Chuyên đề Khoảng cách trong hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH
MỤC LỤC
A. Mục tiêu dạy học....................................................................................................................
B. Nội dung dạy học...................................................................................................................

I.
II.
III.
IV.
V.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.............................................
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.........................................................................
Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng............................................................
Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng...............................................................
Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng...................................................................

C. Hình thức, kế hoạch dạy học....................................................................................................
D. Kiểm tra, đánh giá...................................................................................................................
A. MỤC TIÊU DẠY HỌC.

• Căn cứ:
- Chuẩn KT – KN.
- Yêu cầu của nhà trường
- Khả năng, mong muốn của HS…
• Mục tiêu dạy học:
 Về kiến thức:
- Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, từ
điểm đến mặt phẳng trong không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng trong không
gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng trong không gian và từ mặt phẳng đến mặt
phẳng.

 Về kĩ năng:
- Học sinh tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ
đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng và từ mật phẳng đến

-

mặt phẳng
Học sinh biết sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách để áp dụng làm bài
tập.

B. NỘI DUNG BÀI HỌC.
I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.


1.

Nhắc lại kiến thức cũ.

Kiến thức hình học phẳng về tính khoảng cách.
AH =

- Tam giác ABC có đường cao AH thì

2 S ABC
BC

- Tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH thì

.
1

1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

.
BC = AB + AC 2
2

- Công thức Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A:

2

.

2.
Định nghĩa
- Khoảng cách từ một điểm đếnđường thẳng bằng
khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của
nó lên đường thẳng.

3.
Phương pháp chung.
- Xét bài toán: Cho điểm M và đường thẳng d, (M không thuộc d). Tính khoảng cách từ M
đến d.

- Phương pháp:
 Hạ MH d tại H, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Và độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d. Kí hiệu:d(a,d) = MH.

 Tính MH.
4.
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến
đường thẳng BC.
Giải
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là
chân đường vuông góc hạ từ A đến SD.
⇒
⊥
⊥
Ta có: SA (ABC) BC SA.
⊥
Lại có: BC AD (Cách dựng)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ BC.

AH ⊥ SD

Lại có:
(Cách dựng)
⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH
.


 Chú ý:
⇒ d (M, ∆) = d(N, ∆)

1.

.
d (M, ∆) d (N, ∆)
MN ∩ ∆ = I ⇒
=
.
MI
NI

2.

⇒ d (M, ∆) = d(N, ∆)

Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN

5.

.

Bài tập củng cố.

Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy là tam giác vuông cân
tại B và AC a = 2 . SA có độ dài bằng a và vuông góc với
đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC.
Giải
SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA.

Ta có:

Từ giả thiết ta có,

BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB ⊥ BC

Khi đó khoảng cách từ S tới BC chính là đoạn thẳng SB.
AB =

BC
=a 2
2

Có :

⇒ SB = SA2 + AB 2 = a 2 + 2a 2 = a 3

.

d (S, BC) = SB = a 3.

Vậy
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh góc vuông bằng a.

Cạnh bên

SA = a 2

và vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ A đến SC.

Giải:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Vì
bằng a.

∆ABC

vuông cân tại B có cạnh góc vuông


Suy ra:

AC = a 2 = SA ⇒ ∆SAC

vuông cân tại A.

Suy ra: AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến thuộc cạnh huyền.
AK =

Khi đó:

1
1
SC = a.
2
2

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, tất cả các mặt bên đều tạo với
đáy góc . Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Tính khoảng cách từ I đến SA.
Giải:
Vì S.ABC là hình chóp đều, O là tâm của đáy.
Ta dễ thấy O cũng sẽ là trọng tâm của tam giác ABC.

Mà I lại là trung điểm của đoạn BC thì khi đó A, O, I thẳng hàng.
Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Từ (2) và (3) suy ra là góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy suy ra

Đồng thời SO là đường cao của hình chóp thì SO

⊥

AI =

AI,

Xét tam giác vuông SOI có:

SO = OI .tan 30o =

1
1 a 3 1
a
AI .tan 30o = .
.
= .
3
3 2
3 6

Gọi h là khoảng cách từ I đến SA.
SA.h = SO.AI = 2.S AIS ⇒ h =

Xét tam giác SAI có:
HD : Có SO, AI, tính được SA. Dễ tính được h.

SO. AI
.
SA

ˆ = 30o
SIO

a 3
.
2


Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên đều bằng
2a 3
3

.

a) Tính độ dài đương cao SH.
b) Gọi I là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ I đến SA.
Hướng dẫn.
SH ⊥ (ABC) ⇒

a)
H là tâm của tam giác đều ABC.
Tam giác vuông SHA. Khi đó ta dễ tính được SH dựa vào định lý Pi-ta-go
trong tam giác vuông.

IK ⊥ SA
b) Vẽ
.
IK .SA = SH . AI = 2S AIS .
∆SAI
Xét
có:
Suy ra tính được IK.
II. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Để tính khoảng cách từ điểm
Bước 1: Dựng

•
•
•

OH

Lấy đường thẳng

với

H

O

( P)

đến mặt phẳng

là hình chiếu của

a

O

, ta thực hiện theo các bước sau:
( P)

lên

, ta làm như sau:

( P)

nằm trong
(Q)
( P)
O
Dựng mặt phẳng
qua vuông góc với mặt phẳng
(Q )
OH ⊥ b
H
Trong
, hạ
tại .

OH

Bước 2:

là khoảng cách từ

O

( P)

đến

2. Chú ý:
MN / /( P) ⇒ d (M; (P)) = d(N; (P))
2.1.

. Tính độ dài đoạn

OH

là khoảng cách từ

O

( P)

đến


 M ; N ∈ (Q )
⇒ d ( M ;( P )) = d ( N ;( P ))


 (Q) / /(P)

2.2.

MN ∩ ( P) = I ⇒

d (M;(P)) MI
=
d ( N ;( P)) NI

2.3.
2.4. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

d ( S ;( A1 A2 ... An )) =

S . A1 A2 ... An

3VS . A1 A2 ... An
S A1 A2 ... An

Cho hình chóp
. Ta có khoảng cách
2.5. Sử dụng tính chất trục đường tròn:
A, B, C
O
VABC
M
• Nếu là tâm đường trọn ngoại tiếp
và
là một điểm cách đều 3 điểm

thì
đường thẳng

MO

là trục đường tròn ngoại tiếp

VABC

. Khi đó

MO ⊥VABC

và

MO = d ( M , ( ABC ))

• Nếu

MA = MB = MC

đường thẳng

MN

và

NA = NB = NC

A, B, C

trong đó

là 3 điểm không thẳng hàng thì
MN ⊥ ( ABC )

A, B, C

là trục đường tròn qua 3 điểm

. Khi đó

tại tâm

O

A, B, C

của đường tròn qua 3 điểm

.

3. Ví dụ minh họa
3.1. Ví dụ 1: (A-2013)
Cho hình chóp
cạnh

a

và mặt bên

khối chóp
( SAB )

Giải:

S . ABC

S . ABC

SBC

o
A ·ABC = 30 SBC
có đáy là tam giác vuông tại ,
,
là tam giác đều

vuông góc với đáy. Tính theo

và khoảng cách từ điểm

C

a

thể tích

đên mặt phẳng

Gọi

H

là trung điểm của cạnh

BC ⇒ SH ⊥ BC

( SBC ) ⊥ ( ABC )

Mà

theo giao tuyến

Ta có:

BC = a

⇒ VS . ABC =

VABC

Mà
Gọi

a 3
2

⇒ SH =

BC

SH ⊥ ( ABC )

nên

AC = BC.sin 30o =

;

a
a 3
AB = BC.cos 30o =
2
2
;

1
a3
SH . AB. AC =
6
16

vuông tại

A

H

và

là trung điểm của cạnh

BC

nên

HA = HB

SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SA = SB = a
I

là trung điểm của

SI = SB 2 −

AB ⇒ SI ⊥ AB

AB 2 a 13
=
4
4

⇒ d (C, (SAB)) =

3VS . ABC 6VS . ABC a 39
=
=
SVSAB

SI . AB
13

.
3.2. Ví dụ 2: ( Trích đề A-2014)

Cho hình chóp
vuông góc của

S

SABCD

trên mặt phẳng
AB

( SBD)

Giải:

ABCD

là hình vuông cạnh

( ABCD )

trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng

có đáy

.

là

. Tính khoảng cách từ

A

a

SD =

,

3a
2

, hình chiếu


HK ⊥ BD; EH ⊥ SK

Kẻ

.

 BD ⊥ HK
⇒ BD ⊥ ( SHK )


 BD ⊥ SH
⇒ BD ⊥ HE
Ta có:

EH ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD)
Mà
a 2
·
HK = HB,sin KBH
=
4

Ta có

⇒ HE =

HS .H
HS 2 + HK 2

=

a
3

d ( A, (SBD) = 2 d(H, (SBD)) = 2 HE =

Do đó
d ( A, (SBD) =

Vậy

2a
3

2a
3

.

4. Bài tập áp dụng.
Bài 1: ( Trích đề D-2013)

SABCD

Cho hình chóp

có đáy là hình thoi cạnh

a

, cạnh bên

SA

vuông góc với đáy,

·
·
BC
a

BAD
= 120o M
SMA
= 45o
D
,
là trung điểm của cạnh
và
. Tính theo khoảng cách từ điểm
( SBC )

đến mặt phẳng

.

Bài 2: ( Trích đề D-2012)
Cho hình hộp đứng

A 'C = a
Bài 3:

ABCD. A ' B ' C 'D'

. Tính khoảng cách từ điểm

A

có đáy là hình vuông. Tam giác
( BCD ')

đến mặt phẳng

theo

a

.

A 'AC

vuông cân


Cho hình chóp

SA

AD = 2a AB = 4a SD = 5a
có đáy là hình chữ nhật,
,
,
. Cạnh bên

vuông góc với đáy.

a) Tính khoảng cách từ

b) Gọi
N

SABCD

M

A

( SBC )

đến mặt phẳng

là trung điểm cạnh

.

BC N
SB
. nằm trên cạnh
sao cho

( SMD)

đến mặt phẳng

Hướng dẫn:
Bài 1:

AD / / BC

Do
Kẻ

d ( D,( SBC )) = d ( A, (SBC))

nên

AH ⊥ SM

Ta có

 AM ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAM )

 SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH

AH =

Mà

AM 2 a 6
=
2
4

d ( A, ( SBC )) =

Vậy

a 6

4

Bài 2:
Gọi

H

là chân đường cao kẻ từ

A

của

VA ' AB

1
SN = SB
3

. Tính khoảng cách từ


Ta có:

 AH ⊥ A ' B
⇒ AH ⊥ ( A ' BC )

 AH ⊥ BC

AH ⊥ ( BCD ')

hay

AH = d (A, (BCD'))

Do đó
VA ' AB

Xét

⇒ AH =

có:

1
1
1
6
=
+
= 2
2
2
2
AH
AB
A' A
a

a 6

6

d (A, (BCD')) =

Vậy

a 6
6

Bài 3:

a) Trong mặt phẳng (SAB), kẻ

Ta có:

AI ⊥ SB

 SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAB)

 AB ⊥ BC

⇒ BC ⊥ AI

mà

AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC )

⇒ AI = d ( A, ( SBC ))

SA = SD 2 − AD 2 = a 21

SAD
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông

1
1
1
1
1
37 ⇒ AI = a 21
=
+
=
+
=
37
AI 2 SA2 AB 2 21a 2 16a 2 336a 2

SAB
Trong tam giác

⇒ d ( A,( SBC )) =

có:

có:

a 21
37

.


b) Gọi

J

AB

là giao điểm của

DM

và

.

1
1
d ( N , ( SMD )) = .d (B, (SMD)) = .d ( A, ( SMD ))
3
6

Ta có:
AH ⊥ DM , AK ⊥ SH

Kẻ

 DM ⊥ AH


 DM ⊥ SA ⇒ DM ⊥ ( SAH ) ⇒ DM ⊥ SH
Ta có:

AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SDM )
Mà
⇒ AK = d (A, (SDM))

S ADM

Ta có

Xét

VSAH

1
= S ABCD = 4a 2
2

có:

S ADM

mà

2 S ADM
8a 2
8a
1
⇔

AH
=
=
=
= . AH .DM
DM
17
16a 2 + a 2
2

1
1
1
1
17
421 ⇒ AK = 8a 21
= 2+
=
+
=
2
2
2
2
421
AK
SA
AH
21a
64a

1344a 2

d ( N ,( SMD )) =

4a 21
3 421

Vậy

III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song chính là khoảng cách từ 1 điểm đến một
đường thẳng.
2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
2.1. Định nghĩa:
•

Đường thẳng Δ vừa cắt vừa vuông góc với cả hai
đường thẳng chéo nhau a và b gọi là đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.


•

Giả sử Δ cắt a và b lần lượt tại M và N. Đoạn
thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau a và b.

•

Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau a và b.

2.2.Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:
•

Dựng mặt phẳng (α) chứa b thoả mãn (α) song
song với a,

•

Tìm hình chiếu vuông góc a′ của a trên (α),

•

Tìm giao điểm N của a′ và b, dựng đường
thẳng Δ qua N và vuông góc với (α) cắt a tại M.
Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung
của a và b.

Nhận xét: Nếu lấy điểm I tuỳ ý trên a thì khoảng cách từ I đến (α) bằng độ dài đoạn vuông góc
chung MN (vì theo hình vẽ MNHI là hình chữ nhật).
2.3. Phương pháp:
TH1: Nếu

a⊥b

:

Trong trường hợp đặc biệt a và b chéo nhau và vuông góc với nhau, khi đó thường tồn tại một
mặt phẳng (α) chứa avà vuông góc với b. Để tính khoảng cách
giữa a và b ta dựng đoạn vuông góc chung như sau:

• Tìm giao điểm H của b và (α),
• Trong

(α)

vẽ HK vuông góc với a tại H. khi đó HK là

đoạn vuông góc chung.
Ví dụ 1:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a.
Cạnh bên

AA ' = a 2

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ


ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B’C.
Giải:
Gọi E là trung điểm của BB’
Khi đó mp(AME)//B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME))
Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME))
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).
Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên

1
1
1
1
a 7
=
+
+
⇒h=
2
2
2
2
h
BE
BA
BM
7
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AM bằng khoảng

h=
cách từ B tới mặt phẳng (AME):

a 7
7

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao
điểm của CN và DM. Biết SH

SH = a 3

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM
và SC theo a.
Giải:
Ta có: ΔCDN = ΔDAM (c.g.c)
CN ⊥ DM
⇒ DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ SC

 SH ⊥ DM

KH ⊥ SC ⇒ HK ⊥ MD ⇒ HK = d ( DM , SC )
Kẻ

Nên :

Với

1
1
1
=
+
2
2
HK
SH
HC 2


 SH = a 3

2

CN .CH = CD


CH 2 =





CD 4
a4
4a 2
=
=
CN 2 5a 2
5
4

1
1
5
19
2a 3
= 2+ 2=
⇒ HK =

2
2
HK
3a 4a 12a
19

3. Nếu a, b không vuông góc với nhau
Cách dựng đường vuông góc chung: có 2 cách
Cách 1:

- Dựng mặt phẳng
-

(α)

chứa b và song song với a
(α)
A∈ a
Dựng hình chiếu H của điểm
trên
(α)
a′
Trong
dựng đường thẳng qua H song song với a, cắt b tại K, từ K dựng đường thẳng
song song với AH cắt a tại P. Đoạn KP chính là đoạn vuông góc chung của a,b

Ví dụ: Cho lăng trụ đứng

AA′ = a 2

ABCA′B′C ′

có đáy ABC là tam giác vuông,
d ( AM , B′C )

. Gọi M là trung điểm của BC. Tính

Lời giải:
+ Gọi E là trung điểm của

∆BB′C
Trong
ta có:
bình trong tam giác)

BB′

 BE = EB′
⇒ EM P B′C

 BM = MC

( đường trung

AB = BC = a

, cạnh bên


+

 EM P B′C
⇒ B′C P( AME )

 EM ⊂ ( AME )

Ta thấy:

nên

d ( AM , B′C ) = d ( B′C , ( AME ) ) = d ( C , ( AME ) )

d ( C , ( AME ) ) = d ( B, ( AME ) ) = h

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao
1
1
1
1
a 7
=
+
+
⇒h=
2
2
2
2
h
BE

BA BM
7
d ( AM , B′C ) =

Vậy

a 7
7

Cách 2:

- Dựng mặt phẳng

(α) ⊥ a

(α ) ∩b = I
tại O,

b′

- Dựng hình chiếu vuông góc của b trên
- Trong

(α)

dựng

OH ⊥ b′

(α)

tại H

- Qua H dựng đường thẳng vuông góc với

(α)
, cắt

b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A
Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a, b
Ví dụ: Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC

( ABCD )
và

bằng

30o

d ( BD, SC )

. Tính

Lời giải:

+ Ta có :

 BD ⊥ SA


 BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC )
 SA I AC ≡ A



BD ∩ ( SAC ) ≡ O

+

OI ⊥ SC ⇒

+ Kẻ

OI là đường vuông góc chung của BD và SC

⇒ d ( BD, SC ) = OI
SC ∩ ( ABCD ) ≡ C

+ Ta có:

, A là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) nên AC là hình

chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD)

Trong tam giác vuông ACD có:
OC =

Xét

AC =

¼ = 30o
⇒ (¼
SC , ( ABCD ) ) = SCA
AD 2 + DC 2 = a 2

AC a 2
=
2
2

∆COI

OI = OC ×sin 300 =

vuông tại I ta có:

a 2
a 2
⇒ d ( BD,SC ) =
4
4

Bài tập:
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, ABEF không cùng thuộc 1 măt phẳng và

a 2

AB = a

, AD=AF=

d ( AC , BF )

, AC vuông góc với BF. Tính

Bài 2: Cho hình lập phương

ABCD. A′B′C ′D ′

AB và CD. Tìm khoảng cách giữa

A′C

cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

và MN.

Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. SH vuông góc (ABCD) và
khoảng cách giữa DM và SC

SH = a 3

. Tính

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng
(SAB), (SAC) vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song

song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
Lời giải:
Bài 1:
Kẻ

+

AK ⊥ BF

, từ K kẻ

KH ⊥ AC

(1)

 AK ⊥ BF

 AC ⊥ BF ⇒ BF ⊥ ( AKC ) ⇒ BF ⊥ KH
 AK ∩ AC ≡ A


(2)

Từ (1) và (2) suy ra HK là đường vuông góc chung của
AC và BF

+

+

+

+

⇒ AK =

∆ABF

vuông tại A

AB.AF a 6
=
BF
3

 AC ⊥ BF

 AC ⊥ HK ⇒ AC ⊥ ( BHK ) ⇒ AC ⊥ BH
 BF ∩ HK ≡ K


∆ABC

⇒ AB 2 = AH . AC ⇒ AH =
vuôngtại B

∆AHK

Bài 2:

a
3

⇒ HK =

vuông tại H

AK 2 − AH 2 =

a 3
= d ( AC , BF )
3

60o

. Tính khoảng


Ta có:

+

 BC PMN
⇒ MN P( A′BC ) ⇒ d ( MN , A′C ) = d ( MN , ( A′BC ) ) = d ( M , ( A′BC ) )

 BC ⊂ ( A′BC )

 AI ⊥ A′B ( A′B ∩ AB′ ≡ I )


 BC ⊥ ( ABB′A′) ⇒ BC ⊥ AI ⇒ AI ⊥ ( A′BC )
 ′
 A B ∩ BC ≡ B

Kẻ

MH P AI ( H ∈ A′B ) ⇒ MH ⊥ ( A′BC ) ⇒ d ( M , ( A′BC ) ) = MH

MH =

AI a 2
a 2
=
⇒ d ( MN , A′C ) =
2
4
4

Bài 3:
∆CDN = ∆DAM ( c.g .c ) ⇒ CN ⊥ DM

Ta có
 CN ⊥ DM

 SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ SC
CN ∩ SH ≡ H

HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM ⇒ d ( HK , DM ) = HK

Kẻ
S ∆CMD = S ∆ABCD − S ∆ADM − S ∆CMB
Ta có
S ∆CDM =

a2
=
2

CH .DM
2a
⇒ CH =
2
5

Mặt khác

∆SHC

1
1
1
2a 3
=
+
⇒ HK =
= d ( DM , SC )
2
2
2

HK
CH
SH
19
vuông tại H ta có:


Bài 4:
⇒ SA ⊥ ( ABC )

Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC)
 SA ⊥ BC

 AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
 SA ∩ AB ≡ A

¼
⇒ SBA

là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC)

¼ = 60o ⇒ SA = AB tan 60o = 2a 3
⇒ SBA
⇒ MN P BC

SM P BC

Mặt phẳng qua

⇒ MN =

cắt AC tại N

và N là trung điểm của BC

BC
=a
2

(α)

V

Kẻ đường thẳng đi qua N và song song với AB, gọi

là mặt phẳng chứa SN và

⇒ AB P( α ) ⇒ d ( AB, SN ) = d ( A, ( α ) )
AD ⊥V≡ D ⇒ ( SAD ) ⊥ ( α )

Kẻ

Kẻ

AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( α ) ⇒ d ( A, ( α ) ) = AH

AD = MN = a ⇒

1
1

1
2a 3
= 2+
⇒ AH =
= d ( AB, SN )
2
2
AH
SA
AD
13

Ta có

IV. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
1. Lý thuyết:

V


 TH1: Đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt
phẳng là bằng 0
 TH2: Đường thẳng và mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa
đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng các từ
một điểm nào đó thuộc a đến mặt phẳng (P)

 Kí hiệu: d(a,(P))
 Lưu ý: d(a,(P)) = d((P),a) = d(A,(P)) =d(B,(P))
A ∈ a, B ∈ a

• Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a không phụ thộc
vào vị trí của điểm A khi A thay đổi trên a
 Phương pháp
+ Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt
phẳng là 0
+ Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song thì ta lấy bất kì một điểm A thuộc a và
tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P)

→

quay trở về bài toán tìm khoảng

cách từ một điểm A đến một mặt phẳng
 Chú ý là khi lấy điểm A bất kì ta nên chọn các điểm mà dễ dàng tìm được hình
chiếu của nó trến mặt phẳng (P)

 Tổng quát:
- Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)
- Tìm điểm chung A của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành

(Q )
'

chứa a và song song song với (Q))
- Tìm giao tuyến của (P) và (Q)
⊥
⊥
- Trong (Q) kẻ AH (Q). Khi đó MH (P) và d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH
2. Ví dụ:
2.1. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a tính

khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD)
Giải:
Vì chóp S.ABCD là hình chóp đều

⇒

ABCD là hình vuông


Lấy I là trung điểm của AB. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại K
và Klà trung điểm DC
Mặt khác ta có
Ta có IK
Ta kẻ IH

⇒
⇒

IH

⊥
⊥

⊥

CD và SK

⊥

CD

⇒

⇒

⊥
SK (SCD)

CD

⊥

(SIK)

⊥
∈
SK do IH (SIK) nên CD IH

(SCD)

SKD vuông tại K

Ta có cosSIK=

⇒

cân tại S

d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH

∆

⇒

∆SCD

HK
IK

=

⇒

SK =

HK
a

a
15
2

1
15
=

a
15
HK=

a2 −

a2
15

IK= d(AB,(SCD)) =

3. Bài tập
CC1 = c

A1B1C1D1
3.1. Bài tập 1: Hình hộp chữ nhật ABCD
AA1 BDB1D1
a) Tính d(
,(
))
Giải:
A1 B1C1 D1
ABCD

là hình hộp chữ nhật

⇒ AA1 ⊥ ( ABCD) ⇒ AA1 ⊥

BD

AB=a, BC=b,

⇒

IK

⊥

DC


Trong (ABD) kẻ AI

⊥

BD

⇒

⊥ AA1 I
BD (
)

A1 K ⊥ D1 B1 ⇒ A1K P AI

P AA1
và KI

Ta kẻ

⇒

BD

⊥ ( AIKA1 )

suy ra ta có AI

⇒

⊥ BDB1D1
AI (
)

⇒

AA1 BDB1 D1 )
AI = d(
,(
)

⊥

KI

Tính AI
VABI

Ta có

đồng dạng với

V

DBA

AI AB
=
⇒ DA BD

ab

⇒

AI=

a 2 + b2 ⇒

ab

AA1 BDB1D1
a 2 + b2
d(
,(
)) =

3.2. Bài 2:Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình vuông cạnh a
SA=2a và SA vuông góc với đáy M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh MN
song song với (SBD) và tính d(MN,(SBD))
Giải
Ta có M, N là trung điểm của AB và AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD
MN song song với BD
Ta có SA

⊥

(ABCD)

⇒

⇒

Lấy I là trung điểm BD
BD

⊥

MN song song với (SBD)

SA

⇒

⊥

AI

BD
⊥

BDTa suy ra

(SAI)

Trong (SAI) kẻ AK

⊥

SI

⇒

BD

⊥

AK

⇒


Vì AK

⇒

⊥

⇒
⊥
⊥
SI và BD AK AK (SBD)

AK= d(A, (SBD))

Ta có AI

⊥

BD và AI cắt MN Tại H
⊥

Từ H kẻ HP

SI

⇒

HP= d(MN,(SBD))

Tính HP
a
2
Ta có AI =
V
V
Mặt khác HPI đồng dạng với AKI
HP IH
=
⇒ AK AI

⇒

Mà AK=

3a
2 ⇒

3a
2 2
HP=

3a
2 2
d(MN,(SBD)) =

V. Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng
1. Kiến thức

d ((α ),( β ))

(α ),( β )
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

được ký hiệu

2. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng trong không gian

d ((α ),( β ))
+Hai mặt phẳng trùng nhau ta suy ra
+Hai mặt phẳng cắt nhau

d ((α ),( β ))
Suy ra

=0

=0


d ((α ),( β ))
+Hai mặt phẳng vuông góc cũng có

=0

+Hai mặt phẳng song song

(P) / /(P')
Mặt phẳng
M trên (P’)

, M thuộc (P) và H là hình chiếu của

d ((α ),( β ))
Vậy

=MH

3. Bài tập:
Bài 1 : Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy , SA

⊥ ( ABC ),

AI ⊥ BC,AH ⊥ SI

kẻ
(AHB) với (SBC)

. Tính khoảng cách giữa

Giải:

AH ⊥ SI (1)
BC ⊥ AI  BC ⊥ (SAI) 
⇒
 ⇒ BC ⊥ AH (2)
BC ⊥ SA  AH ⊂ (SAI) 
(1),(2) ⇒ AH ⊥ (SBC) 
 ⇒ (AHB) ⊥ (SBC)
AH ∈ (AHB)

Vậy d((AHB),(SBC))=0


Bài 2: Cho chóp tam giác ABC.A’B’C’ các đáy là các tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A
trên A’B’C’ trùng với trung điểm M của B’C’
Góc giữa AA’ với mặt phẳng đáy A’B’C’ bằng 60 độ. Tín khoảng cách 2 đáy của chóp .
Giải:

AM ⊥ ( A ' B ' C ')
Theo giả thiết ta suy ra
Suy ra tam giác AMA’ vuông tại M
Hình chiếu của AA’ trên A’B’C’ chính là A’M.Vậy góc
60 độ

a
Có AM=A’M.tan60=

3
. 3
2

=

AA’M bằng

3
a
2

Kết luận d((ABC),(A’B’C’))=d(A,(A’B’C’))=AM=

3
a
2

C. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC.
Kế hoạch dạy học:
Nội dung

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng
Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng

D.KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ.

KIỂM TRA
(Thời gian:45p )

Tiết
3
3
3
3
3