Phân dạng phương trình và hệ phương trình đại số (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ HUYỀN

PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ HUYỀN

PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN MINH KHOA

THÁI NGUYÊN - 2015

i

LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình và hệ phương trình đại số là một trong những nội dung then chốt
của chương trình đại số bậc phổ thông trung học. Các bài toán về phương trình, hệ
phương trình đại số có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic vùng,
miền, quốc gia và quốc tế. Hơn thế nữa chúng cũng là những cầu nối để các em học
sinh phổ thông tiếp cận với các hình thái phương trình, hệ phương trình sau này ở
bậc đại học như hệ phương trình tuyến tính chẳng hạn.
Đây là cơ sở khoa học là lý do thôi thúc tác giả chọn đề tài cho bản luận văn "
Phân dạng phương trình và hệ phương trình đại số".
Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục tham khảo.
Chương 1: Phân dạng phương trình đại số:
Chương này phân dạng một cách hệ thống lớp các phương trình đại số, nêu cách giải
và mô tả bằng các ví dụ, bài tập. Như các bài tập được chọn trong các đề thi tuyển
sinh đại học, đề thi olympic trong nước và quốc tế.
Chương 2: Phân dạng hệ phương trình đại số:
Chương này các lớp hệ phương trình đại số nêu cách giải và mô tả bằng các bài tập,
ví dụ, được lựa chọn trong các đề thi tuyển sinh và olympic quốc tế.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS
Nguyễn Minh Khoa. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học
Thái Nguyên), các thầy giáo, cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ
tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu
và các đồng nghiệp ở trường THPT Lý Thường Kiệt, thành phố Móng Cái, Quảng
Ninh đã động viên, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn
này.
Tác giả
Hoàng Thị Huyền

Mục lục
Lời nói đầu

i

Mục lục

ii

1 Phân dạng phương trình đại số

1

1.1. Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Phương trình hồi qui dạng: ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k 2 a = 0 . . . . .

18

1.5. Phương trình dạng:
(ax + b)2 (a1 x + b1 )2 + [(a + a1 )x + (b + b1 )]2 + c = 0 . . . . . . . . . .

20

1.6. Phương trình dạng: x4 = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.7. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m . . . . . . . . .

21

1.8. Phương trình bậc ba tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.9. Phương trình bậc bốn tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.10. Phương trình bậc năm dạng: 5x5 + 5px3 + p2 x + 5q = 0 . . . . . . . .

26

1.11. Phân định số lượng nghiệm của phương trình bậc cao theo đặc tính về
dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.12. Khảo sát nghiệm của phương trình bậc cao bằng cách đổi vai trò tham số 28
1.13. Một số đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế về phương trình . .
2 Phân dạng hệ phương trình đại số

29
33

2.1. Hệ phương trình đối xứng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

ii


iii

2.3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4. Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.5. Hệ với vế trái đẳng cấp bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.6. Hệ với vế trái đẳng cấp cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.7. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.8. Hệ nhiều phương trình bậc nhất giải bằng phương pháp tổ hợp . . . .

51

2.9. Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải bằng phương pháp dùng định
lý Viet mở rộng cho phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.10. Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải bằng phương pháp khử, thế và
tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.11. Hệ xoay vòng dùng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.12. Hệ phương trình đa thức giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ . . . . .

58

2.13. Hệ phương trình đa thức giải bằng phương pháp tham số hóa . . . .

60

2.14. Hệ phương trình đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . .

61

2.15. Hệ phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.16. Hệ dùng phép thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70


Chương 1
Phân dạng phương trình đại số

Trong chương này tác giả trình bày sự phân dạng lớp các phương trình đại số
trên trường số thực.

1.1.

Phương trình bậc hai

Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:
ax2 + bx + c = 0,

a = 0. (1.1)

Định lý 1.2 (Tính chất và sự tồn tại nghiệm).
Đặt f (x) = ax2 + bx + c; ∆ = b2 − 4ac.
i) Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1.1) vô nghiệm và af (x) > 0, ∀x.
ii) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất (nghiệm kép).
x=

−b
2a

và af (x) ≥ 0,

∀x

iii) Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt
x1,2

√
−b ± ∆

=
.
2a

Lúc này af (x) < 0, ∀x ∈ (x1 , x2 ) và af (x) > 0, khi x < x1 , x > x2 .
Định lý 1.3 (Định lý đảo).
Nếu ∃ số α : af (α) < 0 thì f (x) = 0 có hai nghiệm x1 < α < x2 .
Hệ quả 1.4 Với hai số α < β cho trước : f (α) = 0, f (β) = 0. Khi đó:
1


2


 af (β) < 0
i) Nếu
thì f (x) = 0 có hai nghiệm : α < x1 < β < x2 .
 af (α) > 0

 af (α) < 0
ii) Nếu
thì f (x) = 0 có hai nghiệm : x1 < α < x2 < β.
 af (β) > 0


∆>0



af (β) > 0

thì f (x) = 0 có hai nghiệm : α < β < x1 < x2 .
iii) Nếu



 β < S = −b
2
2a


∆>0



af (α) > 0 thì f (x) = 0 có hai nghiệm : x1 < x2 < α < β.
iv) Nếu



 S <α
 2


∆>0




af (α) > 0
thì f (x) = 0 có hai nghiệm : α < x1 < x2 < β.

v) Nếu

af (β) > 0




S

α < < β
2
vi) Nếu f (α)f (β) < 0 thì tồn tại duy nhất một nghiệm hoặc x1 hoặc x2 thuộc khoảng
(α, β).
Định lý 1.5 (Định lý Viet).

 x1 + x2 = −b
a
Nếu x1 ,x2 là nghiệm của (1.1) thì
 x x = c.
1 2
a
Định lý 1.6 (Định lý Viet đảo).

 x +x =S
1
2
Nếu x1 , x2 là hai số thỏa mãn
 x1 x2 = P
thì x1 , x2 là nghiệm của phương trình: x2 − Sx + P = 0.
Các dạng bài tập áp dụng.

Dạng 1:
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a = 0).
• Chứng minh phương trình có nghiêm ⇔ Chứng minh ∆ ≥ 0.
• Chứng minh phương trình vô nghiệm ⇔ Chứng minh ∆ < 0.
• Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt


3

⇔ Chứng minh ∆ > 0.
• Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ Chứng minh ∆ = 0.
c
< 0 hoặc
• Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu⇔ Chứng minh
a
chứng minh af (0) < 0.
• Chứng minh phương
trình có hai nghiệm dương




∆≥0
∆≥0





 c

> 0 hoặc chứng minh
af (0) > 0
⇔ chứng minh
a






 0 < −b .
 −b > 0
2a
a
• Chứng minh phương
 trình có hai nghiệm âm

∆≥0


 c
> 0 hoặc chứng minh
⇔ Chứng minh
a



 −b < 0
a



∆≥0



af (0) > 0



 −b < 0.
2a

Ví dụ 1.1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 5a + 4b + 6c = 0. (i)
Chứng minh rằng phương trình f (x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
Giải.
2
⊕ Nếu a = 0 thì từ (i) ta suy ra c = − b.
3
2
2
Do vậy phương trình f (x) = 0 có dạng : bx − b = 0 có x = là nghiệm.
3
3
⊕ Xét a = 0, khi đó:
(i) ⇔ (4a + 2b + c) + (a + 2b + 4c) + c = 0
1
⇔ f (2) + 4f ( ) + f (0) = 0.
2
Suy ra tồn tại ít nhất một số hạng âm hoặc bằng 0, theo định lí đảo phương trình

f (x) = 0 có nghiệm.
Ví dụ 1.2. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phương trình: (a2 + b2 − c2 )x2 − 4abx + a2 + b2 − c2 = 0
có nghiệm.
Giải.
⊕ Trường hợp 1: a2 + b2 − c2 = 0 ⇔ ∆ABC vuông tại C thì phương trình có nghiệm
x = 0.


4

⊕ Trường hợp 2: a2 + b2 − c2 = 0, khi đó:
∆ = (2ab)2 − (a2 + b2 − c2 )2
= [(a + b)2 − c2 ][c2 − (a − b)2 ]
= (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c + b − a).
Vì a, b, c là cạnh của một tam giác ⇒ ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì phương trình:
a2 x2 + (a2 + b2 − c2 )x + b2 = 0 vô nghiệm.
Giải. Xét
∆ = (a2 + b2 − c2 )2 − 4a2 b2
= [(a − b)2 − c2 ][(a + b)2 − c2 ]
= (a − b − c)(a − b + c)(a + b + c)(a + b − c) < 0.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Dạng 2:
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình f (x) = ax2 + bx + c = 0 trong một
khoảng (d, e) nào đó.
⇔ Chứng minh tồn tại α thuộc khoảng (d, e) sao cho: af (α) ≤ 0.
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng với mọi số a, b, c phương trình
(x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = 0
luôn có nghiệm.

Giải.
Cách 1. Viết lại phương trình ở dạng:
3x2 − 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0.
Ta có:
∆ = (a + b + c)2 − 3(ab + bc + ca)
1
1
1
= (a2 − 2ab + b2 ) + (b2 − 2bc + c2 ) + (c2 − 2ca + a2 )
2
2
2
1
1
1
= (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 .
2
2
2


5

Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Cách 2.
Đặt f (x) = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a).
Ta có f (x) là một tam thức bậc 2, có hệ số của x2 là 3.
Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng, không giảm tính tổng quát có thể coi a < b < c.
Khi đó 3f (b) = 3(b − c)(b − a) ≤ 0.
Theo định lý đảo về dấu tam thức bậc hai chứng tỏ f (x) = 0 có hai nghiệm :

x1 ≤ b ≤ x2 , ∀a, b, c.
Dạng 3.
Chứng minh phương trình f (x) = ax2 + bx+ c = 0 (a = 0) luôn có hai nghiệm


∆>0




 af (α) > 0
phân biệt thuộc khoảng (α; β) nào đó ⇔

af (β) > 0




S

 α < < β.
2
Ví dụ 1.5. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện: a ≥ b > 0, a + b = 1. Chứng minh
phương trình x2 − bn x − an = 0 luôn có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−1; 1).
Giải.
Từ giả thiết a ≥ b > 0 và a + b = 1 ta suy ra:

0 < a < 1
⇒ 0 < an , bn < 1
0 < b < 1



 0 < 1 − an < 1
 a > an
⇒
và
 0 < 1 − bn < 1
 b > bn .
Đặt
f (x) = x2 − bn x − an .
Ta có :
1.f (0) = −an < 0, ∀n
1.f (1) = 1 − bn − an = (a − an ) + (b − bn ) > 0
1.f (−1) = 1 + bn − an = 1 − an + bn > 0.
Từ đây áp dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai suy ra f (x) = 0 có hai nghiệm
x1 , x2 thỏa mãn: −1 < x1 < 0 < x2 < 1.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full