Chuyên Đề Lượng Giác – Toán 10

SUCCESS TRAINING ACADEMY
TOÁN 10
Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC

Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỤC TIÊU của TÔI khi học xong chuyên đề này là :
…………………………………………………………
…………………………………………………………
TÔI quyết tâm đạt được mục tiêu của TÔI !!!....

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

1


CUNG & GÓC
LƯỢNG GIÁC
5 CÔNG THỨC
LƯỢNG GIÁC
TÍNH VÀ CHỨNG
MINH BIỂU THỨC
LƯỢNG GIÁC

5 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
NỀN – CUNG – CỘNG – TỔNG TÍCH – TỰ SUY
I. CÔNG THỨC NỀN TẢNG
2
2
1) sin   cos   1
sin 
(cos  0)

3) tan  
cos
1
2
(cos  0)
5) 1  tan  
cos 2

2) tan  .cot   1 (sin .cos  0)
cos
(sin  0)
4) cot  
sin
6) 1  cot 2  

1
sin 2

(sin  0)

II. CÔNG THỨC CUNG
HƠN KÉM 𝝅 tan và cot

COS ĐỐI

SIN BÙ

PHỤ CHÉO

sin(-α) = - sinα

sin(𝝅-α) = sinα

sin( -α) = cosα

sin(𝜋 +α) = - sinα

cos (-α) = cosα

cos (𝜋-α) = - cosα

cos ( -α) = sinα

cos (𝜋 +α) = - cosα

tan (-α) = - tanα

tan (𝜋-α) = - tanα

tan ( -α) = cotα

tan (𝝅 +α) = tanα

cot (-α) = - cotα

cot (𝜋-α) = - cotα

cot ( -α) = tanα

cot (𝝅 +α) = cotα

𝜋

2
𝝅
𝟐
𝝅

𝟐
𝝅
𝟐

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

2


III. CÔNG THỨC CỘNG
𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑡𝑎𝑛(𝑎 − 𝑏) =
1 + 𝑡𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑛𝑏

sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa

𝑡𝑎𝑛(𝑎 + 𝑏) =

cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb

cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
IV. CÔNG THỨC TỔNG ↔ TÍCH
TỔNG → TÍCH

ab
a b
cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2sin
cos
2
2
sin  a  b  


tan a  tan b 
 a, b   k , k  
cos a.cos b 
2

cos a  cos b  2cos

a b a b
sin
2
2
a b a b

sin a  sin b  2cos
sin
2
2
sin  a  b  


tan a  tan b 
 a, b   k , k  
cos a.cos b 
2


cos a  cos b  2sin

TÍCH → TỔNG
1
cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
V. CÔNG THỨC TỰ SUY
1. Công thức nhân đôi

sin 2a  2sin a.cos a

cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos2 a  1  1  2sin 2 a

2. Công thức hạ bậc 2
1  cos2a
1  cos2a
sin 2 a 
cos2 a 
2
2
3. Công thức nhân ba

sin 3a  3sin a  4sin a
3

tan 2 a 

cos3a  4cos a  3cos a
3

tan 2a 

2 tan a
1  tan 2 a

1  cos2a
1  cos2a

3tan a  tan 3 a
tan 3a 
1  3tan 2 a

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

3


Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Góc 
Hàm LG

0

Sin 

0

Cos 

1

Tan 
Cot 

0
KXĐ


6
1
2

3
2
1
3


4
2
2
2
2


3
3
2
1
2


2

1

KXĐ

3

1

3
1
3

1
0

0

DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Góc phần
tư
Hàm LG
cos
sin
tan
cot

I

II

III

IV

+
+
+
+

+
-

+
+

+
-

DẠNG 2
Tính giá trị biểu thức

DẠNG 1

Cung & góc lượng giác

DẠNG 3

Chứng minh đẳng thức

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

4


DẠNG 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
1 



0

180

 180 
1rad= 

  

rad

0

Bài 1.Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ
a)

3
8
7

; b)  ; c )
; d ) ; e)0,1; f )3
2
3
4
12

Bài 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian ( viết dưới dạng chứa )

a) 150;

b) 2400;

c) 3000;

d) 2250.

e)-60015/.

Bài 3.Đổi các số đo sau sang radian ( dưới dạng số gần đúng, 10  0,0175 rad)
a)250,

b)-1400,

c)1050,

d)1900,

e)-2430.

Giải

2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN CÓ SỐ ĐO ĐÃ CHO

Độ dài l của cung tròn có số đo  rad và bán kính R là: l = R.
Bài 1. Một đường tròn có bán kính 25cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số
đo: a /

3

;
7

4
b/ ;
3

c/49 0

Bài 2. Trên đường có bán kính 30cm. Tìm tọa độ của các cung trên đường tròn đó có số đo

a/

2
;
7

b/2,5;

c/33 0

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

5


Bài 3.Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là 1,65cm và 2,25 cm. Hỏi
trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung
tròn có độ dài bao nhiêu mét ?
Giải

3. BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo
a/

2
;
3

b/-

5
;
6

c/-2100 ;

d/4250

Bài 2. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo
a/

5
;
8

b/-

13
;

3

c/1050 ;

d/-3

Giải

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

6


4. XÉT DẤU BIỂU THỨC
Bài 1. Xác định dấu các số sau
a) sin 1770 ; b) cos( 2600) ; c) tan 6350 ; c) tan (12730)
Bài 2.Cho


    . Xác định dấu của giá trị lượng giác
2



a ) cos   ;
2


 3


b)sin   ;
 2


c)tan   ;



d)cot    
2


Giải

DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
PHƯƠNG PHÁP
+) Biến đổi biểu thức bằng 5 công thức.
+) Xét điều kiện góc.

Ví dụ 1. Tính giá trị lượng giác một góc không dùng máy tính:
a) Tính các giá trị lượng giác của số đo : 150 ; 750 , 1050.
7 
;
b) Tính các giá trị lượng giác của số đo :
12 12
Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

7

Ví dụ 2. Sử dụng công thức NỀN TẢNG

3
a) Cho góc  thỏa mãn :     và sin   . Tính A 
2

b) Tính F 

sin a  3cos a
biết tan a  3
cos a  2sin a

5

tan 
1  tan2 

GIẢI
tan 
3
a) Cho góc  thỏa mãn :     và sin   . Tính A 
1  tan2 
2
5
3
4
+) Ta có : sin   ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±
5
5



+) Vì



2

4

    nên 𝑐𝑜𝑠𝛼 < 0 ⟹ chọn giá trị 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − .
5

3

−
tan 
3
4
𝑠𝑖𝑛𝛼
3
12
4
Có : 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − và sin   ⟹ 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
=− ⟹ A
=
2 = −
2
3
5

𝑐𝑜𝑠𝛼
4
25
1+( )
1  tan 
5
4

b) tự làm nhé :
Tính F 

sin a  3cos a
biết tan a  3
cos a  2sin a

HD: Chia cả tử và mẫu của F cho cosa.

Ví dụ 3. Tính giá trị các biểu thức sử dụng CÔNG THỨC CỘNG
a/ A = cos320cos280 –sin 320sin 280

b/ B = cos 740cos 290 + sin 740sin 290

c/ C= sin 230cos70 + sin70cos230

d/ D= sin590cos140-sin140cos590.

e/ G  cos

5
7

5
7
cos  sin sin
9
18
9
18

f/ H  sin

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

13
4
4
13
cos  sin cos
4
7
7
4
8


Câu 1)

3

; và     .Cho Tính cosα, tanα, cotα.
5

2
4

b) Cho sinα = ; và 0    .Cho Tính cosα, tanα, cotα
5
2

a) Cho sinα =

HD: Sử dụng các công thức NỀN TẢNG
Câu 2)
a) Cho cosα = 


12
; và     . Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2
13
2

b) Cho cotα = 2 và 0   
c) Cho sin   cos  

Câu 3)


4

. Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2 .

1

. Tính sin 2 , cos 2 .
5

HD: Sử dụng các công thức TỰ SUY
5
3




Cho cos α =
và
   2 . Tính sin , cos , tan , cot .
13

2

2

2

2

2

HD: Sử dụng các công thức TỰ SUY
Câu 4)

sin a  3cos a
biết tan a  3

cos a  2sin a
2cos 2 a  sin a.cos a  sin 2 a
b) Tính G 
biết cot a  2
sin 2 a  3cos 2 a  4
3cos 2 a  2sin 2 a  1
c) Tính P  2
biết tan a  3
sin a  3cos 2 a  5

a) Tính F 

HD: Sử dụng phương pháp chi
Câu 5)

1

2 


Cho cos   . Tính sin      cos   
3
6
3 


HD: Sử dụng các công thức CỘNG

4 
3

3
Câu 6) Cho sin   ,    ; sin  - ,    
5 2
5
2
Tính cos(α+β), cos(α-β), sin(α+β), sin(α-β)

Câu 7) Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi,
(không phụ thuộc vào )
2 
2 






a ) cos   cos     cos   
b) sin 2   sin 2      sin  sin    
3 
3 
3
3




Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

9

HD: Sử dụng các công thức CỘNG

DẠNG 2. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
PHƯƠNG PHÁP : giải sử cần chứng mình A = B :
❖ Cách 1 : Biến đổi tương đương đến cuối cùng ra 1 điều luôn đúng
❖ Cách 2 : Biến đổi 1 trong 2 vế của đẳng thức để được vế còn lại.
Chỉ cần sử dụng 5 công thức trên là ok làm được mọi bài!

Ví dụ 1 : Chứng minh các biểu thức
a. 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 - 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2
2𝜋
2𝜋
3
𝑏. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 ( − 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 ( + 𝑥) =
3

4

4

1

3

2

c. 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = (3 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥)
4

GIẢI
a. 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 - 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2
VT : 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 - 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
= 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 – (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 +(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+ 3(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
= 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 – (1 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 3 - 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 2 (điều phải chứng
minh)
2𝜋
2𝜋
3
𝒃. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 ( − 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 ( + 𝑥) =
3
3
2
(Tự làm )

1

c. 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = (3 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥)
4
(Tự làm )

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

10


Bài 1: Tính giá trị biểu thức
2 ab
(a, b  0) . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .

ab
2a
b) Cho cos  
. Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
1 a2
5
c) Cho sin   cos   . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
4

a) Cho sin  

2sin x  3cos x
biết tanx = 2.
s inx  cosx
Bài 2.Đơn giản biểu thức sau :

3
1) F  sin      cos      cot  2     tan    
2
2
d) Tính B 









3



 3

    tan     .cot 
 
 2

2

 2

3
3) H  cot   2  .cos      cos   6   2sin    
2 


2) G  cos   5   sin  

Bài 3. Chứng minh rằng:
a) 1  cot   sin 3   1  tan   cos3   sin   cos 
sin 2   2 cos 2   1
b)
 sin 2 
2
cot 

sin 2   tan 2 

c)
 tan 6 
2
2
cos   cot 

d )  cot   tan     cot   tan    4
2

2

e) cos 4  sin 4  1  2sin 2

sin   cos  tan   1
sin 3   cos3 
f)

g)
 1  sin  cos 
1  2sin  cos  tan   1
sin   cos 
4sin 2 

1  cos   sin 

sin 2  sin 
h)
 16 cos 2
k)
  cot .....l )

 tan 
2
1

cos


sin

2
1

cos
2


cos

2 
1  cos
2
2

2

Bài 4.Chứng minh rằng:
a)

1  cos x  cos2 x
 c otx

sin 2 x  s inx

c)



2cos2 x  sin 4 x
 tan 2   x 
2cos2 x  sin 4 x
4


s inx  sin

x
2

x
 tan
x
2
1  cos x  cox
2
sin( x  y )
d ) t anx  tan y 
cos x. cos y
b)

Bài 5. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

11


a) sin3x + cos3x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx)
c) cos4 x + sin 4 x = 1 - 2 sin 2 x.cos2 x
e)

sin x.cotx
1
cosx

b) sin3x - cos3 x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx)
d) (1 - sinx)(1 + sinx) = sin 2 x.cot 2 x
f) sin 2 x  tan 2 x 

Bài 6. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
2
a.  sin a  cos a   cos2 a 1  tan a   sin 2 a 1  cot a 

1
 cos 2 x
2
cos x

b. tan 2 a  sin 2 a  tan 2 a.sin 2 a

sin 3   cos3 
sin 2   cos 2  tan   1

d.
 1  sin  .cos 

sin   cos 
1  2sin  .cos  tan   1
e. sin 4 a  cos4 a  sin 6 a  cos6 a  sin 2 a.cos2 a f. 3  cos4 a  sin 4 a   2  cos6 a  sin 6 a   1

c.

Bài 7. Chứng minh rằng:



 1
a) cos  cos     cos   x   cos 3
b) Sin5  2sin   cos 4  cos 2   sin 
3

3
 4
sin   sin 3  sin 5
3  4 cos 2  cos 4
c)
 tan 3 .............................d )
 tan 4 
cos   cos 3  cos 5
3  4 cos 2  cos 4

Bài 8. Rút gọn các biểu thức:
1  2sin 2 a

sin a  cos a
2cos 2 a  1
d/ N 
sin a  cos a

a/ A 

b/ B 

1  sin a 1  sin a

1  sin a 1  sin a

c/ M  1  sin 2 a  cot 2 a  1  cot 2 a

e/ P  1  cot a  sin 3 a  1  tan a  cos3 a

 sin a  cos a 
h/ F 

1
cot a  sin a.cos a

sin 2 a  tan 2 a
k/ E 
cos 2 a  cot 2 a

sin 2 a  2cos 2 a  1
f/ Q 
cot 2 a

2

Bài 9. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
A  3  cos4 x  sin 4 x   2  cos6 x  sin 6 x 

B  3  sin8 x  cos8 x   4  cos6 x  2sin 6 x   6sin 4 x

C  2  cos4 x  sin 4 x  sin 2 a.cos 2 a    sin 8 x  cos8 x 
2

E

D  4  sin 4 x  cos4 x   cos4 x

cos3 x  sin 3 x
 sin x.cos x
sin x  cos x

Bài 10. Biểu diễn các cung sau trên đường tròn LG
5
a. b. 225 0
4

c. -765 0

d.

10
3

Trong tam giác : A + B + C = 1800
A B  C

A  B    C (bù)
sin  A  B   sin C

cos  A  B   cosC

 (phụ)
2 2
A B
C
sin
 cos
2
2
A B
C
tan
 cot
2
2

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

2



12


Bài 11 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
A
B
C
C
 A B 
c) cos A  cos B  cos C  1  4sin .sin .sin
a)sin  A  B   sin C b) sin 
  cos
2
2
2
2
 2 
d) cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  4cos A.cos B.cos C

Bài 12.Chứng minh rằng:
3) tan100.tan 200...tan 700.tan800  1
4) cos200  cos400...cos1600  cos1800  1
5) tan 500  tan 750  tan 2300  tan 2550
6) cos200  cos400  sin1100  sin1300
7) sin 250  sin 650  sin1550  sin1150
8) sin 750  sin 650  cos1650  cos2050  0
9)

sin1680  sin1920
cot120  2

sin 780

Bài 13. Tính giá trị biểu thức :
10) A 
11) B 

sin(2340 )  cos2160
tan 360
sin1440  cos1260
 cot 440  tan 2260  cos4060

cos3160

 cot170 .cot730

12) C  cot 50 cot100...cot 800.cot 850
13) D  cos100  cos 200  cos300  cos1900  cos 2000  cos 2100
9
6
11
cos
 cos
 cos
5
5
5 tan 16
14) E 
3
6
5

cos

10

 sin

5

================o0o=================

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

13


TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC CÓ ĐÁP ÁN
I. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Tìm khẳng định sai:
A. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ou, Ov  +sđ  Ov, Ow 

 sđ  Ou, Ow  - k 2  k  Z  .

B. Với ba điểm U ,V , W trên đường tròn định hướng : sđ UV +sđ VW  sđ UW + k 2  k  Z  .
C. Với ba tia Ou, Ov, Ox , ta có: sđ  Ou, Ov 



sđ  Ox, Ov  - sđ  Ox, Ou  + k 2  k  Z  .

D. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou  +sđ  Ov, Ow 

 sđ  Ou, Ow  + k 2  k  Z  .

Câu 2: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:
I.


4

II. 

7
4

III.

13
4

IV. 

71
4

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I và II

B. Chỉ I, II và III

C. Chỉ II,III và IV

D. Chỉ I, II và IV
0

Câu 3: Một đường tròn có bán kính 15 cm. Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30 là :
A.

5
.
2

B.

5
.
3

C.

2
.
5

D.


.
3

Câu 4: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi

được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy   3,1416 )
A. 22054cm

B. 22043cm

Câu 5: Xét góc lượng giác

C. 22055cm

 OA; OM    , trong đó M

D. 22042cm

là điểm không làm trên các trục tọa độ Ox và Oy.

Khi đó M thuộc góc phần tư nào để tan  ,cot  cùng dấu
A. I và II.

B. II và III.

C. I và IV.

D. II và IV.

Câu 6: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 3cm:
A. 0,5.
Câu 7: Góc có số đo 
A. 330 45'

B. 3.

C. 2.

D. 1.

C. -33045'

D. -32055'

3
được đổi sang số đo độ là :
16
B. - 29030'
0

Câu 8: Số đo radian của góc 30 là :

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

14


A.


.
6

B.


.
4

C.


.
3

D.


.
2

Câu 9: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA  300  k 3600 , k 

 OA, AC  bằng:

. Khi đó sđ

450  k 3600 , k 

A. 1200  k 3600 , k 

B.

C. 1350  k 3600 , k 

D. 135

0

 k 3600 , k 

Câu 10: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou, Ov, Ox . Xét các hệ thức sau:
I. sđ  Ou , Ov   sđ  Ou , Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k 
II. sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k 
III. sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k 
Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A. Chỉ I

B. Chỉ II

C. Chỉ III

D. Chỉ I và III

Câu 11: Góc lượng giác có số đo  (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng :
A.

  k1800 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

B.   k 3600 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
C.   k 2 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
D.

  k

(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

Câu 12: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   

 Ox, Ov   


2

5
 m2 , m 
2

và sđ

 n2 , n  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Ou và Ov trùng nhau.

B. Ou và Ov đối nhau.

C. Ou và Ov vuông góc.

D. Tạo với nhau một góc

Câu 13: Số đo độ của góc
0

A. 60 .


là :
4
B. 900 .

Câu 14: Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz   
A. Trùng nhau.


.
4

0

C. 30 .

0

D. 45 .

63
thì hai tia Ox và Oz
2
B. Vuông góc.

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

15

C. Tạo với nhau một góc bằng

3
4

D. Đối nhau.

0
0
Câu 15: Trên đường tròn định hướng góc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ AM  30  k 45 , k 

A. 6

B. 4

C. 8

?

D. 10

0

Câu 16: Số đo radian của góc 270 là :
A.  .

B.

3

.
2

C.

3
.
4

D. 

5
.
27

Câu 17: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay
của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA  300  k 3600 , k 
A. 1750  h3600 , h 
0

C. 135

. Khi đó sđ  Ox, BC  bằng:

B. 2100  h3600 , h 

 h3600 , h 

D. 2100  h3600 , h 

Câu 18: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo
0

dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 4200 .
0

B. 1200.

A. 130 .
0

Câu 19: Góc 63 48' bằng (với
A. 1,114rad

C. 120 .

D. 420 .

C. 1,108rad

D. 1,113rad

0

0

  3,1416 )

B. 1,107 rad

Câu 20: Cung tròn bán kính bằng 8, 43cm có số đo 3,85rad có độ dài là:
A. 32, 46cm

B. 32, 45cm

C. 32, 47cm

D. 32,5cm

Câu 21: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm .Trong 30 phút mũi kim giờ
vạch lên cung tròn có độ dài là:
A. 2,77cm .

B. 2, 78cm .

C. 2,76cm .

D. 2,8cm .

Câu 22: Xét góc lượng giác  OA; OM    , trong đó M là điểm không làm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi
đó M thuộc góc phần tư nào để sin  ,cos  cùng dấu
A. I và II.

B. I và III.

C. I và IV.

0
0
Câu 23: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   45  m360 , m 

 Ox, Ov   1350  n3600 , n 
A. Tạo với nhau góc 450

D. II và III.
và sđ

. Ta có hai tia Ou và Ov

B. Trùng nhau.

C. Đối nhau.

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

D. Vuông góc.

16


Câu 24: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay
0
0
của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA  30  k 360 , k 

0

A. 120

 n3600 , n 

B. 600  n3600 , n 

. Khi đó sđ  Ox, AB  bằng
C. 300  n3600 , n 

D.

600  n3600 , n 
Câu 25: Góc

5
bằng:
8

A. 112030'

0

B. 112 5'

0

C. 112 50'

D. 1130

Câu 26: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được một góc có số đo bằng:
0

A. 12960 .

B. 324000.

0

0

C. 324000 .

D. 64800 .

C. 12

D.

Câu 27: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là :
A. 120

Câu 28: Biết góc lượng giác
A. 0, 6

B.

3
2


 Ou, Ov  có số đo là  137
5

B. 27, 4

thì góc  Ou, Ov  có số đo dương nhỏ nhất là:

C. 1, 4

D. 0, 4

Câu 29: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ AM 
A. 6

B. 4

2
3

C. 3

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy


3



k
,k  ?
3

D. 12

17


II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC – GTLG CỦA CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 30: Biểu thức sin x.tan x  4sin x  tan x  3cos x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng :
2

2

A. 6.

2

2

2

B. 5.

C. 3.

D. 4.

Câu 31: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. cos90 30  cos100 .

B. sin 90  sin150 .

C. sin 90 15  sin 90 30.

D. sin 90 15  sin 90 30.

o

o

o

o

o

o

o

o

Câu 32: Giá trị của M  cos 15  cos 25  cos 35  cos 45  cos 105  cos 115  cos 125 là:
2

0

2

B. M 

A. M  4.

0

2

0

7
.
2

2

C. M 

Câu 33: Cho tan   cot   m Tính giá trị biểu thức cot
B. m  3m

A. m  3m

3

3

Câu 34: Cho cos  

A.

Câu 35: Cho sin a  cos a 

A. 1

Câu 36: Nếu cos x  sin x 

B. 

0

1
.
2

2

0

D. M  3 

2

0

2
.
2

  tan3  .
D. 3m  m
3

C. 3m3  m

21
2

C. 

21
5

21
3

D.

5
. Khi đó sin a.cos a có giá trị bằng :
4
B.

9
32

C.

3
16

D.

5

4

p q
1
và 00  x  1800 thì tan x = 
với cặp số nguyên (p, q) là:
2
3
B. (4; 7)

Câu 37: Tính giá trị của G  cos 2
A. 3

2

2 
2 
   
 . Khi đó tan  bằng:
5 
3 

21
5

A. (–4; 7)

3

0


6

C. (8; 14)

 cos 2

D. (8; 7)

2
5
 ...  cos 2
 cos 2  .
6
6

B. 2

D. 1

C. 0

Câu 38: Biểu thức A  cos 20  cos 40  cos60  ...  cos160  cos180 có giá trị bằng :
0

A. A  1 .

0

0

0

C. A  2 .

B. A  1

0

D. A  2 .

 sin   tan  
  1 bằng:
 cos +1 
2

Câu 39: Kết quả rút gọn của biểu thức 

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

18


A. 2

B. 1 + tan

Câu 40: Tính E  sin



 sin

5

Câu 41: Cho cot   3 . Khi đó

1
.
4

D.

C. 1

1
sin2 

5
.
4

C.

Câu 42: Biểu thức A  sin(  x)  cos(
B.

D. 2

3sin   2cos 
có giá trị bằng :
12sin 3   4cos3 

B. 

A. A  2sin x .

1
cos 2 

2
9
 ...  sin
5
5
B. 1

A. 0

A. 

C.


2

3
.
4

D.

 x)  cot(2  x)  tan(

3
 x) có biểu thức rút gọn là:
2

C. A  0 .

A  2sin x

1
.
4

D. A  2 cot x .

Câu 43: Biểu thức A  sin x  sin x cos x  sin x cos x  sin x cos x  cos x được rút gọn thành :
8

A. sin 4 x .

6

2

2

3
.
3

B.

2

tan 400

B.

D. 2.

3 tan 200.tan 400 bằng

3
.
3

3.

C.



3
1
3

2

4

Câu 45: Tính B  cos 44550  cos9450  tan10350  cot 15000

A.

2

C. cos x .

B. 1.

Câu 44: Giá trị của biểu thức tan 200
A. 

4

3
1  2
1

C.

D.

3.

D.

3
1
3



3
1 2
3

Câu 46: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
A. tan 45  tan 60 .
o

o

B. cos 45  sin 45 .
o

o

C. sin 60  sin80 .
o

o

D. cos35  cos10 .
o

o

Câu 47: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng?
A. cos150o 

3
.
2

B. cot 150o  3.

o
C. tan150  

1
.
3

D. sin150  
o

3
.
2

Câu 48: Tính M  tan1 tan 2 tan 3 ....tan89
0

A. 1

0

B. 2

0

0

C. 1

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

D.

1
2

19


Câu 49: Giả sử (1  tan x 
A. 4.

1
1
)(1  tan x 
)  2 tan n x (cos x  0) . Khi đó n có giá trị bằng:
cos x
cos x
B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 50: Để tính cos1200, một học sinh làm như sau:
(I) sin1200 =

3
2

(II) cos21200 = 1 – sin21200

(III) cos21200 =

1
4

(IV) cos1200=

1
2

Lập luận trên sai ở bước nào?
A. (I)

B. (II)

C. (III)

Câu 51: Biểu thức thu gọn của biểu thức A
A. cos a .

B.

D. (IV)

sin 2a sin 5a sin 3a
là
1 cos a 2sin 2 2a

sin a .

C. 2cos a .

D.

2sin a .

Câu 52: Cho tan   cot   m với | m | 2 . Tính tan   cot 
A. m  4
2

B.

C.  m  4

m2  4

2

D.  m2  4

Câu 53: Cho điểm M trên đường tròn lượng giác gốc A gắn với hệ rục toạ độ Oxy . Nếu sđ

AM 


2

 k , k 



 k  bằng:
2


thì sin 

B.  1

A. 1

k

Câu 54: Tính giá trị biểu thức P  sin 2

C. 1


6

 sin 2


3

 sin 2

B. 4

A. 2


4

 sin 2

D. 0

9


 tan cot
4
6
6

C. 3

D. 1

Câu 55: Biểu thức A  sin 10  sin 20  .....  sin 180 có giá trị bằng :
2

A. A  6

0

2

B. A  8 .

0

2

0

C. A  3 .

Câu 56: Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho sđ AM    k 2 , k 

D. A  10 .
. Xác định vị trí của M khi

sin   1  cos2 
A. M thuộc góc phần tư thứ I

B. M thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II

C. M thuộc góc phần tư thứ II

D. M thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ IV

Câu 57: Cho sin x  cos x  m . Tính theo m giá trị.của M  sin x.cosx :
A. m  1
2

m2  1
B.
2

C.

m2  1
2

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

D. m2  1

20


Câu 58: Biểu thức A  cos2 100  cos2 200  cos2 300  ...  cos2 1800 có giá trị bằng :
A. A  9 .
Câu 59: Cho cot  

A.

1
2

D. A  6

C. A  12 .

B. A  3 .

3 

2
   
 thì sin  .cos  có giá trị bằng :
2 


2
.
5

B.

4
.
5 5

C.

4
5 5

.

D.

2
.
5

Câu 60: Giá trị của biểu thức S = 3 – sin2900 + 2cos2600 – 3tan2450 bằng:
A.

1
2

B. 

Câu 61: sin

A. cos

C. 1

D. 3

3
bằng:

10

4
5

B. cos

Câu 62: Cho cos x 

A.

1
2



C. 1  cos

5



D.  cos

5


5

2  


   x  0  thì sin x có giá trị bằng :
5  2


3
.
5

B.

3
.
5

C.

1
.
5

D.

1
.
5

Câu 63: Tính A  sin 390  2sin1140  3cos1845
0

A.



1
1 2 3  3 2
2



0

B.



1
1 3 2  2 3
2

0



C.



1
1 3 2  2 3

2



D.



1
1 2 3  3 2
2

Câu 64: Tính A  cos 6300  sin15600  cot12300
A.

3 3
2

B. 

3
2

C.

3
2

D. 

3 3
2

Câu 65: Cho cot x  2  3 . Tính giá trị của cos x :
B. A 

A. A  5

Câu 66: Nếu tan =

2 3
2

C. A  4

D. A  7

2rs
với  là góc nhọn và r>s>0 thì cos bằng:
r  s2
2

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

21




r

A.
s

r 2  s2
2r

B.

Câu 67: Giả sử 3sin 4 x  cos4 x 
A. 1.

r 2  s2
D. 2
r  s2

rs
C. 2
r  s2

1
4
4
thì sin x  3cos x có giá trị bằng :
2

B. 2.

C. 3.

D. 4.

C. 2

D. 3

Câu 68: Tính P  cot1 cot 2 cot 3 ...cot89
0

0

0

0

B. 1

A. 0

 3

 3

 3

 3

 a   sin 
 a   cos 
 a   sin 
 a

 2

 2

 2

 2


Câu 69: Rút gọn biểu thức B  cos 
A.

2sin a

B. 2cos a

C. 2sin a

D. 2cos a

Câu 70: Cho hai góc nhọn  và  trong đó    . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos   cos  .

B. sin   sin  .

C. cos   sin       90o.

D. tan   tan   0.

Câu 71: Cho



là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
B. tan   0.

A. cos   0.
Câu 72: Cho 0   

A.


2

2
sin 

. Tính

B.

1  sin 
1  sin 

1  sin 
1  sin 
2
cos 

C. 

2
sin 

Câu 73: Rút gọn biểu thức sau A   tan x  cot x    tan x  cot x 
2

A. A  2

B. A  1

Câu 74: Cho cos   

A.

10 .

B. 2 .

3 10
10

D. 

2
.
cos 

2

D. A  3

C. A  4


4
với
    . Tính giá trị của biểu thức : M  10sin   5cos 
5
2

Câu 75: Cho tan   3,    
A. sin   

D. sin   0.

C. cot   0.

C. 1 .

D.

1
4

3
.Ta có:
2

B. Hai câu A. và C.

C. cos   

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

10
10

D. cos   

10
10

22


Câu 76: Cho cos  

A. sin   

1 7
và
   4 , khẳng định nào sau đây là đúng ?
3
2

2 2
.
3

2 2
.
3

B. sin  

C. sin  

2
.
3

2
3

D. sin    .

Câu 77: Đơn giản biểu thức G  (1  sin 2 x) cot 2 x  1  cot 2 x
2

A. sin x

B.

1
cos x

C. cosx

Câu 78: Tính các giá trị lượng giác của góc

A. cos  

   300

1
3
1
; sin   
; tan    3 ; cot   
2
2
3
2
2
; sin  
; tan    1; cot    1
2
2

C. cos   

3
1
; sin    ;
2
2

A. 1 .

1

tan   

Câu 79: Nếu tan   cot   2 thì tan 2

3

cot 2

Câu 80: Cho sin  

C. 2 .

A. tan  

D. 3 .

1 0
 0    900  . Khi đó cos bằng:
3

2
.
3

Câu 81: Cho sin  

; cot    3

bằng bao nhiêu ?

B. 4 .

A. cos 

1
sin x

1
3
1
; sin  
; tan   3 ; cot  
2
2
3

B. cos   

D. cos  

D.

B. cos  

2 2
.
3

C. cos  

2
.
3

D. cos 

2 2
.
3

5 
,     .Ta có:
13 2

5
12

B. cos  

12
13

C. cot   

12
5

D. Hai câu B. và C.

Câu 82: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos 45  sin135 .
o

Câu 83: Nếu tan =

o

B. cos120  sin 60 .
o

o

C. cos 45  sin 45 .
o

o

D. cos30  sin120 .
o

o

7 thì sin bằng:

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

23

A.

7
4

B. 

7
4

C.

Câu 84: Đơn giản biểu thức T  tan x 

A.

1
sin x

Câu 85: Cho tan   

C. cosx

15
với
7
2
B.

D. 

7
8

cos x
1  sin x

B. sinx

7
.
274

A.

7
8

D.

1
cos x

, khi đó giá trị của sin  bằng

15
.
274

C. 

7
.
274

15
.
274

D.

 sin   tan  
Câu 86: Kết quả đơn giản của biểu thức 
  1 bằng
 cos +1 
2

A.

1
.
cos 2

B. 1

C. 2 .

.

tan

D.

1
sin 2

.

Câu 87: Biểu thức A  sin 20  sin 40  sin 60  ...  sin 340  sin 360 có giá trị bằng :
0

B. A  1

A. A  0 .
Câu 88: Tính F  sin 2

0


6

 sin 2

1
sin x

C. A  1 .

C. 1

Câu 89: Đơn giản biểu thức E  cot x 

A.

0

0

D. A  2 .

2
5
 ....  sin 2
 sin 2 
6
6

B. 2

A. 3

0

D. 4

sin x
ta được
1  cos x

B. cosx

C. sinx

D.

1
cos x

7 
7 
 3

 3



 a   sin 
 a   cos  a 
  sin  a 

2 
2 
 2

 2




Câu 90: Đơn giản biểu thức C  cos 

A. 2cos a

B. 2cos a

C. 2sin a

D. 2sin a

sin 75o  cos 75o
1
Câu 91: Tìm giá trị của  (độ) thỏa mãn
=
.
o
o
cos 75  sin 75
3
0

A. 15 .

0

B. 35 .

C. 450 .

0

D. 75 .

Câu 92: Các khẳng định sau đây, khẳng định nào là đúng ?

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

24


sin16560   sin360.

A. sin1656  sin 36 .

B.

C. cos1656  cos36 .

D. cos1656  cos54 .

0

0

0

0

0

0

Câu 93: Biểu thức (cot + tan)2 bằng:
A. cot2 – tan2+2

B.

2 34
.
17

Câu 95: Cho cos

A.

C. cot2 + tan2–2

D.

1
sin  cos 2 
2

9
2 2
và 4   
, khẳng định nào sau đây là đúng ?
3
2

Câu 94: Cho tan  

A. sin  

1
1

sin 2  cos 2 

B. sin   

2 2
.
17

C. sin  

3 17
.
17

D. sin   

3 17
.
17


4
với 0    , khi đó giá trị của sin  bằng
13
2

153
.
169

B.

3 17
.
13

C.

153
.
169

D.

153
.
169

Câu 96: Tính Q  tan 200 tan 700  3 cot 200 cot 700
A. 1

B.

D. 1  3

C. 1  3

3

Câu 97: Giá trị D  tan10 tan 20...tan 890 cot 890...cot 20 cot10 bằng
B. 2

A. 0

D. 4

C. 1

Câu 98: Cho điểm M trên đường tròn lượng giác gốc A gắn với hệ trục toạ độ Oxy . Nếu sđ AM  k , k 
thì hoành độ điểm M bằng:
A.  1

k

Câu 99: Cho sin x  cos x 
A. M 

1
.
8

D. 1

C. 1

B. 0

1
3
3
và gọi M  sin x  cos x. Giá trị của M là:
2
B. M 

11
.
16

C. M  

7
.
16

D. M  

11
.
16

 5

 a   cos 13  a   3sin  a  5 
 2


Câu 100: Đơn giản biểu thức D  sin 
A. 3sin a  2cos a

Câu 101: sin   0 khi và chỉ khi điểm cuối của cung
A. I và IV

C. 3sin a

B. 3sin a

B. II



D. 2cos a  3sin a

thuộc góc phần tư thứ
C. I và II

Thầy Nguyễn Quý Huy_Facebook.com/N.Quy.Huy

D. I

25