


3


3

3




3



1  t 6  t 3 sin tdt   




3

Suy ra 2 I 

  2 x

3

sin x  dx  I 



3



x

3


3





1  x 6  x 3 sin xdx

sin xdx .



3

x 3 (+)  sin x
3x 2 (–)  cos x

6x (+)  sin x
6 (–)  cos x
0  sin x

3


3

3
3 2

 2  6 3
27
3
Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .

I    x sin x  3 x cos x  6 x sin x  6sin x 
3

2

2

Câu 12: Với các số nguyên a, b thỏa mãn



3

  2 x  1 ln xdx  a  2  ln b . Tính tổng P  a  b .
1

A. P  27 .

B. P  28 .

C. P  60 .

D. P  61 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

u  ln x
Đặt 
ta có
dv   2 x  1 dx
2

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

1

 du  dx
x

v  x 2  x

2

  2 x  1 ln xdx   x
1

2

1
 x  ln x    x 2  x  . dx
x
1

2
1

2
 x2

3
3

 6 ln 2    x  1 dx  6ln 2    x  12  6 ln 2   4    4   ln 64
2
2

 2

1

P  a  b  4  64  60 .
2

Câu 13: Biết

 e  2 x  e  dx  a.e
x

x

4

 b.e 2  c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S  a  b  c

0

A. S  2 .

B. S  4 .

C. S  2 .

D. S  4

Hướng dẫn giải
2

2

2

2

2

2

e2 x
ex 1
Ta có I   e  2 x  e  dx   e dx   2 x.e dx 
 2 xe x dx    2 xe x dx
2 0
2 2

0
0
0
0
0
x

x

2x

x

2
2
u  x
du  dx
e4 1
x

 I     2 x.e   2 e x dx

x
x
0
2 2
dv

e
dx

v

e

0
Đặt 
4
4
2
2
e 1
e
3
    2 x.e 2    2e x    2e2 
0
0
2 2
2
2
1
3

a  ; c 

2
2  S  abc  4
b  2

Chọn D.

 
Câu 14: Cho hàm số f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn f '    2 và
2
bằng:
A. 3.

B. 4.

b

 adx  3 . Tính tổng a  b
a

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x

 
f '    2  2 a  2  a  1
2
b

b

 adx   dx  3  b  1  3  b  4

a

1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Vậy a  b  1  4  5.



Câu 15: Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn
4

A. 2 .

B. 1.

a


0

sin x

2
dx  .
3
1  3cos x

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt t  1  3cos x  t 2  1  3cos x  2tdt  3sin xdx.
Đổi cận: + Với x  0  t  2
+ Với x  a  t  1  3cos a  A.
Khi đó
a


0

2

2

sin x
2
2
2
2
dx   dt  t   2  A   A  1  1  3cos a  1  cos a  0

3
3 A 3
3
1  3cos x
A

a

k  0

1
3

  
 k  k    . Do a   ; 2     k  2    k   
.
2
4 2
4
2
4

k  1


  thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác định
2

(trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận a  .
2

Bình luận: Khi cho a 

a

2
Câu 16: Có bao nhiêu số a   0;20  sao cho  sin 5 x sin 2 xdx  .
7
0
A. 20 .
B. 19 .
C. 9 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
a

a

a

2
2
2
Ta có  sin 5 x sin 2 xdx  2  sin 6 x cos xdx  2  sin 6 xd  sin x   sin 7 x 0a  sin 7 a  .
7
7
7
0

0
0

Do đó sin 7 a  1  sin a  1  a 
0


 k 2 . Vì a   0;20  nên
2


1
 k 2  20    k  10 và k   nên có 10 giá trị của k
2
2

6

Câu 17: Nếu  sin n x cos xdx 
0

A. 3.

1
thì n bằng
64
B. 4.

C. 5.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 6.

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0  t  0; x 
1
2

n 1

1
2

1 1
t
Khi đó: I   t dt 

.
n  1 0 n  1  2 
0
n

1
Suy ra  
2

n 1



Câu 18: Giá trị của

1

 1 e

n 



1
.
64

n 1
có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu).
64
n 1

lim

n 1


1
t 
6
2

x

dx

bằng

n

A. 1.

B. 1.

C. e.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
n 1

Ta có: I 

1

 1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x  dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n  t  1  en ; x  n  1  t  1  en1
1 e n1

Khi đó: I 



1 en

1
dt 
t  t  1

1 e n1



1 e n

1 en1

1  en
 1 1
  dt   ln t  1  ln t  n  1  ln

1 e
1  e n1
 t 1 t 

n

Mà

1  en
1  en 1

1
  1 1
1
e
  n
 khi n   , Do đó, lim I  1  ln  0
n

e
e
1
e e
 



1
sin x
 
Câu 19: Cho các tích phân I  
dx và J  
dx với    0;  , khẳng định sai
1  tan x
cosx  sin x
 4
0
0
là


cos x
dx .
cosx  sin x
0

A. I  

B. I  J  ln sin   cos .

C. I  ln 1  tan  .

D. I  J   .

Hướng dẫn giải
Chọn C

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng

1
1
cos 


nên A đúng.
1  tan  1  sin  cos   sin 
cos 

Ta có





d  cos x  sin x 
cos x  sin x
dx  
 ln cos x  sin x
cos x  sin x

cos x  sin x
0
0

I J 


0

 ln cos   sin  B đúng



I  J   dx  x 0   D đúng.
0

Câu 20: Giả sử

 x 1  x 

1  x 
dx 

2017

a

a

b

1  x 

b

 C với a, b là các số nguyên dương. Tính

2a  b bằng:
A. 2017 .

B. 2018 .

C. 2019 .

D. 2020 .

Hướng dẫn giải
Ta có:

 x 1  x 

2017

dx    x  1  11  x 

2017



dx   1  x 

2017

 1  x 

2018



1  x 
dx  

2018

2018

1  x 


2019

Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 .
Chọn D.
2

x 2001
dx có giá trị là
2 1002
1 (1  x )

Câu 21: Tích phân I  
A.

1
.
2002.21001

B.

1
.
2001.21001

C.

1
.
2001.21002

D.

1
.
2002.21002

Hướng dẫn giải
2

I 
1

2

x 2004
.dx  
x 3 (1  x 2 )1002
1
b

Câu 22: Cho tích phân C  
a

1
1002

.dx . Đặt t 

 1

x 3  2  1
x


ex

1
2
 1  dt   3 dx .
2
x

x

dx trong đó a là nghiệm của phương trình 2 x

x

2

1

 2 , b là một

e 3
2

số dương và b  a . Gọi A   x 2dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho C  3 A .
1

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 5

Hướng dẫn giải
Giải phương trình 2 x

2

1

2 x 0a 0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
2019

Trang 25

C