Sử dụng máy tính casio giải nhanh các dạng toán tích phân chống máy tính casio hiện nay

PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
1. CÁC KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
1.1. Nhân đa thức với hệ số nguyên
a. Ý tưởng:
b. Phương pháp:
c. Ví dụ:
1.2. Chia hai đa thức
a. Ý tưởng:
b. Phương pháp:
c. Ví dụ:
1.3. Đồng nhất thức

an
a
a
1
 1  2  ... 
x  xn
a. Ý tưởng: ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn ) x  x1 x  x2
b. Phương pháp:
�
�
1
a1  lim �
.  x  x1 
�
x � x1 ( x  x )( x  x )
�
1
2 �
�

a1 �
1
a2  lim �

.  x  x2 
�
�
x � x2 �
(
x

x
)(
x

x
)
x

x


1
2
1 �
�
...........
�
an 1 �
a1

1
an  lim �

 ... 
.  x  xn 
�
�
x � xn ( x  x )( x  x )
( x  xn 1 ) �
 x  x1 
1
2
�
�
�
an �
a1
a2
1
lim �



...

� 0
x � x1 �
 x  xn  �
�( x  x1 )( x  x2 )  x  x1   x  x2 
�

Ví dụ:
1
a. ( x  2)( x  3)

Thực hiện:
�
�
1
lim �
.( X  2)
�
X �2 ( X  2)( X  3)
�
�
(a1R(Q[p2)( Q[p3))(Q[p2)

�
1
1 �
lim �

.( X  3)
�
X �3 ( X  2)( X  3)
X 2�
�
(a1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
p2)(Q[p3)

r2+10^p8

r3+10^p8


1
1
1


0
( X  2)( X  3) X  2 X  3
(a1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
p2+a1RQ[p3$)

r1000

1
1
1


( x  2)( x  3) x  3 x  2
2x  1
b. ( x  2)( x  3)
Thực hiện:
� 2X 1
�
lim �
.( X  2)
�

X �2 ( X  2)( X  3)
�
�
(a2[+1R(Q[p2)( Q[p3))(Q[p2)

� 2X 1
5 �
lim �

.( X  3)
�
X �3 ( X  2)( X  3)
X 2�
�
(a2[+1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
p2)(Q[p3)

2X 1
5
7


0
( X  2)( X  3) X  2 X  3
(a2[+1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
p2+a1RQ[p3$)

r2+10^p8

r3+10^p8

r1000

2x  1
7
5


( x  2)( x  3) x  3 x  2
an
an  2
a1
1
b


 ... 

n
n
n 1
( x  x1 ) x  x2
( x  x1 )
b. Ý tưởng: ( x  x1 ) ( x  x2 ) ( x  x1 )
Phương pháp:


�
�
1

n
an  lim �
.  x  x1 
�
n
x � x1 ( x  x ) ( x  x )
�
1
2 �
�
�
an
1
n 1
�
an 1  lim �

.  x  x1 
n
n
x � x1 �
�
�( x  x1 ) ( x  x2 )  x  x1  �
................
�
�
an
a2
1
�

a1  lim �


...

.  x  x1 
n
n
2
x � x1 �
�
(
x

x
)
(
x

x
)
x

x
x

x





1
2
1
1
�
�
�
an
a2
a1 �
1
�
b  lim �


...


.  x  x2 
n
n
2
x �x1 �
�
x

x
(
x


x
)
(
x

x
)
x

x
x

x




1
1
2
1
1
�
�
�
an
a2
a1
1

b �
� 0
lim �


...



n
n
2
x �x1 �
�
x

x
x

x
(
x

x
)
(
x

x
)

x

x
x

x




1
2
1
2
1
1
�
�
Ví dụ:
1
3
a. ( x  2) ( x  3)
Thực hiện:
�
�
1
lim �
.( X  2)3
�
X �2 ( X  2)3 ( X  3)

�
�
(a1R(Q[p2)^3(Q[p3))(Q[p2)^3

r2+10^p8

�
�
1
1
lim �

.( X  2) 2
3 �
X �2 ( X  2)3 ( X  3)
( X  2) �
�
(a1R(Q[p2)^3(Q[p3)$pa1RQ[p2)^3$)(Q[p2)^2

r2+10^p8

�
�
1
1
1
lim �


.( X  2)

3
2 �
X �2 ( X  2) 3 ( X  3)
( X  2)
( X  2) �
�
(a1R(Q[p2)^3(Q[p3)$pa1RQ[p2)^3
+a1R([p)^2$)(Q[p2)

r2+10^p8

�
1
1
1
1 �
lim �



.( X  3)
�
3
3
2
X �2 ( X  2) ( X  3)
X 2�
( X  2)
( X  2)
�

(a1R(Q[p2)^3(Q[p3)$pa1RQ[p2)^3
+a1R([p)^2+a1R[p2)$(Q[p3)

1
1
1
1
1




3
3
2
X 2 X 3
( X  2) ( X  3) ( X  2)
( X  2)
(a1R(Q[p2)^3( Q[p3)$pa1RQ[p2)^3
+a1R([p)^2+a1R[p2$
pa1R(Q[p3)

r3+10^p8

r1000

1
1

1
1
1




3
3
2
( x  2) ( x  3) x  3 ( x  2)
 x  2  ( x  2)
2x  1
3
b. ( x  2) ( x  3)
� 2X 1
�
lim �
.( X  2)3
�
X �2 ( X  2)3 ( X  3)
�
�

(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$)(Q[p2)^3

� 2X 1
�
1
lim �


.( X  2) 2
�
3
3
X �2 ( X  2) ( X  3)
( X  2) �
�
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$+a5RQ[p2)^3$)
(Q[p2)^2

� 2X 1
�
7
7
lim �


.( X  2)
3
2 �
X �2 ( X  2)3 ( X  3)
( X  2)
( X  2) �
�
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$
+a5RQ[p2)^3+a7R([p)^2$)(Q[p2)

r2+10^p8

r2+10^p8

r2+10^p8

�
1
7
7
7 �
lim �



.( X  3)
�
3
3
2
X �2 ( X  2) ( X  3)
X 2�
( X  2)
( X  2)
�


(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$
+a5RQ[p2)^3+a7R([p)^2+a7R[p2)$(Q[p3)

r3+10^p8

1
5
7
7
7




0
3
3
2
X 2 X 3
( X  2) ( X  3) ( X  2)
( X  2)
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$
r1000
+a5RQ[p2)^3+a7R([p)^2+a7R[p2$Pa7R(Q[p3
)

2x  1
7
5
7
7





3
3
2
x2
( x  2) ( x  3) x  3 ( x  2)
( x  2)
c. Ý tưởng:
Phương pháp:
Ví dụ:
1
2
a. ( x  1)(1  x)
1
2
b. ( x  1) (1  x)
d. Bài tập áp dụng
2

2. CÁC TÍCH PHÂN SỬ DỤNG MÁY TÍNH GIẢI
1.1. Tính tích phân thồn thường
b

a. Cú pháp:
b. Ví dụ:

f(x)dx
�
a

Ví dụ 1: Tính tích phân

1
I   4
4
A.



I �
cos3 x.s inxdx
0

B. I  



C. I  0
Hình ảnh

cos3 x.s inxdx
�

Thực hiện: 0
yk(Q[)Dj(Q[)
$0$qL=
* Kết quả: C

e

Ví dụ 2: Tính tích phân

4

.

I �
xlnxdx
1

.

D.

I 

1
4


A.

I

1
2

B.

I

e2  2

2

C.

I

e2  1
4

D.

I

e2  1
4

Hình ảnh

e

xlnxdx
�

Thực hiện: 1
yQ[h(Q[)$1$H1=

* So sánh: aH2+1R4=
* Kết quả: C
b. Bài tập áp dụng
1

7+6x
I �
dx
3x  2
0

Câu 1. Kết quả của tích phân
5
5
ln
2  ln
2
A. 2
B.

là:
1
5
 ln
2
C. 2

D.

1
 ln 2
C. 2

13

 ln 2
D. 4

3  2 ln

5
2

2

2I  �
(2x 3 +lnx)dx

Câu 2. Cho
13
 2 ln 2
A. 2

1

. Tìm I?

B. 1  2 ln 2

2

I1  �
cosx 3sinx+1dx

0

Câu 3. Cho
và
Phát biểu nào sau đây là sai?
14
I1 
9
A.
B. I1  I 2
1

Câu 4. Tính


2

sin2x
I2  �
dx
2
(s
inx+2)
0

C.

I 2  2 ln

3 2

2 3

D. Đáp án khác

2

I �
(xe x +e x )dx ?
0

A. 1

B. e

C. 2e

D.



1
e

4

1
I �
dx
1

2

2
x

1
0
Câu 5. Kết quả của tích phân
là:
1 5
1 7
1 7
1  ln
1  ln
1  ln
2 3
3 3
4 3
A.
B.
C.


Câu 6. Giá trị của tích phân
A. 1

I�
sin2x(cosx) 2 dx
0

B. 0

Câu 7. Tính giá trị của I biết

I �
sin2xsin 3 xdx
0

là:
C. 1


2

.

1
1  ln 2
4
D.

1
D. 2


1
A. 5

2
B. 5

3

C. 5

4
D. 5


6

Câu 8. Tính:
3
ln
A. 2

I �
tanxdx
0

B.

ln

3
2

C.

ln

2 3
3

D. Đáp án khác.


4

Câu 9. Tính

I�
tg 2 xdx
0

A. I = 2

B. ln2
2 3

I
Câu 10. Tính:

�x
2

C.

I  1


4

D.

I


3

dx
x2  3

A. I = 

B.

I


3

C.

I


6

D. Đáp án khác

1

Câu 11. Tính:
3
I  ln
2
A.

dx
I  �2
0 x  4x  3
1 3
I  ln
3 2
B.

1 3
I   ln
2 2
C.

D.

C. I = ln2

D. I = ln2

C. J =2

D. J = 1

C. J = ln5

D. Đáp án khác.

C. K = 2

D. Đáp án khác.

I

1 3
ln
2 2

1

Câu 12. Tính:

dx
I  �2
0 x  5x  6

A. I = 1

B.

I  ln

3
4

1

Câu 13. Tính:
1
J
8
A.

xdx
J �
3
0 ( x  1)

B.
(2 x  4)dx
J  �2
0 x  4x  3

J

1
4

2

Câu 14. Tính:
A. J = ln2

B. J = ln3
2

Câu 15. Tính:
A. K = 1

( x  1)
K  �2
dx
0 x  4x  3

B. K = 2
3

x
K  �2
dx
x

1
2
Câu 16. Tính
A. K = ln2

B. K = 2ln2
3

dx
K  �2
2 x  2x  1
Câu 17. Tính

C.

K  ln

8
3

D.

K

1 8
ln
2 3


A. K = 1

B. K = 2

C. K = 1/3

D. K = ½


2

Câu 18. Tính:
 2
I

2
A.

I  �1  2sin xdx
0

I


2

B. I  2 2  2

C.

B. I = e

C. I = e  1

D. Đáp án khác.

e

Câu 19. Tính:
A. I = 1

I �
ln xdx
1

2

D. I = 1  e

x

6
K  �x
dx
x
1 9 4
Câu 20. Tính:
1
1
1
12
K
ln
K
ln
3 13
3 25
2 ln
2 ln
2
2
A.
B.

1

K

2 ln

C.

3
2

1

K

ln13

2 ln

D.

3
2

ln

25
13

1

Câu 21. Tính:
e2  1
K
4
A.

K�
x 2 e 2 x dx
0

B.

K

e2  1
4

C.

K

e2
4

D.

K

1
4

1

Câu 22. Tính:
A. L   2  1

L�
x 1  x 2 dx
0

B. L   2  1

C. L  2  1

D. L  2  1

1

K�
x ln  1  x 2  dx

0
Câu 23. Tính:
5
2
K   2  ln
2
2
A.

C.

K

B.

5
2
 2  ln
2
2

D.

K

5
2
 2  ln
2
2

K

5
2
 2  ln
2
2

2

Câu 24. Tính:
A.

K  3ln 2 

K �
(2 x  1) ln xdx
1

1
2

1
2

K  3ln 2 

C. K = 3ln2

D.

B. L = 

C. L = 2

D. K = 0

ln x

K  �2 dx
1 x
Câu 26. Tính:
1
1
K  2
K
e
e
A.
B.
3
2
3x  3x  2
L� 2
dx
2 2 x ( x  1)
Câu 27. Tính:

K 

Câu 25. Tính:
A. L = 



B.

K

L�
x sin xdx
0

e

C.

1
e

D.

K  1

2
e

1
2


A.

L

3
ln 3
2

B. L = ln3



Câu 28. Tính:

C.

L

3
ln 3  ln 2
2

D. L = ln2

L

1 
(e  1)
2

1
L   (e  1)
2
D.

L�
e x cos xdx
0





A. L  e  1

B. L  e  1
2x  1
E�
dx
1 2x  3 2x  1  1
Câu 29. Tính:
5
E  2  4 ln  ln 4
3
A.

C.

5

5
E  2  4 ln  ln 4
3
B.
3
E  2  4 ln  ln 2
5
D.

C. E  2  4 ln15  ln 2
3

K
Câu 30. Tính:
K  ln 3  2
A.





�x
0

1
2

1

dx

B. E = 4

C. E = 4

D.

K  ln

e

ln 2 x
J  � dx
x
1
Câu 31. Tính:
1
1
J
J
3
4
A.
B.
1.2. Tích phân chứa trị tuyệt đối

C.

J

3
2

D.

J

b(m)

KQ 
a. Phương pháp:
b. Ví dụ:

�f(x,m)dx

a (m)

I

Ví dụ 1: Tính tích phân
40
A. 3

3

�x  1 dx
2

3

44
B. 3
2
Giải phương trình : x  1  0
W5

30
C. 4

Hình ảnh

r=1=
r=2=
r=3=
r=4=
* Kết quả: A
1.3. Tìm tham số của tích phân và cho biết đáp án tham số
a. Phương pháp:
b. Ví dụ:

b

c

b

a

a

c

�f ( x)dx  �f ( x)dx  �f ( x)dx

44
D. 5

1
2



32




a

I
Ví dụ 1: Tích phân
A. a  1

(x-1)e 2x dx 
�
0

B. a  2

3  e2

4

Thực hiện nhập:
3pH2R4$py(Q[p
1)H2Q[$0$sQz=

a

(x-1)e2x dx
�

3  e2
4

. Giá trị của a là:
C. a  3

D. a  4

Hình ảnh

0

r=1=
r=2=
r=3=
r=4=
* Kết quả: A
5

Ví dụ 2: Tích phân
A. a  1; b  81

dx

 a  ln b
�
2x  1

. Giá trị của a, b là:
B. a  1; b  9
C. a  0; b  3

1

5

dx
a  ln b  �
2x  1
1
Thực hiện nhập:
Qz+h(Qx)pya
1R2Q[p1$1$5$

Hình ảnh

r=1=81=
r=1=9=
r=0=3=
r=1=8=

* Kết quả: C
c. Bài tập áp dụng
a 3
x  2 ln x
1
I � 2

dx   ln 2
2
x
1
Câu 1. Biết
. Giá trị của a là:

D. a  1; b  8



A. 4

B. ln 2
a

x
�

I

x 2  1dx 

3

Câu 2. Tích phân

A. 4

0

C. 2
58
5

. Khi đó a bằng?
C. 2

D. 3

= a thì giá trị của a là
1
B. 12
C. 6

D. 6

B. ln 2
3

1

�
9 x

Câu 3. Biết tích phân
1
A. 12

0

2

D. 3

dx

a x  2 ln x
1
I�
dx   ln 2
2
1
2
x
Câu 4. Biết
. Giá trị của a là:

A. 3
B. ln 2
C. 4
3

ln m

e dx
 ln 2
x
2

�e

A

Câu 5. Cho

D. 2

x

0

. Khi đó giá trị của m là:
B. m  0; m  4
C. m  2

A. Đáp án khác

t

dx

D. m  4

1

  ln 3
�
2
x 1

2

Câu 6. Với t thuộc (-1;1) ta có 0
1

A. 3
B. 0

. Khi đó giá trị t là:
1
C. 2

1
D. 3

2

x a  x dx
�

Câu 7. Tính tích phân sau:
8
2a 
3
A.

0

1 3 8
a   2a

3
B. 3

là:
8
 2a
C. 3

D. Cả ba đáp án

2

Câu 8. Tìm a sao cho
A. Đáp án khác
a

Câu 9. Biết

a
4
A.

(4sin
�
0

4

I �
[a 2 +(4 - a)x + 4x 3 ]dx = 12

1

B. a  3

C. a  3

D. a  5

3
x  ) dx  0
2

Câu 10. Tìm a thỏa mãn:
A. a  ln 2

giá trị của a �(0;  ) là:


a
2
B.
C. 3
a
dx
0
2
�
0 4 x
B. a  0

C. a  ln 3

D.

a

D. a  1

1.3. Tìm tham số trong tích phân và cho biết đáp án là biểu thức các tham số đó
a. Phương pháp:
b

Bước 1: Nhập:

f ( x)dx
�
a

qJz


8


Bước 2: Phân tích giả thuyết đề bài.
Bước 3: w7 (Table) nhập hàm F(x), G(x) phân tích ở bước 2
Bước 4: Quan sát bảng rồi kết luận.
b. Ví dụ:
5

Ví dụ 1: Giả sử
A. 4

dx

 a  ln b
�
2x  1
1

B. 5

với a, b là số nguyên. Giá trị của a + b là:
C. 6
D. 3
Hình ảnh

5

1
dx � A
�
Thực hiện nhập: 1 2 x  1
ya1R2Q[p1
$1$5qJz
a  ln b  A � a  A  ln b
F ( X )  A  ln X
G ( X )  A  ln X  X
w7 (Table) Nhập:
F(X)=Qzph([)=

G(X)=Qzph([)+[=
Start:p5=
End:
5=
Step:
1=
Bảng giá trị của F(X), G(X)
* Kết quả: D
e

x 3 ln xdx 
�

3e a  1
b ? (với a, b là số nguyên)

Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả 1
A. a.b  64
B. a.b  46
C. a  b  12
e

Thực hiện nhập:
yQ[Dh(Q[)$1
$QmqJz

x 3 lnxdx � A
�
1

3e a  1
3e a  1
 A�b
b
A
X
3e  1
F(X ) 
A
3e X  1
G( X )  X .
A
w7 (Table) Nhập:
F(X)=a3HQ[$+1RQz=
G(X)=a3HQ[$+1RQz)O[=
Start:p5=

D. a  b  4

Hình ảnh


End:
5=
Step:
1=
Bảng giá trị của F(X), G(X)
* Kết quả: A
c. Bài tập áp dụng
1

Câu 1. Biết tích phân
A. a  7

2x  3

�2  x dx

= aln2 +b . Thì giá trị của a là:
B. a  3
C. a  1
1
x 1
dx  a  b
�
2
x

2
x

2
Câu 2. Biết tích phân 0
. Thì giá trị của a - b là:
A. 5
B. 1
C. 2
5
1
dx  a ln 3  b ln 5

�
2
2
Câu 3. Biết tích phân 1 x 3 x  1
. Thì giá trị của a  ab  3b
A. 4
B. 1
C. 0
0

x
�
�
4
3
x

e
dx  a  be
�
�
�
0
�
�
Câu 4. Biết tích phân
. Thì giá trị của a + 5b là:
8
18
A.

B.
C. 13

D. a  2

D. 3
là:
D. 5

4


4

Câu 5. Biết tích phân
1

A. 6
Câu 6. Biết tích phân
A. 10

sin 3 x sin 2 xdx  a  b
�
0

3
B. 5
1
4 x  11
a

dx  ln
2
�
b
0 x  5x  6

B. 11
3

Câu 7. Biết tích phân
A. 1

. Thì giá trị của a + b là:
3
C. 10

1
D. 5

. Thì giá trị của a + b là:
C. 12

D. 13

. Thì giá trị của a + b là:
C. 3

D. 2

2x  1

�x  1 dx  a  b ln 2
1

2
2

D. 23

B. 7
ln x  eln x
dx  e a  b
�
x
Câu 8. Biết tích phân 1
. Thì giá trị của a + 2b là:
3
5
A. 2
B. 2
C. 2
1
dx
1
 ln b
2
�
Câu 9. Biết 1 x  4 a
với a và b là các số nguyên. Tính a  b
37

ab 
9
A. a  b  5
B. a  b  5
C.
2 x 1
� dx  a  ln b với a và b là các số nguyên. Tính a.b
Câu 10. Cho 1 x
A. a.b  2
B. a.b  4
C. a.b  2
e

D. 3

D.

ab 

35
9

D. a.b  4


1

Câu 11. Cho
A. a  b  3

�x
0

2

dx
 a ln 2  b ln 3
 5x  6
với a và b là các số nguyên . Tính a  b
B. a  b  2
C. a  b  1
D. a  b  1

e2 x
� x dx  1  ln a  ln b với a và b là các số nguyên . Tính a  b
Câu 12. Cho 0 e  1
A. a  b  5
B. a  b  5
C. a  b  1
D. a  b  1
ln 2

Câu 13. Cho
A. ab  1


2

6

cos x

�sin x  1dx  a ln 2  b ln 3
B. ab  1
1

Câu 14. Cho
A. ab  2

với a và b là các số nguyên. Tính a.b
C. ab  2
D. ab  2

�( x  1)e dx  a  b.e . Tính a.b
x

0

B. ab  1
C. ab  0
D. ab  1
2
1�
3 �
e
e2 x 
dx   a ln 2  b
�
�
0�

x 1�
2
Câu 15. Cho �
với a và b là các số nguyên. Tính a  b
5
5
3
1
ab  
ab 
ab 
ab 
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
4
2x  1
a
a
 ln
�
2 x2  x  2
b với a và b là các số nguyên, b là phân số tối giản. Tính a  b
Câu 16. Cho
A. a  b  15

B. a  b  9
C. a  b  13
D. a  b  11
Câu 17. Cho
a
3

2
A. b


12
0

�cos

2

dx
ln a
a

b . Tính b
3x (1  tan 3x)
a
2
a 2


3

B. b
C. b 3

a 3

D. b 2


2
0

(2 x  1) cos xdx  m  n
Câu 18. Cho �
với m và n là các số nguyên. Tính m  n
A. m  n  2
B. m  n  2
C. m  n  4
D. m  n  1
e

Câu 19. Cho
b
 5
A. a

3
2
�x ln x.dx 
1


4
0

ae 4  b
b
32 với a và b là các số nguyên. Tính a
b
1
b 1


B. a 32
C. a 5
1

b
1

5
D. a



�(1  x) cos 2 xdx  a  b

với a và b là các số nguyên. Tính a.b
B. a.b  32
C. a.b  16
D. a.b  8

2
1
3
e
(e 2 x 
) dx   a ln 2  b
�
0
x 1
2
Câu 21. Biết
với a và b là số hữu tỉ. Giá trị của S  a  b là:
9
3
7
5
S  a b 
S  ab 
S  ab 
S  ab  
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
2 x.dx
1

 ln b
2
�
Câu 22. Biết 1 x  2 a
với a và b là các số nguyên. Hãy chọn đáp án đúng:
A. ab  6
B. a  b
C. 2a  b  1
D. a  b
Câu 20. Cho
A. a.b  24

x5
1
dx  (2 ln a  b)
2
�
4
Câu 23. Biết 0 x  1
với a và b là các số nguyên. Hãy chọn đáp án đúng:
2


A. a  b  5

B. a  b  4
2

�e
Câu 24. Biết

3x

0

dx 

C. a  b  13

D. a  b

e 1
b với a và b là các số nguyên. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng
a

định sau:
A. a  b  10

B. a  b

C. a  2b

D. a  b

2 x2  x  2
 a  b 2  c ln 2
� x
Câu 25. Biết 1
với a, b và c là các số nguyên. Tính giá trị
S  abc.

A. S  5
B. S  9
C. S  5
D. S  1
4
dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5
�
3 x2  x
Câu 27. Biết
, với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị S  a  b  c .
A. S  6
B. S  2
C. S  2
D. S  0
2
 b
b
x 2 x  x 2 dx  
T a
�
a c . Giá trị của
c là:
Câu 28. Biết 0
14
7
29
T
T
T

3
2
4
A.
B. T  2
C.
D.
2

1

Câu 29. Biết tích phân
A. 2

1

dx  a ln 3  b ln 2  c ln 4
�
x  5x  6
2

0

2
2
. Thì giá trị của 2a  b  c là:
D. 8

B. 4
C. 6

2 ln x  1
b
b
dx  a ln 2 
2
�
c với a, b, c là các số nguyên, c là phân số tối giản.
Câu 30. Biết tích phân 1 x (ln x  1)
Thì giá trị của a + b + c là:
A. 3
B. 5
C. 7
D. 10
1.4. Tìm tham số trong tích phân và cho biết đáp án là biểu thức các tham số đó
a. Phương pháp: Sử dụng các phương pháp đã học
e

b. Ví dụ:
c. Bài tập áp dụng
2

x2  1
� 2 ln xdx  a ln 2  b a, b �R
Câu 1. Biết tích phân 1 x
với
. Thì giá trị của a + b là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

3
dx
 a  ln(be  c )
x
�
e

1
Câu 2. Biết tích phân 1
với a, b �R . Thì giá trị của a + b là:
C. e

B. e

A. 2e

D. 1

1

Câu 3. Biết tích phân

x 2 x
�

dx  a 2  b

0

A. 8

4

Câu 4. Biết tích phân

2

1
B. 3
4x 1

với a, b �R . Thì giá trị của a  b là:
2
1

C. 3
D. 3

�2 x  1  2 dx  a  10 ln b
0

với a, b �R . Thì giá trị của a + b là:


3
A. 5

B.



179
15

34
C. 3

197
D. 15


3

1  x sin x
dx  a  b  ln c
2
x
0

�cos

Câu 5. Biết tích phân
2
A. 3

B.

4



2
3

C. 

0

D. 

x sin x  ( x  1) cos x
dx  a  ln b 2
x sin x  cos x

a
b
a
,
b
�
R
với
. Thì giá trị của 2
là:
1
4

C. 2
D. 5

�

Câu 6. Biết tích phân
1
A. 2

với a, b �R . Thì giá trị của a + b + c - 2 là:

3
B. 2
e
ln x
dx  a  ln b
2
�
x
(2

ln
x
)
1
Câu 7. Biết tích phân
với a, b �R . Thì giá trị của a + b là:
6
5
4
6
A. 7
B. 6
C. 5

D. 7
1

x2  e x  2 x2 e x
dx  a  b ln(c  d .e)
�
1  2e x
0

Câu 8. Biết tích phân
là:
5
A. 4

17
B. 6

với a, b �R . Thì giá trị của a + b + c + d

11
C. 6

13
D. 6


6

tan 4 x
1

dx  ln(2  a)  b
�
cos x
2
0

với a, b �R . Tính a  b
16 3
19 3
ab 
ab 
27
27
B.
C.

Câu 9. Biết
17 3
ab 
27
A.

2

Câu 10. Cho
3
a.b  
4
A.

(cos
�

3

x  1) cos2 xdx  a  b 2

0

B.

a.b 

3
4

D.

ab 

với a, b �R . Tính a.b
C. a.b  1

D.

a.b 

2. CÁC TÍCH PHÂN KHÔNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH GIẢI
a. Phương pháp:
b. Ví dụ:

2

Ví dụ 1. Cho
A. K  24
t

Đặt:
Đổi cận:

�f ( x)dx  8
1

6
�x �
K  �f � �
dx
3
�3 �
. Tính
B. K  12
C. K  16
Giải

x
1
dt  dx � dx  3dt
3
3

x

t

3

6

1

2

D. K  8

4
5

2 3
9


6
2
2
�x �
K  �f � �
dx  3�f (t )dt  3�f ( x)dx  3.8  24
3
1
1
�3 �
Khi đó:

1 1
1 f ( x)  2
dx  2
K�
dx
�
0 f ( x)
0
f
(
x
)
Ví dụ 2. Cho
. Tính

A. K  3

12
9

K 

7
2

C.
Giải
1 f ( x)  2
1�
1

1 1
2 �
K �
dx  �
1
dx  �
dx  2�
dx  1  4  3
�
�
0
0
0
0 f ( x)
f ( x)
� f ( x) �
c. Bài tập áp dụng
4
�x �
2
K

f
dx
��
�
f ( x) dx  8
2
�
2

�
�
1
Câu 1. Cho
. Tính
K

8
A.
B. K  12
C. K  16
Câu 2. Cho
A. K  4
Câu 3. Cho
A. K  32

B.

K

3

1

0

0

D.

B. K  12
2

0

0

�f ( x)dx  16 . Tính K  �f (2 x)dx
B. K  4

7
2

D. K  4

�f ( x)dx  12 . Tính K  �f (3x)dx
4

K

C. K  24

D. K  36

C. K  16

D. K  8
3

K  �f / ( x )dx

0
Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn [0,3] và f (0)  2 , f (3)  7 . Tính
A. K  5
B. K  3
C. K  9
D. K  9
2

K  �f / ( x)dx
f
(
x
)
[1,
2]
f
(1)

1
f
(2)

2
1
Câu 5. Cho hàm số
có đạo hàm trên đoạn
và
,
. Tính
A. K  1

B. K  1
C. K  3
D. K  2
4

Câu 6. Cho

�f ( x)dx 5  3 2
1

4

f ( x) dx  4
A. �
4

f ( x )dx  7  4
C. �
2

Câu 7. Cho

�f ( x)dx 3  2
1

3

A.

�f ( x)dx  1  5

1

4

f ( x )dx  7  4
D. �

3

3

2

C.

1

3

�f ( x)dx  1  5

D.

1

0

6

P  �f ( x)dx  �f ( x )dx

A. P  4
Câu 9. Cho
A. K  6

B. P  10

�f ( x)dx  7
0

3
6

f ( x )dx  3
và �
Tính giá trị của
2

C. P  4

2

2

0

0

bằng?

3

1

10

10

1

�f ( x)dx  5 

B.

Câu 8. Cho f(x) liên tục trên [0,10] thoả
2

3

f ( x)dx
thì �

3

3

3

�f ( x)dx  5  3

2

0

f ( x)dx 2  3
và �

0

2

0

3

�f ( x)dx bằng?

thì

1

4

2

0

và

4

�f ( x)dx   2  2
f ( x )dx  3  2
B. �

2 7

0

0

D. P  3

�f ( x)dx  3 . Tính K  �[4 f ( x)  3]dx
B. K  8

C. K  2

D. K  4


1

1

0

2

�f ( x)dx  5 và �f ( x)dx  2

Câu 10. Giả sử
A. K  7

B. K  3

b

bằng?

0

C. K  3

b

a

�f ( x)dx  5
a

a

�f ( x)dx  a . Tính
0

K�

f

K

C.



0

bằng?

c

�f ( x)dx  5
3

2

A. K  a  1

a

c

B.

D. K  7

c

c

c

Câu 12. Cho

thì

�f ( x)dx  2 và �f ( x)dx  3 và a  b  c thì �f ( x)dx

Câu 11. Giả sử
A.

2

K  �f ( x )dx

x2  1
x2  1

�f ( x)dx  1
a

 2 x.dx

c

D.

�f ( x)dx  1
a

theo a

1
a
2

C. K  a
D. K  2a
Câu 13. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0, 2] , đồng biến trên đoạn này và f (0)  1 ,
B.

/
2 f ( x)  f ( x)
K �
dx
0
f (2)  5 . Tính
f ( x)
A. K  ln 5  2
B. K  ln 5  2

�f ( x)dx  a

2 sin x. f (cos x  1)dx
K �

0
. Tính
theo a
B. K  a  1

C. K  a

2

cos x. f ( x)  5
4
4 f ( x )dx  a
K�
dx
0
�
cos 2 x
Câu 15. 0
. Tính
theo a
A. K  5  a
B. K  a  5
C. K  a  5
1 1
1 f ( x)  2
dx  2
K�
dx
�
0 f ( x)
0
f
(
x
)

Câu 16. Cho
. Tính
1

A. K  3

B.

K

12
9

2

Câu 17. Cho

1

0

B. K  a  1

A. K  a  1
3

Câu 18. Cho
5
K 
2

A.
Câu 19.
Câu 20.

C.
1

�f ( x)dx  a . Tính K  �xf ( x

2

D. K  ln 5  1



2

Câu 14. Cho
A. K  a

C. K  2  ln 5

2

 1)dx

K 

7
2

D. K  a  2

D. K  a  2

D.

K

7
2

K

a
2

theo a

C. K  2a

D.

2

�f ( x)dx  5 . Tính K  �f (2 x  1)dx
1

1

B.

K

5
2

C.

K

5
4

D. K  9