CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH bậc 2

CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
MỤC LỤC
A.Mục tiêu dạy học…………………………………………………………………….................……...2
B.Nội dung bài học………………………………………………………………………….................…2
I)
1.
2.

Phương trình bậc hai………………………………………………………………...........……….2
Giải và biện luận phương trình bậc hai……………………………….............................………...2
Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ……………………………………............................………...8

II)
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét...........……..............……………………………...10
1.
Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng..................................................................................................10
1.1.
Tính giá trị của biểu thức nghiệm..................................................................................................10
1.2.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm không phụ thuộc vào
tham số.......................................................................................................................................................13
1.3.
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho...........................15
1.4.
Xác định dấu các nhiệm của phương trình bậc hai........................................................................20
1.5.
Tìm gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm..........................................................22
2.
Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng.....................................................................................................25
2.1.

Lập phương trình bậc hai...............................................................................................................25
2.2.
Tìm hai số biết tổng và tích...........................................................................................................28
III)
1.
2.
3.
4.

Ứng dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình khác……………………..........……..30
Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc ba……............................…..30
Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc bốn……................................37
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai………...............................42
Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc hai…………………............................…49

C. Hình thức, kế hoạch dạy học..............................................................................................................51
D. Kiểm tra, đánh giá……………………………………………………………................…………..52

A.


MỤC TIÊU DẠY HỌC
Căn cứ:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 1


Chuẩn KT-KN

Yêu cầu của nhà trường
Khả năng, mong muốn của HS…

Mục tiêu dạy học:

Về kiến thức:
HS hiểu, biết cách giải và biện luận phương trình bậc 2.
HS hiểu, nhận dạng được, biết giải các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có
ẩn ở mẫu số, phương trình trùng phương, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối……..
HS hiểu, biết vận dụng định lý Vi-ét thuận và đảo vào giải bài tập.

Về kĩ năng:
HS giải và biện luận thành thạo phương trình bậc 2.
HS giải được các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương
trình chứa ăn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích…….
HS vận dụng thành thạo hệ thức Vi-ét thuận và đảo để giải bài tập.

B.

NỘI DUNG BÀI HỌC

I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Nhắc lại kiến thức cũ.
a.
b.
c.

2
Khái niệm phương trình bậc 2: có dạng tổng quát là : ax  bx  c  0 (
'

) 2  ac )
Khái niệm Delta: ( hoặc nếu b  2b�
, ta có thể tính V  (b�

Hệ số a,b,c.

1. Giải và biện luận phương trình bậc hai:

ax 2  bx  c  0  1

1.1. Phương pháp chung.


Trường hợp 1: .

Phương trình trở về phương trình bậc nhất
a.

bx  c  0  � bx  c.  2 

Nếu .

Phương trình tương đương 0  c  � c  0
Nếu
Nếu
b.

Nếu

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 2


Phương trình

 2  �  x 

c
b Phương trình có nghiệm duy nhất .

Trương hợp 2: .



Ta tính biệt thức ( hoặc nếu , ta có thể tính )
a.

Nếu (hoặc ).
Phương trình (1) vô nghiệm.

b.

Nếu (hoặc ).

Phương trình (1) có nghiệm kép
c.

x 0  x1  x 2  

b
b'
x0  
2a (hoặc
a ).

Nếu (hoặc ).

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x1,  2 

b � V
 b' � V'
x1,2 
2a
a
(hoặc
).

Kết luận:
-

Với
Với

-

Với
Với

x

c
b .

*

* (hoặc ), phương trình có nghiệm kép

x0  

b
b'
x0  
2a (hoặc
a ).

* (hoặc ), phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1,  2 

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m là tham số):
Giải.

Trường hợp 1.

4x  3  0 � x 

3

4

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 3

b � V
b' � V'
x1,2 
2a
a
(hoặc
).

mx 2  2  m  2  x  m  3  0

.

(1)


Trường hợp 2.
'
Nếu V  0 �  4  m  0 � m  4

Nếu V  0  � m  4
'

Nếu V  0 � m  4
'

x0 

1
2

x1,2 

m2� 4m
m

Kết luận.

-

3
4
1
x0 
2
.
m2� 4m
x1,2 
m
x

1.2.Bài tập vận dụng.
Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m.
a)
b)

c)
d)

mx 2  2  m  3 x  m  1  0

 4m  1 x 2  4mx  m  3  0





2mx 2  2 m 2  1 x  m  0
x
2

.
m 1 x 1

Giải.

a.

Trường hợp 1.

6x  1  0  �  x 

1
6

Trường hợp 2.

Nếu

Nếu

V'  0 �  5m  9  0 �  m 

V'  0  � m 

9
5

9
2
x0 
5
3

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 4


Nếu

V'  0 �  m 

9
m  3 � 5m  9
x1,2 

5
m

Kết luận.

-

x

:
.

1
6

x0 

x1,2 

2
3
m  3 � 5m  9
m

b), c), d) làm tương tự theo phương pháp chung.
e) Ta cần xét mẫu khác 0 sau đó làm tương tự.
Bài 2. Tìm m để phương trình
Giải.
Xét hai trường hợp của m.
Trường hợp 1.

Trường hợp 2. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Vậy với
Bài 3. Cho phương trình bậc hai :
a)
b)

Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

Giải.
a)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi

Khi đó nghiệm kép là :

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 5


Bài 4. Với giá trị nào của m thì phương trình
Giải.
Phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau khi và chỉ khi

Vậy với
Bài 5. Cho phương trình :
Tìm các giá trị của m để :
a, Phương trinh có nghiệm.
b, Phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Giải.
a, Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

b, Phương trình có nghiệm kép kh và chỉ khi

Và nghiệm kép là
Bài 6. Cho phương trình . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu, đồng thời
nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Giải.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
. Khi đó có tổng hai nghiệm là .
Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi và chỉ khi

Kết hợp (1) và (2) ta được .
Bài 7. Tìm các điểm cố định mà parabol (P) : luôn đi qua khi m thay đổi (m
Giải.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 6


Hàm số
Xem (1) là phương trình ẩn m. Cần tìm x, y để (1) được nghiệm đúng với mọi , điều này chỉ xảy ra khi

Vậy có hai điểm cố định cần tìm là A(1 ; 1) và B(-1 ; -1).
Bài 8. Cho hai phương trình :
Với giá trị nào của m thì phương trình (2) có một nghiệm khác 0 lớn gấp hai lần một nghiệm của
phương trình (1).
Giải.
Giả sử
Thay vào hai phương trình ta có:

Trừ từng vế của (4) và (3) được:
Thay .
Đảo lại: Nếu , hai phương trình đã cho có dạng
Phương trình (5) có hai nghiệm , . Phương trình (6) có hai nghiệm , .
Rõ ràng . Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 9. Cho parabol
a, Hãy biện luận số giao điểm của d và (P).
b, Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B, hãy tìm giá trị của m để
A và B ở về hai phía của trục Oy.
Giải.
a, Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phương trình :
(1)
Vậy số giao điểm của d và (P) bằng số nghiệm của (1). Ta có
Nếu .
Nếu .
Nếu

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 7

b, Vì hoành độ giao điểm A, B của d và (P) là nghiệm của phương trình (1) nên A và B ở về hai phía của
Oy khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Muốn vậy thì .

2. Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ
2.1. Phương pháp chung
Với a,b,c là các số nguyên, xét phương trình
Ta đi xét các bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ. Khi đó ta sử
dụng kết quả của hai định lý sau:
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm hữu tỷ là biệt số là một số chính phương
Định lý 2: Nếu là nghiệm hữu tỷ của phương trình thì q là ước của a và p là ước của c.
Ví dụ: Tìm các số nguyên a để phương trình có nghiệm nguyên.
Giải.
Phương trình có nghiệm nguyên khi là số chính phương

Vì 167 là số nguyên tố nên:

Vậy tồn tại hai giá trị a=40 và a= để phương trình có nghiệm nguyên.

2.2. Bài tập ứng dụng
Bài 1. Chứng minh rằng nếu phương trình , với a,b là các số nguyên, có các nghiệm hữu tỷ, thì các
nghiệm đó là các số nguyên
Giải: Nghiệm của phương trình đã cho là: . Do các nghiệm là hữu tỷ nên phải là số chính phương suy ra
. Xét hai khả năng xảy ra đói với a
Giả sử a là số lẻ suy ra k là số lẻ
Giả sử a chẵn suy ra k chẵn

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 8

Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ
Suy ra là một số chẵn, tức là những số nguyên.
Bài 2. CMR nếu phương trình

Giải.
Nghiệm của phương trình đã cho là: .
Do các nghiệm là hữu tỷ nên

(1)

Xét hai khả năng xảy ra đối với a
Giả sử a là số lẻ, khi đó từ (1) suy ra k lẻ.
Giả sử a là số chẵn, khi đó từ (1) suy ra k chẵn.
Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra là một số chẵn, tức là những số nguyên.

II: HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
1.Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng
Cho phương trình:

ax 2  bx  c  0  a �0 

có hai nghiệm x1 ; x2

b
�
S  x1  x2 
�
�

a
�
�Pxx  c
1 2
a
Theo định lý vi-ét thuận ta có: �
1.1.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức nghiệm

Đối với bài toán này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có
chứa tổng S và tích P để áp dụng hệ thức vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức
1.1.1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1  x2 và x1 x2
Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng S và tích P
a)





x12  x2 2  x12  2 x1 x2  x2 2  2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

2

Page 9


b)

c)

2
x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x2 2    x1  x2  �
 x1  x2   3x1 x2 �
�
�
1 1 x1  x2
 
x1 x2
x1 x2

Bài tập: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1  x2 và x1 x2
a)

x12  x2 2

b)

x13  x23

c)

1
1

x1  1 x2  1

d)

x1  x2

Hướng dẫn:
a)
b)
c)
d)

x12  x2 2   x1  x2   x1  x2 
2
x13  x23   x1  x2  �
 x1  x2   x1 x2 �
�
�
1
1
x  1  x2  1
x1  x2  2

 1

x1  1 x2  1  x1  1  x2  1 x1 x2   x1  x2   1

x1  x2 

 x1  x2 

2



 x1  x2 

2

 4 x1 x2

1.1.2:Không giải phương trình, tính giá trị cảu biểu thức nghiệm
2
Ví dụ: Cho phương trình: x  8 x  15  0 không giải phương trình hãy tính

a)

x12  x2 2

b)

1 1

x1 x2

c)

x1 x2

x2 x1

d)

 x1  x2 

2

Lời giải:

Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

�x1  x2  8
�
�x1 x2  15

Page 10

(1)


x12  x2 2   x1  x2   2 x1 x2
2

a) Ta có:

(2)

2
2
2
Thay (1) vào (2) ta được: x1  x2  8  2 �15  64  30  34

1 1 x1  x2
 
x1 x2
b)Ta có: x1 x2

(3)

1 1
8
 
Thay (1) vào (3) ta được: x1 x2 15

x1 x2 x12  x2 2  x1  x2   2 x1 x2
 

x
x
x
x
x1 x2
2
1
1
2
c)Ta có:
2

(4)

x1 x2 82  2 �15 34

 

x
x
15
15
2
1
Thay (1) vào (4) ta được:

x x 
d)Thay (1) vào biểu thức 1 2

2

  x1  x2   82  64
2

ta được:

Bài tập:
2
Bài 1: Cho phương trình: 2 x  3x  1  0 không giải phương trình hãy tính

1  x1 1  x2

x
x2
1
a.

x1
x
 2
b. x2  1 x1  1
4
4
c. x1  x2

2
Bài 2: Cho phương trình: x  4 3  8  0 không giải phương trình hãy tính

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
5 x1 x23  5 x13 x2
Q


Hướng dẫn:
Bài 1:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 11


3
�
x1  x2 
�
�
2

�
�x x  1
1 2
2
Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có: �
1  x1 1  x2 x1  x2  2 x1 x2


1
x
x
x
x
1
2
1
2
a. Ta có:

x1
x
x 2  x2 2  x1  x2  x1  x2   x1  x2  2 x1 x2 11
 2  1


x2  1 x1  1
x1  x2  x1 x2  1
12
 x1  1  x2  1
2

b. Ta có:

2
2
17
2
x14  x2 4   x12  x2 2   2 x12 x2 2  �
 2 x12 x2 2 
�x1  x2   2 x1 x2 �
�
16
c.

Bài 2:

�x1  x2  4 3
�
x x 8
Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có: � 1 2
Ta có:
6 x1  10 x1 x2  6 x2 
5 x1 x23  5 x13 x2
Q


2

2

6  x12  x2 2   10 x1 x2
5 x1 x2  x12  x2 2 

2
6�
 10 x1 x2 17
 x1  x2   2 x1 x2 �
�
�


2
80
5 x1 x2 �
�x1  x2   2 x1 x2 �
�
.

1.2.

Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa
hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Cách làm
B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2
�a �0
��
� �0
B2: Áp dụng hệ thực Vi-et viết S  x1  x2 và P  x1 x2 theo tham số
B3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các

nghiệm x1 và x2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 12


m  1 x 2  2mx  m  4  0

Ví dụ: Cho phương trình :
có hai nghiệm

x1 ; x2 . Lập hệ liên hệ giữa x1 ; x2

sao cho chúng phụ thuộc vào m
Lời giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
�m �1
m �1
m  1 �0
�
�
� m �1
�
��
��2
��
�� 4
m   m  1  m  4  �0
�0

5m  4 �0
m�
� �
�
�
�
� 5

Theo hệ thức Vi-et ta có:
2m
2
�
�
x

x

x

x

2

 1
1
2
1
2
�
�

�
�
m 1
m 1
��
�
m

4
�x x 
�x x  1  3  2 
� 1 2 m 1
� 1 2
m 1
2
2
 x1  x2  2 � m  1 
 3
m

1
x

x

2
1
2
Từ (1) ta có:
3

3
 1  x1 x2 � m  1 
 4
1  x1 x2
Từ (2) ta có: m  1

Đồng nhất (3) và (4) ta có:
2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

Bài tập:

x 2   m  2  x   2m  1  0
Bài 1: Cho phương trình:
có hai nghiệm x1 và x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập với m
Bài 2: Cho phương trình:
phụ thuộc vào m
Bài 3: Cho phương trình:
phụ thuộc vào m

2 x 2   2m  1 x  m  1  0

. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không

 m  1 x 2  2mx  m  1  0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm

Hướng dẫn:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 13

x1 ; x2 không


Bài 1:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
a  1 �0
�
�
��
2
2
   m  2   4  2 m  1  m 2  4 m  8   m  2   4  0
�
(luôn đúng)

� phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có:
�
m  x1  x1  2  1
�x1  x2  m  2
�
��
�
x1 x2  1

�x1 x2  2m  1
�m  2  2 
�

Thay (1) vào (2) ta có:

x1  x2  2 

x1 x2  1
� 2  x1  x2   x1 x2  5  0
2

Bài 2:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:
a  2 �0
�
� 2 �0
2 �0
�
�
�
�
�
�
� 2
�
2
2
4m  12m  9 �0
   2m  1  8  m  1 �0

 2m  3 �0 (luôn đúng)
�
�
��

� phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có:
1  2m
�
� 1  2  x1  x2 
x1  x2 
�
m
 1
�
2 ��
2
�
�
� x x  m 1
�
� m  2 x1 x2  1 2 
� 1 2
2
Thay (1) vào (2) ta có:
1  2  x1  x2 
2

 2 x1 x2  1 � 2  x1  x2   4 x1 x2  1  0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 14


Bài 3:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

m  1 �0
�
��۹
�� 2
  m   m  1  m  1 �0
�

�m �1
�
�1 �0

m 1

Theo hệ thức vi-ét ta có:
x1  x2
�
2m
�
m

 1
x


x

�
�
�1 2 m  1
� x1  x2  2
��
�
�x x  m  1
�m  x1 x2  1  2 
1 2
�
�
m 1
x1 x2  1
�
Thay (1) vào (2) ta được:
x1  x2
x x 1
 1 2
� x1  x2  x1 x2  1  0
x1  x2  2 x1 x2  1

1.3.

Dạng 3: Tìm giá trị tham số của
phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

Cách làm:

B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 :
�a �0
��
 �0
�
B2: Từ biểu thức đã cho, áp dụng hệ thức vi-ét để giải phương trình chứa tham số
B3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình:

mx 2  6  m  1 x  9  m  3  0

Tìm giá trị tham số của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 15


m �0
�
� m �0
�m �0
�
��
��
2
�
�

 m  1 �0
m �1
�
�
3  m  1 �
�
�
�
� 9m  m  3 �0
��
(1)
Theo hệ thức vi-ét ta có:
�
6  m  1
�x1  x2 
�
m
�
�x x  9  m  3
1 2
�
m
�
(I)

Theo giả thiết: x1  x2  x1 x2
6  m  1
Thay (I) vào ta được:
Vậy với

m



9  m  3
m

� 2  m  1  3  m  3 � m  7

(thỏa mãn(1))

m  7 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn thệ thức: x1  x2  x1 x2

Ví dụ 2: Cho phương trình:

mx 2  2  m  4  x  m  7  0

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  2 x2  0
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
�m �0
m �0
�
� m �0
�
�
��
��
� � 16
2

15m  16 �0
m�
�
  m  4   m  m  7  �0
�
�
�
� 15

Theo hệ thức vi-ét ta có:

�
2  m  4  2m  8
x1  x2 

 1
�
�
m
m
�
m7
�
x1 x2 
 2
�
m
Từ giả thiết:

x1  2 x2  0 � x1  2 x2  3

Thay (3) vào (1) ta được:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 16


2m  8
2m  8
2m  8
� 3 x2 
� x2 
m
m
3m
4m  16
� x1 
3m
2 x2  x2 

Thay

x1

và x2 vào (2) ta được:

4m  16 2m  8 m  7
�


3m
3m
m
� 8  m  4  9  m  7 
2

� m  1 tm 
� 8m  73m  65  0 � � 65
�
m   ktm 
� 8
(do m �0 )
2

Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình:

x 2   2m  1 x  m 2  2  0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức:
Bài 2: Cho phương trình:

3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

x 2  3 x  m  0  1

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn:
Bài 3:Cho phương trình:

x12  1  x2 2  1  3 3

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 và x2 với mọi m
b)Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện:
 x12  2mx1  2m  1  x22  2mx2  2m  1  0
Hướng dẫn:
Bài 1:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 17


�
� a  1 �0
��۳
�
  4m  7 �0
�
�

�1 �0
�
� 7
m�
�
� 4

m

7
 1
4

Theo hệ thức vi-ét ta có:

�x1  x2  2m  1
 I
�
2
�x1 x2  m  2
Theo giả thiết ta có:

3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

Thay (I) vào biểu thức ta được:





3 m 2  2  5  2m  1  7  0
� 3m 2  6  10m  5  7  0
�m  2  tm 
� 3m  10m  8  0 � � 4
�
m   ktm 

� 3
2

Vậy với m  2 thỏa mãn yêu cầu bài
Bài 2:
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì:
�1 �0
� a  1 �0
9
�
��
�� 9 � m
  9  4m  0
4
m
�
�
� 4

Theo hệ thức vi-ét ta có:

�x1  x2  3
�
�x1 x2  m

(I)

Từ giả thiết ta có:
x1  1  x2  1  3 3

� x12  x2 2  2  2

x

1

2

 1  x12  1  27 � x12  x2 2  2 x12  x2 2  x12 x2 2  1  25

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 18


x12  x2 2   x1  x2   2 x1 x2  9  2 m
2

Ta có:

� 9  2m  2 9  2m  1  m 2  25
� m 2  2m  10  m  8
� m 2  2m  10   m  8 

2

� 18m  54 � m  3
Vậy m  3 thỏa mãn đề bài
Bài 3:
  m2  4m  6   m  2   2  0, m

2

a)Ta có:

Suy ra luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
b)Theo phần a phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên:

�x12  2  m  1 x1  2m  5  0
�x 2  2mx1  2m  1  4  2 x1
�
� �12
�2
�x2  2mx2  2m  1  4  2 x1
�x2  2  m  1 x2  2m  5  0
�x1  x2  2m  2
�
x x  2m  5
Theo hệ thức vi-et ta có: � 1 2
Theo giả thiết ta có:
�  4  2 x1   4  2 x2   0 � 16  8  x1  x2   4 x1 x2  0
� 16  8  2m  2   4  2m  5   0

x

2
1

3
 2mx1  2m  1  x2 2  2mx2  2m  1  0 � m  2

Vậy với

m

3
2 thỏa mãn đề bài.

1.4.

Dạng 4: Xác định dấu các nghiệm
của phương trình bậc 2

Cho phương trình: Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng âm, cùng
dương
Cho phương trình bậc 2: . (1)

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 19









� �0
��

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu �P  0
� �0
��
�P  0
Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu
� �0
�
� �S  0
�P  0
Phương trình (1) có 2 nghiệm dương �
� �0
�
� �S  0
�P  0
�
Phương trình (1) có 2 nghiệm âm

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:có 2 nghiệm trái dấu
Lời giải:
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì:





2
�
   3m  1  4.2. m 2  m  6 �0
2
�

� �0
�
�    m  7  �0m
       � �
   � �
�
� 2  m  3
�
m2  m  6
P

m

3
m

2

0




�P  0
�
P
0
�
2
�

Bài

tập:
Bài 1: Cho phương trình:

x 2  2  m  2  x  6m  1  0

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

2
Bài 2: Cho phương trình: mx  2(m  2)  m  3  0. Tìm m để phương trình

a.
b.

Có 2 nghiệm trái dấu
Có một nghiệm dương phân biệt

Bài 3: Cho phương trình:

x 2   2m  3 x  m 2  3m  0

có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 1  x1  x2  6

Hướng dẫn:
Bài 1:

x  t  2  t  0 
t 2  2mt  2m  3  0  *
Đặt

. Khi đó phương trình trở thành:
Phương trình đã cho có hai
nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có nghiệm cùng dương:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 20


�
 ' �0
m 2   2m  3 �0
�
3
�
�
� �S  0 � �
2m  0
�m
3
2
�P  0
� 2m  3  0
m
�
�
2 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn
. Vậy với
2

Bài 2:
a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
� m �0
m �0
�
�
��
� �m  3
�  m  3 m  0 � 0  m  3
0
�P  0
�
�m

.

b.Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:
a  m �0
�
�
2
�
   m  2   m  m  3  0
�
�
�m0
�
2 m  2
��
��

S
0
3 m 4
�
�
m
�
2 m  2
�
S
0
�
m
Bài 3:
Để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì:





   2m  3  4 m2  3m �0 � 9  0
2

(luôn đúng)

Suy ra với mọi m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
� 2m  3  3
x1 
 m3
�

2
�
� x  2m  3  3  m
� 2
2
Không mất tính tổng quát ta giả sử x1  x2

Theo giả thiết:
1.5.

1  x1  x2
m4
�
�x  1
�
� �1
��
�m6
�
�m  6
�x1  x2  6 �x2  6

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 21


Áp dụng tính chất sau về bắt đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được

C  A  m � min C  m � A  0  A �0 
C  m  B � min C  m � B  0  B �0 
Ví dụ1: Cho phương trình:

x 2   2m  1 x  m  0

. Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình

2
2
Tìm m để: A  x1  x2  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

�x1  x2  1  2m
�
x x  m
Theo hệ thức vi-ét ta có: � 1 1
(I)
A  x12  x2 2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2
2

Ta có:

Thay (I) vào biểu thức A ta được:
A   1  2m   8m  4m 2  12m  1   2m  3  8 �8
2

2

Vậy min A  8 � 2m  3  0 hay

m

3
2

2
Ví dụ 2: Cho phương trình: x  mx  m  1  0 , gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình

B
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 x1 x2  3
x1  x2 2  2  x1 x2  1
2

Lời giải:

Theo hệ thức vi-ét ta có:
B

Theo giả thiết ta có:

�x1  x2  m
�
�x1 x2  m  1
2 x1 x2  3
2 x1 x2  3


2
x  x2  2  x1 x2  1  x1  x2  2  2
2
1

Thay hệ thức vi-et vào B ta được:
B

2  m  1  3
m 2
2





2
2
2
m  1

2 m  1 m  2  m  2m  1
 2

 1 2
m 2
m2  2
m 2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 22


2
�
�
 m  1 �0
� 2
�m  2 �0

Vì

 m  1

2

0

m2  2

B 1

Vậy max B  1 � m  1
Mặt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1

2
m  2m  1  m 2
m  4m  4  m 2  2
m  2

1
2
2
2
2
B



2
2
2
m 2
m 2
2 m 2 2



Vì

2
�
�
 m  2  �0
� 2

�m  2  0

Vậy

min B 

 m 2 

2

2  m  2
2



0

B









1
2

1
� m  2
2

Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình:

x 2   4m  1 x  2  m  4   0

A   x1  x2 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn :
có giá trị nhỏ nhất
2

Bài 2: Cho phương trình:

x 2  2  m  4  x  m2  8  0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
a.
b.

A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
B  x12  x2 2  x1 x2
đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:
Bài 1:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
a  1 �0

�
1 �0
�
�
��
�� 2
2
16m  33  0, m
   4m  1  8  m  4  �0
�
�

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 23


Vậy với mọi m phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
�x1  x2  4m  1
�
x x  2m  8
Theo hệ thức vi-ét ta có: � 1 2
(I)
A   x1  x2    x1  x2   4 x1 x2
2

Lại có:

2

A   4m  1  4  2m  8   16m 2  33 �33
2

Thay (I) vào A ta được:

Vậy min A  33 � m  0
Bài 2:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:
�  m 4  m2 8

�
2

8m 24 0

m 3

�x1  x2  2m  8
�
x x  m2  8
Theo hệ thức vi-ét ta có: � 1 2
(I)
a.

Thay (I) vào biểu thức A ta được:
2

� 1 � 47 47
A  2m  8  3  m  8   3m  2m  16  3 �
m  �

�
3
� 3� 3
2

Vậy

max A 

2

47
1
�m
3
3
B   x1  x2   x1 x2
2

b.

Ta có:

Thay (I) vào B ta được:
2

� 16 � 24 24
B   2m  8  m  8  5m  32m  56  5 �
m  �
�

5
� 5� 5
2

min B 

2

2

24
16
�m
5
5

Vậy
2.

Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 24


Nếu x1 ; x2 thỏa mãn:

�x1  x2  S
�

�x1 x2  P

2
thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai: x  Sx  P  0

2.1. Dạng 1: Lập phương trình bậc hai
2.1.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

�x1   x2  S
�
2
xx P
Nếu x1 và x2 thỏa mãn: � 1 2
thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x  Sx  P  0
Ví dụ: Lập phương trình bậc 2 biết hai nghiệm của chúng là x1 ; x2 thỏa mãn
x1  8 ; x2  3
a)
b)

x1  3a  ; x2  a

Lời giải:

a)

Ta có :

� x1  x2  8  3  5
�
�    x1 x2  8 � 3  24

2
Vậy phương trình cần tìm là: x  5 x  24  0

b)

�x1  x1  3a  a  4a
�
x1 x2  3a 2
Ta có: �
2
2
Vậy phương trình cần tìm là: x  4ax  3a  0

2.1.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước
2
Ví dụ: Cho phương trình x  3 x  2  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Lập phương trình bậc hai có ẩn

là thỏa mãn:

y1  x2 

1
1
; y2  x1 
x1
x2

2

Lời giải: Phương trình x  3 x  2  0 có a  b  c  1  3  2  0 nên phương trình có hai nghiệm là
x1  1; x2  2

1
1 3
y1  2   3 ; y2  1  
1
2 2
Khi đó ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Page 25