Bài giảng điện tử: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, hai đường thẳng

GV DẠY: ĐỖ HOÀNG OANH- GV TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ


PHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGTRONG
TRONGKG
KG
1.1.PHƯƠNG
VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA ĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
2.2.VỊ
VÀMẶT
MẶTPHẲNG
PHẲNG
VÀ
VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
3.3.VỊ

TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG
4.MỘT
MỘTSỐ
SỐCÔNG
CÔNGTHỨC
THỨCTÍNH
TÍNHGÓC,
GÓC,
4.
TÍNHKHOẢNG
KHOẢNGCÁCH.
CÁCH.
TÍNH


Hãy nêu vị trí tương
đối giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (P)?


Hãy nêu vị trí tương
đối giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (P)?
d

d

d

P


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGVÀ
VÀMẶT
MẶTPHẲNG
PHẲNG
VỊ
d cắt (P)
d song song (P)
d nằm trong (P)
d d

d

P


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA

GIỮAĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGVÀ
VÀMẶT
MẶT PHẲNG
PHẲNG
2.2.VỊ
�x  x0  u1t
�
Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d : �y  y0  u2t ,  t �R 
�z  z  u t
0
3
�



và mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0



��
�
r
 x0 ;1yđiểm
XácMđịnh
0 ; z0  và 1 vectơ chỉ
� qua
r của đườngvàthẳng
�d � phương

mp  Pd ?có VTPT n   A; B; C  �
� �có VTCP u   u1; u2 ; u3 
�
�
�
Xác định một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng(P) ?
M

r d
u

P

r
n

d

P

r
u

M

r
n

P

r
u
M

r
n
d


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGVÀ
VÀMẶT
MẶT PHẲNG
PHẲNG
2.2.VỊ
�x  x0  u1t
�
Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d : �y  y0  u2t ,  t �R 
�z  z  u t
0
3
�



và mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0



��
�
r
� qua M  x0 ; y0 ; z0 
r
�d �
và mp  P  có VTPT n   A; B; C  �
� �có VTCP u   u1; u2 ; u3 
�
�
�
M

r d
u

P

r
n

d

P

r
u

M

r
n

P

r
u
M

r
n
d


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGVÀ
VÀMẶT
MẶT PHẲNG
PHẲNG
2.2.VỊ

�x  x0  u1t
�
Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d : �y  y0  u2t ,  t �R 
�z  z  u t
0
3
�



và mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0
P
d r�

d cắt (P)
d r// r(P)
r
rr
�
�
�u.n  0
�u.n  0
۹ u.n 0
��
��
M � P 
M � P 
�
�
M

r d
u

P

r
n

d

P

r
u

M

r
n

P

r
u
M

r
n

d




VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA
2.2.VỊ
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGdd
ĐƯỜNG
VÀMẶT
MẶTPHẲNG
PHẲNG(P)
(P)
VÀ

rr
d cắt  P  ۹ u.n

Điều kiện để đường
thẳng d vuông góc
với mặt phẳng (P)?

0

rr

�
u.n  0
�
d //  P  � �
M � P 
�
rr
�
�u.n  0
d � P  � �
M � P 
�

d r

u

P

r
n


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA
Chú ý
2.2.VỊ

ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGdd
ĐƯỜNG
r
r
VÀMẶT
MẶTPHẲNG
PHẲNG(P)
(P)
VÀ
d   P  � u cùng phương n

rr
d cắt  P  ۹ u.n

0

rr
�
u.n  0
�
d //  P  � �
M � P 
�
rr
�
�u.n  0
d � P  � � .
M � P 
�

d r

u

P

r
n


*** VÍ DỤ
VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA
2.2.VỊ
VD1
ĐƯỜNG
THẲNG
d
ĐƯỜNG THẲNG d
Xét vị trí tương đối giữa đường
VÀ
MẶT
PHẲNG
(P)
VÀ MẶT PHẲNG (P)
thẳng d và mặt phẳng (P) cho

rr
bởi phương trình:
d cắt  P  ۹ u.n 0
�x  2  t
rr
�
�
d : �y  3  t và  P  : x  y  z  6  0
�u.n  0
P


d //
��
� z 1
ĐS: d � P 
M
�
P


�
�
rr
VD2
�
�u.n  0
d � P  � �
� x  4t
M � P 

�
�
Cho d : �y  1  2t và  P  : 2 x  y  z  14  0
Chú ý
�z  3  2t
�
r
r

d   P  � u cp n

a/ CMR: d   P 

b/ Tìm tọa độ giao điểm M của
đường thẳng d và mặt phẳng (P).
ĐS

b / M  4; 1;5 


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA
2.2.VỊ
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGdd
ĐƯỜNG
VÀMẶT

MẶTPHẲNG
PHẲNG(P)
(P)
VÀ

rr
d cắt  P  ۹ u.n

0

rr
�
u.n  0
�
d //  P  � �
M � P 
�
rr
�
�u.n  0
d � P  � �
M � P 
�
Chú ý

r
r
d   P  � u cp n

VD3

x 1 y  3 z
Cho d :


2
4
3
và  P  : 3 x  3 y  2 z  5  0

a/ Chứng minh d // (P).
b/ Tính khoảng cách giữa d và (P)
ĐS:

17
17 22
b/

22
22


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮA
2.2.VỊ
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNGdd

ĐƯỜNG
VÀMẶT
MẶTPHẲNG
PHẲNG(P)
(P)
VÀ

rr
d cắt  P  ۹ u.n

***Bài tập củng cố mục 2

0

rr
�
u.n  0
�
d //  P  � �
M � P 
�
rr
�
�u.n  0
d � P  � � .
M � P 
�
Chú ý

r

r
d   P  � u cp n

Trong KG Oxyz cho đường thẳng

x 1 y  2 z  3
d:


2
1
1
và  P  : 2 x  y  z  2  0
a/ CM d cắt (P). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
b/ Viết PT đường thẳng qua
A(2;0;0) và vuông góc với (P).
c/ Viết PT mặt phẳng qua B(1;-1;3)
và vuông góc với d.


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
3.3.VỊ

TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG

� qua M 1
Trong không gian cho đường thẳng d1 �
uur
uu
r
d2
�có VTCP u1
u2
M2

uur
u1

d1

M1

M2

uur

d2

� qua M 2
u2

M 1 uu
uur
r
và đường thẳng d 2 �
u1
�có VTCP u 2
d1
uu
r
uur cùng
u1 vphẳng,
à uu
Nhận xét sự đồng
phương
2u
1) d1và d 2 trùng nhau H2:2)
r
u
u
r uuuuuur
u
u
r
u
phương
u
u
u
u
u

r
d
//
d
�
uur uur uuuuuur
1
2 3 vectơ: u , u , M M
của
u1 vuàu
M
phương
2không
1 cùng
2
11M 2 r
� u1; u 2 và M 1M 2 đôi một cùng phương.
r
u
u
r
uu
r uu
r
uu
r uuuuuur
r trong mỗi trường
��
� 0
uur

u1 , uhợp?
2�
�
�
�
��
u
,
u

u
,
M
M
=
0
�
�
1
2
1
1
2
�
� �
�
u2
� �uu
uu
r

r uuuuuur
r
M
uur
2
�
u1 , M 1 M 2 �
u1
�
�
��0 M
�
u 2 uu
2
r
3)
d
và
d
M1
1
2 cắt nhau
u1 M 1
uur uur không d 2 cùng
d2
d1
2
uuuuuur
� uuur1 vuàuruphương
d1

u1 , u 2 và M 1M 2 đồng phẳng
4) d1 và d 2 chéo nhau
uur uur uuuuuur
uur uur r
� u1 , u 2 và M 1M 2 không đồng phẳng
� �
u1 , u 2 ��0

uur uur uuuuuur
�. M 1M 2 0
۹ �
u
,
u
1
2
� �

� � �
� �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0
�
��1 2 � 1 2


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA

GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
3.3.VỊ
TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG
Trong KG cho 2 đường thẳng:
Chú ý:
ý:
ur uu
r
Chú

� qua M 2
� qua M 1
uur ; d 2 �
uur
d1 �
�có VTCP u1
�có VTCP u 2
uu
r uu
r
r
��
� 0
u1 , u 2 �

��
1) d1 �d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u1 , M 1 M 2 �
�
�
�= 0
�
uu
r uur r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
2) d1 // d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u , M M ��0
�
��1 1 2 �
uur uur r
� �
��0
u
,
u
1

2
� � �
3) d1 và d 2 cắt � �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0
�
��1 2 � 1 2

uur uur uuuuuur
4) d1 và d 2 chéo ۹ �
u1 , u 2 �
�
�. M 1M 2 0

u1  u2
d1  d 2 � .........

ur uu
r
� u1 . u2  0


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG

3.3.VỊ
TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG
VD1:
VD1:
Trong KG cho 2 đường thẳng:
� qua M 2
� qua M 1
Xác định vị trí tương đối giữa các cặp
uur ; d 2 �
uur
d1 �
�có VTCP u1
đường thẳngd1và d 2 cho bởi phương trình:
�có VTCP u 2

uu
r uu
r
r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
1) d1 �d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�

u1 , M 1 M 2 �
�
�
�= 0
�
uu
r uur r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
2) d1 // d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u , M M ��0
�
��1 1 2 �
uur uur r
� �
��0
u
,
u
1
2
� � �
3) d1 và d 2 cắt � �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0

�
��1 2 � 1 2

uur uur uuuuuur
4) d1 và d 2 chéo ۹ �
u1 , u 2 �
�
�. M 1M 2 0

� x  2t
x 1 y z  3
�
a/ d1 : �y  1  4t ; d 2 :
 
1
2
3
�z  2  6t
�
ĐS: d1// d 2

� x 1
� x  1 t
�
�
b/ d1 : �y  2  4t ; d 2 : �y  2  4t
�z  2t
�z  2  3t
�
�

ĐS: 2 đt cắt nhau tại M(1;-2;2)


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
3.3.VỊ
TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG
VD2:
VD2:
Cho hai đường thẳng
Trong KG cho 2 đường thẳng:

� qua M 2
� qua M 1
uur ; d 2 �
uur
d1 �
�có VTCP u1
�có VTCP u 2
uu
r uu

r
r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
1) d1 �d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u1 , M 1 M 2 �
�
�
�= 0
�
uu
r uur r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
2) d1 // d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u , M M ��0
�
��1 1 2 �
uur uur r
� �

��0
u
,
u
1
2
� � �
3) d1 và d 2 cắt � �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0
�
��1 2 � 1 2

uur uur uuuuuur
4) d1 và d 2 chéo ۹ �
u1 , u 2 �
�
�. M 1M 2 0

�xt
x  2 y 1 z  2
�
d1 : � y  3 và d 2 :


1
1
1
�
z


6

t
�

Chứng minh rằng d1 , d 2
chéo nhau và vuông gócuurvới
uur nhau.
uuuuuur
�. M 1M 2 �0
u
,
u
HD: Cần cm: �
1
2
��
� �
�
uur uur
�
u1  u 2
�


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA

GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG
THẲNG
3.3.VỊ
TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG
VD3:
Trong KG cho 2 đường thẳng:
VD3:
� qua M 2
� qua M 1
Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng
uur ; d
uur
d

�
2�
�có VTCP u1
�có VTCP u 2
uu
r uu
r
r
��
� 0
u1 , u 2 �

��
1) d1 �d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u1 , M 1 M 2 �
�
�
�= 0
�
uu
r uur r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
2) d1 // d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u , M M ��0
�
��1 1 2 �
uur uur r
� �
��0
u
,
u
1

2
� � �
3) d1 và d 2 cắt � �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0
�
��1 2 � 1 2
1

uur uur uuuuuur
4) d1 và d 2 chéo ۹ �
u1 , u 2 �
�
�. M 1M 2 0

 1  : x  2 y  z  1  0
 2  : x  y  2z  3  0

a/ Viết phương trình chính tắc của d.
b/ Viết phương trình mặt phẳng
qua O và vuông góc với d.


VỊTRÍ
TRÍTƯƠNG
TƯƠNGĐỐI
ĐỐIGIỮA
GIỮAHAI
HAIĐƯỜNG
ĐƯỜNGTHẲNG

THẲNG
3.3.VỊ
TRONGKHÔNG
KHÔNGGIAN
GIAN
TRONG

Trong KG cho 2 đường thẳng:

� qua M 2
� qua M 1
uur
uur ; d 2 �
d1 �
�có VTCP u1
�có VTCP u 2
uu
r uu
r
r
��
� 0
u1 , u 2 �
��
1) d1 �d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u1 , M 1 M 2 �
�

�
�= 0
�
uu
r uur r
��
� 0
u
,
u
1
2
��
�
2) d1 // d 2 � �uu
r uuuuuur
r
�
u1 , M 1 M 2 �
�
�
��0
�
uur uur r
� �
��0
u
,
u
1

2
� � �
3) d1 và d 2 cắt � �uur uur uuuuuur
�
u , u �. M M  0
�
��1 2 � 1 2

BÀITẬP
TẬPCỦNG
CỦNGCỐ
CỐMỤC
MỤC33::
BÀI
Bổ sung :Bài 1: Cho điểm A  1;-1;1
x 1 y z  3
 
và đường thẳng d :
2

1

1

a/ Viết phương trình đường thẳng qua
A và song song với d.
b/ Viết phương trình mặt phẳng qua
A và vuông góc với d.
Bài 2: Tìm a để hai đường thẳng sau
đây cắt nhau

�x  1  at
x 1 y  2 z  3
�
uur uur uuuuuur
d1 : � y  t và d 2 :


�
4) d1 và d 2 chéo ۹ �
u
,
u
.
M
M
0
1
2
1
�1 2 � 1 2
�z  1  2t
�