Đề thi vào trường chuyên Hà Tĩnh (có đáp án)

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)

Thời gian làm bài 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1:
 2 4
 x  y 2 4

a. Giải hệ phương trình: 
 x  2  4 x  2

y y
b. Giải phương trình (3 x  x  8 )( 4  3 x 2  8 x ) 16( x  1)
Câu 2:
a. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn

 x  y  z 6

3
3
3
 ( x  1)  ( y  2)  ( z  3) 0

Tính giá trị của biểu thức F ( x  1) 2013  ( y  2) 2013  ( z  3) 2013
4

1
b. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2  2  2
x
y
Chứng minh rằng x 2  4 xy  6 y 2  2 x 6
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện
a b 5
là số hữu tỉ và a 2  b 2  c 2 là số nguyên tố.
b c 5
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC = a, BAC = 1200. Các tiếp tuyến của đường tròn
(A; AB) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của
đường tròn (A; AB) (M khác B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt
DB, DC lần lượt tại E, F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF
với đường thẳng BC
a. Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp được đường tròn và các đường thẳng AM,
EQ, FP đồng quy.
b. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A; AB) để diện tích tam giác APQ
nhỏ nhất. Tính giá trị đó theo a.
Câu 5:
Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có 3 đỉnh
trong số các đỉnh đã chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân.
- Hết -

Email:


Sơ lược giải:
Câu 1:

a. ĐK: y 0
 2 4
 x  y 2 4
2
2

 ( x  ) 2  ( x  )  2 0 

y
y
 x  2  4 x  2

y y

2
2


 x  y  1
x  y  1

 
2
2


 x  y 2
x  y  2



 1 7
4
 1 7
4
;
) và (
;
)
Giải 2 TH tìm được nghiệm: (
2
2
1 7
1 7
b. ĐK: x 0
PT
(3 x  x  8 )(4  3 x 2  8 x ) 16( x  1)  ( x  1)(4  3 x( x  8 ) 2( x  1)(3 x  x  8 )
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của PT
Với 0 x 1 :
Ta có:
 x  4
 2  x  8 0
4  3 x( x  8 ) 6 x  2 x  8 )  (2  x  8 )(3 x  2) 0  
 
x 4
3 x  2 0
9

4
Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x 
9

Câu 2:
a. Nhận xét: a  b  c 0  a 3  b 3  c 3 3abc
Áp dụng ta có:
x  1  y  2  z  3  x  y  z  6 0  ( x  1) 3  ( y  2) 3  ( z  3) 3 3( x  1)( y  2)( z  3) 0
 x 1
  y 2
 z 3
Xét 3 trường hợp ta đều tìm được: x = 1; y = 2; z = 3
Vậy F = 0
b. Với x; y > 0 ta có:
4
1
4
2  2  2   xy 2  x 2 y 2 4
xy
x
y
Do đó:
1
1
x2 y2
4
x 2  4 xy  6 y 2  2 x ( x  2 y ) 2  2( x  y 2 ) 2( x  y 2 ) 2( x  x  y 2 ) 2.33
63 6
2
2
4
4
2
2

Vậy x  4 xy  6 y  2 x 6
Đẳng thức có khi: x = 2; y = 1
Câu 3: Đặt

Email:


 b 2 ac

 a k 2 c
 A a 2  b 2  c 2 a 2  ac  c 2 c 2 (k 4  k 2  1)
Để A nguyên tố thì c2 = 1 hoặc k4 + k2 + 1 = 1
 c 1 ; k 0
Nếu k = 0 thì a = 0 (loại)
Suy ra c = 1 = a = b
Khi đó A = 3 là số nguyên tố
Câu 5:
Từ 15 đỉnh của đa giác đều ta tạo ra 3 ngũ giác đều trong đó: Ngũ giác thứ nhất có các
đỉnh tô màu đỏ, ngũ giác thứ hai có các đỉnh tô màu xanh, ngũ giác thứ ba có các đỉnh tô
màu vàng. Ta coi 3 ngũ giác đó là 3 chuồng, 7 điểm ta chọn là 7 con thỏ. Như vậy 7 con
thỏ nhốt vào 3 cái chuồng thì ắt phải có một chuồng có ít nhất 3 con thỏ(Điriclê). Mà 3
đỉnh bất kỳ của một ngũ giác đều bao giờ cũng tạo thành một tam giác cân. Từ đó suy ra
(đpcm)
Câu 4: Dễ hơn đề thi chung nên bạn đọc tự giải quyết
 a kb
 Q  a  kb (b  kc) 5  

b c 5
 b kc

a b 5

(Hình minh họa câu 5)

Lời giải chỉ mang tính tham khảo, mong nhận được sự góp ý…
Phan Đình Ánh – THCS Thach Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh
Điện thoại: 0944 899 066

Email: